Download Cheat sheat mathematics and more Cheat Sheet Mathematics in PDF only on Docsity!
Subiectul I.
PROGRESII
ARITMETICE GEOMETRICE
Notații
÷ (𝑎
ஹଵ
⇔ ÷ 𝑎
ଵ
ଶ
÷ (𝑏
ஹଵ
⇔ ÷ 𝑏
ଵ
ଶ
Exemplu
÷ 2 , 5 , 8 , 11 , … ⇒ ቄ
ଵ
÷ 2
ାଷ
ାଷ
ାଷ
ାଷ
÷ 2 , 6 , 18 , 54 , … ⇒ ൜
ଵ
÷ 2
⋅ଷ
⋅ଷ
⋅ଷ
⋅ଷ
Definiție (Formula de recurență)
ାଵ
∗
ାଵ
∗
Rația unei progresii
ାଵ
∗
ାଵ
∗
CELE MAI UTILIZATE FORMULE
Formula termenului general
𝒏
𝟏
∗
𝒏
𝟏
𝒏 ି𝟏
∗
Suma primilor n termeni ai progresiei
ଵ
ଶ
ଵ
ଵ
ଶ
ଵ
, 𝑑𝑎𝑐ă 𝑞 ≠ 1
ଵ
, 𝑑𝑎𝑐ă 𝑞 = 1
Condiția ca trei numere să fie termeni consecutivi ai unei progresii
÷ 𝐴, 𝐵, 𝐶 ⇔ 2 𝐵 = 𝐴 + 𝐶 ÷ 𝐴, 𝐵, 𝐶 ⇔ 𝐵
ଶ
LOGARITMI
Definiție
𝒙
𝒂
Condițiile de existență ale logaritmului
log
Logaritmul zecimal Logaritmul natural
lg 𝑥 = log
𝟏𝟎
𝑥 ln 𝑥 = log
𝒆
𝑥 , 𝑢𝑛𝑑𝑒 𝑒 ≃ 2 , 71 (𝑛𝑢𝑚ă𝑟𝑢𝑙 𝑙𝑢𝑖 𝐸𝑢𝑙𝑒𝑟)
Proprietăți ale logaritmilor
1. log
1 = 0 2. log
3. log
= 𝑛 ⋅ log
୪୭ ೌ
௫
5. log
𝑥 + log
𝑦 = log
(𝑥 ⋅ 𝑦) 6. log
𝑥 − log
𝑦 = log
௫
௬
୪୭ ್
୪୭ ್
Formule de schimbare a bazei logaritmului
log
𝑥 =
ଵ
⋅ log
9. log
log
log
10. log
log
11. log
𝑏 = log
𝑏 ⋅ log
Monotonia funcției logaritmice
𝑓: ( 0 , ∞) → ℝ, 𝑓(𝑥) = log
I. Dacă 𝒂 ∈
⇒ 𝑓 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑠𝑡𝑟𝑖𝑐𝑡 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐ă𝑡𝑜𝑎𝑟𝑒
ଵ
ଶ
⇔ log
ଵ
> log
ଶ
II. Dacă 𝒂 ∈
⇒ 𝑓 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑠𝑡𝑟𝑖𝑐𝑡 𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐ă𝑡𝑜𝑎𝑟𝑒
ଵ
ଶ
⇔ log
ଵ
) < log
ଶ
Monotonia funcției exponențiale
௫
I. Dacă 𝒂 ∈
⇒ 𝑓 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑠𝑡𝑟𝑖𝑐𝑡 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐ă𝑡𝑜𝑎𝑟𝑒
ଵ
ଶ
௫ భ
௫ మ
II. Dacă 𝒂 ∈
⇒ 𝑓 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑠𝑡𝑟𝑖𝑐𝑡 𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐ă𝑡𝑜𝑎𝑟𝑒
ଵ
ଶ
௫
భ
< 𝑎
௫
మ
NUMERE COMPLEXE (ℂ) – forma algebrică
Definiție
Notații
a = partea reală a numărului complex z
a = Re(z) – realul lui z
bi = partea imaginară a numărului complex z
b = Im(z) – imaginarul lui z
𝟐
i = unitate imaginară
