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STRUCTURE D’ESPACE VECTORIEL
Dans ce chapitre, K est l’un des corps R ou et I est un ensemble non vide quelconque. Tous les résultats présentés demeurent cela dit vrais sur un corps K quelconque.
La structure d’ espace vectoriel est un nouvel exemple fondamental de structure algébrique — après les groupes et les anneaux. Cependant, alors que vous n’aviez pratiquement rien à savoir sur les groupes et les anneaux, on exige de vous au contraire que vous sachiez tout — ou presque — sur les espaces vectoriels en fin de spé. La théorie mathématique des espaces vectoriels s’appelle l’ algèbre linéaire. Bienvenue, c’est parti!
1 ESPACES VECTORIELS ET COMBINAISONS LINÉAIRES
1.1 ESPACES VECTORIELS
Définition (Espace vectoriel) On appelle K -espace vectoriel ou espace vectoriel sur K tout triplet ( E , +, ·) vérifiant les propriétés suivantes : — ( E , +) est un groupe commutatif dont l’élément neutre est noté 0 E ou 0 et appelé le vecteur nul de E , — · est une application de K × E dans E. À partir d’un élément λ de K et d’un élément x de E , · fournit un élément de E noté λ · x ou plus simplement λx. Par définition, cette application · doit satisfaire les propriétés suivantes : −→ pour tout x ∈ E : 1 · x = x , −→ pour tous x , y ∈ E et λ ∈ K : λ · ( x + y ) = ( λ · x ) + ( λ · y ), −→ pour tous x ∈ E et λ , μ ∈ K : ( λ + μ ) · x = ( λ · x ) + ( μ · x ), −→ pour tous x ∈ E et λ , μ ∈ K : λ · ( μ · x ) = ( λμ ) · x. Les éléments d’un espace vectoriel E sont appelés des vecteurs. La loi ·, qui n’est pas une loi de composition interne sur E puisqu’à travers elle des éléments de K agissent sur des vecteurs, est qualifiée de loi externe. En tant qu’ils agissent via · sur les vecteurs de E , les éléments de K sont appelés des scalaires. La loi + est appelée addition et la loi · multiplication par un scalaire. Le corps K est qualifié de corps de base pour E.
Les mathématiciens ont introduit la structure d’espace vectoriel, monstrueuse au premier abord, parce qu’ils ont remarqué que CETTE STRUCTURE EST PRÉSENTE PARTOUT EN MATHÉMATIQUES comme nous allons le voir dans un instant. Dans ces conditions, une théorie s’imposait.
Pourquoi ce nom d’« espace vectoriel »? Pourquoi parler de vecteurs en un sens aussi abstrait? Réponse : les règles de la définition précédente sont exactement les règles classiques auxquelles les vecteurs du plan et de l’espace nous ont habitués. Le choix du mot « vecteur » va nous permettre de visualiser géométriquement une multitude d’objets — matrices, fonctions, suites, polynômes... — qui ne sont pas des vecteurs au sens où nous avons employé ce mot jusqu’ici, mais qui ont exactement les mêmes règles d’usage. Il est très important de se représenter les espaces vectoriels, même les plus abstraits, comme des « mondes géométriques » semblables au plan ou à l’espace. La pertinence d’une telle représentation sera plus claire quand nous aurons un peu avancé dans la théorie.
Généralement, en algèbre linéaire, on ne met pas de flèches sur les vecteurs. On continue cependant d’en mettre quand on fait de la géométrie classique dans le plan et dans l’espace.
#” u
#” v
#” w
#” u + #” v
b #” u + #” v
u + #” v
v + #” w
u
#” v
#” w
#” v + #” w
b
#” u + #” v + #” w
b
#” u
#” v
2 #” u
2 #” v
b
2 #” u + 2 #” v
2 #” u + 2 #” v = 2
u + #” v
#” u
#” v
u + #” v
b
#” u + #” v
Théorème (Règles de calcul dans un espace vectoriel) Soit E un K-espace vectoriel. (i) Pour tous x ∈ E et λ ∈ K : λ · x = (^0) E ⇐⇒ λ = 0 ou x = (^0) E. (ii) Pour tout x ∈ E : − x = (− 1 ) · x , où − x est l’opposé de x dans E et −1 l’opposé de 1 dans K.
Démonstration (i) Trois étapes. Soient x ∈ E et λ ∈ K.
- Comme : 0 · x = ( 0 + 0 )· x = 0 · x + 0 · x , alors après simplification dans le groupe ( E , +) : 0 · x = (^0) E.
- Comme : λ · (^0) E = λ · ( (^0) E + (^0) E ) = λ · (^0) E + λ · (^0) E , alors après simplification : λ · (^0) E = (^0) E.
- Si : λ · x = (^0) E et si : λ 6 = 0, alors : x = 1 · x =
λ
× λ
· x =
λ
· ( λ · x ) =
λ
· 0 E = 0 E.
(ii) Pour tout x ∈ E : x + (− 1 ) · x = 1 · x + (− 1 ) · x = ( 1 − 1 ) · x = 0 · x = (^0) E , donc : − x = (− 1 ) · x.
Exemple (K, +, ×) est un K-espace vectoriel.
Démonstration Cela résulte directement de la définition des corps. Il suffit de considérer la multiplication × sur K comme une loi de composition EXTERNE. On obtient alors toutes les propriétés voulues sans aucun travail.
Théorème (Espace vectoriel produit) Soient E 1 ,... , En des K-espaces vectoriels. On munit E 1 ×... × En de deux lois
- et · en posant, pour tous λ ∈ K et ( x 1 ,... , xn ), ( y 1 ,... , yn ) ∈ E 1 ×... × En :
( x 1 ,... , xn ) + ( y 1 ,... , yn ) =
x 1 + y 1 ,... , xn + yn
et λ · ( x 1 ,... , xn ) =
λ · x 1 ,... , λ · xn
Alors
E 1 ×... × En , +, ·
est un K-espace vectoriel. Ici : (^0) E 1 ×...× En = ( (^0) E 1 ,... , 0 En ).
Démonstration Montrons seulement quelques-uns des axiomes de la définition.
- Nous savons déjà que ( E 1 ×... × En , +) est un groupe commutatif en tant que groupe produit.
- Pour tout ( x 1 ,... , xn ) ∈ E 1 ×... × En : 1 · ( x 1 ,... , xn ) =
1 · x 1 ,... , 1 · xn
= ( x 1 ,... , xn ).
- Pour tous λ ∈ K et ( x 1 ,... , xn ), ( y 1 ,... , yn ) ∈ E 1 ×... × En :
λ ·
( x 1 ,... , xn ) + ( y 1 ,... , yn )
= λ · ( x 1 + y 1 ,... , xn + yn ) =
λ · ( x 1 + y 1 ),... , λ · ( xn + yn )
λ · x 1 + λ · y 1 ,... , λ · xn + λ · xn
= ( λ · x 1 ,... , λ · xn ) + ( λ · y 1 ,... , λ · yn ) = λ · ( x 1 ,... , xn ) + λ · ( y 1 ,... , yn ). (^)
Exemple (Familles de scalaires) En particulier, K n^ =
n fois ︷ ︸︸ ︷ K ×... × K est un K-espace vectoriel pour tout n ∈ N∗.
