Limit and Convergence of Sequences, Lecture notes of Calculus

Download Limit and Convergence of Sequences and more Lecture notes Calculus in PDF only on Docsity!

Chương 2. Dãy số

Phạm Quý Mười

Đà Nẵng, Tháng 10, 2020

Toán học

Contents

1 Dãy số và tính hội tụ

2 Các định lí về giới hạn

3 Giới hạn vô cùng

4 Dãy đơn điệu

5 Dãy Cauchy

Toán học

Dãy hội tụ và giới hạn của dãy

Định nghĩa

Một dãy { an } hội tụ đến một số thực A nếu với mỗi số thực ε > 0 , tồn tại một số tự nhiên n ∗^ sao cho

| an − A | < ε với mọi n ≥ n ∗.

A đ.g.l giới hạn của dãy { an } và chúng ta viết lim n →∞ an = A.

Toán học

Một số ví dụ

Ví dụ

Cho dãy { an } với an = (^) n + n 1. Chứng minh rằng lim n →∞ an = 1.

Ví dụ

Cho dãy { bn } với bn = n (^2) − 2 3 n^3 − n − 1.^ Chứng minh rằng^ lim n →∞^ bn^ =^0.

Định lý

Giới hạn của một dãy số (nếu tồn tại) là duy nhất.

Toán học

Một số lưu ý

a) Hai dãy { an } và { bn } trùng nhau nếu chúng có cùng một giá trị ở cùng thứ tự trong dãy. b) Nếu hai dãy chỉ khác nhau ở một số hữu hạn số hạng thì cả hai cùng hội tụ đến một giới hạn hoặc cùng phân kì. c) Dãy { an }∞ n = 1 hội tụ đến A khi và chỉ khi với bất kì k ∈ N dãy { an }∞ n = k hội tụ đến A. d) Dãy { an } hội tụ đến A khi và chỉ khi với mỗi số thực ε > 0 , tồn tại một số tự nhiên n ∗^ sao cho

| an − A | < k ε với mọi n ≥ n ∗,

với k là một số thực dương cố định.

Toán học

Dãy bị chặn. Dãy không bị chặn

Định nghĩa

Dãy { an }∞ n = 1 bị chặn nếu tồn tại một số thực M > 0 sao cho | an | ≤ M với mọi n ∈ N. Ngược lại dãy { an } không bị chăn.

Các khái niệm về dạy bị chặn trên, bị chặn đưới, không bị chặn trên, không bị chặn dưới được định nghĩa tương tự.

Định lý

Một dãy hội tụ thì bị chặn.

Toán học

Sự hội tụ của dãy { r n }

Định lý

Nếu r là một số thực với | r | < 1 thì lim n →∞ r n^ = 0.

Định lý

lim n →∞ an = 0 khi và chỉ khi lim n →∞ | an | = 0.

Toán học

Tính chất cuối cùng đúng

Định nghĩa

Một tính chất P ( x ) cuối cùng đúng nếu tồn tồn tại số thực M > 0 sao cho P ( x ) đúng với mọi x ≥ M.

Toán học

Các định lí về giới hạn (1)

Định lý

Nếu hai dãy { an } và { bn } tương ứng hội tụ đến A và B (hữu hạn) thì a) lim n →∞( an ± bn ) = A ± B. b) lim n →∞ anbn = AB (Từ đây suy ra lim n →∞ can = cA). c) lim n →∞ a bnn = AB nếu B 6 = 0. d) lim n →∞ apn = Ap^ với p ∈ N. e) lim n →∞ k

an = k

A nếu an ≥ 0 với mọi n ∈ N và k ∈ N. f) nếu an ≤ bn với mọi n ≥ n 1 ∈ N thì A ≤ B.

Toán học

Ví dụ về tính giới hạn và một số lưu ý

Ví dụ

Tính lim n →∞

3 n^2 + 1 2 n + 1.

Chú ý

Ta có a) lim n →∞ sin (^1) n = 0 và lim n →∞ cos (^1) n = 1. b) Tổng quát, nếu lim n →∞ an = 0 thì lim n →∞ sin( an ) = 0 và lim n →∞ cos( an ) = 1.

Toán học

Các ví dụ và bài tập

Các bài tập từ 11 đến 21.

Toán học

Giới hạn vô cùng

Định nghĩa

Dãy { an } phân kì đến +∞ (dần đến +∞) nếu với bất kì số thực M > 0 , tồn tại n ∗ ∈ N sao cho an ≥ M với mọi n ≥ n ∗. Trong trường hợp này, chúng ta nói giới hạn tồn tại và lim n →∞ an = +∞.

lim n →∞ an = −∞ được định nghĩa tương tự.

Định lý

Nếu dãy { an } phân kì đến +∞ và an ≤ bn với mọi n ≥ n 1 , thì dãy { bn } cũng phân kì đến +∞.

Ví dụ

Chứng minh rằng lim n →∞ r n^ = +∞ với r > 1.

Toán học

Một số tính chất của dãy có giới hạn vô cùng (1)

Định lý

Nếu dãy { an } phân kì đến +∞ và dãy { bn } bị chặn dưới bởi K , thì a) { an + bn } phân kì đến +∞. b) { anbn } phân kì đến +∞ nếu K > 0. c) { can } phân kì đến +∞ với mọi hằng số dương c. d) { can } phân kì đến −∞ với mọi hằng số âm c.

Chú ý

Nếu lim n →∞ an = +∞ và lim n →∞ bn = L , thì ta có lim n →∞( an ± bn ) = lim n →∞ an ± lim n →∞ bn = +∞.

Toán học

Một số tính chất của dãy có giới hạn vô cùng (2)

Định lý

Cho dãy { an } với an > 0 với mọi n. Khi đó, dãy { an } phân kì đến +∞ khi và chỉ khi dãy { (^) a^1 n } hội tụ về không.

Định lý

Cho { an } với an 6 = 0 với mọi n và lim n →∞

∣∣ an + 1 an

∣∣ = α (α là hằng số ).

a) Nếu α < 1 thì lim n →∞ an = 0. b) Nếu α > 1 thì lim n →∞ | an | = +∞. c) Nếu α = 1 thì { an } có thể hội tụ, phân kì đến cộng hoặc trừ vô cùng hoặc không tồn tại giới hạn.