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Análise Real I
- O conjunto dos números reais
- Determine o conjunto dos números x ∈ R que verificam cada uma das condições:
(a) 4x + 4 < 5 x + 3 < 4 x + 2 (b) 3x^2 + 8x < 0 (c) (3x − 1)(x − 1)^2 (x − 3)^3 > 0 (d) ( xx 2 −−1) 162 > 0 (e) − 4 6 x^2 6 1 (f ) − 2 < (^1) x 6 1
- Determine o conjunto dos números reais x ∈ R que verificam cada uma das condições: (a) | 2 x + 3| = |x − 1 | (b) |x^2 − x − 3 | = 3 (c) √(x^2 − 3)^2 = 5 (d) |x − 2 x−^1 | = 3 − x (e) | 2 x^2 + x − 1 | > 5 (f )
√(x+3) 2 (g) |x^2 − 4 | 6 2 x − 1 (h) |x + 3| > 2 x (i) | 3 x−^2 +3 2 x^ | − |>^1 x − 6 | > 0 (j) | 2 x| + |x − 3 | = 9 (k) |x^2 − 1 | = x^2 − 1 (l) |x − 1 | = 1 − x (m) |x − 2 | 6 |x + 3| (n) − 1 6 |x| < 6 (o) 3^2 x−^1 = √ 3 (p) log (1 − 3 x) = 1 (q) log (x^2 − 4) = log(1 − 4 x) (r) log√ 2 (x + 1) = 8 (s) (^1) x < elog 2−2 log^ x^ (t) e^2 −log^2 x> 0 (u) ex+2^ − 4 x^2 ex^ < 0 (v) ex+1^ > ex^2 (w) (^12 )x+1^ > (^12 )x^2 (x) (^1) x − (^) x−^11 = 2
- Mostre que, para quaisquer números reais a e b, se tem ∣∣|a| − |b|∣∣ (^6) |a − b| e | 2 ab| 6 a (^2) + b (^2).
- Determine o conjunto de soluções da inequação log 3 (tg x) ≤ 12 em ] − π 2 , π 2 [.
- Verifique quais das seguintes afirmações são verdadeiras. (a) A soma de um número racional com um irracional é irracional. (b) O produto de um número racional por um irracional é irracional. (c) A soma de dois números irracionais é irracional. (d) O produto de dois números irracionais é irracional. (e) O quociente de dois números irracionais é irracional. (f) O quociente de um número racional por um irracional é irracional.
- Sejam a e b dois números racionais. Prove que √a + √b ∈ Q ⇔ √a e √b ∈ Q.
- Seja β um número real positivo. Prove que se 2 β^ = 3, então β é irracional.
- Determine, se existirem, o supremo, ínfimo, máximo e mínimo em R dos seguintes conjuntos: (a) {x ∈ R | |x + 2| < 2 ∧ | 2 x − 1 | 6 5 } (b) {x ∈ R | x^2 − 4 x < 0 ∧ |x − 1 | > 2 } (c) {(− n1) n| n ∈ N}^1 (d) {x ∈ R−^ | x^2 > 10 }
- Sejam A = {− 3 , − 2 } ∪ (Q ∩ [0, 1]) e B =] − 4 , −2] ∪ ([0, 1] ∩ (R \ Q)). Indique, caso existam, os supremos e os ínfimos em R dos conjuntos A, B, A ∪ B e A ∩ B.
- Verifique se é verdadeira cada uma das seguintes proposições: (a) O ínfimo de um subconjunto não vazio de R formado apenas por números racionais é um número racional. (b) O ínfimo de um subconjunto não vazio de R formado apenas por números naturais é um número natural. (c) Para todo o número real x 6 = 0 existe um número racional entre 0 e x. (d) Qualquer conjunto não vazio de racionais positivos tem ínfimo positivo.
- Considere um subconjunto A não vazio de R e defina −A = {−a : a ∈ A}. Prove que: (a) A majorado se e só se −A é minorado. (b) M é um majorante de A se e só se −M é um minorante de −A. (c) sup A = − inf (^ − A).
- Funções
- Para cada subconjunto A de R, defina a função fA : R → R dada por
f (x) = 0 se x /∈ A e f (x) = 1 se x ∈ A. (a) Indique as funções fA quando A = ∅, A = [0, 1[, A = { 4 } e A = Q. (b) Prove que fA∩B = fA × fB fA∪B = fA + fB − fA∩B fR\A = 1 − fA (c) Seja f : R → R uma função tal que f × f = f. Mostre que existe A ⊆ R tal que f = fA.