Nous retrouvons ici le cadre des vecteurs du plan avec R^2 et celui des vecteurs de l’espace avec R^3.
Par exemple : (1, 4, − 3 ) + 2 · (0, 2, 5) = (1, 8, 7).
Exemple (Matrices) Pour tous n , p ∈ N∗, M n , p (K) est un K-espace vectoriel pour ses lois usuelles d’addition et de multi- plication par un scalaire.
Par exemple, pour n = 2 et p = 3 : 3 ·
Démonstration Nous savons déjà que
M n , p (K), +
est un groupe commutatif. Les autres axiomes se vérifient aisément.
Exemple Dans R^2 , (2, 7) est combinaison linéaire des vecteurs (5, − 2 ) et (1, − 3 ) : (2, 7) = (5, − 2 ) − 3 (1, − 3 ).
Démonstration
(2, 7) est combinaison linéaire de (5, − 2 ) et (1, − 3 ) ⇐⇒ ∃ λ , μ ∈ R,
C’est l’ EXISTENCE de solutions qui compte.
(2, 7) = λ (5, − 2 ) + μ (1, − 3 )
⇐⇒ ∃ λ , μ ∈ R,
5 λ + μ = 2 − 2 λ − 3 μ = 7.
Nous sommes ainsi ramenés à la résolution d’un système linéaire. Or pour tout ( λ , μ ) ∈ R^2 : § 5 λ + μ = 2 − 2 λ − 3 μ = 7 ⇐⇒
5 λ + μ = 2 13 λ = 13 L 2 ← L 2 + 3 L 1 ⇐⇒^ λ^ =^1 et^ μ^ =^ −3.
Le système étudié possède des solutions, c’est exactement le résultat voulu.
Exemple Dans M 2 (R),
n’est pas combinaison linéaire des vecteurs
et
Démonstration
est combinaison linéaire de
et
⇐⇒ ∃ x , y , z ∈ R,
= x
⇐⇒ ∃ x , y , z ∈ R,
C’est l’ EXISTENCE de solutions qui compte.
x − 2 y + z = − 1 3 y − z = 2 x + y = 2 2 y + z = 0.
Résolvons ce système. Pour tout ( x , y , z ) ∈ R^3 :
x − 2 y + z = − 1 3 y − z = 2 x + y = 2 2 y + z = 0
x − 2 y + z = − 1 3 y − z = 2 3 y − z = 3 2 y + z = 0
L 3 ← L 3 − L 1
x − 2 y + z = − 1 3 y − z = 3 0 = 1 2 y + z = 0
L 3 ← L 3 − L 2.
Ce dernier système n’a pas de solution — d’où le résultat.
Exemple Soit n ∈ N. Tout polynôme de K[ X ] de degré INFÉRIEUR OU ÉGAL à n est combinaison linéaire des polynômes
1, X , X^2 ,... , X n^ puisqu’on peut l’écrire
∑^ n
k = 0
ak X k^ pour certains a 0 ,... , an ∈ K.
Définition (Famille presque nulle de scalaires) On dit qu’une famille d’éléments de K indexée par I est presque nulle si tous ses éléments sont nuls SAUF UN NOMBRE FINI D’ENTRE EUX.
Dans le cas où I est un ensemble FINI , la précision « presque nulle » est évidemment sans intérêt. Quand j’aurai besoin de mêler un quantificateur et une famille presque nulle, je m’autoriserai la notation suivante, bien pratique mais d’une correction toute relative : ∀( λi ) i ∈ I ∈ K I^ presque nulle,... De fait, certains auteurs notent K( I ) l’ensemble des familles presque nulles d’éléments de K indexées par I , mais cette notation n’est pas au programme donc je ne l’emploierai pas. Ne la confondez pas en tout cas avec la notation K I^ qui désigne l’ensemble de TOUTES les familles d’éléments de K indexées par I.
Définition (Combinaisons linéaires d’un nombre quelconque de vecteurs) Soient E un espace vectoriel et ( xi ) i ∈ I une famille de vecteurs de E. On appelle combinaison linéaire de ( xi ) i ∈ I tout vecteur de E de la forme :
i ∈ I
λi xi où
( λi ) i ∈ I est une famille PRESQUE NULLE d’éléments de K.
$ Attention!^ Pour un nombre^ FINI^ de vecteurs, pas besoin de familles^ PRESQUE NULLES^ de scalaires!
Nous pourrons maintenant parler des combinaisons linéaires d’un nombre INFINI de vecteurs, mais chacune de ces combi- naisons linéaires reste fondamentalement une somme FINIE. Les vraies sommes infinies n’ont aucun sens sans une notion de passage à la limite adéquat.
Exemple K[ X ] est l’ensemble des combinaisons linéaires de la famille
X k^
k ∈N. Rappelons à ce sujet que la notation
«
k = 0
ak X k^ » des polynômes, très pratique, désigne en fait une somme FINIE.
1.3 SOUS-ESPACES VECTORIELS
Définition (Sous-espace vectoriel) Soient E un K-espace vectoriel et F une partie de E STABLE PAR ADDITION ET MULTIPLICATION PAR UN SCALAIRE. On dit que F est un sous-espace vectoriel de E si F est un K-espace vectoriel pour les lois de E.
Si F un sous-espace vectoriel de E , F est un sous-groupe de E pour l’addition, donc : (^0) F = (^0) E ∈ F.
Exemple Si E est un K-espace vectoriel,
(^0) E et E sont deux sous-espaces vectoriels de E.
Exemple L’ensemble F =
( x , y ) ∈ R^2 | x^2 + x + y^2 = 0
N’ est PAS un sous-espace vectoriel de R^2.
Démonstration F n’est pas stable par multiplication par un scalaire car : (−1, 0) ∈ F mais : (−2, 0) ∈ / F.
Théorème (Caractérisation des sous-espaces vectoriels) Soient E un K-espace vectoriel et F une partie de E. Les assertions suivantes sont équivalentes : (i) F est un sous-espace vectoriel de E.
(ii)
— 0 E ∈ F.
— F est stable par combinaison linéaire : ∀ x , y ∈ F , ∀ λ ∈ K, λx + y ∈ F.
Démonstration (i) =⇒ (ii) Si F est un sous-espace vectoriel de E , on a vu que : (^0) E = (^0) F ∈ F. De plus, pour tous x , y ∈ E et λ ∈ K, λx et y sont éléments de F car F est stable par multiplication par un scalaire, et enfin : λx + y ∈ F car F est stable par addition. (ii) =⇒ (i) Si l’assertion (ii) est vraie, F est en particulier stable par addition — pour λ = 1 — et multiplication par un scalaire — pour y = (^0) E — mais c’est même un sous-groupe de E pour l’addition — pour λ = 1. Les autres axiomes de la définition des espaces vectoriels ne requièrent aucune vérification particulière car une relation vraie sur E tout entier l’est aussi sur F.
