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Sommaire
- Chapitre
- 1.1 S´eries num´eriques - 1.1.0.1 D´efinition
- 1.1.1 Convergence d’une s´erie num´erique
- 1.1.1.1 Nature d’une s´erie num´erique
- 1.1.1.2 Reste d’une s´erie convergente
- 1.1.1.3 Limite du terme d’une s´erie convergente
- 1.1.1.4 Op´erations sur les s´eries convergentes
- 1.1.1.5 Conjugaison
- 1.1.2 Convergence par comparaison `a une s´erie positive
- 1.1.2.1 Cas des s´eries `a termes r´eels positifs
- 1.1.2.2 Comparaison de s´eries `a termes positifs
- 1.1.2.3 Convergence absolue
- positive 1.1.2.4 Convergence par comparaison `a une s´erie
- 1.1.2.5 S´eries de Riemann
- 1.1.2.6 R`egles de Riemann : Exemples
- 1.1.2.7 S´eries g´eom´etriques
- 1.1.2.8 S´eries g´eom´etriques (suite)
- 1.1.2.9 R`egle de d’Alembert
- 1.1.3 Autres m´ethodes d’obtention de convergence
- 1.1.3.1 S´eries altern´ees
- totique `a deux termes 1.1.3.2 Exploitation d’un d´eveloppement asymp-
SOMMAIRE
1.1.3.3 Transformation d’Abel.......... 28 1.1.4 Applications.................... 29 1.1.4.1 Lien suite-s´erie............. 29 1.1.4.2 La constante d’Euler........... 31 1.1.4.3 Produit infini............... 32
ii
Exemple 1.3 La s´erie harmonique P n≥ (^1) n^1 admet pour sommes partielles
Sn =
X^ n k=
k ,^ n^ ≥^1.
Exemple 1.4 Soit (vn) une suite d’´el´ements de K. Posons u 0 = v 0 et un = vn − vn− 1 pour n ≥ 1. Alors La s´erie
P
n≥ 0
un est la suite des sommes partielles Sn =
X^ n k=
uk = vn − v 0.
Ainsi la suite (vn) se confond avec la s´erie P^ un.
Remarque On suppose d´esormais que les s´eries ´etudi´ees sont d´efinies a partir du rang` n 0 = 0_. On peut toujours s’y ramener en posant les premiers termes nuls si n´ecessaire._
1.1.1 Convergence d’une s´erie num´erique
1.1.1.1 Nature d’une s´erie num´erique
D´efinition 1.
On dit qu’une s´erie
P
un converge si la suite de ses sommes partielles converge. Dans ce cas, on d´efinit la somme de la s´erie par +X∞
k=
uk^ d´ = ef (^) n→lim+∞
X^ n k=
uk.
Remarque Par essence, une somme de s´erie est une limite. Pour la manipuler, il est indispensable de justifier a priori son existence, c’est-`a- dire que la s´erie soit convergente.
Exemple 1.5 Etudions la s´´ erie
P
n≥ 2 n(n^1 −1). Pour n ≥ 2 : X^ n k=
k(k − 1) =
X^ n k=
k − 1 −^
k
= 1 − (^1) n − n−→−−+−∞→ 1.
Ainsi la s´erie P n≥ (^2) n(n^1 −1) converge et +X∞
n=
n(n − 1) = 1.
Exemple 1.6 Etudions la s´´ erie harmonique P n≥ (^1) n^1.
Pour n ≥ 1 , la fonction t 7 → (^1) t etant d´´ ecroissante : X^ n k=
k >
X^ n k=
Z (^) k+
k
dt t =
Z (^) n+
1
dt t = ln(n^ + 1)^ −^ n−→−−+−∞→^ +∞. Ainsi la s´erie
P
n≥ 1 n^1 diverge.
Remarque On peut interpr´eter la convergence d’une s´erie comme la convergence de la somme des aires hachur´ees sous la courbe.
1.1.1.2 Reste d’une s´erie convergente
Th´eor`eme 1.
Soit n 0 ∈ N_. On a ´equivalence entre :_
1. P n≥ 0 un converge, 2. P n≥n 0 un converge.
Preuve : Les sommes partielles de deux s´eries diff`erent d’une constante et donc l’une converge si, et seulement si, l’autre aussi. Corollaire 1.
On ne modifie pas la nature d’une s´erie en changeant la valeur d’un nombre fini de termes. En revanche, cela modifie ´evidemment la valeur de la somme.
D´efinition 1.
Si la s´erie P^ un converge, on peut introduire la somme
Rn =
+X∞
k=n+
uk.
Ce terme est appel´e reste de rang n de cette s´erie.
