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Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales
Integrales definidas e indefinidas
En la primera parte del teorema fundamental del cálculo, se obtiene un método para evaluar la integral definida de una función, en esta sección encontrarás algunas fórmulas de las antiderivadas que se usarán para evaluar integrales definidas.
Debido a la relación que existe entre las antiderivadas y las integrales, se usa la notación para una
antiderivada de f y se llama integral indefinida.
definidas e indefinidas
Integrales
De esta forma:
significa
Por ejemplo, podemos escribir
porque
Podemos considerar una integral indefinida como la representante de una familia entera de funciones, es decir,
una antiderivada para cada valor de la constante C. Debes tener mucho cuidado en no confundir las integrales
definidas y las indefinidas.
Una integral definida es un número. En tanto que una integral indefinida^ es una función (o familia de funciones).
Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales
Integrales definidas e indefinidas
−
x a b
f ( x )
y
x 0 1
1
- - - -
-3 -2 2
2
3
3
y
Integral definida Integral indefinida
Tabla 1. Fórmulas de derivación e integración.
La eficacia del teorema fundamental depende de que se cuente con un suministro de antiderivadas de funciones. Para ello, en la siguiente tabla se resumen las principales fórmulas de derivación e integración:
Fórmulas de derivación Fórmulas de integración
Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales
Integrales definidas e indefinidas
Las aproximaciones definidas en las ecuaciones anteriores son las de punto final izquierdo y derecho, respectivamente. Sin embargo, parece que al utilizarlas usando un punto medio, se obtiene un mejor resultado, como puede verse en la siguiente figura.
Se puede ver que se ha hecho una aproximación al área debajo de una recta, utilizando el punto final derecho ( a ), el punto final izquierdo ( b ) y el punto medio ( c ). Esta última resulta ser la más adecuada. Por ello, se tiene la regla del punto medio para aproximar integrales.
Tenemos otra aproximación llamada regla del trapecio, la cual resulta de promediar las ecuaciones de punto final izquierdo y derecho:
Después de realizar algunas operaciones algebraicas, obtenemos la regla del trapecio.
x
y y
x
y
x a) b) c)
Regla del punto medio para aproximar integrales
En donde:
, que es el punto medio de
Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales
Integrales definidas e indefinidas
Puedes darte cuenta por ti mismo de la razón del nombre regla del trapecio en la siguiente gráfica.
Regla del trapecio para aproximar integrales
En donde:
a (^) b
x
y