C’est TOUJOURS le résultat précédent qu’il faut utiliser pour montrer qu’une partie d’un espace vectoriel en est un sous- espace vectoriel. Si on utilisait la DÉFINITION des sous-espaces vectoriels, on serait obligé de vérifier beaucoup d’axiomes dont la CARACTÉRISATION fait l’économie.
Par ailleurs, pour montrer qu’un ensemble muni d’une addition et d’une multiplication par un scalaire est un espace vectoriel, il suffit souvent de montrer qu’il est SOUS -espace d’un autre espace vectoriel connu.
F
G
b ∈ / F ∪ G $ Attention!^ La réunion de deux sous-espaces vectoriels^ N’ est^ PAS^ un sous-espace
vectoriel en général — pourquoi diable serait-elle stable par addition?
1.4 SOUS-ESPACES AFFINES
Les éléments d’un espace vectoriel E sont naturellement des vecteurs, mais dans le plan et dans l’espace, nous savons bien que nous pouvons identifier les points et les vecteurs via le choix d’un point de référence ou origine O. Une telle origine étant fixée, toute relation :
OM = #” u nous autorise à identifier le point M et le vecteur #” u. Plus généralement, tout élément d’un espace vectoriel quelconque E peut être vu comme un point via le choix du vecteur nul O = (^0) E comme origine. Si pour tous A , B ∈ E , on note
AB le vecteur B − A , alors pour tout M ∈ E , l’identification points-vecteurs s’écrit simplement : M
Point
OM
Vecteur
Définition (Sous-espace affine, direction) Soit E un K-espace vectoriel.
- On appelle sous-espace affine de E toute partie F de E de la forme : F = x + F =
f + x | f ∈ F
où F est un sous-espace vectoriel de E et x est un vecteur de E.
- Le sous-espace vectoriel F associé au sous-espace affine F est unique. On l’appelle la direction de F et ses éléments sont appelés les vecteurs directeurs de F.
P = x + P
x^ b^ b b
P
0 b E b
D (^) D = y + D
b y
Nous noterons souvent les sous-espaces vectoriels avec des majuscules droites ( F , G , H... ) et les sous-espaces affines avec des majuscules rondes (F , G , H... ).
$ Attention!^ Tout sous-espace^ VECTORIEL^ F^ de^ E^ est un sous-
espace AFFINE de E puisque : F = (^0) E + F. La réciproque est fausse en revanche car un sous-espace affine ne contient pas 0 E en général.
Démonstration Montrons l’unicité de la direction de F. Soient F et F ′^ deux sous-espaces vectoriels de E et x , x ′^ ∈ E pour lesquels : F = x + F = x ′^ + F ′. Pour montrer que : F = F ′, il nous suffit par symétrie de prouver l’inclusion : F ⊂ F ′. Soit f ∈ F. Comme : x = x + (^0) E ∈ x + F = x ′^ + F ′, alors : x = x ′^ + f (^) 1 ′ pour un certain f (^) 1 ′ ∈ F ′. Or : x + f ∈ x + F également, donc : x + f = x ′^ + f (^) 2 ′ pour un certain f (^) 2 ′ ∈ F ′. Finalement : f = f (^) 2 ′ − f (^) 1 ′ ∈ F ′^ comme voulu.
Théorème (Ensemble des solutions d’un système linéaire) Soit A ∈ M n , p (K) et B ∈ K n. Si le système linéaire : AX = B d’inconnue X ∈ K p^ est COMPATIBLE , l’ensemble de ses solutions est un sous-espace affine de K p. Sa direction n’est autre que l’ensemble des solutions du système linéaire homogène associé. En particulier, toute droite de R^2 ou R^3 et tout plan de R^3 en sont des sous-espaces affines.
Démonstration Posons : S =
X ∈ K p^ | AX = B
et S =
X ∈ K p^ | AX = 0
. Nous savons déjà que S est un sous-espace vectoriel de K p. En outre, le système étudié étant compatible, nous pouvons nous en donner une solution particulière X part. Il est bien connu alors que : S = X part + S.
Exemple La droite de R^3 d’équation :
x + y = 2 x − y + z = 1 est un sous-espace affine de direction la droite vectorielle
d’équation :
x + y = 0 x − y + z = 0.
Exemple L’ensemble E =
P ∈ R[ X ] | X P ′^ + P = 2 X
est un sous-espace affine de R[ X ] de direction le sous-espace
vectoriel E =
P ∈ R[ X ] | X P ′^ + P = 0
Démonstration Il n’est pas dur de vérifier que E est un sous-espace vectoriel de R[ X ]. Remarquons par ailleurs que : X ∈ E — solution particulière! Du coup, pour tout P ∈ R[ X ] :
P ∈ E ⇐⇒ X P ′+ P = 2 X ⇐⇒ X ( P − X )′+( P − X ) = 0 ⇐⇒ P − X ∈ E ⇐⇒ P ∈ X + E.
Conclusion : E = X + E , ce qui confirme que E est un sous-espace affine de R[ X ] de direction E.
Théorème (Caractérisation des sous-espaces affines par leur direction et un point) Soient E un K-espace vectoriel, F un sous-espace affine de E de direction F et A ∈ F quelconque. Alors : F = A + F.
Deux sous-espaces affines sont égaux si et seulement s’ils ont la même direction et un point en commun.
Démonstration Par définition : F = x + F pour un certain x ∈ E. En particulier : A = x + f pour un certain f ∈ F , donc : F = x + F = ( A − f ) + F = A + ( F − f )
f ∈ F = A + F. L’égalité : F − f = F découle de ce que F est un sous-espace vectoriel de E.
Théorème (Intersection de sous-espaces affines) Soient E un K-espace vectoriel et (F i ) i ∈ I une famille de sous- espaces affines de E. Pour tout i ∈ I , on note Fi la direction de F i. On dit que les F i , i décrivant I , sont concourants ou sécants si :
i ∈ I
F i 6 = ∅. Dans ce cas,
i ∈ I
F i est un sous-espace
affine de E de direction
i ∈ I
Fi.
$ Attention!^ Alors qu’une intersection de sous-espaces vectoriels contient toujours le vecteur nul, une intersection de sous-espaces affines peut vraiment être vide, pensez par exemple au cas de deux droites parallèles non confondues.
Démonstration Posons : F =
i ∈ I
F i et F =
i ∈ I
Fi et supposons F non vide. Nous pouvons ainsi nous
donner un point A de F et nous avons vu plus haut qu’alors : F i = A + Fi pour tout i ∈ I. Il nous suffit dès lors de montrer que : F = A + F.
