Download Calculus Techniques and Differentiation and more Cheat Sheet Mathematics in PDF only on Docsity!
- unitatea. Deribatuak. Deribazio teknikak
255. orrialdea
HAUSNARTU ETA EBATZI
Kurba batekiko ukitzaileak
n Grafikoari eta marrazturiko zuzenari begiratuz, kalkulatu f' (3), f' (9) eta f' (14).
f ' (3) = 0; f' (9) = ; f' (14) = 1
n Adierazi deribatua positiboa den beste hiru puntu.
x = – 4, x = –2, x = 0…
n Adierazi deribatua zero den beste puntu bat.
x = 11
n Adierazi deribatua negatiboa den beste bi puntu.
x = 4, x = 5…
n Adierazi “ x é [ a , b ] bada, orduan f' ( x ) > 0 dela” betetzen duen [ a , b ] tarte
bat.
[–5, 2] tartean betetzen da: x é [–5, 2] bada, orduan f ' ( x ) > 0.
DERIBATUAK.
9 DERIBAZIO TEKNIKAK
Funtzio deribatua
n Jarraitu idazten zergatik den g ( x ) funtzioa f ( x )-ren deribatuari dagokion
jarrera duen funtzio bat.
- ( a , b ) tartean, f ( x ) beherako-
rra da. Beraz, bere deribatua-
negatiboa da. Eta horixe da
g ( x ) ( a , b ) tartean.
- f -ren deribatua b -n 0 da:
f' ( b ) = 0. Eta g ( b ) = 0.
g ( x ) = f' ( x ) = 0 da f ( x )-k
ukitzaile horizontala badu.
g ( x ) = f' ( x ) > 0 da f ( x ) go-
rakorra bada.
g ( x ) = f' ( x ) < 0 da f ( x )
beherakorra bada.
n Beheko hiru grafikoak, A, B eta C, goiko 1, 2 eta 3 grafikoen funtzio deribatuak
dira, baina beste ordena batean. Azaldu, arrazoituz, zein den bakoitzarena.
1) B
2) A
3) C
Deribatua zero egiten da uki-
tzaile horizontaleko puntuetan,
positiboa da funtzioa gorakorra
denean, eta negatiboa funtzioa
beherakorra denean.
- unitatea. Deribatuak. Deribazio teknikak
e) d) ataleko emaitza kontuak izanda:
f' ( x ) = · =
b) atalean lortutakoarekin ere leku berera iritsiko ginen.
f) f ( x ) = ln = ln e ( tg x ) / 2^ =
f' ( x ) =
g) f ( x ) = = 3
( x + 1) / 2
f' ( x ) = 3 ( x^ + 1) / 2^ · · ln 3 = ·
h) f ( x ) = log ( sin x · cos x )^2 = (^2) [ log ( sin x + log ( cos x )]
f' ( x ) = 2 [
]
Beste era batera:
f ( x ) = log ( sin x · cos x )
2 = 2 log ( )
f' ( x ) = 2 · · =
i) f ( x ) = sin^2 x + cos^2 x + x = 1 + x
f' ( x ) = 1
j) f' ( x ) = + =
k) f' ( x ) = · =
l) f' ( x ) = cos (^) ( 3 x
5
15 x
4
m) f' ( x ) = · ( cos x + 2 x ) =
cos x + 2 x
2 √ sin x + x^2 + 1
2 √ sin x + x^2 + 1
3
3
√ x^2
√ x
