Boolean Algebra and Logic Operations by Andri Thorláksson, Exercises of Computer System Design and Architecture

Download Boolean Algebra and Logic Operations by Andri Thorláksson and more Exercises Computer System Design and Architecture in PDF only on Docsity!

Greining og Hönnun Stafrænna Rása TÖV

201G

Digital Design, Mano og Ciletti

Kafli 2

1280* Smartink

Logic Gates (e. rökrásarhlið)

Andri Þorláksson tæknifræðingur 2

• (^) Hvað er rökrásarhlið?
  • (^) Rökrásarhlið er búnaður/rás sem skilar ákveðum gildum miðað

við ákveðin inngangs skilyrði

• (^) Inngangsmerki rökrásarhliðs getur aðeins verið 0 eða 1
• (^) Útgangsmerki rökrásarhliðs getur aðeins verið 0 eða 1

Postulates 1- Safnið ‹𝐵, , +,∗ › er Boolean algebra ef eftirfarandi gildir: Andri Þorláksson tæknifræðingur 4 P1. Bundið mengi (closure). Fyrir stökin x, y ∈ 𝐵, gildir:

• x + y ∈ 𝐵,
• x ∗ y ∈ 𝐵, P2. Gildi sem breytir ekki staki í B (e. identity element):
• til er 0 ∈𝐵, svo að 0 + 𝑥 = 𝑥 + 0 = 𝑥
• til er 1 ∈𝐵, svo að 1 ∗ 𝑥 = 𝑥 ∗ 1 = 𝑥 P3. Víxlregla. Fyrir öll gildi 𝑥 , 𝑦 ∈ 𝐵, gildir:
• 𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥
• 𝑥 ∗ 𝑦 = 𝑦 ∗ 𝑥 P4. Dreifiregla. Fyrir stökin 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 ∈ 𝐵, gildir:
  • 𝑥 ∗ (𝑦 + 𝑧 ) = 𝑥 ∗ 𝑦 + 𝑥 ∗ 𝑧
  • 𝑥 + (𝑦 ∗ 𝑧 ) = (𝑥 + 𝑦 ) ∗ (𝑥 + 𝑧 ) P5. Andhverfa. Fyrir öll 𝑥 ∈𝐵, er til 𝑥 ′ ∈𝐵, svo að:
  • 𝑥 + 𝑥 ′ = 1
  • 𝑥 ∗ 𝑥 ′ = 0 P6. Til eru að minnsta kosti tvö mismunandi stök í menginu 𝐵,

P1. Bundið mengi (closure). Fyrir stökin x, y ∈ 𝐵, gildir: x + y ∈𝐵, x ∗ y ∈ 𝐵,

Allar aðgerðir á stökum í menginu B skilar útkomu sem er í menginu B

Útkoma úr aðgerð þar sem virkjarnir + eða ∗ eru notaðir

geta aldrei verið annað en 0 eða 1

Andri Þorláksson tæknifræðingur 5

P3. Víxlregla. Fyrir öll gildi 𝑥 , 𝑦 ∈ 𝐵, gildir: 𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥 𝑥 ∗ 𝑦 = 𝑦 ∗ 𝑥

Uppröðun á breytunum skiptir ekki

máli

X

y

X

y

y

x

y

x

Andri Þorláksson tæknifræðingur 7

P4. Dreifiregla. Fyrir stökin 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 ∈ 𝐵, gildir: 𝑥 ∗ 𝑦 + 𝑧 = 𝑥 ∗ 𝑦 + 𝑥 ∗ 𝑧 𝑥 + (𝑦 ∗ 𝑧 ) = (𝑥 + 𝑦 ) ∗ (𝑥 + 𝑧 ) Andri Þorláksson tæknifræðingur 8

P4. Dreifiregla. Fyrir stökin 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 ∈ 𝐵, gildir: 𝑥 ∗ 𝑦 + 𝑧 = 𝑥 ∗ 𝑦 + 𝑥 ∗ 𝑧 𝑥 + (𝑦 ∗ 𝑧 ) = (𝑥 + 𝑦 ) ∗ (𝑥 + 𝑧 ) Andri Þorláksson tæknifræðingur 1 0

P4. Dreifiregla. Fyrir stökin 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 ∈ 𝐵, gildir: 𝑥 ∗ 𝑦 + 𝑧 = 𝑥 ∗ 𝑦 + 𝑥 ∗ 𝑧 𝑥 + (𝑦 ∗ 𝑧 ) = (𝑥 + 𝑦 ) ∗ (𝑥 + 𝑧 ) Andri Þorláksson tæknifræðingur 1 1

P5. Andhverfa. Fyrir öll 𝑥 ∈𝐵, er til 𝑥 ′ ∈𝐵, svo að: 𝑥 + 𝑥 ′ = 1 𝑥 ∗ 𝑥 ′ = 0

Auðvelt að sjá myndrænt með

því að nota rökrásarhlið

x

x

Andri Þorláksson tæknifræðingur 1 3

Andri Þorláksson tæknifræðingur 1 4 P6. Til eru að minnsta kosti tvö mismunandi stök í menginu 𝐵,

B er mengi allra mögulegra gilda. B inniheldur tvö

mismunandi stök, 𝑥 , 𝑦 ∈𝐵, og 𝑥 ≠ 𝑦.

Duality Principle (ísl. Nykurlögmál, samhverfu eiginleiki?)

• (^) Til að fá dual af Boolean stæðu þarf einfaldlega að:
  • (^) Skipta út OR fyrir AND og öfugt [ AND OR ]
  • (^) Skipta út 0 fyrir 1 og öfugt [ 1  0]
  • (^) T.d: x ∙ 0 = 0 x + 1 = 1

dual

Andri Þorláksson tæknifræðingur 1 6

Duality Principle (ísl. Nykurlögmál, samhverfu eiginleiki?) Dæmi. Finnum dual af 𝑥 + 𝑥 ‘ = 1 .Rökstyðjum svarið myndrænt! Andri Þorláksson tæknifræðingur 1 7

Skoðum út frá rökrásarhliðum

x

x

Andri Þorláksson tæknifræðingur 1 9

Skoðum út frá rökrásarhliðum

x

x

Andri Þorláksson tæknifræðingur 2 0