- Montrons que : F ⊂ A + F. Soit M ∈ F. Pour tout i ∈ I : M = A + fi pour un certain fi ∈ Fi , et ces fi sont tous égaux, donc éléments de
i ∈ I
Fi = F. Comme voulu : M ∈ A + F.
- Inversement, pour tout i ∈ I : F ⊂ Fi donc : A + F ⊂ A + Fi = F i , donc : A + F ⊂ F.
1.5 SOUS-ESPACE VECTORIEL ENGENDRÉ PAR UNE PARTIE
Définition (Sous-espace vectoriel engendré par une partie) Soient E un K-espace vectoriel et X une partie de E. (i) L’intersection de tous les sous-espaces vectoriels de E contenant X est appelée le sous-espace vectoriel ( de E ) engendré par X et notée Vect( X ). À ce titre, Vect( X ) est le plus petit sous-espace vectoriel de E contenant X. En particulier, tout sous-espace vectoriel de E qui contient X contient aussi Vect( X ). (ii) Si : X =
xi | i ∈ I , Vect( X ) est aussi l’ensemble des combinaisons linéaires de ( xi ) i ∈ I et noté Vect( xi ) i ∈ I.
Quelques figures vaudront mieux qu’un long discours. b u^ Vect( u ) Vect( u , v ) b
v u
Vect( u , v )
b
u
v
Démonstration
(i) En tant qu’intersection de sous-espaces vectoriels de E contenant X , Vect( X ) est lui-même un sous-espace vectoriel de E contenant X , et il est inclus par définition dans tous les sous-espaces vectoriels de E contenant X , ce qui montre que tout sous-espace vectoriel de E qui contient X contient en réalité Vect( X ) tout entier.
Démonstration (i) Toute combinaison linéaire de X est bien sûr une combinaison linéaire de Y!
(ii) Soit x ∈ X combinaison linéaire de X \
x. D’après (i) : Vect
X \
x
⊂ Vect( X ). Dans l’autre sens, Vect
X \
x
est un sous-espace vectoriel contenant X \
x , or il contient aussi x par hypothèse, donc X tout entier, donc enfin Vect( X ).
(iii) Dans un sens, Vect
X ∪
a
contient X et a , donc aussi b par hypothèse, donc X ∪
b , donc enfin Vect
X ∪
b
. Dans l’autre sens, remarquons que par hypothèse : b = λa + x avec λ ∈ K NON NUL
et où x est une combinaison linéaire de X. Ainsi : a =
b − x λ
, donc a est combinaison linéaire de
X ∪
b avec un coefficient NON NUL sur b. L’inclusion : Vect
X ∪
a
⊂ Vect
X ∪
b
se montre par conséquent comme on a prouvé l’autre, les rôles de a et b étant finalement symétriques.
Exemple Dans R^3 : Vect
Combinaison linéaire de (1, 1, 0) et (0, 1, 0) = Vect
= Vect
= Vect
= R^2 ×
2 FAMILLES DE VECTEURS
2.1 PARTIES ET FAMILLES GÉNÉRATRICES
Définition (Partie/famille génératrice) Soient E un K-espace vectoriel et X une partie de E. On dit que la partie X est génératrice de E ou engendre E si tout élément de E est combinaison linéaire de X , i.e. si : E = Vect( X ). Si : X =
xi | i ∈ I , on dit aussi que la famille ( xi ) i ∈ I est génératrice de E ou engendre E.
Exemple
X k^
k ∈N engendre^ K[ X^ ]^ et pour tout^ n^ ∈^ N,^
1, X , X^2 ,... , X n
engendre K n [ X ].
Exemple Pour tout ( x , y ) ∈ R^2 : ( x , y ) = x (1, 0)+ y (0, 1), donc la famille
engendre R^2. De même, pour
tout ( x , y , z ) ∈ R^3 : ( x , y , z ) = x (1, 0, 0) + y (0, 1, 0) + z (0, 0, 1), donc
engendre R^3.
Plus généralement, pour tout n ∈ N∗, posons : e 1 = (1, 0,... , 0), e 2 = (0, 1, 0,... , 0),... , en = (0,... , 0, 1). La
famille ( e 1 ,... , en ) engendre K n^ car pour tout ( x 1 ,... , xn ) ∈ K n^ : ( x 1 ,... , xn ) =
∑^ n
i = 1
xi ei.
Exemple La famille
engendre M 2 (K) car pour tous a , b , c , d ∈ K :
a c b d
= a
Plus généralement, pour tous n , p ∈ N∗^ et pour tous i ∈ ¹1, n º et j ∈ ¹1, p º, notons Ei j la matrice de M n , p (K) dont tous les coefficients sont nuls sauf celui de position de ( i , j ), égal à 1. La famille ( Ei j ) 1 ¶ i ¶ n 1 ¶ j ¶ p
est alors génératrice de M n , p (K) car pour
toute matrice A ∈ M n , p (K) : A =
1 ¶ i ¶ n 1 ¶ j ¶ p
ai j Ei j.
Exemple La famille (1, i) engendre le (^) R -espace vectoriel , mais ( 1 ) suffit à engendrer le -espace vectoriel .
Le résultat qui suit n’est qu’une simple reformulation du théorème « Propriétés des Vect ».
Théorème (Propriétés des parties génératrices) Soient E un K-espace vectoriel et X et Y deux parties de E.
- Inclusion : Si X engendre E et si : X ⊂ Y , alors Y engendre E.
- Ôter un vecteur : Si X engendre E et si x ∈ X est combinaison linéaire de X \
x , alors X \
x engendre E.
- Remplacer un vecteur : Si X ∪
a engendre E et si b est combinaison linéaire de X ∪
a avec un coefficient NON NUL sur a , alors X ∪
b engendre E.
En pratique^ Trouver une partie génératrice d’un sous-espace vectoriel, c’est l’écrire comme un Vect.
Exemple L’ensemble E =
( x , y , z , t ) ∈ R^4 | x + 2 y − z = 0 et x − y + t = 0
est un sous-espace vectoriel de R^4
engendré par la famille
Démonstration Pour tout ( x , y , z , t ) ∈ R^4 : ( x , y , z , t ) ∈ E ⇐⇒
z = x + 2 y t = − x + y , donc :
E =
( x , y , x + 2 y , − x + y ) | x , y ∈ R
x (1, 0, 1, − 1 )+ y (0, 1, 2, 1) | x , y ∈ R
= Vect
Ceci montre À LA FOIS que E est un sous-espace vectoriel de R^4 et que
engendre E.
Exemple L’ensemble F =
P ∈ R 3 [ X ] | 2 P ( X + 1 ) = X P ′
est un sous-espace vectoriel de R 3 [ X ] engendré par X^2 − 4 X +3.
Démonstration Pour tout P = aX^3 + bX^2 + cX + d ∈ R 3 [ X ] :
P ∈ F ⇐⇒ 2 P ( X + 1 ) = X P ′^ ⇐⇒ 2 a ( X + 1 )^3 + 2 b ( X + 1 )^2 + 2 c ( X + 1 ) + 2 d = X
3 aX^2 + 2 bX + c
2 a = 3 a 6 a + 2 b = 2 b 6 a + 4 b + 2 c = c 2 a + 2 b + 2 c + 2 d = 0
a = 0 4 b + c = 0 b + c + d = 0
a = 0 c = − 4 b d = 3 b.