3 √ x √ 2 x
2 √ x – x
2
2 √ x
√1 – x
sin √
x + 1 · sin √
x – 1
2 √ x – 1
cos √
x + 1 · cos √
x – 1
2 √ x + 1
sin √
x + 1 · (^) (– sin √
x – (^1) )
2 √ x – 1
cos √
x + 1 · cos √
x – 1
2 √ x + 1
ln 10 · tg 2 x
cos 2 x
sin 2 x
2
ln 10
sin 2 x
2
ln 10 · tg 2 x
cos 2 x
sin 2 x
ln 10
cos^2 x – sin^2 x
2 sin x · cos x
ln 10
cos
2 x – sin
2 x
sin x · cos x
ln 10
ln 10
cos x
ln 10
cos x
sin x
√ 3 x^ + 1
ln 3
2
x + 1
1 + tg^2 x
2
tg x
2
√ e
tg x
√(1 – tg x )(1 + tg x )^3
2 x )
(1 + tg x )^2
√
1 – tg x
1 + tg x
- unitatea. Deribatuak. Deribazio teknikak
n) f' ( x ) = 2 cos · (^) [– sin (^) ] · =
2. Kalkulatu honako funtzio hauen 1., 2. eta 3. deribatuak:
a) y = x^5 b) y = x cos x c) y = sin^2 x + cos^2 x + x
a) y = x^5
y' = 5 x^4 ; y'' = 20 x^3 ; y''' = 60 x^2
b) y = x cos x
y' = cos x – x sin x
y'' = – sin x – sin x – x cos x = –2 sin x – x cos x
y''' = –2 cos x – cos x + x sin x = –3 cos x + x sin x
c) y = sin^2 x + cos^2 x + x = 1 + x
y' = 1; y'' = 0; y''' = 0
3. Kalkulatu f' (1), honako hau izanda: f ( x ) = · e
4
f ( x ) = · e
4 = = · x
13/ = · x
13/
f' ( x ) = · x –17/30^ =
Beraz: f' (1) =
4. Kalkulatu f' ( π /6), honako hau izanda:
f ( x ) = ( cos^2 3 x – sin^2 3 x ) · sin 6 x
f ( x ) = ( cos^2 3 x – sin^2 3 x ) · sin 6 x = cos 6 x · sin 6 x =
f' ( x ) = = 6 cos 12 x
Beraz: f' ( )
= 6 · cos = 6 · cos (2π) = 6 · 1 = 6
12 π
6
π
6
12 cos 12 x
2
sin 12 x
2
15
√9 · e^4
30
√ x^17
15
√9 · e^4
15
√9 · e^4
15
√9 · e^4
2/ · e
4
x
1/ · 3
1/ · x
1/ · e
4
2 · 3 1/5^ · x 2/
x
3
3 x
5
√ 3 x^2
x
3
3 x
5
√ 3 x^2
(5 – 2 x ) · sin (^) ( 2
3 √ x + (3 – x )^2 )
3
√( x + (3 – x )^2 )^2
–2 cos
3
x + (
3 – x )^2 sin
3
x + (
3 – x )^2 · (2 x – 5)
3
√ x + (3 – x )^2 )^2
1 + 2(3 – x ) · (–1) 3
√( x + (3 – x )^2 )^2
3 √ x + (3 – x )
(^32) √ x + (3 – x )
2
- unitatea. Deribatuak. Deribazio teknikak
2. Kalkulatu m eta n -ren balioa, f ( x ) deribagarria izateko Á -n:
f ( x ) =
- x? 0 bada, funtzioa jarraitua eta deribagarria da, funtzio polinomikoak horrelako-
xeak baitira.
f ( x ) = ( x^2 – mx + 5) = 5
f ( x ) = (– x^2 + n ) = n
f (0) = 5
- Deribagarritasuna x = 0-an:
f' ( x ) = (2 x – m ) = – m = f' (0–)
f' ( x ) = (–2 x ) = 0 = f' (0+)
Beraz, f ( x ) deribagarria da Á osoan m = 0 eta n = 5 direnean.