- Determine o domínio de cada um das seguintes funções de variável real: (a) f (x) = (^) x (^2) −^1 x− 1 (b) f (x) = (^) x√−x 2 (c) f (x) = √^4 x^2 − 6 x (d) f (x) = √x 2 +1x− 1 (e) f (x) = √ 9 − x^2 (f ) f (x) = √^3 x^2 − 9 (g) f (x) = √x + √ 1 − x (h) f (x) = √x + 1 − (^1) x (i) f (x) = √log x
- Para as funções f e g a seguir indicadas, determine os domínios das funções f + g, f /g e g/f : (a) f (x) = x, g(x) = √x − 1 (b) f (x) = √ 1 − x, g(x) = √1 + x.
- Para as funções f e g a seguir indicadas, determine f ◦ g, g ◦ g e g ◦ f , incluindo os seus domínios: (a) f (x) = x^2 , g(x) = √x − 4 (b) f (x) = x^2 + 1, g(x) = x − 1 (c) f (x) = (^) x^1 , g(x) = (^) 1+xx (d) f (x) = (^) x+1x , g(x) = x − 1
- Considere as seguintes funções de variável real dadas por
f (x) = ex^ + 2 e−x e g(x) = ex^ − 2 e−x. A função f é conhecida como cosseno hiperbólico (abreviadamente cosh) e a função g como seno hiperbó- lico (que se denota senh ). Mostre que:
(a) f (−x) = f (x) ∀ x ∈ R. (b) g(−x) = −g(x) ∀ x ∈ R. (c) (f (x))^2 − (g(x))^2 = 1. (d) g(x + y) = f (x) g(y) + f (y) g(x) ∀ x, y ∈ R. (e) f (x + y) = f (x) f (y) + g(x) g(y) ∀ x, y ∈ R.
Construa uma bijeção entre os conjuntos [0, 1] e ]0, 1].
Considere a função f : [0, 1] → [0, 1[ x = 0 7 → 0 x 6 = 0 7 → (^1) x − ⌊^1 x^ ⌋ (a) Calcule f ( (^1) n ) para cada natural n. (b) Determine f (x) se (^) n^1 +1 < x (^6) n^1 para algum natural n. (c) Prove que ]0, 1] = ⋃+ n=1∞^ ]^ n+1^1 , (^) n^1 ] , e que esta união é disjunta. (d) Esboce o gráfico de f. (e) Resolva a equação f (x) = x. (f) Prove que existe um natural n para o qual f n(x) = 0 se e só se x é racional de [0, 1], onde f n^ designa a composição n vezes de f com f. (g) Conclua que, se f (x) = x e x 6 = 0, então x é irracional.
(a) Considere as funções de domínio R dadas por
- g(x) = 1 − x;
- h(x) = − 2 x se x 6 0 e h(x) = −^12 x se x > 0 ;
- i(x) = x se x 6 0 e i(x) = (^1) x se x > 0. Verifique que g ◦ g = h ◦ h = i ◦ i = IdR. (b) Suponha que f : R → R verifica f ◦ f = IdR. Mostre que f é uma bijeção e f −^1 = f. (c) Suponha que f : R → R verifica f ◦ f = IdR e que é crescente. Mostre que f = IdR.
- Sejam X e Y subconjuntos de R e f : X → Y uma bijeção tal que f −^1 = (^1) f. (a) Prove que f não se anula e X = Y. (b) Mostre que x ∈ X se e só se (^1) x ∈ X. (c) Verifique que {x ∈ X : f (x) = x} ⊂ {− 1 , 1 }. (d) Prove que se x ∈ X e x^2 = 1 então f (x) ∈ {− 1 , 1 }. (e) Conclua que (f ◦ f )(x) = (^1) x para todo o x ∈ X. (f) Dê exemplo de uma tal função f.