Proprietăți
(𝑅𝑒(𝑧) = 0 ș𝑖 𝐼𝑚(𝑧) = 0 )
(𝑎 = 0 ș𝑖 𝑏 = 0 )
Egalitatea a două numere complexe
ଵ
ଵ
ଶ
ଶ
ଵ
ଶ
ș𝑖 𝑏
ଵ
ଶ
Conjugatul lui z Modulul lui z
ଶ
ଶ
Proprietăți (cele mai utilizate)
ଵ
ଶ
ଵ
ଶ
௭
భ
௭ మ
|௭
భ
|
| ௭ మ
|
ଶ
ଶ
Raportul a două numere complexe
= se calculează prin amplificarea lui (raportului) cu conjugatul numitorului
ଵ
ଶ
ଶ
ଶ
ோቀ
௭
భ
௭
మ
ቁ
ଶ
ଶ
ூቀ
௭
భ
௭
మ
ቁ
Puterile lui i
ଵ
ସାଵ
ଶ
ସାଶ
ଷ
ସାଷ
ସ
ସ
Rezolvarea în ℂ a ecuației de grad II cu coeficienți reali
ଶ
ଶ
ଵ
ଵ
ଶ
FORMULE DE CALCUL PRESCURTAT
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଷ
ଷ
ଶ
ଶ
ଷ
ଷ
ଶ
ଶ
ଷ
ଷ
ଶ
ଶ
ଷ
ଷ
ଷ
ଶ
ଶ
ଷ
PARTEA ÎNTREAGĂ ȘI PARTEA FRACTIONARĂ
A UNUI NUMĂR REAL
Partea întreagă a unui număr real x
Notație Definiție
[𝑥] = 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑎 î𝑛𝑡𝑟𝑒𝑎𝑔ă 𝑎 𝑙𝑢𝑖 𝑥
[𝑥] = 𝑐𝑒𝑙 𝑚𝑎𝑖 𝑚𝑎𝑟𝑒 î𝑛𝑡𝑟𝑒𝑔 𝑚𝑎𝑖 𝑚𝑖𝑐 𝑑𝑒𝑐â𝑡 𝑥
[𝑥] = 𝑛, 𝑛 ∈ ℤ ⟺ 𝑛 ≤ 𝑥 < 𝑛 + 1
Partea fracționară a numărului real x
Notație Definiție
{𝑥} = 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑎 𝑓𝑟𝑎𝑐ț𝑖𝑜𝑛𝑎𝑟ă 𝑎 𝑙𝑢𝑖 𝑥 {𝑥} = 𝑥 − [𝑥]
Proprietăți
1. 𝑥 − 1 < [𝑥] ≤ 𝑥 3. {𝑥} ∈ [ 0 , 1 )
[
]
[
]
5. 𝑥 = [𝑥] + {𝑥}
MODULUL UNUI NUMĂR REAL
Definiție |𝑥| = ቄ
Proprietăți
ା
ା
FUNCȚII – definiții și proprietăți
Funcții pare. Funcții impare
𝒇: 𝑨 → ℝ, 𝑨 − 𝑚𝑢𝑙ț𝑖𝑚𝑒 𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐ă ( −𝑥 ∈ 𝐴, ∀ 𝑥 ∈ 𝐴)
𝑓 − 𝑝𝑎𝑟ă ⟺ 𝑓
, ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑓 − 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟ă ⟺ 𝑓
Funcții periodice
𝑓: 𝐷 → ℝ este periodică cu perioada T dacă 𝑓(𝑥 + 𝑇) = 𝑓(𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝐷 ș𝑖 𝑥 + 𝑇 ∈ 𝐷
Cea mai mică perioadă nenulă pozitivă (dacă există) s.n. perioadă principală
Imaginea unei funcții (mulțimea de valori a funcției)
𝐼𝑚𝑓 = {𝑦 ∈ 𝐵|∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑎. î. 𝑓(𝑥) = 𝑦} sau 𝐼𝑚𝑓 = 𝑓(𝐴) = {𝑓(𝑥)|𝑥 ∈ 𝐴}
Funcții injective – definiții
𝒇: 𝑨 → 𝑩 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑓𝑢𝑛𝑐ț𝑖𝑒 𝒊𝒏𝒋𝒆𝒄𝒕𝒊𝒗ă 𝑑𝑎𝑐ă:
ଵ
) = 𝑓(𝑥
ଶ
) ⇒ 𝑥
ଵ
= 𝑥
ଶ
[𝑥
ଵ