263. orrialdea
1. Badakigu f ( x ) = x^3 funtzioaren deribatua f ' ( x ) = 3 x^2 dela.
Emaitza hori kontuan hartuta, aurkitu horren alderantzizko funtzioaren deri-
batua:
f
- ( x ) =
( f –^1 ) '^ ( x ) =
264. orrialdea
1. Egiaztatu sin ( x
2 y ) – y
2 + x = 2 – funtzioa 2, puntutik igarotzen dela,
eta aurkitu puntu horretako zuzen ukitzailearen ekuazioa.
Ordezkatuz x = 2, y = ekuazioan:
sin (^) (4 · (^) ) – + 2 = 0 + 2 – = 2 –
Berdintza betetzen da. Hortaz, kurba igarotzen da emandako (^) (2, (^) ) puntutik.
π
4
π^2
16
π^2
16
π^2
16
π
4
π
4
)
π ( 4
π
2
3
√ x^2
3
√ x
lim x 8 0
lim x 8 0
lim x 8 0 –
lim x 8 0 –
lim x 8 0
lim x 8 0
lim x 8 0
lim x 8 0 –
x^2 – mx + 5, x Ì 0
- x^2 + n , x > 0
- unitatea. Deribatuak. Deribazio teknikak
f ( x ) jarraitua izan dadin x = 0 pun-
tuan, hauxe gertatu behar da: n = 5
f ( x ) deribagarria izan dadin x = 0-n,
hauxe gertatu behar da:
Malda kalkulatu ahal izateko, f ' (^) (2, (^) ) behar dugu. Eta horretarako f ' ( x , y ) kalkula-
tuko dugu:
sin ( x^2 y ) – y^2 + x = 2 – deribatuz:
cos ( x^2 y ) · (2 xy + x^2 · y ' ) – 2 y · y ' + 1 = 0
2 xy cos ( x^2 y ) + y ' · x^2 · cos ( x^2 y ) – 2 y y ' + 1 = 0
y ' (^) ( x^2 · cos ( x^2 y ) – 2 y ) = –1 – 2 xy cos ( x^2 y )
f ' ( x , y ) =
Beraz:
f ' (^) (2, (^) ) = = = =
Zuzen ukitzailearen ekuazioa, hortaz: y = + ( x – 2)
2. Kalkulatu honako funtzio hauetako bakoitzaren deribatua:
a) f ( x ) = ( sin x ) x^ b) g ( x ) = x sin x
a) f ( x ) = ( sin x )
x 8 ln f ( x ) = x ln ( sin x )
= ln ( sin x ) + x · 8 f' ( x ) = ( sin x)x [
ln ( sin x ) + ]
b) g ( x ) = x sin x^ 8 ln g ( x ) = sin x · ln x
= cos x · ln x + sin x ·
g' ( x ) = x sin x^ · [
cos x · ln x + ]
270. orrialdea
1. Kalkulatu D y , dy , D y – dy :
a) y = x^2 – x , x 0 = 3, dx 0 = 0,01 denean
b) y = , x 0 = 2, dx 0 = 0,1 denean
c) y = , x 0 = 125, dx 0 = 1 denean
a) D y = y (3,01) – y (3) = 6,0501 – 6 = 0,
dy = y ' · dx = (2 x – 1) · dx , x 0
= 3-an eta dx 0
= 0,01-ean ebaluatuz:
D y – dy = 0,
3
√ x
√ x^2 – 1
sin x
x
x
g' ( x )
g ( x )
x cos x
sin x
cos x
sin x
f' ( x )
f ( x )
2 – 2π
8 + π
π
4
2 – 2π
8 + π
–2 + 2π
–1 + π
–1 – π · cos π
4 cos π – π/
π
4
–1 – 2 xy cos ( x
2 y )
