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BIOESTÁTICA Y LOCOMOCIÓN
EL CENTRO DE MASAS:
Para un sistema formado por un conjunto N de partículas, se puede definir un punto especial llamado centro de masas, que es un promedio ponderado de esas N partículas. Para el caso de partículas de igual masa, el centro de masas es simplemente, la posición promedio, como puede verse si se ponen todas las masas m iguales a un cierto valor m. r CM
i N i N^ i i i N i i^ i
m r
M
m
m r
1 . 1
r CM =^ (^) i N i
r
N 1
Para componentes con masas desiguales, el centro de masas se sitúa más cerca de la masa más grande. Ejemplo: si las partículas son iguales, el centro de masas es simplemente el punto intermedio entre las dos, mientras que cuando una de ellas, por ejemplo , es mucho mayor que la otra, tenemos: Si tenemos el sistema tierra – sol, el centro de masa se sitúa mas cerca de la partícula mas pesada, el sol. r CM =^ 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 r m m r m m m r m r
Para sistemas con cierta simetría, el centro de masas se encuentra siempre en el centro, el eje o el plano de simetría. Para un sistema formado por varios cuerpos extensos, el centro de masas se calcula como si cada uno de ellos fuera puntual y toda su masa estuviera concentrada en su centro de masas. El centro de gravedad se define del mismo modo que el centro de masas pero ponderando con lo pesos de las partículas y no con las masas. Para el caso de cuerpos sobre la superficie terrestre cuyas dimensiones sean pequeñas en comparación con las de la Tierra, el peso es siempre igual a mg con g constante, por lo que coincide centro de masa con centro de gravedad.
Momento de una Fuerza Para tener en cuenta los posibles movimientos de rotación hay que analizar también los momento de las fuerzas. Se define el momento de una fuerza con respecto a un punto o como: el producto vectorial del vector posición por la fuerza. El momento de una fuerza respecto de un punto es, por lo tanto, un vector normal al plano que forman las fuerzas y el punto, dirigido según la regla correspondiente. El módulo del momento es r , es decir, igual a F.d , donde d es la distancia en perpendicular desde el punto a la recta de acción de la fuerza.
- M (^) ( F , o ) F x r
Para un conjunto de partículas, el momento angular total se define como la suma de los momentos angulares de cada una de ellas respecto a un mismo punto O: Momento de Inercia : Consideremos un cuerpo o conjunto de partículas moviéndose alrededor de un eje, que escogeremos como eje Z, con velocidad angular constante. Fijando el origen de coordenadas en un punto O cualquiera del eje y centrándonos en una de las partículas, vemos que el movimiento de esta es circular uniforme alrededor del eje en cuestión, con una velocidad angular w tal que: N L r i 1 x mi v i
En cada instante el momento angular respecto del origen será un vector perpendicular al plano que forman y Para un sistema de partículas Para un cuerpo continuo Cuando la partícula se mueve, el momento angular va girando alrededor de Z formando un cono de ángulo. La única componente del momento angular que se mantiene constante a lo largo del tiempo es la componente z. Llamaremos momento angular respecto de un eje a su componente a lo largo de dicho eje. En este caso: Siendo R la distancia en perpendicular desde la partícula al eje. r v 90 2 z L Lsen mrvsen mRv mR w
Conservación del momento angular Vamos a analizar su variación con el tiempo. Para el caso de una sola partícula, tenemos: La relación anterior indica que cuando el momento de las fuerzas externas no es nulo, el momento angular varía en el tiempo, por el contrario, en ausencia de momento de las fuerzas externas, L se conserva, es decir, se mantiene constante en el transcurso del tiempo. Esto se conoce como ley de conservación del momento angular. Esto puede ocurrir en dos situaciones posibles:
- La fuerza es cero
- La fuerza no es cero, pero su momento si lo es (^ y^ tienen la misma dirección). r dt d dt d L ( x m v ) = dt d r x m v + r x ( ) m v dt d = v x m v + r (m ) a rxF dt d L = M
- Para un sistema formado por n partículas: Si el momento total de todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo es cero, el momento angular es una constante del movimiento. En general, las fuerzas que actúan sobre cada partícula de un cuerpo compuesto son la superposición de fuerzas externas e internas. Las fuerzas internas son siempre entre partículas u van dirigidas según las líneas que las une, de forma que el momento de todas ellas es cero, y en consecuencia, en la ecuación anterior las únicas fuerzas que hay que considerar son las externas.
Equilibrio en Personas y Animales
Para comenzar tomemos el caso de una persona, si se mantiene rígida la articulación del pié con el tobillo, el equilibrio se consigue cuando la vertical del centro de masas de la persona cae sobre la superficie limitada por los dos pies. La articulación se mantiene rígida gracias a las fuerzas de los músculos que se insertan en el talón a través del tendón de Aquiles. Mantener el equilibrio mientras nos movemos es difícil y requiere un control neurológico complejo y evolucionado.
Las fuerzas que actúan en este caso son el peso de la persona y las fuerzas de contacto en los dos pies. Las condiciones de equilibrio son: La palanca : Una palanca es un sistema formado por una barra rígida apoyada en un pivote sobre la que actúan dos fuerzas, a las que normalmente se asigna el carácter de peso y fuerza externa.
R 1 R 2 mg 0
R 1 d 1 R 2 d 2 0
Palanca de Segundo Género
2- Palanca de segundo género : El peso está entre el punto de apoyo y la fuerza, en este caso vertical hacia arriba. La expresión que da la fuerza es la misma que el caso anterior, de donde se sigue que es siempre menor que el peso del cuerpo, pero el desplazamiento generado es pequeño. Extensión plantar del cuerpo
3- Palanca de tercer género: Es la fuerza aplicada la que se encuentra entre el punto de apoyo y el peso. La fuerza que hay que hacer en este caso es mayor que el peso, debido a que es mayor que , pero se genera una gran movilidad. Flexión del brazo por la acción del bíceps branquial sobre el radio.
2- Calcular el centro de masas de un triángulo rectángulo homogéneo. Es un sistema de dos dimensiones donde los ejes X e Y coinciden con los dos lados perpendiculares del triángulo. Considerar: x + h. Respuesta: ,
Desarrollo:
