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SÉQUENCE 2SÉQUENCE 2SÉQUENCE 2SÉQUENCE 2SÉQUENCE 2: SUITES: SUITES: SUITES: SUITES: SUITES
COURS 3
Séance3-NOTION DE LIMITES
Objectifs du chapitreObjectifs du chapitreObjectifs du chapitreObjectifs du chapitreObjectifs du chapitre
On présente dans ce chapitre, les notions de limites, les définitions qu’il faudra connaître et savoir utiliser pour démontrer certains résultats ainsi que les théorèmes dont il faudra, sauf mention contraire, connaître les démonstrations et qu’il faudra savoir utiliser (par, exemple, pour déterminer une limite).
1. Suites convergentes
A. Définitions et premières propriétés
1. Définition (suite convergente)1. Définition (suite convergente)1. Définition (suite convergente)1. Définition (suite convergente)1. Définition (suite convergente)
On dit qu’une suite admet pour limite un réel lorsque tout intervalle ouvert contenant contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.
On note alors.
Lorsqu’une suite admet une limite finie, on dit qu’elle est convergente (ou qu’elle converge).
Dans le cas contraire, on dit qu’elle est divergente.
RemarqueRemarqueRemarqueRemarqueRemarque
On remarque que montrer que tout intervalle ouvert contenant contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang, revient à montrer que tout intervalle ouvert centré en contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. En pratique, on considérera donc fréquemment comme intervalle contenant des intervalles de la forme où est un réel strictement positif.
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2. Interprétation graphique2. Interprétation graphique2. Interprétation graphique2. Interprétation graphique2. Interprétation graphique
De la définition, on obtient que pour tout aussi petit que l’on veut, il existe un rang au-delà duquel appartient à.
En nommant les points de coordonnées , la convergence de signifie donc pour tout aussi petit que l’on veut, il existe un rang au-delà duquel entre dans une bande limitée par les droites d’équations et pour ne plus jamais en ressortir.
Le graphique ci-contre illustre la convergence vers de la suite définie pour tout entier naturel par et , étudiée dans la séance 1.
3. Applications (solutions en fin de document)3. Applications (solutions en fin de document)3. Applications (solutions en fin de document)3. Applications (solutions en fin de document)3. Applications (solutions en fin de document)
Application 1Application 1Application 1Application 1Application 1
En utilisant la définition de la convergence d’une suite, démontrez que:
;
la suite définie pour tout par admet pour limite 1.
RemarqueRemarqueRemarqueRemarqueRemarque
En général, on ne revient pas à la définition de la notion de limites pour déterminer les limites des suites proposées mais on utilise les propriétés sur les limites usuelles, les règles opératoires sur les limites ainsi que les différents théorèmes qui seront vus dans la suite de cette séance.
Application 2Application 2Application 2Application 2Application 2
En utilisant la définition de la convergence d’une suite, montrez que toute suite convergente est bornée.
4. Propriétés4. Propriétés4. Propriétés4. Propriétés4. Propriétés
Propriété (limites de suites usuelles)Propriété (limites de suites usuelles)Propriété (limites de suites usuelles)Propriété (limites de suites usuelles)Propriété (limites de suites usuelles)
, , , et plus généralement
où.
Toute suite constante de terme général égal à est convergente vers.
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Pour , or , , donc, par somme,
.
2. Application2. Application2. Application2. Application2. Application
En vous inspirant de l’exemple ci-dessus, déterminez la limite des suites de termes généraux:
, et ,
Solution
Pour , or donc, par
produit puis, par somme.
On remarque que l’on peut proposer une autre transformation de pour obtenir le résultat.
En effet, pour , , or donc
et donc ce qui conduit, par quotient, à .
Cette deuxième transformation est fréquemment utilisée lorsque le terme général de la suite est une expression rationnelle en ainsi qu’on peut le constater dans l’exemple suivant.
On observera que, dans ce cas, on transforme l’expression de départ en factorisant numérateur et dénominateur par leur monôme de plus haut degré en.
En effet, pour ,
D’une part et donc et donc
ainsi, par quotient,.