x^2 · cos ( x^2 y ) – 2 y
π^2
16
π
4
- unitatea. Deribatuak. Deribazio teknikak
4. Aurreko ariketan bezala jokatuta, kalkulatu, gutxi gorabehera:
a) 1,01^4
b)
c)
a) f ( x ) = x^4 ; x 0 = 1; dx 0 = 0,
df = f ' ( x ) · dx = 4 x
3 · dx = 4 · 1
3 · 0,01 = 0,
f (1,01) ≈ f (1) + df (1) = 1 + 0,04 = 1,
b) f ( x ) = ; x 0
= 16; dx 0
df = f ' ( x ) · dx = · dx = · (–0,2) = –0,
f (15,8) ≈ f (16) + df (16) = – 0,025 = 3,
c) f ( x ) = ; x 0 = 64; dx 0 = 2
df = f ' ( x ) · dx = · dx = · 2 = 0,
f (66) ≈ f (64) + df (64) = 4 + 0,0417 = 4,
3
3
√ x^2
3
√ x
2 √ x
√ x
3
- unitatea. Deribatuak. Deribazio teknikak
275. orrialdea
PROPOSATUTAKO ARIKETAK ETA PROBLEMAK
Deribazio-erregelak
Kalkulatu honako funtzio hauen deribatuak:
1 a) y = b) y =
a) y ' = = =
b) y ' =
2 a) y =
2/ b) y = +
a) y ' = (^) ( )
–1/ · = (^) ( )
–1/ · =
b) y ' = 2 · (
)
3 a) y = b) y = 7 e – x
a) y ' = =
b) y = –7 e – x
4 a) y = b) y = sin x cos x
a) y ' = = =
b) y' = cos x · cos x + (– sin x ) · sin x = cos^2 x – sin^2 x = cos 2 x
( e
x
2
e^2 x^ + e –2 x^ – 2 – e^2 x^ – e –2 x^ – 2
( e x^ – e – x^ )^2
( e x^ – e – x^ )^2 – ( e x^ + e – x^ )^2
( e x^ – e – x^ )^2
e x^ + e – x
e x^ – e – x
1 – ln x
x
2
(1/ x ) · x – ln x
x
2
ln x
x
x^2
x^2
3
√(1 – x )(1 + x )^5
(1 – x )1/3^ · (1 + x )5/
–1 – x – 1 + x
(1 + x )^2
1 + x
1 – x
–1 · (1 + x ) – (1 – x )
(1 + x )^2
1 – x
1 + x
x^2
2
) x
1 – x ( 1 + x
3
√ 9 x
12 x
( x^2 + 3)^2
2 x^3 + 6 x – 2 x^3 + 6 x
( x^2 + 3)^2
2 x ( x^2 + 3) – ( x^2 – 3) 2 x
( x^2 + 3)^2
3
√ 3 x^2
x^2 – 3
x^2 + 3
TREBATZEKO
- unitatea. Deribatuak. Deribazio teknikak
12 a) y = b) y = arc sin
a) y ' = (5 x – 3)–1/3^ · 5 =
b) y ' = · = =
13 a) y = ln (2 x – 1) b) y = tg
a) y ' =
b) y ' = (
1 + tg^2 )
· = x + x tg^2
14 a) y = ln ( x^2 – 1) b) y = arc cos
a) y ' =
b) y ' = · = = –
15 a) y = ln b) y = ( arc tg x )^2
a) y = ln = ln (1 – x )
1/ = ln (1 – x )
y ' = · =
b) y ' = 2( arc tg x ) · =
16 a) y = log 3 (7 x + 2) b) y = ln tg
a) y ' = · =
b) y ' = · (
1 + tg^2 )
(
)
17 a) y = e^4 x^ b) y = ln ln
a) y ' = 4 e^4 x^ b) y ' = · · (
)
x ln (1/ x )
x^2
1/ x
ln 1/ x
)
( x
3 (1 + tg^2 3/ x )
x^2 tg 3/ x
x
2
x
tg 3/ x
(7 x + 2) ln 3
(7 x + 2)
ln 3
x
2 arc tg x
1 + x^2
1 + x^2