- Limites e continuidade
- Calcule os seguintes limites: (a) limx → 4 2 x^3 + 3x + 5 (b) limx → 0 x x^23 +2− 7 (c) limx → 5 x^2 x−−^255 (d) limx → 0 xx^32 −+3^9 xx (e) limx → − 3 xx^32 −+3^9 xx (f ) limx → 1 xx^32 −+3^9 xx
- Em cada um dos seguintes casos, determine, se existirem, limx → a− f (x), limx → a+ f (x) e limx → a f (x): (a) f (x) = x x−−^24 , a = 4 (b) f (x) = (^) x−^18 , a = 8 (c) f (x) = cotg x, a = 0 (d) f (x) = (^) x 2 x+^2 −x−^46 , a = 2 (e) f (x) = (^) x 3 x−^3 x− (^23) −x 5 −x^2 − 3 , a = − 1 (f ) f (x) = x + √x − 6 , a = 6 (g) f (x) = (^) x 2 x− 4 , a = 2 (h) f (x) = (^) x+5^1 , a = − 5 (i) f (x) = x^3 − x (^23) −x^22 +3x+1x− 1 , a = 1
- Calcule: (a) limx → +∞ cos 2 x^2 x (b) limx → +∞ (^) (xx^ sen−π^ )x 2 (c) limx → 0
√1+cos (x) sen^2 (x) (d) limx → 0 x sen( (^) x^1 ) (e) limx → 0 5 b xx c (f ) limx → +∞ (^) x^52 +3 cosx^2 +√x x (g) limx → 1 √x^2 x−−^11 (h) limx → +∞ x√+1x (i) limx → 1 bxc + √x − bxc
- Determine a, b ∈ R de modo que seja contínua a função f : R → R dada por
f (x) =
− sen x se x 6 −π/ 2 a + b sen x se −π/ 2 < x < π/ 2 2 cos x se π/ 2 6 x
- Para as funções f : R → R seguintes, determine n ∈ Z tal que f (x) = 0 para algum x entre n e n + 1: (a) f (x) = x^3 − x + 3. (b) f (x) = x^5 + 5x^4 + 2x + 1. (c) f (x) = x^5 + x + 1.
- Para cada uma das seguintes condições, mostre que existe algum x ∈ R que a verifica: (a) sen x = x − 1. (b) x^179 + (^) 1+x (^2163) +sen (^2) x = 119.
- Prove que a equação cos (x) + ex^3 sen x = 113 tem infinitas soluções em R.
- Dê exemplo de: (a) Uma função f : R → R descontínua em todos os pontos do domínio. (b) Uma bijeção f : R → R descontínua em todos os pontos do domínio exceto um. (c) Uma bijeção f : R → R descontínua em todos os pontos do domínio.
- Sejam f, g : R → R funções contínuas tais que f (x) = g(x) para todo o x ∈ Q. Prove que f ≡ g.
- Prove que: (a) Todos os polinómios de grau ímpar são funções sobrejetivas sobre R. (b) Todos os polinómios de grau par têm máximo ou mínimo globais em R.
- Que funções contínuas f : R → R verificam (f (x))^2 = x^2 para todo o x ∈ R?
- Determine todas as funções contínuas f : R → R tais que f (x + y) = f (x) + f (y) ∀ x, y ∈ R.
- Seja f : R → R uma função monótona. Prove que: (a) Para todo o a ∈ R existem e são finitos os limites laterais limx → a+ f (x) e limx → a− f (x). (b) O conjunto de pontos de descontinuidade de f é vazio, finito ou numerável. (c) Se f tem a propriedade dos valores intermédios, então f é contínua em R.
- (a) Prove que se uma função f : R → R tem a propriedade dos valores intermédios e o cardinal do conjunto f −^1 ({b}) é finito para todo o b ∈ R, então f é contínua. (b) Conclua que se uma função f : R → R é injetiva e tem a propriedade dos valores intermédios, então f é contínua.
- Sucessões
- Seja (xn)n ∈ N uma sucessão de números reais e considere a sucessão (Sn)n ∈ N de termo geral Sn = x 1 + · · · + xn. Suponha que se tem Sn = (^) n + 2n para todo o n ∈ N. Determine: (a) Os valores de xi para i ∈ { 1 , 2 , 3 , 4 }. (b) limn →+∞ xn.