D’autre part et par produit, on obtient.
Bien que le terme ne soit pas rationnelle en , on peut adopter une démarche analogue à celle utilisée précédemment.
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Pour ,.
D’une part , donc , puis par quotient
D’autre part , et par produit, on obtient.
C. Théorèmes de comparaison et d’encadrement
1. Compatibilité avec l’ordre1. Compatibilité avec l’ordre1. Compatibilité avec l’ordre1. Compatibilité avec l’ordre1. Compatibilité avec l’ordre
PropriétéPropriétéPropriétéPropriétéPropriété
Soient et deux suites convergentes de limites respectives et.
Si, à partir d’un certain rang, on a (ou bien ) alors.
DémonstrationDémonstrationDémonstrationDémonstrationDémonstration
Supposons que.
On peut donc trouver un intervalle ouvert contenant et un intervalle ouvert contenant qui ne se chevauchent pas.
La suite converge vers donc il existe un rang à partir duquel contient tous les termes de.
De même, il existe un rang à partir duquel contient tous les termes de.
En notant le plus grand des entiers et , pour tout (^) , contient les nombres
alors que contient les nombres (voir illustration) et donc ce qui est incompatible avec l’hypothèse de la propriété.
Donc.
2. Conséquence2. Conséquence2. Conséquence2. Conséquence2. Conséquence
PropriétéPropriétéPropriétéPropriétéPropriété
Si est une suite croissante et convergente vers alors, pour tout ,.
DémonstrationDémonstrationDémonstrationDémonstrationDémonstration
Soit
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- Suites divergentes ayant pour limite ou
A. Définitions et premières propriétés
1. Définition1. Définition1. Définition1. Définition1. Définition
On dit qu’une suite admet pour limite si tout intervalle de la forme où est un réel, contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. On note alors .
De façon analogue, qu’une suite admet pour limite si tout intervalle de la forme où est un réel, contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. On note alors.
Dans un cas comme dans l’autre, on dit que la suite est divergente.
2. Application2. Application2. Application2. Application2. Application
a) En utilisant la définition, démontrer que:.
b) la suite définie pour tout par.
- (^) A l’aide d’un algorithme, conjecturer l’éventuelle limite de la suite
- (^) Montrer que l’on peut trouver un rang au-delà duquel
- (^) En utilisant la définition, démontrer que.
RemarqueRemarqueRemarqueRemarqueRemarque
En général, on ne revient pas à la définition de la notion de limites pour déterminer les limites des suites proposées mais on utilise les propriétés sur les limites usuelles, les règles opératoires sur les limites ainsi que les différents théorèmes qui seront vus dans la suite de cette partie.
Propriété (limites de suites divergePropriété (limites de suites divergePropriété (limites de suites divergePropriété (limites de suites divergePropriété (limites de suites divergentes usuelles)ntes usuelles)ntes usuelles)ntes usuelles)ntes usuelles)
, , , et plus généralement
où.
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B. Opérations sur les limites
1. Propriétés1. Propriétés1. Propriétés1. Propriétés1. Propriétés
On admet les propriétés intuitives suivantes:
Propriété (somme)Propriété (somme)Propriété (somme)Propriété (somme)Propriété (somme) Soient et deux suites dont les rôles peuvent être inversés.
Limite de la forme
RemarqueRemarqueRemarqueRemarqueRemarque
Une case coloriée signifie qu’on est en présence de «formes indéterminées», c’est-à-dire que la propriété ne permet pas de conclure puisque le résultat dépend de la situation dans laquelle on se trouve.
Pour illustrer la situation, considérons les exemples suivants.
Prenons et. Il est clair que et que or
de sorte que.
Prenons maintenant et. Comme précédemment et
mais et on obtient.
Enfin, prenons et. Encore une fois et
avec et cette fois-ci.
On constate que la conclusion dépend du cas dans lequel on se trouve.
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21/06/
Propriété (inversion)Propriété (inversion)Propriété (inversion)Propriété (inversion)Propriété (inversion)
La limite de l’inverse de
RemarqueRemarqueRemarqueRemarqueRemarque Lorsqu’une suite ne s’annulant pas à partir d’un certain rang, tend vers 0 et garde un signe constant au voisinage de l’infini (c’est-à-dire à partir d’un certain rang), son inverse tend vers l’infini et la connaissance du signe de pour au voisinage de permet de conclure.