Conclusion : F =
bX^2 − 4 bX + 3 b | b ∈ R
b
X^2 − 4 X + 3
| b ∈ R
= Vect
X^2 − 4 X + 3
. Ceci montre À LA FOIS que F est un sous-espace vectoriel de R 3 [ X ] et que
X^2 − 4 X + 3
en est une famille génératrice.
2.2 PARTIES ET FAMILLES LIBRES OU LIÉES
Définition (Partie/famille libre d’un nombre fini de vecteurs) Soient E un K-espace vectoriel et x 1 ,... , xn ∈ E. On dit que la famille ( x 1 ,... , xn ) ou l’ensemble
x 1 ,... , xn est libre ou que les vecteurs x 1 ,... , xn sont linéairement indépendants si : ∀( λ 1 ,... , λn ) ∈ K n ,
(^) n ∑
i = 1
λi xi = (^0) E =⇒ λ 1 =... = λn = 0
Quitte à remplacer λi par λi − μi dans la définition de la liberté, on peut aussi dire que ( x 1 ,... , xn ) est libre si et
seulement si : ∀( λ 1 ,... , λn ), ( μ 1 ,... , μn ) ∈ K n ,
(^) n ∑
i = 1
λi xi =
∑^ n
i = 1
μi xi =⇒ ∀ i ∈ ¹1, n º, λi = μi
, ce
qui n’est finalement rien de plus qu’un PRINCIPE D’IDENTIFICATION. En résumé :
FAMILLE GÉNÉRATRICE = EXISTENCE^ pour^ TOUT^ vecteur d’une décomposition comme combinaison linéaire
FAMILLE LIBRE =
UNICITÉ des coefficients dans les combinaisons linéaires, donc possibilité de pratiquer des IDENTIFICATIONS
Exemple Toute famille ( P 1 ,... , Pn ) de polynômes NON NULS de K[ X ] pour laquelle : deg( P 1 ) <... < deg( Pn ) est libre — on dit qu’une telle famille est échelonnée en degré. Cet exemple est TRÈS IMPORTANT!
Démonstration Posons : dj = deg( Pj ) et introduisons les coefficients de Pj : Pj =
∑^ dj
i = 0
ai , j X i^ pour
tout j ∈ ¹1, n º. Soient ensuite x 1 ,... , xn ∈ K. On suppose que :
∑^ n
j = 1
x (^) j Pj = 0. On obtient par identification
polynomiale des termes de degrés d 1 ,... , dn le système linéaire suivant :
ad 1 ,1 x 1 + ad 1 ,2 x 2 + · · · + ad 1 , n − 1 xn − 1 + ad 1 , n xn = 0 (degré d 1 ) ad 2 ,2 x 2 + · · · + ad 2 , n − 1 xn − 1 + ad 2 , n xn = 0 (degré d 2 ) .. .
adn − 1 , n − 1 xn − 1 + adn − 1 , n xn = 0 (degré dn − 1 ) adn , n xn = 0 (degré dn ). Ce système est triangulaire supérieur à coefficients diagonaux non nuls — par définition de dj : adj , j 6 = 0 pour tout j ∈ ¹1, n º — donc admet ( x 1 ,... , xn ) = (0,... , 0) pour seule et unique solution.
Définition (Partie/famille libre/liée d’un nombre quelconque de vecteurs) Soient E un K-espace vectoriel et ( xi ) i ∈ I une famille de vecteurs de E.
- On dit que la famille ( xi ) i ∈ I ou l’ensemble
xi | i ∈ I est libre ou que les vecteurs xi , i décrivant I , sont linéairement indépendants si :
∀( λi ) i ∈ I ∈ K I^ presque nulle,
i ∈ I
λi xi = (^0) E =⇒ ∀ i ∈ I , λi = 0
- On dit que la famille ( xi ) i ∈ I ou l’ensemble
xi | i ∈ I est lié ( e ) ou que les vecteurs xi , i décrivant I , sont linéai- rement dépendants si ( xi ) i ∈ I N’ est PAS libre. Cela revient à dire que L’UN AU MOINS d’entre eux est combinaison linéaire des autres.
L’expression « presque nulle » nous ramène toujours à un nombre FINI de vecteurs utiles, donc la liberté d’une famille INFINIE de vecteurs est équivalente à la liberté de TOUTES ses sous-familles FINIES. Pour montrer qu’une famille ( xn ) n ∈N de vecteurs est libre, il suffit même de montrer que la famille ( x 0 ,... , xn ) est libre pour tout n ∈ N.
Exemple La famille
X k^
k ∈N est libre dans^ K[ X^ ]^ — principe d’ IDENTIFICATION DES COEFFICIENTS.
Théorème (Propriétés des parties libres/liées) Soient E un K-espace vectoriel et X et Y deux parties de E et F. (i) Inclusion : Si Y est libre et si : X ⊂ Y , alors X est libre. Par contraposition, si X est liée et si : X ⊂ Y , alors Y est liée. (ii) Ajouter un vecteur : Si X est libre et si y ∈ E N’ est PAS combinaison linéaire de X , alors X ∪
y est libre.
Dire qu’une famille est libre, c’est dire qu’aucun de ses vecteurs n’est combinaison linéaire des autres, donc si on veut que l’ajout d’un vecteur conserve la liberté d’une famille libre, on doit faire attention de ne pas introduire de dépendance entre ses vecteurs — on ne peut donc ajouter qu’un vecteur linéairement indépendant des autres.
Démonstration (i) Si X est liée et si : X ⊂ Y , alors l’un des vecteurs de X est combinaison linéaire des autres et donc a fortiori l’un des vecteurs de Y est combinaison linéaire des autres. (ii) Supposons X libre et donnons-nous y ∈ E NON combinaison linéaire de X. Pour montrer que X ∪
y est libre, soient ( λi ) i ∈ I ∈ K I^ presque nulle et μ ∈ K pour lesquels :
i ∈ I
λi xi + μ y = (^0) E. Si : μ 6 = 0,
alors : y = −
μ
i ∈ I
λi xi , ce qui est faux par hypothèse. Ainsi : μ = 0, donc :
i ∈ I
λi xi = (^0) E , et
la liberté de X montre enfin que : λi = 0 pour tout i ∈ I.
2.3 BASES
Définition (Base) Soient E un K-espace vectoriel et B = ( ei ) i ∈ I une famille de vecteurs de E.
- On dit que B est une base de E si B est à la fois libre et génératrice de E , i.e. si et seulement si tout vecteur de E est D’UNE ET UNE SEULE MANIÈRE combinaison linéaire de B.
