Introducción a la Estadística de Negocios: Capítulos 4 (Probabilidades), Study notes of Probability and Statistics

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Capítulo 4

Conceptos Básicos de

Probabilidad

Estadística para Administración 4 a Edición

Objetivos de Aprendizaje

En este capítulo, usted aprenderá:



Los conceptos y definiciones de la Probabilidad

Básica



Probabilidad Condicional



El uso del Teorema de Bayes para

probabilidades revisadas



Varias reglas de conteo

Términos Importantes 

Probabilidad – La posibilidad u oportunidad de

que un evento o acontecimiento incierto pueda

ocurrir (siempre estará entre 0 y 1)



Evento – Cada resultado posible de una

variable



Evento Simple – Un acontecimiento que puede

ser descrito por una sola característica



Espacio Muestral – El conjunto de todos los

posibles eventos

Puntos de vista de la Probabilidad  Existen tres aproximaciones sujetas a la definición de probabilidad de un acontecimiento incierto:

1. Probabilidad clásica o a priori
2. Probabilidad empirica
3. Probabilidad subjetiva una opinión o juicio individual sobre la probabilidad de ocurrencia de un evento numerototalderesultados posibles númerodeformasenlasqueelevento ocurre T X probabilidad de ocurrencia  númerototalderesultados posibles númeroderesultadosfavorables observados probabilidad de ocurrencia

Espacio Muestral

El Espacio Muestral es el conjunto de todos los

posibles eventos

Por ejemplo: Todas las 6 caras de un dado:

Por ejemplo: Todas las 52 cartas de un mazo

de poker:

Eventos  Evento Simple  (^) Un resultado de un espacio muestral con una característica  (^) Por ejemplo, Una carta roja de un mazo de cartas  Complemento de un evento A (denotado A’)  (^) Todos los resultados que no hacen parte del evento A  (^) Por ejemplo, Todas las cartas que no son diamantes  Evento Conjunto  (^) Involucra dos o más características simultáneamente  Por ejemplo, Un as que también es rojo de un mazo de cartas

Visualización de Eventos 

Tablas de Contingencia



Diagramas de Arbol

Rojas 2 24 26 Negras 2 24 26 Total 4 48 52 Ases Otras Total Mazo completo de 52 cartas Cartas rojas Cartas negras Otras cartas Ases Ases Otras cartas Espacio Muestral Espacio 2 Muestral 24 2 24

Visualización de Eventos 

Diagramas de Venn

 Sea A = ases  Sea B = cartas rojas A B A ∩ B = as y roja A U B = as o roja

Eventos Mutuamente Excluyentes 

Eventos Mutuamente excluyentes

 Son eventos que no pueden ocurrir simultáneamente ejemplo: A = reina de diamante; B = reina de trébol  Los eventos A y B son mutuamente excluyentes

Eventos Colectivamente Exhaustivos  Eventos colectivamente exhaustivos  (^) Uno de los eventos debe ocurrir  (^) El conjunto de eventos cubre la totalidad del espacio muestral ejemplo: A = ases; B = cartas negras; C = diamantes; D = corazones  (^) Los eventos A, B, C y D son colectivamente exhaustivos (pero no mutuamente excluyentes – un as puede ser también un corazón)  (^) Los eventos B, C y D son colectivamente exhaustivos y también mutuamente excluyentes

Probabilidad  La Probabilidad es la medida numérica de la verosimilitud de que un evento pueda ocurrir  La probabilidad de cualquier evento debe estar entre 0 y 1, inclusive  (^) La suma de las probabilidades de todos los eventos mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos es 1 Cierto Improbable

0.

0

0 ≤ P(A) ≤ 1 Para cualquier evento A P(A) P(B)P(C)  1 Si A, B, y C son mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos



La probabilidad de un evento conjunto, A y B:



Cálculo de una probabilidad marginal (o simple):

 Donde B 1 , B 2 , …, Bk son eventos mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos número total de resultados posibles número deresultados favorables A y B P ( A y B ) Cálculo de probabilidades conjuntas y marginales

P(A) P(A y B ) P(A y B ) P(A y B )

1 2 k

  

Ejemplo de Probabilidad Conjunta P(Rojo y As) Negro Color Tipo Rojo Total As 2 2 4 Otras 24 24 48 Total 26 26 52 52 2 númerototalde cartas número decartasquesonrojasy ases  