, 𝑥
ଶ
∈ 𝐴 𝑓𝑖𝑥𝑎ț𝑖]
ଵ
≠ 𝑥
ଶ
⇒ 𝑓(𝑥
ଵ
) ≠ 𝑓(𝑥
ଶ
) [𝑥
ଵ
, 𝑥
ଶ
∈ 𝐴 𝑓𝑖𝑥𝑎ț𝑖]
3. f este strict monotonă (Analiză matematică)
Obs. 𝒇: 𝑨 → 𝑩 𝒏𝒖 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑓𝑢𝑛𝑐ț𝑖𝑒 𝒊𝒏𝒋𝒆𝒄𝒕𝒊𝒗ă 𝑑𝑎𝑐ă: ∃ 𝑥
1
, 𝑥
2
∈ 𝐴 , 𝑥
1
≠ 𝑥
2
ș𝑖 𝑓
𝑥
1
= 𝑓
𝑥
2
Funcții surjective – definiții
𝒇: 𝑨 → 𝑩 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑓𝑢𝑛𝑐ț𝑖𝑒 𝒔𝒖𝒓𝒋𝒆𝒄𝒕𝒊𝒗ă 𝑑𝑎𝑐ă:
1. [∀𝑦 ∈ 𝐵∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑎. î. 𝑓(𝑥) = 𝑦] ⟺ [𝑝𝑒𝑛𝑡𝑟𝑢 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑒𝑐𝑢𝑎ț𝑖𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑦 𝑎𝑟𝑒 𝑐𝑒𝑙 𝑝𝑢ț𝑖𝑛 𝑜 𝑠𝑜𝑙𝑢ț𝑖𝑒 î𝑛 𝐴 ]
Funcții bijective – definiții
𝒇: 𝑨 → 𝑩 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑓𝑢𝑛𝑐ț𝑖𝑒 𝒃𝒊𝒋𝒆𝒄𝒕𝒊𝒗ă 𝑑𝑎𝑐ă:
f este injectivă și surjectivă
[ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃! 𝑥 ∈ 𝐴 𝑎. î. 𝑓
( 𝑥
) = 𝑦
] ⟺
[ 𝑝𝑒𝑛𝑡𝑟𝑢 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑒𝑐𝑢𝑎ț𝑖𝑎 𝑓
( 𝑥
) = 𝑦 𝑎𝑟𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢ț𝑖𝑒 𝑢𝑛𝑖𝑐ă î𝑛 𝐴
]
Funcții inversabile
𝒇: 𝑨 → 𝑩 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑓𝑢𝑛𝑐ț𝑖𝑒 𝒊𝒏𝒗𝒆𝒓𝒔𝒂𝒃𝒊𝒍ă 𝑑𝑎𝑐ă:
f este bijectivă
Inversa unei funcții
𝒇: 𝑨 → 𝑩 , 𝑓𝑢𝑛𝑐ț𝑖𝑒 𝑏𝑖𝑗𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣ă, 𝑎𝑟𝑒 𝒊𝒏𝒗𝒆𝒓𝒔𝒂:
ି ଵ
ି ଵ
ି ଵ
(𝑥)൯ = 𝑥, 𝑥 ∈ 𝐵 ș𝑖 𝑓
ି ଵ
Funcții monotone
𝑓: 𝐷 → ℝ este monoton crescătoare dacă ∀ 𝑥
1
, 𝑥
2
∈ 𝐷, 𝑥
1
< 𝑥
2
⟺ 𝑓
𝑥
1
≤ 𝑓
𝑥
2
𝑓: 𝐷 → ℝ este monoton descrescătoare dacă ∀ 𝑥
1
, 𝑥
2
∈ 𝐷, 𝑥
1
< 𝑥
2
⟺ 𝑓
𝑥
1
≥ 𝑓
𝑥
2
𝑓: 𝐷 → ℝ este strict crescătoare dacă ∀ 𝑥
1
, 𝑥
2
∈ 𝐷, 𝑥
1
< 𝑥
2
1
2
𝑓: 𝐷 → ℝ este strict descrescătoare dacă ∀ 𝑥
1
, 𝑥
2
∈ 𝐷, 𝑥
1
< 𝑥
2
1
2
FUNCȚIA DE GRADUL I
Forma generală a funcției
Monotonia funcției
1. Dacă 𝑎 < 0 atunci f este strict descrescătoare 2. Dacă 𝑎 > 0 atunci f este strict crescătoare
Semnul funcției
Se rezolvă ecuația 𝑓(𝑥) = 0 ⇒ 𝑥 = −
್
ೌ
) semn contrar a 0 semn a
Graficul funcției de gradul al doilea
Se numește parabolă. Parabola are un punct de extrem, numit vârf și notat cu V.