Remarque On ne peut introduire le reste d’une s´erie qu’apr`es avoir justifi´e sa convergence.
Th´eor`eme 1.
Si P^ un converge alors pour tout n ∈ N : +X∞
k=
uk =
X^ n k=
uk +
+X∞
k=n+
uk.
De plus Rn =
+X∞
k=n+
uk − n−→−−+−∞→ 0.
Preuve : Soit n ∈ N fix´e. Pour N > n : X^ N k=
uk =
X^ n k=
uk +
X^ N
k=n+
uk.
En faisant tendre N → +∞, on obtient +X∞
k=
uk =
X^ n k=
uk +
+X∞
k=n+
uk,
´egalit´e que l’on ´ecrit souvent S = Sn + Rn. De plus Rn = S − Sn → 0 quand n → +∞.
1.1.1.3 Limite du terme d’une s´erie convergente
Th´eor`eme 1. Si la s´erie (^) ♣ P (^) u n converge alors^ un →^0_._
Preuve : Posons Sn =
Pn k=0 uk. Si^ (Sn)^ converge de limite^ S, alors un = Sn − Sn− 1 − n−→−−+−∞→ S − S = 0.
s´eries
P
λun et
P
(un + vn) convergent et +X∞
k=
λuk = λ
+X∞
k=
uk,
+X∞
k=
(uk + vk) =
+X∞
k=
uk +
+X∞
k=
vk.
Preuve : R´esulte des propri´et´es de lin´earit´e des limites. Corollaire 1.
L’ensemble des suites u = (un)n∈N ∈ KN^ telles que
P
un converge est un sous-espace vectoriel de KN_. L’application_ u 7 →
P+∞
n=0 un^ y d´efinit une forme lin´eaire.
Exemple 1.10 Si
P
un et
P
(un + vn) convergent, alors
P
vn converge, puisque vn = (un + vn) + (−1) · un.
Remarque Pour ´ecrire
+X∞
k=
(uk + vk) =
+X∞
k=
uk +
+X∞
k=
vk,
il faut v´erifier la convergence d’au moins deux des s´eries. Ceci interdit d’´ecrire des aberrations du type : +X∞
n=
X^ +∞
n=
+X∞
n=
Exemple 1.11 Si
P
un converge et
P
vn diverge, alors
P
(un + vn) diverge.
1.1.1.4.2 Positivit´e.
Th´eor`eme 1.
Soit (un) une suite r´eelle. Si P^ un converge et si tous les termes sont positifs alors +X∞
n=
un ≥ 0.
Preuve : Pour tout N ∈ N, on a
PN
n=0 un^ ≥^0. En passant `a la limite, la somme est donc positive.
Corollaire 1.
Soient (un) et (vn) deux suites r´eelles telles que un ≤ vn pour tout n ∈ N_. Si_ P^ un et P^ vn convergent alors +X∞
n=
un ≤
+X∞
n=
vn.
Preuve : Avec les convergences, on a +X∞
n=
vn −
X^ +∞
n=
un =
X^ +∞
n=
(vn − un) ≥ 0.
Th´eor`eme 1.
Soit (un) une suite r´eelle. Si un ≥ 0 pour tout n ∈ N , si P^ un converge et si +X∞
n=
un = 0,
alors pour tout n ∈ N , un = 0_._
Preuve : La suite (Sn) des sommes partielles est croissante car Sn+1 −
1.1.2 Convergence par comparaison `a une s´erie positive
1.1.2.1 Cas des s´eries `a termes r´eels positifs
D´efinition 1.
Une **s´erie a termes positifs_** _est une s´erie dont le terme g´en´eral appartienta R+.
Th´eor`eme 1.
Soit P^ un une s´erie `a termes positifs. On a ´equivalence entre :
1. P^ un _converge ;
- Il existe_ M ∈ R tel que, pour tout n ∈ N , X^ n k=
uk ≤ M.
Preuve : La suite (Sn) des sommes partielles est croissante car Sn − Sn− 1 = un ≥ 0. Ainsi, (Sn) converge si, et seulement si, elle est major´ee.
Remarque Si
P
un est une s´erie `a termes positifs divergente, alors X^ n k=
uk − n−→−−+−∞→ +∞.
1.1.2.2 Comparaison de s´eries `a termes positifs
Th´eor`eme 1.
Soient P^ un et P^ vn deux s´eries `a termes positifs v´erifiant un ≤ vn pour tout n ∈ N_. a) Si_
P
vn converge alors
P
un converge. b) Si
P
un diverge alors
P
vn diverge.