Ejemplo de Probabilidad Marginal P(As) Negro Color Tipo Rojo Total As 2 2 4 Otras 24 24 48 Total 26 26 52 52 4 52 2 52 2  P ( As y Roja ) P ( As y Negra )   

P(A

1 y B 2

) P(A

1

)

Evento Total

Probabilidades conjuntas usando tablas de contingencia P(A 2 y B 1

)

P(A

1 y B 1

)

Evento

Total 1

Probabilidades Conjuntas Probabilidades Marginales (o Simples)

A

1 A 2

B

1

B

2 P(B 1

) P(B

2

)

P(A

2 y B 2

) P(A

2

)

Regla General de la Adición

P(A o B) = P(A) + P(B) - P(A y B)

Regla General de la Adición:

Si A y B son mutuamente excluyentes, entonces

P(A y B) = 0, por lo que la regla queda

simplificada así:

P(A o B) = P(A) + P(B)

Para eventos A y B mutuamente excluyentes

Ejemplo de la regla de la Adición P(Roja o As) = P(Roja) +P(As) - P(Roja y As) = 26 /52 + 4 /52 - 2 /52 = 28/ No se cuentan las 2 cartas que son rojas y ases Negro Color Tipo Rojo Total Ases 2 2 4 Otras 24 24 48 Total 26 26 52

Cálculo de Probabilidades Condicionales  Una probabilidad condicional es la probabilidad de un

evento, dado que otro evento ha ocurrido:

P(B) P(Ay B) P(A | B)  P(A) P(Ay B) P(B | A)  Donde P(A y B) = probabilidad conjunta de A y B P(A) = probabilidad marginal de A P(B) = probabilidad marginal de B La probabilidad condicional de A dado que B ya ocurrió La probabilidad condicional de B dado que A ya ocurrió

 ¿Cuál es la probabilidad de que un auto tenga radio- CD, dado que tiene aire acondicionado? esto es, queremos encontrar P(CD | AC) Ejemplo de Probabilidad Condicional 

De un lote de autos usados, el 70% tiene aire

acondicionado (AC) y 40% tiene radio CD (CD).

El 20% de los autos tiene ambos servicios.

Ejemplo de Probabilidad Condicional CD No CD Total AC 0.2^ 0.5^ 0. No AC 0.2^ 0.1^ 0. Total 0.4^ 0.6^ 1.  Del lote autos usados, 70% tiene aire acondicionado (AC) y 40% tiene radio-CD (CD). 20% de los autos tiene ambos servicios.

P(AC) P(CD y AC) P(CD | AC)    (continuación)

Ejemplo de Probabilidad Condicional CD No CD Total AC 0.2^ 0.5^ 0.7 No AC 0.2^ 0.1^ 0.3 Total 0.4^ 0.6^ 1.0  (^) Dado AC, significa que solo podemos considerar la fila superior (70% de los autos). De estos, 20% tienen radio-CD. 20% del 70% está alrededor de 28.57%. 0.2857 0.7 0.2 P(AC) P(CD y AC) P(CD | AC)    (continuación)

Uso de Arboles de Decisión Tiene AC No tiene AC Tiene CD No tiene CD Tiene CD No tiene CD P(AC)= 0.7 P(AC’)= 0.3 P(AC y CD) = 0.2 P(AC y CD’) = 0.5 P(AC’ y CD’) = 0.1 P(AC’ y CD) = 0.2

. 7 . 5 . 3 . 2 . 3 . 1 Todos los autos . 7 . 2 Dado AC o no AC:

Uso de Arboles de Decisión Tiene CD No tiene CD Tiene AC No tiene AC Tiene AC No tiene AC P(CD)= 0.4 P(CD’)= 0.6 P(CD y AC) = 0.2 P(CD y AC’) = 0.2 P(CD’ y AC’) = 0.1 P(CD’ y AC) = 0.5

. 4 . 2 . 6 . 5 . 6 . 1 Todos los autos . 4 . 2 Dado que tienen radio- CD o no: (continuación)

Independencia Estadística



Dos eventos son independientes si y

solo si:

 Los eventos A y B son independientes cuando la probabilidad de un evento no se ve afectada por el otro evento

P(A | B)  P(A)

Regla de la Multiplicación  La regla de la Multiplicación para 2 eventos A y B: P(A y B) P(A | B) P(B)

Nota: Si A y B son independientes: P(A |B)  P(A)

Y la regla se simplifica como:

P(A y B) P(A) P(B)