Coordonatele vârfului : 𝑉 ቀ−
ଶ
∆
ସ
Dacă 𝑎 < 0 ⟹
funcția admite maxim (V este punct de maxim )
valoarea maximă a funcției sau maximul funcției este 𝒇
𝒎𝒂𝒙
∆
𝟒𝒂
Dacă 𝑎 > 0 ⟹
funcția admite minim (V este punct de minim )
valoarea minimă a funcției sau minimul funcției este 𝒇
𝒎𝒊𝒏
∆
𝟒𝒂
Ecuația axei de simetrie a parabolei este: 𝑥 = −
ଶ
Poziția parabolei (graficului funcției de grad II) față de axa Ox
Parabola intersectează axa 𝑂𝑥 în două puncte distincte (𝑂𝑥 este secantă parabolei) ⟺ ∆> 0
Parabola este tangentă axei 𝑂𝑥 ⟺ ∆= 0
Parabola nu intersectează axa 𝑂𝑥
(parabola este situată deasupra axei 𝑂𝑥 (𝑎 > 0 ) sau este situată sub axa 𝑂𝑥 (𝑎 > 0 ))
Monotonia și imaginea funcției de gradul al doilea
ଶ
Se calculează coordonatele vârfului 𝑉 ቀ−
ଶ
∆
ସ
Dacă 𝑎 < 0 ⟹ 𝑉 este punct de maxim
max
𝐼𝑚𝑓 = ൬−∞, −
∆
4 𝑎
൨
𝑓 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑠𝑡𝑟𝑖𝑐𝑡 𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐ă𝑡𝑜𝑎𝑟𝑒 𝑝𝑒 ൬−∞, −
𝑏
2 𝑎
൨ 𝑓 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑠𝑡𝑟𝑖𝑐𝑡 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐ă𝑡𝑜𝑎𝑟𝑒 𝑝𝑒 −
𝑏
2 𝑎
, +∞൰
Dacă 𝑎 > 0 ⟹ 𝑉 este punct de minim
min
𝐼𝑚𝑓 = −
∆
4 𝑎
, +∞൰
𝑓 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑠𝑡𝑟𝑖𝑐𝑡 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐ă𝑡𝑜𝑎𝑟𝑒 𝑝𝑒 ൬−∞, −
𝑏
2 𝑎
൨ 𝑓 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑠𝑡𝑟𝑖𝑐𝑡 𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐ă𝑡𝑜𝑎𝑟𝑒 𝑝𝑒 −
𝑏
2 𝑎
, +∞൰
Subiectul I.
ECUAȚII
Ecuații iraționale
య
- Se pun condiții de existență
𝑁𝑢 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡ă 𝐶. 𝐸.
Eliminarea radicalului (prin ridicarea la putere) și rezolvarea ecuației obținute
ଶ
ଶ
ଶ
య
ଷ
ଷ
ଷ
Verificarea soluției
Ecuații exponențiale
(௫)
(௫)
(௫)
= 𝑏 ⇒ 𝑓(𝑥) = log
3. Cu ajutorul notațiilor și a proprietăților puterilor
Ecuații logaritmice
log
𝑓(𝑥) = log
log
ே
3. Cu ajutorul notațiilor
Subiectul I.