- Averigue se as seguintes sucessões são monótonas: (a) ( 1 − n 2 +1n^ ) n ∈ N (b) (^ nn 2 +1+3^ ) n ∈ N (c) (|n^2 − 5 |)n ∈ N (d) (sen n)n ∈ N
- Nos casos seguintes, diga se a sucessão é majorada, minorada, crescente ou decrescente:
(a) (n^2 − 6 n + 10)n ∈ N (b) (^23 nn+1+5^ ) n ∈ N (c)^ (^ (−(−5)2)nn+1^ ) n ∈ N (d) (n^2 + n − 5)n ∈ N (e)^ (^ nn+3^2 ) n ∈ N (f )^ (^ log(^1 n+2)^ ) n ∈ N (g) (^3 n^2 n+1^ ) n ∈ N (h)^ ( (−1)n^ + (− n1)n^ ) n ∈ N (i) (^2 nn^ ) n ∈ N
- Considere os seguintes conjuntos: Z = {(an)n ∈ N : (^) n →lim +∞ an = 0}^ e L = {(an)n ∈ N : (an)n é limitada}. (a) Prove que: (i) Z & L. (2i) Z e L são fechados para a soma e o produto. (3i) Se (an)n ∈ Z e (bn)n ∈ L então (an bn)n ∈ Z. (4i) limn → +∞ an =
∈ R se e só se (an −)n ∈ Z. (5i) Se (an)n converge então (an)n ∈ L, mas o recíproco é falso. (b) Conclua que, se limn → +∞ an = 1 ∈ R e limn → +∞ bn = 2 ∈ R, então n →^ lim +∞ an^ +^ bn^ =^ ^1 +^^2 e^ n →lim +∞ an^ bn^ =^ ^1^2. (c) Calcule limn → +∞ (^1) n sen n. - Indique os limites das seguintes sucessões e comprove o resultado a partir da definição de limite:
(a) (3−n)n ∈ N (b) ( (^) n 2 1+n^2
n ∈ N^ (c)
((−1)n n+
n ∈ N^ (d)^
(log ( (^) n 1+n
n ∈ N
- Dê exemplo de uma sucessão: (a) que convirja para 1 e cujos termos sejam todos maiores do que 1. (b) que não convirja e cujos termos estejam todos entre 32 e 1. (c) que convirja para um limite que não seja maior do que todos os termos da sucessão nem menor do que todos os termos da sucessão. (d) que convirja e não seja crescente nem decrescente.
- Dê exemplo de sucessões (an)n ∈ N e (bn)n ∈ N tais que (an)n convirja para 0 , (bn)n não seja majorada e se tenha também: (a) (an bn)n ∈ N seja convergente para 0. (b) (an bn)n ∈ N seja convergente para um número diferente de 0. (c) (an bn)n ∈ N não seja majorada. (d) (an bn)n ∈ N não seja majorada nem minorada.
(d) (r nn )n ∈ N, se r > 0. (e) (r nn! )n ∈ N, se r > 0. (f) ( √na)n ∈ N, sendo a > 0. (g) ( √nn)n ∈ N. (h) ( √nn^2 + n)n ∈ N. (i) ( √nan^ + bn)n ∈ N, onde a, b ∈ R+ 0.
- Seja (an)n ∈ N uma sucessão de números não nulos tal que existem 0 < C < 1 e N 0 ∈ N satisfazendo
n > N 0 ⇒ 0 < ∣∣a an+1n^ ∣∣^6 C. (a) Prove que limn → +∞ an = 0. (b) Aplique (a) para obter (i) (^) n →lim +∞^ a nn = +∞ se a > 1 (ii) (^) n →lim +∞ a^ nn! = +∞ se a > 0 (iii) (^) n →lim +∞ n^ nn! = 0
- Calcule os limites das sucessões: (a) limn → +∞ √n| sen n| + 1. (b) limn → +∞ √dnn , onde dn designa o número de divisores positivos de 3 n. (c) limn → +∞ P( nn ), onde P(n) designa o cardinal do conjunto de primos que dividem n. (d) limn → +∞ (^) n+2n!n. (e) limn → +∞
n + 1 − √n
n + 3. (f) limn → +∞ √^ n√n^7 (g) limn → +∞ arctg^ (^1 −^1 e 1 n^ ) (h) limn → +∞ n − √n + 2 √n + 3
- Seja (xn)n ∈ N a sucessão de números reais definida recursivamente por
x 1 = 1 e xn+1 = 1 + x 2 n. (a) Calcule os 5 primeiros termos da sucessão. (b) Prove que (xn)n ∈ N é monótona e limitada. (c) Determine o limite da sucessão.