2 – 2 x
(1 – x )
√1 – x
√ 1 – x
√ 2 x – 4 x^2
2 x · √
1 – 2 x
2 √ 2 x
2 x )^2
2 x
x^2 – 1
√ 2 x
x^2
2
2 x
2
x^2
2
2 x – 1
x
2
2 x
√9 – x
4
2 x /
9 – x^4
3
2 x
3
√
(
x^2 )
2
3
√ 5 x – 3
x
2
3 √ (5 x – 3)^2
- unitatea. Deribatuak. Deribazio teknikak
18 a) y = 2 x^ b) y = arc sin
a) y ' = 2 x^ · ln 2
b) y ' = · = · =
19 a) y = 5 tg^3 (3 x^2 + 1) b) y =
a) y ' = 15 tg^2 (3 x^2 + 1) · [1 + tg^2 (3 x^2 + 1)] · 6 x = 90 x [ tg^2 (3 x^2 + 1) + tg^4 (3 x^2 + 1)]
b) y ' = (
)
20 a) y = b) y =
a) y ' = (1 + tg^2 x^2 ) · 2 x =
b) y ' = ( )
–2/ · = · =
Deribatzeko beste teknika batzuk
21 Kalkulatu honako funtzio hauen deribatua, aldez aurretik logaritmoen pro-
pietateak ezarriz:
a) y = ln b) y = ln ( x tg x )^2
c) y = ln d) y = ln (
x sin
2 x ) )
3
√ x
2
- 1
( x^2
1 – x
√ 1 + x
3( x + 2)
3
√( x + 2)( x – 2)^2
3
√( x + 2)^4 ( x – 2)^2
3( x + 2)4/3^ ·
3
√( x – 2)^2
3· ( x + 2)
2 ·
3
√( x – 2)
2
( x + 2)
2/
( x + 2)^2
3
√(^
x – 2 )
2
x + 2
x + 2 – ( x – 2)
( x + 2)^2
x – 2
x + 2
x (1 + tg
2 x
2 )
√ tg x^2
2 √ tg x^2
(^3) x – 2
√ x + 2
√ tg x^2
2 √ x + 1
4 √ x^2 + x √
x
2 √ x + 1
x √ x + √
x
2 √ x
2 √ x + √
x
√ x + √
— x
( x – 1)√– 4 x
( x – 1)√ x^2 + 1 – 2 x – x^2 – 1 – 2 x
2/( x – 1)
√( x – 1)^2 – ( x + 1)^2
( x – 1)^2
√( x – 1)
2
2
x – 1
( x – 1) – ( x + 1)
( x – 1)^2
√
(
x + 1 )
2
x – 1
x + 1
x – 1
- unitatea. Deribatuak. Deribazio teknikak
d) – = 0
y' =
e) 3 x
2
2 y' + 2 y + 2 xy' = 0
y' (3 y
2
2
y' =
f) xy^2 = x^2 + y
y^2 + x · 2 y y' = 2 x + y'
2 x y y' – y' = 2 x – y
2
y' (2 x y – 1) = 2 x – y^2
y' =
23 Erabili deribazio logaritmikoa honako hauek deribatzeko:
a) y = x^3 x^ b) y = x x^ + 1
c) y = x
e x d) y = ( ln x )
x + 1
e) y =
x f ) y = x tg x
a) Logaritmoak hartzen ditugu ekuazioaren alde bietan eta berreketaren logarit-
moa berretzailea bider berrekizunaren logaritmoa delako propietatea aplikatzen
dugu ln x n^ = n ln x :
y = x^3 x^ 8 ln y = 3 x ln x
Inplizituki deribatuz:
= 3 ln x + 3 x · = 3 ln x + 3
y' isolatuz:
y' = x^3 x^ (3 ln x + 3)
b) Logaritmoak hartzen ditugu ekuazioaren alde bietan eta berreketaren logarit-
moa berretzailea bider berrekizunaren logaritmoa delako propietatea aplikatzen
dugu ln x n^ = n ln x :
y = x