- Dans ce cas, pour tout x ∈ E , l’unique famille presque nulle ( xi ) i ∈ I ∈ K I^ pour laquelle : x =
i ∈ I
xi ei est
appelée la famille des coordonnées de x dans B.
Les bases sont toujours des FAMILLES et non des ensembles. Dans le plan muni d’une base, peut-on parler du point de coordonnées
1, 2? Non, car le point de coordonnées (1, 2) n’est pas le point de coordonnées (2, 1)! La définition suivante est une synthèse des exemples précédents.
Définition-théorème (Bases canoniques de K n , K[ X ] , K n [ X ] et M n , p (K) )
- Familles de scalaires : Pour tout n ∈ N∗, si on pose : e 1 = (1, 0,... , 0), e 2 = (0, 1, 0,... , 0),... , en = (0,... , 0, 1), la famille ( e 1 ,... , en ) est une base de K n^ appelée sa base canonique.
- Polynômes : La famille
X k^
^ k ∈N^ est une base de^ K[ X^ ]^ appelée sa^ base canonique^ et pour tout^ n^ ∈^ N, la famille 1, X , X^2 ,... , X n^
est une base de K n [ X ] appelée sa base canonique.
- Matrices : Pour tous n , p ∈ N∗^ et pour tous i ∈ ¹1, n º et j ∈ ¹1, p º, si on note Ei j la matrice de M n , p (K) dont les coefficients sont tous nuls sauf celui de position de ( i , j ), égal à 1, la famille ( Ei j ) 1 ¶ i ¶ n 1 ¶ j ¶ p
est une base de M n , p (K) appelée sa base canonique.
$ Attention!^ Seuls vos profs de maths ont le super-pouvoir de décréter qu’une base est^ CANONIQUE^ — pas vous! Que signifie « canonique »? Réponse : « le plus naturel ». De fait, les bases exhibées ci-dessus sont les plus naturelles, les plus simples, les plus faciles d’emploi auxquelles on peut penser dans K n , K[ X ], K n [ X ] et M n , p (K).
- Pour tout ( x 1 ,... , xn ) ∈ K n , les coordonnées de ( x 1 ,... , xn ) dans la base canonique sont... ce vecteur lui-même!
- Pour tout P =
k = 0
ak X k^ ∈ K[ X ], la famille des coordonnées de P dans la base canonique est ( ak ) k ∈N... i.e. P lui-même
si on veut bien se souvenir qu’un polynôme n’est qu’une suite presque nulle de scalaires.
- Pour tout A ∈ M n , p (K), la famille des coordonnées de A dans la base canonique est ( ai j ) 1 ¶ i ¶ n 1 ¶ j ¶ p ... i.e. A elle-même.
Exemple La famille
est une base de R^2.
Démonstration Soit ( x , y ) ∈ R^2.
- Nous voulons montrer ceci : ∃! ( a , b ) ∈ R^2 , ( x , y ) = a (1, 1) + b (1, − 2 ). Or pour tout ( a , b ) ∈ R^2 :
( x , y ) = a (1, 1)+ b (1, − 2 ) ⇐⇒
a + b = x a − 2 b = y
a + b = x 3 b = x − y L 2 ← L 1 − L 2.
Triangulaire à coefficients diagonaux non nuls, le système obtenu possède une et une seule solution.
- Si on veut connaître en plus les coordonnées de ( x , y ) dans la base
, il ne reste qu’à achever
la résolution du système précédent. Après calcul, ces coordonnées sont : ( a , b ) =
2 x + y 3
x − y 3
Exemple La famille
X^2 + X , X^2 + 1, X + 1
est une base de R 2 [ X ].
Démonstration On pourrait prouver en deux temps que
X^2 + X , X^2 + 1, X + 1
est libre et génératrice de R 2 [ X ], mais il y a plus simple. Montrer que c’est une base de R 2 [ X ] revient à montrer que tout polynôme de degré inférieur ou égal à 2 est combinaison linéaire d’une unique façon de X^2 + X , X^2 + 1 et X + 1 :
∀ P ∈ R 2 [ X ], ∃! ( λ , μ , ν ) ∈ R^3 , P = λ
X^2 + X
X^2 + 1
Démonstration Notons C 1 , C 2 ,... , Cn les colonnes de A et L 1 ,... , Ln ses lignes. Le point important, c’est que
pour tout X ∈ K n^ : AX =
∑^ n
k = 1
xk Ck. Du coup :
A est inversible ⇐⇒ ∀ Y ∈ K n , ∃! X ∈ K n , Y = AX
⇐⇒ ∀ Y ∈ K n , ∃! ( x 1 ,... , xn ) ∈ K n , Y =
∑^ n
k = 1
xk Ck ⇐⇒ ( C 1 ,... , Cn ) est une base de K n.
En retour, les lignes de A n’étant jamais que les colonnes de t A : A est inversible ⇐⇒ t A est inversible ⇐⇒ ( L 1 ,... , Ln ) est une base de K n.
3 ESPACES VECTORIELS DE DIMENSION FINIE
La notion de dimension fait aujourd’hui partie des meubles en littérature, au cinéma et au-delà. Tout le monde sait qu’une droite ou une même courbe est de dimension 1, qu’un plan ou même une surface est de dimension 2 et que nous vivons dans un espace à trois dimensions. Il n’est pourtant pas aisé de donner un sens rigoureux à ces idées courantes, mais c’est précisément notre but dans ce paragraphe — proposer une définition axiomatique de la dimension et en faire la théorie.
Définition (Espace vectoriel de dimension finie) Soit E un K-espace vectoriel. On dit que E est de dimension finie s’il possède une partie génératrice FINIE , et de dimension infinie sinon.
Exemple (^) Les espaces vectoriels K n^ pour n ∈ N∗, K n [ X ] pour n ∈ N et M n , p (K) pour n , p ∈ N∗^ sont de dimension finie.
Démonstration Les bases canoniques de K n , K n [ X ] et M n , p (K) sont des familles génératrices finies!
Exemple K[ X ] est de dimension infinie.
Démonstration Pour toute famille FINIE ( P 1 ,... , Pn ) de polynômes non nuls, si nous posons : d = max 1 ¶ i ¶ n
deg( Pi ), alors : Vect( P 1 ,... , Pn ) ⊂ K d [ X ] 6 = K[ X ], donc ( P 1 ,... , Pn ) n’engendre pas K[ X ]. Conclusion : aucune famille FINIE de K[ X ] n’engendre K[ X ].
3.1 EXISTENCE DE BASES FINIES
Dans notre espace physique à trois dimensions, on a du mal à imaginer qu’il puisse exister des familles de strictement plus de trois vecteurs linéairement indépendants. Plus généralement :
Théorème (Nombre maximal de vecteurs linéairement indépendants) Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie engendré par n éléments. Alors toute partie libre de E possède au plus n éléments.
Démonstration Soient X une partie génératrice de E à n éléments et Y une partie libre de E. Supposant par l’absurde que Y possède au moins n + 1 éléments, nous allons prouver par récurrence que pour tout k ∈ ¹0, n º :
E est engendré par une famille de n vecteurs dont les n − k premiers sont dans X et les k suivants dans Y.