Preuve : a) Comme un ≤ vn pour tout n : X^ n k=
uk ≤
X^ n k=
vk ≤
X^ +∞
k=
vk = M,
donc P^ un converge.
b) C’est la contrapos´ee de a).
Remarque Le r´esultat demeure vrai mˆeme si la comparaison ne vaut qu’`a partir d’un certain rang.
Exemple 1.12 D´eterminons la nature de
P
n> 1 n^12.
Exemple 1.13 D´eterminons la nature de
P
n> 1 nln+1^ n.
s´eries `a termes n´egatifs.
Remarque Attention : la conservation de la nature d’une s´erie par equivalence des termes n’est vraie que pour les s´´ eries `a termes de signe constant.
1.1.2.3 Convergence absolue
D´efinition 1.
Soit (un) une suite r´eelle ou complexe. On dit que la s´erie
P
un converge absolument si la s´erie `a termes positifs
P
|un| converge.
Exemple 1.16 La s´erie P n> 1 (−1)
n− 1 P^ n^2 converge absolument.^ En effet, n> 1 n^12 converge. Th´eor`eme 1.
Si
P
un converge absolument alors elle converge, et +X∞
n=
un ≤
+X∞
n=
|un|.
Preuve :
Cas (un) r´eel positif : rien `a d´emontrer. Cas (un) r´eel : On pose u+ n = max(un, 0) et u− n = max(−un, 0). Alors un = u+ n − u− n et |un| = u+ n + u− n. Comme 0 ≤ u+ n , u− n ≤ |un|, on d´eduit que
P
u+ n et
P
u− n convergent par comparaison, donc
P
un converge.
Cas (un) complexe : On consid`ere ℜ(un) et ℑ(un). On a |ℜ(un)| ≤ |un| et |ℑ(un)| ≤ |un|, donc les s´eries P^ ℜ(un) et P^ ℑ(un) con- vergent. Ainsi, P^ un converge aussi.
1.1.2.3.1 Bilan.
Pour une s´erie r´eelle ou complexe : CVA =⇒ CV. Pour une s´erie `a termes positifs : CVA ⇐⇒ CV.
Remarque Plus g´en´eralement, pour une s´erie a termes de signe constant a partir d’un certain rang, on a aussi ´ equivalence. Mais il peut exister des s´eries convergentes qui ne sont pas absolument convergentes. D´efinition 1.
Une s´erie convergente mais non absolument convergente est dite semi-convergente.
Exemple 1.17 La s´erie
P
n> 1
(−1)n−^1 n est semi-convergente.
1.1.2.4 Convergence par comparaison `a une s´erie
positive
Th´eor`eme 1.
Soit P^ un une s´erie num´erique et P^ vn une s´erie `a termes posi- tifs. Si un = O(vn) et si P^ vn converge, alors P^ un converge absolument (et donc converge).
1.1.2.5 S´eries de Riemann
Th´eor`eme 1.
Soit α ∈ R_. La s´erie `a termes positifs_ +X∞
n=
nα converge si, et seulement si, α > 1_._
Preuve : [D´emonstration du th´eor`eme des s´eries de Riemann]
Cas α ≤ 1 : Pour tout n ≥ 1 , on a 1 nα^ ≥^
n. Puisque la s´erie
P 1
n diverge, par comparaison de s´eries `a termes positifs, la s´erie
P 1
nα^ diverge. Cas α > 1 : La suite
nα
est positive et d´ecroissante. Pour k ≥ 2 , on a 1 kα^ ≤
Z (^) k
k− 1
dt tα^. En sommant, on obtient X^ n k=
kα^ ≤
Z (^) n 1
dt tα^ =
(α − 1)tα−^1
n
1
= (^) α 1 − 1
1 − (^) nα^1 − 1
Ainsi, les sommes partielles Sn satisfont
Sn = 1 +
X^ n k=
kα^ ≤^ 1 +^
α − 1 =^ M. Donc la s´erie P^ n^1 α converge car c’est une s´erie `a termes positifs de sommes partielles major´ees.
Exemple 1.19 Les s´eries P^ n^12 et P^ n 1.^1001 convergent, tandis que P^1 n et P (^) √ 1 n divergent.
Remarque Pour une s´erie `a termes positifs, il est toujours possible de
comparer `a une s´erie de Riemann P^ n^1 α pour ´etudier sa nature.
1.1.2.6 R`egles de Riemann : Exemples
Exemple 1.20 Nature de P n≥ 0 (−1)
n n^2 −n+.
> 0 , donc la s´erie
Exemple 1.21 Nature de P n≥ 1
tan (^1) n − (^) n^1
Exemple 1.22 Nature de P n≥ (^0) nn 2 +1+.
