Utmaning 2 SF1673: Envariabelanalys
(Instruktion: jobba med en eller två andra studenter!)
Föberedelse: Visa att Σn
k=0xn−1=1−xn
1−xför varje x∈(0,1).
Avlägsna från intervallet [0,1] ett öppet intervall med längden 1
4och mittpunkt i 1
2(steg
1).
Avlägsna sedan (steg 2) från vart och ett av de båda återstående intervallen ett öppet
intervall med längden (1
4)2och mittpunkt i centrum av respektive intervall.
I steg 3 avlägsnas från vart och ett av de 4 återstående intervallen ett öppet intervall
med längden (1
4)3och mittpunkt i centrum av respektive intervall.
Och så forts..
1. Låt l(n)vara totala längden av de intervall som återstår efter steg n. Bestäm l(n)och
motivera ditt svar.
2. Beräkna limn→∞ l(n). Vad betyder ditt resultat? Rita bild.
3. Vad hände med l(n)om istälet av 1
4vi tar intervall med längden 1
3(sedan 1
32,1
33och
så forts)?
4. Varje tal x∈(0,1) skrivs i bas 3 som x=
∞
X
k=1
an
3kför någon talföljd (an)som har alla
elementer aninom mängden {0,1,2}. Till exampel, talföljd 100000000.... ger 1
3, och
0100000000000...ger 1
9. Hur kan man beskriva med talföljder (an)alla tal som finns i
den återstående mängden efter oändliga många steg i konstruktion i del 3) övan? Visa
att den återstående mängden och intervallet (0,1) har samma antal element.
1
