Download Calculus Exercises: Partial Derivatives, Critical Points, and Optimization and more Exercises Calculus in PDF only on Docsity!
Calculus Ugesedel 5
Thorarinn Thorarinsson
29. september 2021
U
Betragt funktionen f givet ved f (x, y) = 6 â 3 x â 3 y + x^2 + xy + y^2.
a
Beregn de partielle afledede af funktionen f , og angiv fy.
fx = â3 + 2x + y og fy = â3 + 2y + x
b
Beregn det kritiske punkt, hvor y = 1.
Vi skal bestemme x sËaledes at følgende ligning er sand:
âf (x, 1) = (â2 + 2x, â1 + x) = (0, 0)
Hvilket er opfyldt nËar x = 1. Dermed har vi at (x, y) = (1, 1) er et kritisk punkt.
c
Beregn den vĂŚrdi som f antager i punktet (1, 1).
f (1, 1) = 6 â 3 â 1 â 3 â 1 + 1^2 + 1 â 1 + 1^2 = 3
d
Beregn de dobbelt partielle afledede.
â^2 f âx^2
âx
fx =
âx
â 3 + 2x + y = 2
â^2 f ây^2
ây
fy =
ây
â 3 + 2y + x = 2
â^2 f âxây
âx
fy =
âx
â 3 + 2y + x = 1
e
Udregn teststørrelsen D i andenordenskriteriet.
D =
â^2 f âx^2
â^2 f ây^2
â^2 f âxây
f
Bestem arten af det kritiske punkt.
Da D > 0 og â
(^2) f âx^2 = 2^ >^ 0, sËa har vi pr SĂŚtning 3.59 at det kritiske punkt er et lokalt minimumspunkt for f.
U
Find de lokale maxima, minima og saddelpunkt for funktionen
f (x, y) = x^4 + y^4 â 4 xy + 1
Vi starter med at bestemme gradienten af f :
âf (x, y) = (fx, fy) = (4x^3 â 4 y, 4 y^3 â 4 x) = 4(x^3 â y, y^3 â x)
De eneste punkter som kan fËa gradienten til at forsvinde, og er dermed kritiske punkter, er:
P 0 = (0, 0), P 1 = (1, 1) og P 2 = (â 1 , â1)
= (2x(10y â 5 â 2 x^2 ), 2(5x^2 â 4 y â 4 y^3 ))
Vi skal finde de punkter som fËar gradienten til at forsvinde, altsËa vi skal finde alle kritiske punkter. Pr nul-reglen er fx lig 0, hvis:
x = 0 eller (10y â 5 â 2 x^2 ) = 0
Hvis x = 0, sËa ser vi at:
fy(0, y) = 2(â 4 y â 4 y^3 )
Hvilket kan kun give 0, hvis y = 0. Hvis vi er i tilfĂŚldet, hvor:
10 y â 5 â 2 x^2 = 0
SËa kan vi isolere for x^2 , som vi kan sËa indsĂŚtte i fy:
x^2 = 5y â
IndsĂŚttes dette ind i fy fËar vi:
2(4y^3 â 21 y + 12.5) = 0
Løser man ovenstËaende ligning fËar vi y vĂŚrdierne:
y = 0. 6468 eller y = 1. 8984
(Der er faktisk ogsËa en negativ y vĂŚrdi, men det kommer til at give en imaginĂŚr x koordinat, sËa den ignorer vi). IndsĂŚtter vi y ind i ligningen:
x^2 = 5y â
kan vi finde x-koordinaterne i vores kritiske punkter. (Husk at der vil vĂŚre to kritiske punkter til hver y vĂŚrdi):
(Âą 0. 8567 , 0 .6468) og (Âą 2. 6442 , 1 .8984)
Jeg viser hvordan man udregner teststørrelsen D i andenordenskriteriet for punktet (0, 0). Resten mËa I klare selv, dog skriver jeg det endelige resultat til sidst.
D = (20yâ 10 â 12 x^2 )(â 8 â 8 â 3 y^2 )â(20x)^2 |(x,y)=(0,0) = (â10)(â8)â(0)^2 = 80
Idet vi fËar en positiv vĂŚrdi, sËa evaluerer vi følgende:
â^2 f âx^2
SËa pr. SĂŚtning 3.59 er (0, 0) et lokalt maximumspunkt for f , idet D > 0 og â^2 f âx^2 (0,^ 0)^ <^ 0. Tilsvarende ser vi at:
er saddelpunkter.
er lokale maximums punkter.
Find den største og mindste vÌrdi som funktionen:
f (x, y) = x^2 â 2 xy + 2y
antager pËa mĂŚngden:
D = {(x, y) â R^2 : 0 ⤠x ⤠3 , 0 ⤠y ⤠2 }
Pr. SĂŚtning 3.66 antager f sin maximum og minimum idet f er kontinu- ert og er defineret over en lukket og begrĂŚnset mĂŚngde. Den kan antage disse ekstremer pËa punkter af type i), ii) og iii) (se SĂŚtning 3.66):
Type ii)
Vi starter med at bestemme gradienten af f for at se om der er nogen kritiske punkter. âf (x, y) = (2x â 2 y, â 2 x + 2)
Her ser vi at der er kun et kritisk punkt (x, y) = (1, 1), hvor f (1, 1) = 1.