- Considere a sucessão (xn)n ∈ N definida por x 1 = 1 e xn+1 = 1 + (^) x^1 n para cada n > 1. (a) Calcule os seis primeiros termos da sucessão. (b) Mostre que a subsucessão dos termos ímpares é estritamente crescente, que a subsucessão dos termos pares é estritamente decrescente e que qualquer termo ímpar é estritamente menor do que qualquer termo par. (c) Verifique que para cada n ∈ N se tem |xn+2 − xn+1| = (^) xn+1^1 xn |xn+1 − xn| e deduza daí que |xn+2 − xn+1| < (^) x^1 n 3 |x 2 − x 1 |. (d) Conclua que (xn)n ∈ N converge e calcule o seu limite.
- Dada uma função contínua f : [a, b] → [a, b], a órbita de x 0 ∈ [a, b] por f é a sucessão (xn)n ∈ N 0 definida pela relação de recorrência xn = f (xn− 1 ) ∀ n ∈ N. (a) Mostre que se a órbita de x 0 por f for convergente então o seu limite é um ponto fixo de f. (b) Considere uma função contínua g : [a, b] → [a, b] tal que f ◦ g = g ◦ f. Mostre que se x 0 ∈ [a, b] for um ponto fixo de g, então todos os pontos da órbita de x 0 por f são pontos fixos de g. (c) Suponha f crescente. Mostre que a órbita por f de qualquer ponto de [a, b] é uma sucessão monótona. (d) Nas hipóteses de (b) e (c), mostre que f e g têm um ponto fixo em comum.
- Seja (an)n ∈ N a sucessão definida por
n ∈ N 7 → an = n
∣sen (nπ 2
Diga, justificando, se cada uma das afirmações seguintes é verdadeira: (a) O conjunto {an | n ∈ N} tem supremo. (b) O conjunto {an | n ∈ N} tem mínimo. (c) (an)n ∈ N é limitada. (d) (an)n ∈ N é monótona. (e) (an)n ∈ N é convergente. (f) (an)n ∈ N admite uma única subsucessão constante. (g) Toda a subsucessão monótona de (an)n ∈ N é convergente. (h) Toda a subsucessão limitada de (an)n ∈ N é convergente.
- Diga, justificando, se cada uma das afirmações seguintes é verdadeira: (a) Se uma sucessão de números reais tem limite +∞, então é crescente a partir de certa ordem. (b) Se uma sucessão (an)n ∈ N converge para sup {an | n ∈ N}, então existe k ∈ N tal que (an)n>k é crescente. (c) Se uma sucessão de inteiros converge, então é constante a partir de certa ordem.
- Considere um número real x e associe-lhe a sucessão a 0 = bxc ∈ Z a 1 = b10 (x − a 0 )c ∈ N an+1 = b 10 n+1^ (x − a 0 − 10 a^1 − · · · − 10 ann )c ∈ N (a) Verifique que ak ∈ { 0 , 1 , 2 , · · · , 9 }^ para todo o k ∈ N. (b) Prove que x = limn → +∞^ (a 0 + a 101 + · · · + 10 ann^ ). (c) Mostre que, reciprocamente, toda a dízima representa um número real.
- Use a caraterização de limites em termos de sucessões para mostrar a inexistência dos seguintes limites: (a) limx → +∞ cos^2 x. (b) limx → +∞ x sen x. (c) limx → 0 + sen(1 x /x). (d) limx → +∞ log (| cos x| + (^1) x^ ).
- Sejam a 0 e b 0 números reais não negativos, sendo a 0 6 b 0. Considere as sucessões definidas por
an+1 = √an bn e bn+1 = an^ + 2 bn. (a) Verifique que, para todo o natural n, a 0 6 a 1 6 a 2 6 · · · 6 an 6 bn 6 · · · 6 b 2 6 b 1 6 b 0. (b) Sejam e L os limites de (an)n ∈ N e de (bn)n ∈ N (por que existem?). Conclua que = L.
- Seja (an)n ∈ N uma sucessão de números naturais. (a) Prove que são equivalentes: (1) limn → +∞ an = +∞. (2) ∀ k ∈ N {n ∈ N : an = k}^ é finito. (3) ∀ F ⊂ N finito tem-se {n ∈ N : an ∈ F } finito. (b) Conclua que, se (an)n ∈ N é injetiva, então limn → +∞ an = +∞.