METODE DE NUMĂRARE
𝑛! 𝑠𝑒 𝑐𝑖𝑡𝑒ș𝑡𝑒 „𝑛 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑙”
Permutări = numără câte mulțimi ordonate se pot forma cu n elemente distincte
𝒏
Aranjamente = numără câte submulțimi ordonate de k elemente se pot forma cu n elemente distincte
𝒏
𝒌
Combinări = numără câte submulțimi de k elemente se pot forma cu n elemente distincte
𝒏
𝒌
Binomul lui Newton
ଵ
ି ଵ
ଶ
ିଶ
ଶ
ି ଵ
ି ଵ
ଵ
ଶ
= 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛ț𝑖 𝑏𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙𝑖
Formula termenului general
ାଵ
ି
Suma coeficienților binomiali
ଵ
ଶ
Suma coeficienților binomiali de rang par Suma coeficienților binomiali de rang impar
ଶ
ସ
ି ଵ
ଵ
ଷ
ହ
ି ଵ
Formule de numărare
Numărul submulțimilor unei mulțimi cu n elemente este 2
Numărul funcțiilor 𝑓: 𝐴 → 𝐵 este 𝑐𝑎𝑟𝑑 𝐵
ௗ
Numărul funcțiilor bijective 𝑓: 𝐴 → 𝐴 este
Ne amintim! Card A = numărul de elemente al mulțimii A
PROBABILITĂȚI
MATEMATICI FINANCIARE
Procente
Scumpirea prețului unui produs Reducerea prețului unui produs
Datele
problemei
x = prețul inițial al produsului
p = procentul cu care se scumpește
= prețul după scumpire
x = prețul inițial al produsului
p = procentul cu care se reduce
= prețul după reducere
Formulă 𝒙 +
𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍
𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍
T.V.A. = taxa pe valoarea adăugată
Datele
problemei
x = prețul inițial (de producție) al produsului
p = procentul T.V.A.
௩
= prețul de vânzare al produsului
Formule
𝒗
𝒗
Dobânda simplă
Datele
problemei
D = dobânda obținută la finalul perioadei de timp (în lei)
S = suma depusă inițial la bancă (in lei)
r = rata dobânzii (%)
n = perioada de timp (în ani)
ă
= suma obținută după perioada de timp (în lei)
Formule
ă
Dobânda compusă
Datele
problemei
D = dobânda obținută la finalul perioadei de timp (în lei)
S = suma depusă inițial la bancă (in lei)
r = rata dobânzii (%)
n = perioada de timp (în ani)
ă
= suma obținută după perioada de timp (în lei)
Formule
ă
V. Pozițiile relative a două drepte
ଵ
ଶ
ௗ భ
ௗ మ
ଵ
ଶ
ௗ భ
ௗ మ
SAU
ଵ
ଵ
ଵ
ଵ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଵ
ଶ
drepte concurente ⟺
భ
మ
భ
మ
Observație! Coordonatele punctului de intersecție a două drepte reprezintă soluția sistemul
format din ecuațiile celor două drepte.
ଵ
ଶ
ଵ
ଶ
ଵ
ଶ
ଵ
ଶ
ଵ
ଶ
ଵ
ଶ
ଵ
ଶ
ଵ
ଶ
VI. Aria unui triunghi
Datele problemei Formulă
∆
VII. Coliniaritatea a trei puncte distincte în plan
Datele problemei Formulă
VIII. Distanța de la un punct la o dreaptă
Datele problemei Formulă
Coordonatele punctului
Ecuația generală a dreptei
ଶ
ଶ
Aplicație!
Determinarea lungimii unei înălțimi
IX. Coordonatele centrului de greutate al unui triunghi
Datele problemei Formulă
ீ
ீ
ீ
ș𝑖 𝑦
ீ
Să ne amintim!
Centrul de greutate al unui ∆ (G) reprezintă punctul
de intersecție al medianelor unui ∆.
VECTORI
Definiții și notații
Vector = mărime fizică, caracterizată prin direcție, sens, lungime
Doi vectori au aceeași direcție dacă dreptele lor suport sunt paralele sau coincid.
Doi vectori au același sens dacă extremitățile lor sunt de aceeași parte a dreptei determinată
de originile vectorilor.
Doi vectori sunt egali dacă au aceeași direcție, lungime și același sens.
Doi vectori sunt opuși dacă au aceeași direcție, lungime și sensuri opuse. Notăm: 𝑣⃗ = −𝑢ሬ⃗.
Vectorul nul este vectorul cu lungime 0. Notăm: 0
Doi vectori sunt coliniari dacă au aceeași direcție.