x + 1 8 ln y = ( x + 1) ln x
Inplizituki deribatuz:
= ln x + ( x + 1) · = ln x + 1 +
x
x
y'
y
x
y'
y
)
sin x
( x
2 x – y
2
2 x y – 1
–3 x
2
3 y^2 + 2 x
7( x – 1)
4( y + 3)
( y + 3) y'
7
x – 1
4
2( y + 3) y'
14
2( x – 1)
8
- unitatea. Deribatuak. Deribazio teknikak
y' isolatuz:
y' = x x^ + 1^ ln x + 1 +
c) Logaritmoak hartzen ditugu ekuazioaren alde bietan eta berreketaren logarit-
moa berretzailea bider berrekizunaren logaritmoa delako propietatea aplikatzen
dugu ln x n^ = n ln x :
y = x e^
x 8 ln y = e x^ · ln x
Inplizituki deribatuz:
= e x^ · ln x + e x^ · = e x^ ln x +
y' isolatuz:
y' = x
e x^ · e
x ln x +
d) Logaritmoak hartzen ditugu ekuazioaren alde bietan eta berreketaren logarit-
moa berretzailea bider berrekizunaren logaritmoa delako propietatea aplikatzen
dugu ln x n^ = n ln x :
y = ( ln x ) x^ + 1^8 ln y = ( x + 1) · ln ( ln x )
Inplizituki deribatuz:
= ln ( ln x ) + ( x + 1) · · = ln ( ln x ) +
y' isolatuz:
y' = ( ln x )
x + 1 · ln ( ln x ) +
e) Logaritmoak hartzen ditugu ekuazioaren alde bietan eta berreketaren logarit-
moaren propietate hau aplikatzen dugu ln x n^ = n ln x eta zatiketaren logarit-
moa logaritmoen kendura dela:
ln = ln a – ln b:
y =
x 8 ln y = x ln = x (^) ( ln ( sin x ) – ln x )
Inplizituki deribatuz:
= ln ( sin x ) – ln x + x – = ln + – 1
y' isolatuz:
y' =
x · ln + – 1 ]
x cos x
) sin x
sin x
) [ ( x
sin x
( x
x cos x ) sin x
sin x ) ( x
x
cos x ( sin x
y'
y
)
sin x ) ( x
sin x ( x
)
a
( b
]
x + 1 [ x ln x
x + 1
x ln x
x
ln x
y'
y
)
( x
)
( x
x
y'
y
)
( x
- unitatea. Deribatuak. Deribazio teknikak
c) I) y' = 3 sin
2 x cos x · cos
2 x + sin
3 x · 2 cos x (– sin x ) =
= 3 sin^2 x cos^3 x – 2 cos x sin^4 x
II) ln y = 3 ln ( sin x ) + 2 ln ( cos x )
y' = sin^3 x cos^2 x · = sin^2 x cos x (3 cos^2 x – 2 sin^2 x ) =
= 3 sin^2 x cos^3 x – 2 cos x sin^4 x
d) I) y' = · + · · = + =
II) ln y = ln ( x^2 + 1) + ln x
y' = · · =
25 Kalkulatu honako funtzio hauetako bakoitzaren deribatua x = 0 puntuan:
a) g ( x ) = e sin f^ ( x )^ baldin eta f (0) = 0 eta f ' (0) = 1 badira.
b) h ( x ) = [ sin f ( x )]^3 baldin eta f (0) = eta f ' (0) = 1 badira.
c) j ( x ) = baldin eta f (0) = e eta f ' (0) = 1 badira.