Par exemple, pour , on a or, pour , donc on en déduit que
(ce qui est aisément vérifiable car ).
Alors que pour , on a , pour , donc on en déduit que
(ce que l’on peut obtenir en remarquant que ).
Pour préciser qu’une suite tend vers 0 en étant strictement positive pour au voisinage de on peut noter ce qui signifie que avec pour suffisamment grand. De façon analogue, pour préciser qu’une suite tend vers 0 en étant strictement négative pour au voisinage de , on peut noter ce qui signifie que avec pour suffisamment grand.
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21/06/
Propriété (limite d’un quotient)Propriété (limite d’un quotient)Propriété (limite d’un quotient)Propriété (limite d’un quotient)Propriété (limite d’un quotient)
Limite du quotient
ou
ou
0 0 0 0
RemarquesRemarquesRemarquesRemarquesRemarques Puisque , on notera que:
- (^) les différentes formes indéterminées observées ici découlent des cas d’indétermination constatées dans le cas des limites par produit et par inversion;
- (^) comme précédemment, on peut parfois conclure à une limite infinie mais le choix entre ou résulte de l’étude du signe des suites pour de grandes valeurs de.
2. Application 62. Application 62. Application 62. Application 62. Application 6
Déterminez la limite des suites de terme général:
, , ,.
3. Point méthode3. Point méthode3. Point méthode3. Point méthode3. Point méthode
Pour lever des indéterminations lors du calcul de limites en on est fréquemment amené à factoriser l’expression de départ par le terme dominant.
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n (^) n
- Exemples de suites divergentes n’ayant pas de limite
Il y deux types de suites divergentes, celles qui ont pour limite ou ainsi qu’on a pu le voir dans le paragraphe précédent et celles qui n’ont pas de limite.
A. (^) Exemple 1
Montrez que la suite de terme général est une suite divergente, n’admettant pas de limite.
SolutionSolutionSolutionSolutionSolution
Pour tout , donc est bornée et ne peut donc avoir de limite infinie.
Supposons désormais que la suite admette pour limite un certain réel. Alors, il existe un rang au-delà duquel autrement dit, pour tout :
. Cette double inégalité conduit à lorsque est impair et à
lorsque est pair d’où une contradiction. L’hypothèse émise au départ est donc
fausse et la suite n’a pas de limite.
B. Exemple 2
Sans démonstration et en se contentant de conjectures à l’aide de représentations graphiques, on peut remarquer que:
- (^) la suite de terme général est divergente et n’a pas de limite;
- (^) la suite de terme général est divergente et n’a pas de limite;
- (^) la suite définie par la relation de récurrence pour tout et est divergente et n’a pas de limite.
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- Cas des suites géométriques
PropriétésPropriétésPropriétésPropriétésPropriétés
Soit un réel.
Si alors la suite de terme général est divergente et on a $.
Si alors la suite de terme général est convergente et on a.
Si alors la suite de terme général est convergente et on a.
Si alors la suite de terme général est divergente et n’a pas de limite.
A. Démonstration
On rappelle l’inégalité de Bernoulli démontrée dans la séance précédente.
«Pour tout réel positif et pour tout entier naturel , on a: ».
Soit.
En posant , on a et, par l’inégalité de Bernoulli:.
Comme , , par comparaison, on en déduit que.
Soit.
Pour tout entier naturel n, on a d’où.
Soit -.
Le résultat est évident lorsque. Plaçons-nous dans le cas où et. On a
alors et, par le résultat précédent, on obtient puis, par inversion
d’où
Soit.
On a donc la suite de terme général est divergente et admet pour limite ce qui signifie que, pour tout réel A que l’on peut choisir positif et aussi grand que l’on veut, il existe un rang N au-delà duquel. Lorsque est pair, donc, pour tout entier pair supérieur à , on a alors que lorsque est impair, donc,
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A. Démonstration
Dire que n’est pas majorée signifie que, pour tout réel , on peut trouver un rang tel que or la suite est croissante donc pour tout , et, par suite, pour tout , ce qui prouve que.