∗
𝑎. î. 𝑢ሬ⃗ = 𝛼 ⋅ 𝑣⃗ , 𝑣⃗ ≠ 0
Adunarea vectorilor necoliniari
Regula triunghiului Regula paralelogramului
Vectorul de poziției al mijlocului unui segment
Vectori în reper cartezian
ଶ
ଶ
ଵ
ଵ
ଵ
ଶ
ଶ
ଶ
ଵ
ଶ
௫ భ
௫
మ
௬ భ
௬
మ
Produsul scalar
ଵ
ଶ
ଵ
ଶ
ଵ
ଶ
ଵ
ଶ
ଵ
ଶ
⋅ cos൫∢
ଵ
ଶ
ଵ
ଶ
ଵ
ଶ
B C
A D
B
A
C
Proprietăți ale funcțiilor trigonometrice
Mărginirea
− 1 ≤ sin 𝑥 ≤ 1 , ∀𝑥 ∈ ℝ − 1 ≤ cos 𝑥 ≤ 1 , ∀𝑥 ∈ ℝ
Paritatea
sin(−𝑥) = − sin 𝑥 𝑡𝑔 (−𝑥) = −𝑡𝑔 𝑥
cos
= cos 𝑥 𝑐𝑡𝑔
Observație! cos este funcției pară, sin, tg, ctg funcții impare
Periodicitatea
sin
= sin 𝑥 , ∀𝑥 ∈ ℝ, 𝑘 ∈ ℤ
tg(𝑥 + 𝑘𝜋) = tg 𝑥 , ∀𝑥 ∈ ℝ ∖ ቀ
𝜋
2
cos(𝑥 + 2 𝑘𝜋) = cos 𝑥 , ∀𝑥 ∈ ℝ, 𝑘 ∈ ℤ ctg(𝑥 + 𝑘𝜋) = ctg 𝑥 , ∀𝑥 ∈ ℝ ∖ (ℤ𝜋), 𝑘 ∈ ℤ
Formule trigonometrice
Formula fundamentală a trigonometriei
sin
ଶ
𝑥 + cos
ଶ
sin(90° − 𝑥) = cos 𝑥 sin(180° − 𝑥) = sin 𝑥
cos
= sin 𝑥 cos
= − cos 𝑥
sin
= sin 𝑎 cos 𝑏 + cos 𝑎 sin 𝑏 sin
= sin 𝑎 cos 𝑏 − cos 𝑎 sin 𝑏
cos
= cos 𝑎 cos 𝑏 − sin 𝑎 sin 𝑏 cos
= cos 𝑎 cos 𝑏 + sin 𝑎 sin 𝑏
sin 2 𝑥 = 2 sin 𝑥 cos 𝑥 cos 2 𝑥 = cos
ଶ
𝑥 − sin
ଶ
cos 2 𝑥 = 2 cos
ଶ
𝑥 − 1 cos 2 𝑥 = 1 − 2 sin
ଶ
sin 𝑥
cos 𝑥
cos 𝑥
sin 𝑥
ଶ
sin 𝑥
1 + cos 𝑥
sin 𝑥 =
ଶ
cos 𝑥 =
ଶ
ଶ
Transformarea unor sume în produs
sin 𝑎 + sin 𝑏 = 2 sin
⋅ cos
cos 𝑎 + cos 𝑏 = 2 cos
⋅ cos
sin 𝑎 − sin 𝑏 = 2 sin
⋅ cos
cos 𝑎 − cos 𝑏 = − 2 sin
⋅ sin
Funcții trigonometrice inverse
[
]
arcsin(sin 𝑥) = 𝑥, ∀𝑥 ∈ ቂ−
sin
arcsin 𝑥
[
]
𝐚𝐫𝐜𝐬𝐢𝐧(−𝒙) = − 𝐚𝐫𝐜𝐬𝐢𝐧 𝒙 , ∀𝒙 ∈ [−𝟏, 𝟏]
arctg(tg 𝑥) = 𝑥, ∀𝑥 ∈ ቀ−
tg
arctg 𝑥
[
]
𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐬 𝒙 : [−𝟏, 𝟏] → [𝟎, 𝝅]
arccos(cos 𝑥) = 𝑥, ∀𝑥 ∈ [𝟎, 𝝅]
cos
arccos 𝑥
[
]
𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐬(−𝒙) = 𝝅 − 𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐬 𝒙 , ∀𝒙 ∈ [−𝟏, 𝟏]
arcctg(ctg 𝑥) = 𝑥, ∀𝑥 ∈ ( 0 , 𝜋)
ctg
arcctg 𝑥
[
]