a) Katearen erregela aplikatuz:
g' ( x ) = D [ sin f ( x )] · e sin f^ ( x )^ = f ' ( x ) cos f ( x ) e sin f^ ( x )
g' (0) = f ' (0) cos f (0) e
sin f (0) = 1 · cos 0 · e
sin 0 = 1 · 1 · 1 = 1
b) Katearen erregela aplikatuz:
h ' ( x ) = 3 [ sin f ( x )]^2 D [ sin f ( x )] = 3 [ sin f ( x )]^2 f ' ( x ) cos f ( x )
h ' (0) = 3[ sin f (0)]^2 f ' (0) cos f (0) =
= 3 sin
2 · 1 · cos = 3
2 · 1 · = =
— 2
)
(
π
4
]
π
4
[
√ ln f ( x )
π
4
5 x
2
3 √ x
2
3
x
5 x
2
3 x ( x^2 + 1)
3 √ x^2 + 1 √ x^2
5 x^2 + 2
3 x ( x^2 + 1)
3 x^2 + 2 x^2 + 2
3 x ( x^2 + 1)
3 x
x
x
2
x
2 x
x
2
y'
y
5 x^2 + 2
3 √ x^2 + 1
3
x
3 x^2 + 2 x^2 + 2
3 √ x^2 + 1
3
x
3 x^2 + 2 ( x^2 + 1)
3 √ x^2 + 1
3
x
2 √ x
2
3
3
√ x
x
3
√ x
2
√ x^2 + 1
3
√ x
√ x^2 + 1
3 √ x^2
2 x
2 √ x^2 + 1
3 cos^2 x – 2 sin^2 x
sin x cos x
3 cos^2 x – 2 sin^2 x
sin x cos x
cos x
cos x
sin x
y'
y
- unitatea. Deribatuak. Deribazio teknikak
c) Katearen erregela aplikatuz:
j ' ( x ) = = ·
j ' (0) = = = =
26 f ( x ) = x^2 eta g ( x ) = 3 x + 1 emanda, aurkitu:
a) ( f (^) ° g )' ( x ) b) ( g (^) ° f )' ( x )
a) ( f (^) ° g )' ( x ) = f ' [ g ( x )] g ' ( x )
f ( x ) = x^2 eta g ( x ) = 3 x + 1 direnez 8 f ' ( x ) = 2 x ; g ' ( x ) = 3
( f (^) ° g )' ( x ) = 2 · (3 x + 1) · 3 = 6 (3 x + 1) = 18 x + 6
Edo bestela:
( f (^) ° g ) ( x ) = f [ g ( x )] = f (3 x + 1) = (3 x + 1)^2
( f (^) ° g )' ( x ) = 2 · 3(3 x + 1) = 18 x + 6
b) ( g (^) ° f )' ( x ) = g ' [ f ( x )] f ' ( x ) = 3 · 2 x = 6 x
Edo bestela:
( g (^) ° f ) ( x ) = g [ f ( x )] = 3 x^2 + 1 8 ( g (^) ° f )' ( x ) = 6 x
276. orrialdea
Deribagarritasuna eta jarraitasuna
27 a) Egiaztatu honako funtzio hau jarraitua eta deribagarria dela, eta aurkitu
f' (0), f' (3) eta f' (1) :
f ( x ) =
b) Zein da horren funtzio deribatua?
c) Zer puntutan betetzen da f' ( x ) = 5?
a) x? 1 bada, funtzioa jarraitua eta deribagarria da polinomio biz osaturikoa
baita.
Jarraitasuna x = 1-ean:
f ( x ) = (3 x – 1) = 2
f ( x ) = ( x^2 + x ) = 2 f ( x ) jarraitua da x = 1-ean.
f (1) = 2
lim x 8 1
lim x 8 1
lim x 8 1
lim x 8 1
3 x – 1 x < 1 bada
x^2 + x x Ó 1 bada
2 e
2 e √ 1
2 e √ ln e
f ' (0)
2 f (0) √ ln f (0)
2 √ ln f ( x )
f ' ( x )
f ( x )
D [ ln f ( x )]
2 √ ln f ( x )
- unitatea. Deribatuak. Deribazio teknikak