- Derivadas
- Determine f ′^ em termos de g′, sendo g : R → R uma função derivável: (a) f (x) = g(x + g(0)) (b) f (x) = g(x g(0)) (c) f (x) = g(x + g(x)) (d) f (x) = g(x g(x)) (e) f (x + 3) = g(x^2 ).
(a) Sejam f : R → R e g : R → R funções tais que g é contínua em 0 e f (x) = xg(x) para todo o x ∈ R. Prove que f é derivável em 0. (b) Mostre que, reciprocamente, se f : R → R é derivável em 0 e f (0) = 0, então existe uma função g : R → R contínua em 0 tal que f (x) = xg(x) para todo o x ∈ R.
- Calcule, usando a definição de derivada num ponto: (a) f ′(0), se f (x) = 3x^2 − 1 (b) f ′(−1), se f (x) = x^3 (c) f ′(0), se f (x) = x |x| (d) f ′(2), se f (x) = (^) x−^11 (e) f ′(0), se f (x) = x √x (f ) f ′(5), se f (x) = (^) x^12
- Calcule, se existirem, os limites das sucessões: (a) limn → +∞ n ( (^) √n 3 − 1
(b) limn → +∞ n^2 sen^ (^1 n − (^) n+2^1 ) (c) limn → +∞ n sen^ ((− n1)n^ )
- Sejam f : R → R e g : R → R duas funções. Prove que: (a) Se f e g são contínuas em a então max {f, g} e min {f, g} também são. (b) Se f e g são deriváveis em a e f (a) 6 = g(a) então max {f, g} e min {f, g} também são. (c) Dê exemplo que confirme que a hipótese f (a) 6 = g(a) é essencial para garantir a afirmação na alínea anterior.
- Seja f : x ∈ R 7 → x^3 + 2. Determine f −^1 e calcule f ′(f −^1 (2)). Conclua que f −^1 não é derivável em 2 e interprete geometricamente esta conclusão.
- Considere as funções cosseno hiperbólico e seno hiperbólico
x ∈ R 7 → cosh(x) = ex^ + 2 e−x e x ∈ R 7 → senh (x) = ex^ − 2 e−x. (a) Prove que: (i) cosh′^ = senh e senh ′^ = cosh. (2i) Se tgh = senh cosh , então tgh′^ = (^) cosh^12 e tgh^2 + (^) cosh^12 = 1. (3i) As funções senh e tgh são injectivas. (b) Determine as derivadas das funções inversas de senh e tgh. (c) Esboce os gráficos de senh , cosh e tgh.
- Determine uma equação da: (a) Reta tangente ao gráfico da função x ∈ R 7 → 2 x^2 − 1 no ponto (− 1 , 1). (b) Reta tangente ao gráfico de f (x) = x + (^1) x no ponto (1, 2).
(a) Verifique que a função f (x) = x^3 + 2x é estritamente crescente em R. Calcule (f −^1 )′(0) e (f −^1 )′(3). (b) Prove que a função g(x) = 3 − x − 2 x^3 é estritamente decrescente em R. Determine (g−^1 )′(3) e (g−^1 )′(0). (c) Mostre que a função h(x) = x^2 −x+1 é estritamente crescente em ]^12 , +∞[. Determine ((h|] 12 ,+∞[^ )−^1 )′(3) e ((h|] 12 ,+∞[^ )−^1 )′(7).
- Calcule: (a) sen^ ( arcsen √ 23 ) (b) cos (arcsen 45 )^ (c) tg (arctg 34 ) (d) (arctg ( (^1) x ))′^ (e)^ (^ arccos (^1 x (^2) −1)^ )′ (f ) (arcsen (x^2 − 1))′
- Considere a função x ∈ [0, π 2 ] 7 → f (x) = sen(x) − cos (x). (a) Prove que f é injetiva. (b) Determine (f −^1 ) ′(0).
- Seja f : R → R uma bijeção derivável cuja derivada não se anula e é contínua. Prove que a derivada da inversa de f é contínua.
- Considere a função f (x) = π − 2 arcsen (√x). (a) Determine o domínio e o contradomínio de f. (b) Resolva a equação f (x) = π 2. (c) Calcule f ′(^12 ) e (f −^1 )′(π 2 ). (d) Determine a função f −^1.