On pourra conclure de la manière suivante. Pour k = n , E est engendré par une famille de n vecteurs de Y. En particulier, tout vecteur de Y est combinaison linéaire de ces n vecteurs, donc comme Y possède au moins n + 1 éléments, Y est liée — contradiction. Initialisation : La famille des n vecteurs de X engendre E.
Hérédité : Soit k ∈ ¹0, n − 1 º. Faisons l’hypothèse que E est engendré par ( x 1 ,... , xn − k , y 1 ,... , yk ) pour certains x 1 ,... , xn − k ∈ X et y 1 ,... , yk ∈ Y — par convention, aucun vecteur de Y pour k = 0. Comme Y possède au moins n + 1 éléments, nous pouvons nous donner un élément yk + 1 de Y autre que y 1 ,... , yk. Par hypothèse de
récurrence : yk + 1 =
∑^ n − k
i = 1
λi xi +
∑^ k
j = 1
μj yj pour certains λ 1 ,... , λn − k , μ 1 ,... , μk ∈ K.
Il est impossible que tous les λi soient nuls car yk + 1 serait combinaison linéaire de y 1 ,... , yk — or Y est libre. Quitte à modifier l’ordre des xi , nous pouvons donc supposer : λn − k 6 = 0. De la sorte, xn − k est combinaison linéaire de x 1 ,... , xn − k − 1 , y 1 ,... , yk + 1 , donc enfin E est engendré par la famille ( x 1 ,... , xn − k − 1 , y 1 ,... , yk + 1 ) dont les n − k − 1 premiers vecteurs sont dans X et les k + 1 suivants dans Y.
Après ce premier théorème fondamental, l’ algorithme de la base incomplète présenté ci-dessous est notre deuxième outil pour montrer l’existence de bases finies en dimension finie.
Théorème (Algorithme de la base incomplète) Soient E 6 =
(^0) E un K-espace vectoriel de dimension finie et ( x 1 ,... , xn ) une famille génératrice de E dont les p premiers vecteurs sont linéairement indépendants. Dans ces condi- tions, E possède une base constituée des vecteurs x 1 ,... , xp et de certains des vecteurs xp + 1 ,... , xn.
Démonstration
- Ce théorème repose sur un algorithme simple et fondamental dit de la base incomplète. Nous allons complé- ter peu à peu la famille LIBRE ( x 1 ,... , xp ) à l’aide de certains vecteurs parmi xp + 1 ,... , xn en prenant soin de CONSERVER LA LIBERTÉ À CHAQUE AJOUT. — La variable B est initialisée à la valeur ( x 1 ,... , xp ) — une famille LIBRE. — Ensuite on fait une boucle. Pour k décrivant ¹ p + 1, n º : si la famille B augmentée de xk est libre, i.e. si xk N’ est PAS combinaison linéaire de B , on remplace B par la famille B augmentée de xk — la nouvelle famille B est donc libre. Il n’est pas nécessaire de le préciser dans l’algorithme, mais si la famille B augmentée de xk est liée, on laisse B intacte et on re-boucle directement. On a pris soin de conserver la liberté de B à chaque étape, donc la famille B finale est libre.
- Il nous reste à montrer que la famille B finale engendre E. Comme ( x 1 ,... , xn ) engendre E , il nous suffit en fait de montrer que tous les xk sont combinaisons linéaires de B. Soit k ∈ ¹1, n º. Si tout d’abord xk apparaît explicitement dans B , alors évidemment xk est combinaison linéaire de B. Supposons au contraire que xk ne figure pas dans B. Cela signifie qu’à l’« étape xk » de l’algorithme, xk n’a pas été ajouté à la famille B en cours de construction parce qu’il était combinaison linéaire de certains vecteurs de B. C’est justement ce que nous voulons.
Exemple La famille
est une base de F = Vect
Démonstration On va utiliser mécaniquement l’algorithme de la base incomplète. Petite remarque en passant, on obtiendrait une autre base de F en rangeant dès le départ différemment les vecteurs qui définissent F. — La famille
est libre car le vecteur (1, −5, 7) est non nul.
— Et la famille
? Soient λ , μ ∈ R tels que : λ (1, −5, 7) + μ (2, 6, 8) = (0, 0, 0). Alors : λ + 2 μ = 0 et − 5 λ + 6 μ = 0, donc assez vite : λ = μ = 0. La famille est libre. — Et la famille
? Elle est liée car : (3, 1, 15) = (1, −5, 7) + (2, 6, 8).
— Et la famille
? Elle est liée car : (1, 11, 1) = (2, 6, 8) − (1, −5, 7).
Comme voulu, la famille
est une base de F.
Théorème (Théorèmes de la base incomplète/extraite et existence de bases finies) Soit E 6 =
(^0) E un K-espace vectoriel de dimension finie. (i) Théorème de la base incomplète : Toute famille libre de E peut être complétée en une base finie de E. (ii) Théorème de la base extraite : De toute famille génératrice de E on peut extraire une base finie de E. En particulier, E possède une base finie.
- Dimension de S n (K) : Pour tout M ∈ S n (K) : M =
1 ¶ i , j ¶ n
mi j Ei j =
∑^ n
k = 1
mkk Ekk +
1 ¶ i< j ¶ n
mi j
Ei j + Eji
donc : S n (K) ⊂ Vect
Ekk | 1 ¶ k ¶ n
Ei j + Eji | 1 ¶ i < j ¶ n
. L’inclusion réciproque est vraie car : Ekk ∈ S n (K) et Ei j + Eji ∈ S n (K) pour tous i , j , k ∈ ¹1, n º avec : i < j , et parce que S n (K) est un sous-espace vectoriel de M n (K), donc est stable par combinaison linéaire. La famille des ma- trices Ekk et Ei j + Eji ainsi obtenue est finalement génératrice de S n (K) et il n’est pas dur de se convaincre qu’elle est libre, donc qu’elle est une base de S n (K). Combien contient-elle de vecteurs? Il y a n vecteurs Ekk et
n ( n − 1 ) 2
vecteurs Ei j + Eji pour lesquels : i < j , donc : dim S n (K) = n +
n ( n − 1 ) 2
n ( n + 1 ) 2
- Dimension de A n (K) : Même principe, mais ici : A n (K) = Vect
Ei j − Eji
1 ¶ i< j ¶ n.
Théorème (Dimension et cardinal d’une partie libre/génératrice) Dans un K-espace vectoriel de dimension finie n , toute partie libre possède au plus n éléments et toute partie génératrice en possède au moins n.
Démonstration Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie n. Si : n = 0, nous n’avons rien à prouver. Et sinon? Nous savons qu’alors E possède une base B , forcément à n éléments. Pour toute partie libre Y de E , sachant que B engendre E , nous avons déjà vu que Y possède au plus n éléments. De même, pour toute partie génératrice X de E , sachant que B est libre, B possède au plus autant d’éléments que X , de sorte que X possède au moins n éléments.
