Hμm mét biÕn
1. C«ng thøc tÝnh ®¹o hµm
• (u
α
)’ =
α
.u’.u
α
-1 (
α
: H»ng sè, U: Hµm
sè)
• (aU)’ = u’.ln a.aU (a: H»ng sè, U: Hµm
sè)
• (eU)’ = u’.eU
• (Sin u)’ = u’.cos u
• Cos u)’ = - u’.sin u
• (Tg u)’= uCos
u
2
' ;
• (Cotg u)’= uSin
u
2
'−
• (Logau)’ = au
u
ln.
'
• (arcsin u)’ = 2
1
'
u
u
− ;
• (arccos u)’ = 2
1
'
u
u
−
−
• (arctg u)’ = 2
1
'
u
u
+ ;
• (arccotg u)’ = 2
1
'
u
u
+
−
• (u ± v)’=u’ ± v’
• (u.v)’= u’v+v’u
• (v
u)’ = 2
''
v
uvvu −
2. Vi ph©n du = u’.dx
3. Giíi h¹n
- V« cïng bÐ t−¬ng ®−¬ng :
0)( =
→xLim
ax
α
=> α(x) ®−îcgäi lµ v« cïng bÐ khi x->a
1
)(
)( =
→x
x
Lim
ax
β
α
--> α(x) vµ β(x) lµ hai v« cïng bÐ t−¬ng ®−¬ng khi x->a
Ký hiÖu : α(x) ∼β(x) khi x->a
§Þnh lý : NÕu α(x) ∼α1(x) vµ β (x) ∼β1(x)khi x->a th× )(
)(
)(
)(
1
1
x
x
Lim
x
x
Lim axax
β
α
β
α
→→ =
Sin x ∼ x khi x->0
ArcSin x ∼ x khi x->0
Tg x ∼ x khi x->0
ArcTg x ∼ x khi x->0
ex-1 ∼ x khi x->0
ln(1+x) ∼ x khi x->0
- C«ng thøc Lopital khö d¹ng 0
0;∞
∞ :
1
)('
)('
)(
)(
xg
xf
Lim
xg
xf
Lim axax →→ =
4. TÝnh liªn tôc cña hµm sè
Hµm sè: y = f(x) liªn tôc t¹i x = x0 nÕu : + f(x0) x¸c ®Þnh vµ h÷u h¹n
+ )()( 0
0
xfxfLim
xx
=
→
(NÕu hµm sè kh«ng liªn tôc t¹i x0 th× x0 ®c gäi lµ ®iÓm gi¸m ®o¹n)
Hµm sè s¬ cÊp y = f(x) sÏ liªn tôc t¹i mäi ®iÓm mµ hµm sè x¸c ®Þnh
5. TÝch ph©n
a. C«ng thøc nguyªn hµm
• Cxdxx +
+
=+
∫1
.
)1(
1
αα
α
(
α
>0)
• Ca
a
dxa xx +=
∫.
ln
1
•
Cedxe xx +=
∫
• Cxdxx +=
∫cos.sin
• ∫=dx
x.
sin
1
2-cotg x + C
• Cxdxx +−=
∫
sin.cos
• ∫=dx
x.
cos
1
2 tg u + C
• C
a
x
dx
xa
+=
−
∫arcsin.
1
22
• ∫+dx
xa .
1
22 =a
1.arctg a
x +C
• Cxdx
x+=
∫ln.
1