- Considere a função f (x) = arcsen √^1 x. (a) Determine o domínio e o contradomínio de f. (b) Resolva a equação f (x) = π 4. (c) Indique uma equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 2. (d) Mostre que f −^1 é derivável em π 4 e calcule (f −^1 )′(π 4 ). (e) Determine a função f −^1.
(a) Mostre, com exemplos adequados, que as condições f (x) 6 g(x) 6 h(x) ∀ x ∈ R f ′(x 0 ) = h′(x 0 )
não garantem a existência de g′(x 0 ) ou, no caso de existir, que se tenha f ′(x 0 ) = g′(x 0 ) = h′(x 0 ). (b) Que hipótese adicionaria às duas condições anteriores para que essa implicação funcionasse?
(a) Seja α > 1. Mostre que se f : R → R satisfaz a condição ∀ x ∈ R |f (x)| 6 |x|α então f é derivável em 0. O que pode concluir se α = 1? (b) Seja 0 < β < 1. Mostre que se f (0) = 0 e f satisfaz a desigualdade ∀ x ∈ R |f (x)| > |x|β então f não é derivável em 0.
(a) Mostre que se f : R → R é duas vezes derivável e se tem f ′′^ + f = 0 e f (0) = 0 = f ′(0), então f ≡ 0. (b) Prove que se f : R → R é duas vezes derivável e se tem f ′′^ + f = 0 e f (0) = a, f ′(0) = b, então f = a cos + b sen. (c) Mostre que, fixada uma constante ω ∈ R, se f : R → R satisfaz a equação f ′′^ + ω^2 f = 0, então existem a, b ∈ R tais que f (x) = a cos (ωx) + b sen(ωx) para todo o x ∈ R. (d) Deduza as identidades trigonométricas seguintes: ∀ x, y ∈ R sen(x + y) = sen(x) cos (y) + cos (x) sen(y) ∀ x, y ∈ R cos (x + y) = cos (x) cos (y) − sen(x) sen(y)
Construa exemplos de funções que são r > 1 vezes deriváveis em R mas não são r + 1 vezes deriváveis em algum ponto do domínio.
Determine: (a) limx → 0 √^2 − sen√1+cos (^2) x^ x (b) limx → 12 (√5 ) 1 x (c) limx→ 0 +^ √x log x.
(a) Prove que as funções seguintes atingem valores máximo e mínimo globais nos intervalos indicados e calcule-os, assim como os pontos onde são atingidos. (i) f (x) = −x^3 + 1 no intervalo [− 1 , 8]. (ii) f (x) = √3 cos (x − π 3 ) no intervalo [0, π]. (iii) f (x) = 6x^4 /^3 − 3 x^1 /^3 no intervalo [− 1 , 1]. (b) Verifique ainda quais destas funções admitem máximo e mínimo em R.
- Confirme que as conclusões do Teorema de Lagrange não se verificam para as seguintes funções e intervalos. Explique, em cada caso, por que razão isso não contradiz o teorema. (a) f (x) = |x|, x ∈ ] − 1 , 3[ (b) f (x) = x + (^1) x , x ∈ ] − 1 , 2[ (c) f (x) = (^) xx−^21 , x ∈ ]0, 2[
- Deduza do Teorema de Lagrange que:
(a) ∀ x ∈ [0, +∞[ √x 6 x^ + 1 2 (b) ∀ x ∈ R | sen x| 6 |x| (c) 19 < √ 66 − 8 < (^18)
- Prove que não existe uma função f : R → R derivável cuja derivada seja g : R → R x 7 →
{ 1 se x 6 = 0 0 se x = 0
- Seja f : R → R uma função derivável. Mostre que: (a) Se a < b e f ′(a)f ′(b) < 0 , então existe c ∈ ]a, b[ tal que f ′(c) = 0. (b) Se a < b e d é um número real entre f ′(a) e f ′(b), então existe c ∈ ]a, b[ tal que f ′(c) = d.
- Dê exemplo de função f : R → R derivável tal que f ′^ não seja contínua.
- Seja f : R → R uma função derivável. Mostre que ∃ C > 0 : ∀ x, y ∈ R |f (x) − f (y)| 6 C|x − y| m ∀ x ∈ R |f ′(x)| 6 C.
