Section 11.5 Binomial Theorem
Binomial Coefficients
Definition:
!
!( )!
n
j
nn
Cjjn j
โโ
==
โโ โ
โโ ,
where (recursive) or
!(1nnn=โ
โ)! 1!(1)(2)32nnn n
=
โ
โโ
โโ
โ
โ
โ
" (direct).
Notice: 1!=1 and 0!=1 (This is the definition.)
Remark: The above notation is read as โn taken j at a timeโ or โn choose jโ. The number
gives the different possible combination one could have if he wants to choose j items from
n different items. For example, if you have 52 different cards, you want to draw 5 (a hand)
from them. Then you could have 52
5
52 52! 62,375,040
55!47!
Cโโ
== =
โโ
โโ distinct possible
combinations. You can use this method to calculate your chance of winning a lottery.
Whatโs your chance to become a millionaire overnight?
Binomial Theorem
z
00 11
()01
nn n njj n
nn n n
ab a b ab a b a b
jn
โโ โ
โโ โโ โโ โโ
+= + ++ ++
โโ โโ โโ โโ
โโ โโ โโ โโ
""
nnโ
n
b
n
11 1
11
01 1
nn njj n
nn n n n
aab ab ab
jn
โโ โ
โโ โโ โโ โ โ โโ
= + ++ ++ +
โโ โโ โโ โ โ โโ
โ
โโ โโ โโ โ โ โโ
""
0
nnj j
j
nab
j
โ
=
โโ
=โโ
โโ
โ
Notice: The operation in the parenthesis must be regarded as summation even if we want
to expand ()
n
abโ
Exercise 1
โ
โ
โ
โ