D 3
NËar (x, y) â D 3 gĂŚlder der:
f (x, y) = f (0, y) = 2y
Hvilket antager sin største og mindste vÌrdi i ende punkterne:
f (0, 0) = 0 og f (0, 2) = 4
D 4
NËar (x, y) â D 4 gĂŚlder der:
f (x, y) = f (3, y) = â 4 y + 9
Hvilket antager sin største og mindste vÌrdi i ende punkterne:
f (3, 0) = 9 og f (3, 2) = 1 Vi kan nu endelig konkludere at f (x, y) antager sin største vÌrdi 9 og mindste vÌrdi 0.
Find den største og mindste vÌrdi som funktionen
f (x, y) = 1 + 4x â 5 y
antager pËa mĂŚngden:
D = {(x, y) â R^2 : 0 ⤠x, 0 ⤠y, 3 x + 2y ⤠6 }
Pr. SĂŚtning 3.66 antager f sin maximum og minimum idet f er kontinu- ert og er defineret over en lukket og begrĂŚnset mĂŚngde. Den kan antage disse ekstremer pËa punkter af type i), ii) og iii) (se SĂŚtning 3.66):
Type ii)
Vi starter med at bestemme gradienten af f for at se om der er nogen kritiske punkter. âf (x, y) = (4, â5)
Denne gradient vil aldrig forsvinde, sËa der er ingen kritiske punkter, altsËa ingen punkter af type ii).
Type iii)
Der er klart ingen punkter af type iii).
Type i)
Randen af D bestËar af mĂŚngderne:
D 1 = {(x, y) â R^2 : x = 0, 0 ⤠y ⤠3 }
D 2 = {(x, y) â R^2 : 0 ⤠x ⤠2 , y = 0} D 3 = {(x, y) â R^2 : 0 ⤠x, 0 ⤠y, 3 x + 2y = 6}
Vi skal nu tage dem en af gangen:
D 1
NËar (x, y) â D 1 gĂŚlder der:
f (x, y) = f (0, y) = 1 â 5 y
Hvilket antager sin største og mindste vÌrdi i ende punkterne:
f (0, 0) = 1 og f (0, 3) = â 14
D 2
NËar (x, y) â D 2 gĂŚlder der:
f (x, y) = f (x, 0) = 1 + 4x
Hvilket antager sin største og mindste vÌrdi i ende punkterne:
f (0, 0) = 1 og f (2, 0) = 9
D 3
NËar (x, y) â D 3 har vi x = 2 â 23 y, sËa der gĂŚlder:
f (x, y) = 1 + 4
y
â 5 y = â 9 y + 9
Hvilket antager sin største og mindste vÌrdi i ende punkterne:
f
= f (2, 0) = 9 og f
= f (0, 3) = â 14
Vi kan nu konkludere at f (x, y) antager sin største vÌrdi 9 og mindste vÌrdi -14.
D 1
NËar (x, y) â D 1 gĂŚlder der:
f (x, y) = f (1, y) = ây + 2
Hvilket antager sin største og mindste vÌrdi i ende punkterne:
f (1, 0) = 2 og f (1, 4) = â 2
D 2
NËar (x, y) â D 2 gĂŚlder der:
f (x, y) = f (x, 0) = 3 â x
Hvilket antager sin største og mindste vÌrdi i ende punkterne:
f (1, 0) = 2 og f (5, 0) = â 2
D 3
NËar (x, y) â D 3 har vi x = 5 â y, sËa der gĂŚlder:
f (5 â y, y) = ây^2 + 4y â 2
Vi kan nu bruge SĂŚtning 3.66 da f (5 â y, y) er kontinuert og defineret pËa en lukket og begrĂŚnset mĂŚngde. Vi bestemmer: d dy
f (5 â y, y) = â 2 y + 4
Som har et kritisk punkt for y = 2, hvilket giver en kritisk vĂŚrdi:
f (3, 2) = 2
Der er klart ingen punkter af type iii) og vi har allerede bestemt endepunk- terne. Vi kan nu konkludere at f (x, y) antager sin største vÌrdi 2 og mindste vÌrdi -2.
a
Gør rede for at funktionen
f (x, y) = |x| + y^2
antager en største og en mindste vĂŚrdi pËa mĂŚngden:
D = {(x, y) â R^2 : â 1 ⤠x ⤠1 , â 1 ⤠y ⤠1 }
f er kontinuert og er defineret pËa en lukket og begrĂŚnset mĂŚngde, sËa pr. SĂŚtning 3.66 antager f sin minste og største vĂŚrdi.
b
Gør rede for, at den mindste vĂŚrdi f antager pËa D, kun antages i punkter af type iii) fra SĂŚtning 3.66 (altsËa i punkter hvor gradienten forsvinder).
BËade |x| og y^2 kan kun antage ikke-negative tal, hvor den mindste vĂŚrdi de kan antage er 0, hvilket kun sker i punktet (x, y) = (0, 0). BemĂŚrk at den afledte af f mht. x eksisterer ikke for x = 0. Dermed kan f kun antage sit minimum 0 pËa et punkt af type iii).