- Para cada uma das seguintes propriedades, dê exemplo de uma função derivável f : D ⊆ R → R que a verifique ou explique por que não existe um tal exemplo: (a) f ′(x) = 0 para todo x ∈ D, mas f não é constante em D. (b) f ′(x) > 0 para todo x ∈ D, mas f não é estritamente crescente em D. (c) f tem um extremo local em x 0 e f ′(x 0 ) 6 = 0. (d) f é estritamente crescente em D, mas não verifica f ′(x) > 0 para todo o x ∈ D. (e) f é estritamente decrescente, mas não verifica f ′(x) 6 0 para todo x ∈ D.
- Determine o conjunto de parâmetros λ ∈ R tais que a função x ∈ R 7 → x^2 + cos x + λ tem dois zeros reais distintos.
- Calcule os seguintes limites: A. (a) limx → 2 33 xx^22 −−^57 xx−+2^2 (b) limx → (^1) xx (^33) +−xx (^22) −− 5 xx+1+3 (c) limx → π/ 2 1 − sencos x^ x (d) limx → 0 x 1 −−sencos xx (e) limx → (^0) arcsenarctg^ x x (f ) limx → 0 ( log (1+arctgx^ x 2 ))^2 (g) limx → 1 / 2 +^ √log 2^2 x−x^1 (h) limx → +∞^ sen (^1) x^ x^4 (i) limx → +∞^ arctg sen (^1) x^1 x B. (a) limx → +∞ (^2) x 3 x+^3 +2x (^2) −x+2 3 x+1 (b) limx → (π/2)− (^) log (costg^ x x) (c) limx → (π/2)− log ( tgtg x^ x) (d) limx → 1 + (^) log (log (xx 2 −−1)1) (e) limx → +∞ (^) (xx^ log+1)^ x 2 (f ) limx → +∞ log (x x+ex) (g) limx → +∞ exe+logx+x^ x (h) limx → 0 + loge 1 /x^ x (i) limx → 0 +^ (^ sen^1 x − (^1) x^ ) C. (a) limx → 0 +^ (sen x)(log x) (b) limx → 0 +^ x^3 e^1 /x^ (c) limx → 0 +^ (^ ex^1 − 1 − (^1) x^ ) (d) limx → 0 +^ (^ x^1 − (^) x sen^1 x^ )^ (e) limx → 1 (^ log^1 x − (^) x−x 1 ) (f ) limx → +∞ x^1 /x (g) limx → 0 (1 + (^) x^12 )x^2 (h) limx → 0 + (cos x)^1 /x^ (i) limx → 0 + (ex^ + x)^1 /x (j) limx → 0 + xx^ (k) limx → 0 + (sen x)x^ (l) limx → 0 +^ (^ log(1 + x))x
- Determine f ′(0) se f : R → R é dada por
f (x) =
{ (^) g(x) 0 x^ sese^ xx^6 = 0= 0 sendo g : R → R uma função tal que g(0) = g′(0) = 0 e g′′(0) = 17.
- Considere a função f (x) = ex^ sen x, x ∈ R. (a) Verifique que f (−π/2) < −e−π^ < f (0). (b) Mostre que existe x ∈ [−π 2 , 0] tal que f (x) = −e−π. (c) Confirme que f ′(−π 4 ) = 0 e f ′′(−π 4 ) > 0. Pode concluir que x = −π 4 é um extremo local de f?
como os pontos onde são atingidos.(d) Prove que^ f^ atinge valores máximo e mínimo (absolutos) no intervalo^ [−π^2 ,^ 0]^ e calcule-os, assim (e) A função f tem máximo (absoluto) em R?
Faça o estudo de cada uma das seguintes funções, determinando o domínio, os zeros e a variação do sinal, as assíntotas, os intervalos de monotonia e os máximos ou mínimos locais, pontos de inflexão e variação da concavidade do gráfico. (a) f (x) = −x^3 + 3x (b) f (x) = 13 x^3 + x + 2 (c) f (x) = −x^4 + 6x^2 + 2 (d) f (x) = x + (^1) x (e) f (x) = (^) x18( (^2) +2x−x+11) (f ) f (x) = x^2 x+2 (^2) +1x+ (g) f (x) = log (x^2 + 2x + 2) (h) f (x) = e^1 /x^ (i) f (x) = (^12 )^1 /x Use a informação obtida para fazer um esboço do gráfico.