Le deuxième peut être démontré en utilisant un raisonnement analogue ou bien en appliquant le résultat prouvé ci-dessus à la suite de terme général.
Théorème (convergence monotone)Théorème (convergence monotone)Théorème (convergence monotone)Théorème (convergence monotone)Théorème (convergence monotone)
Si une suite est croissante et majorée alors elle est convergente.
Si une suite est décroissante et minorée alors elle est convergente.
RemarquesRemarquesRemarquesRemarquesRemarques
On admet ce théorème.
Ce théorème permet de prouver la convergence d’une suite mais n’en donne pas la limite.
B. Exemple
Soit la suite définie sur par: et pour tout.
Dans la séance précédente, nous avions montré que est une suite décroissante et que, pour tout ,. La suite est ainsi une suite décroissante et minorée par 3
donc est convergente d’après le théorème de la convergence monotone.
Par ailleurs, on sait que pour tout , donc en notant la limite de la suite
, on peut en déduire par passage à la limite que.
A ce stade de l’étude, on dispose donc de la convergence de la suite ainsi que d’un encadrement de la limite mais on n’a aucune information supplémentaire quant à sa valeur.
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- Exercices
A. Exercice 1
Déterminez la limite éventuelle des suites de terme général:
; ; ; ; ; ; ; ;
B. Exercice 2
- Déterminez la limite de la suite définie par pour.
2.a) Soit un réel. Justifiez l’existence d’un rang au-delà duquel.
b) Montrer que est croissante.
c) Écrivez un algorithme donnant le plus petit rang à partir duquel tous les termes de la suite appartiennent à l’intervalle où est un réel quelconque.
C. Exercice 3
Déterminez la limite des suites définies par leur terme général:
; ; ;.
D. Exercice 4
Pour , on définit par.
Montrez que, pour tout ,.
Déduisez-en la limite de.
E. Exercice 5
Étudiez la convergence de la suite définie sur par. On ne
demande pas de calculer la valeur exacte de la limite.
Indication: on pourra montrer que est croissante et majorée.
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, , ou plus généralement où .
b) Comme on peut le voir ci-contre, une illustration graphique ou à l’aide d’un tableur permet d’avoir une idée du comportement de la suite.
Pour démontrer la convergence de vers 1, on montre que tout intervalle ouvert centré en 1 contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.
L’intervalle où r est un réel strictement positif est un intervalle ouvert contenant 1.
Puis:
Or, et donc et
.
Le plus grand des deux nombres et étant clairement , on note l’entier
qui suit pour obtenir que pour tout , d’où la convergence de
vers 1.
RemarqueRemarqueRemarqueRemarqueRemarque
On peut noter au passage que pour montrer la convergence de vers 1, on a prouvé la convergence vers 0 de la suite de terme général.
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2. Application 22. Application 22. Application 22. Application 22. Application 2
Soit une suite définie pour tout entier naturel, et convergent vers un réel. Ainsi, pour un réel quelconque, on sait trouver un entier tel que pour tout , donc est bornée à partir du rang.
En notant le plus petit des nombres , et le plus grand des nombres , on obtient que pour tout , ce qui signifie que est bornée.
RemarqueRemarqueRemarqueRemarqueRemarque
On peut ici raisonner en choisissant une valeur particulière pour , par exemple.
ExempleExempleExempleExempleExemple
Prenons la suite définie pour tout entier naturel par et qui a pour limite. Pour , on a dès que. On note m le plus petit des nombres et le plus grand des nombres. On a et .
Pour tout , , est bornée.
3. Application 3 - Théorème des g3. Application 3 - Théorème des g3. Application 3 - Théorème des g3. Application 3 - Théorème des g3. Application 3 - Théorème des gendarmesendarmesendarmesendarmesendarmes
Pour tout , or, pour , donc pour ,.
D’une part, et d’autre part, donc par le théorème des
gendarmes.
Pour tout , donc or donc
.
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