Théorème (Caractérisation des bases en dimension finie) Dans un K-espace vectoriel de dimension finie n 6 = 0, une famille de n vecteurs est une base si et seulement si elle est libre, ou bien si et seulement si elle est génératrice.
$ Attention!^ Ce théorème ne dit pas que :^ base^ =^ famille génératrice^ =^ famille libre^ en dimension finie! Il dit seulement que c’est vrai pour les familles qui ont EXACTEMENT AUTANT de vecteurs que la dimension de l’espace ambiant.
Démonstration Dans un K-espace vectoriel de dimension finie n 6 = 0, si une famille F de n vecteurs est libre (resp.génératrice), on peut la compléter en une base d’après le théorème de la base incomplète (resp. en extraire une base d’après le théorème de la base extraite). Le résultat est une famille de n vecteurs par définition de la dimension, ce qui veut dire qu’on n’a en fait ajouté (resp. ôté) aucun vecteur à F. Conclusion : F était une base dès le départ!
Exemple La famille
est une base de R^3.
Démonstration Comme R^3 est de dimension 3 et comme la famille considérée est une famille de trois vecteurs, nous saurons que cette famille est une base de R^3 quand nous aurons montré qu’elle est libre. Soient λ , μ , ν ∈ R. On suppose que : λ (0, 1, 2) + μ (1, 2, 0) + ν (2, 0, 1) = (0, 0, 0). Clairement : λ = μ = ν = 0 et c’est tout.
Le théorème suivant, étonnant et puissant, complète nos connaissances du chapitre « Matrices et systèmes linéaires ».
Théorème (Caractérisation des matrices inversibles en termes de systèmes linéaires, bis) Soit A ∈ M n (K). Les assertions suivantes sont équivalentes : (i) A est inversible. (ii) Pour tout second membre Y ∈ K n , le système linéaire : Y = AX d’inconnue X ∈ K n^ possède UNE ET UNE SEULE solution. (iii) Pour tout second membre Y ∈ K n , le système linéaire : Y = AX d’inconnue X ∈ K n^ possède AU MOINS UNE solution. (iv) Le système linéaire homogène : AX = 0 d’inconnue X ∈ K n^ admet 0 pour UNIQUE solution :
∀ X ∈ K n , AX = 0 =⇒ X = 0.
Démonstration Notons C 1 ,... , Cn les colonnes de A. La matrice A étant carrée, la famille ( C 1 ,... , Cn ) est une base de K n^ si et seulement si elle est libre (ou génératrice) d’après le théorème précédent. Le reste n’est qu’un jeu de réécriture. Pour commencer, on l’a vu : (i) ⇐⇒ (ii) ⇐⇒ ( C 1 ,... , Cn ) est une base de K n. Ensuite : (iii) ⇐⇒ ∀ Y ∈ K n , ∃ X ∈ K n , Y = AX ⇐⇒ ∀ Y ∈ K n , ∃ ( x 1 ,... , xn ) ∈ K n , Y =
∑^ n
k = 1
xk Ck ⇐⇒ ( C 1 ,... , Cn ) engendre K n.
Enfin : (iv) ⇐⇒ ∀( x 1 ,... , xn ) ∈ K n ,
(^) n ∑
k = 1
xk Ck = 0 =⇒ x 1 =... = xn = 0
⇐⇒ ( C 1 ,... , Cn ) est libre. Et c’est fini!
Définition (Rang d’une famille finie de vecteurs) Soient E un K-espace vectoriel pas nécessairement de dimen- sion finie et x 1 ,... , xn ∈ E. On appelle rang de la famille ( x 1 ,... , xn ), noté rg( x 1 ,... , xn ), la dimension (finie) de Vect( x 1 ,... , xn ). On a toujours : rg( x 1 ,... , xn ) ¶ n , avec égalité si et seulement si ( x 1 ,... , xn ) est libre.
Le rang d’une famille finie de vecteurs est le plus grand nombre de vecteurs linéairement indépendants qu’elle contient.
Démonstration Engendré par un nombre fini de vecteurs, Vect( x 1 ,... , xn ) est un K-espace vectoriel de di- mension finie, et comme la dimension est toujours inférieure au nombre d’éléments d’une partie génératrice : rg( x 1 ,... , xn ) = dim Vect( x 1 ,... , xn ) ¶ n. Pour le cas d’égalité, nous venons de voir qu’en dimension n , une famille de n vecteurs est libre si et seulement si elle est génératrice.
Exemple (^) rg
1, X , X^2 , X^3
= 4, rg
X , 2 X , 3 X
= 1, rg
= 2 et rg
Théorème (Dimension d’un sous-espace vectoriel) Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie et F un sous-espace vectoriel de E. Alors F est de dimension finie et : dim F ¶ dim E , avec égalité si et seulement si : F = E.
Démonstration Si : F =
(^0) E , nous n’avons rien à démontrer. Si au contraire : F 6 =
(^0) E , l’ensemble N des nombres d’éléments des familles libres de F est non vide. Cet ensemble est par ailleurs majoré par dim E car toute famille libre de F est une famille libre de E , donc constituée d’au plus dim E vecteurs. Conclusion : N possède un plus grand élément n inférieur ou égal à dim E. Donnons-nous alors une famille libre L de F à n éléments. Pour tout x ∈ F , la famille L augmentée de x est liée par maximalité de n dans N , donc comme L est libre, x est forcément combinaison linéaire de L. Conclusion : libre et génératrice, L est une base de F , donc enfin F est de dimension finie et : dim F = n ¶ dim E. Et si : dim F = dim E = n? Dans ce cas L est une famille libre de E à n = dim E éléments, donc c’est déjà une base de E et : E = Vect(L ) = F.
Un petit exemple pour comprendre la preuve du théorème suivant.
Exemple La famille
(1, 0), ( X , 0), ( X^2 , 0), (0, 1), (0, X )
est une base de R 2 [ X ] × R 1 [ X ] — les coordonnées d’un vecteur
quelconque
aX^2 + bX + c , d X + e
dans cette base sont ( c , b , a , e , d ).
Théorème (Dimension d’un espace vectoriel produit) Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimension finie. Alors E × F est de dimension finie et : dim( E × F ) = dim E + dim F. Le résultat se généralise au cas d’un nombre fini quelconque d’espaces vectoriels.
Démonstration Vous démontrerez seuls le résultat dans le cas où : dim E = 0 ou dim F = 0. Supposons E et F de dimensions non nulles et donnons-nous ( e 1 ,... , em ) une base de E et ( f 1 ,... , fn ) une base de F. Nous allons montrer que la famille B =
( e 1 , 0 F ),... , ( em , 0 F ), ( (^0) E , f 1 ),... , ( (^0) E , fn )
est une base de E × F. Cela montrera bien que E × F est de dimension finie m + n = dim E + dim F.
