Derivative of a function.ដេរីវេនៃអនុគមន៍របស់លោកលឹមផលគុន្ធ, Exercises of Mathematics

Download Derivative of a function.ដេរីវេនៃអនុគមន៍របស់លោកលឹមផលគុន្ធ and more Exercises Mathematics in PDF only on Docsity!

េដរីេវ f '( x 0 ) ៃនអនុគមន៍ y = f ( x ) េន្ ្ ងា x = x 0 (េមីរននថំណ្ា េដ

0

0 (^0 ) 0

' lim lim x x x

y f^ x^ f^ x f x ∆ → (^) x → x x

េមីេគតង x − x 0 = h ឬ x = x (^) 0 + h េនាេគគន ន

0 0 0

' lim lim x h

y f^ x^ h^ f^ x f x ∆ → (^) x → h

∆ +^ −

សន�្ បអនុគមន៍ f ថំណ្ា េលីចេនា ា I េហី 0 x ជចំននននព្ េនថ់ុ ងចេនា ា I

នពង h ជចំននននព្ម (^) ពនសស នន្ ដល 0 x + h ជរមសា I ។

∗ ចំនន នេដរីេវេឆ�ង្ ្ង ាចំននន x 0 ៃនអនុគមន៍ f x ( )ថំណ្ា តងេដ ន

0 0 0 0

' ( ) lim h

f x h f x f x h

− (^) → −

∗ ចំនន នេដរីេវស ំ្្ ងាចំននន x (^) 0 ៃនអនុគមន៍ f x ( )ថំណ្ា តងេដ ន

0 0 0 0

' ( ) lim h

f x h f x f x h

• (^) →+

ថ. y = k y ' = 0

n y = x

1 '

n y n x

−

y x

2

y ' x

ឃ. y = x

y x

x y = e '

x y = e

x y = a ' ln

x y = a a

ឆ. y = ln x

y ' x

ជ. (^) y = sin x y =cos x

ឈ. y = cos x y ' = −sin x

ញ. y = tan x

2 2

' 1 tan cos

y x x

ដ. y = cot x

2 2

' (1 cot ) sin

y x x

ឋ. y = arcsin x 2

y

x

ទ. y = arccos x 2

y

x

ធ. y = arctan x 2

y x

n y = u

1 '. '.

n y n u u

−

ខ. y = u

u y u

គ. y = u v. y ' = u v ' + v u '

u y v

2

u v v u y v

ង. y = ln u

u y u

ច. y = sin u y ' = u '.cos u

ឆ. y = cos u y ' = − u 'sin u

u y = e ' '.

u y = u e

ឈ. y = tan u

2 y ' = u '(1 +tan u )

ញ. y = arcsin u 2

u y

u

ដ. y = arccos u 2

u y

u

ឋ. y = arctan u 2

u y u

V y = u

' ' ln

V u y u v u v u

 f ជអនុគមន៍ចុាេលីចេនាា I លុា្ ត្្ f '( x ) < 0 ្គមា x ∈ I ។

 លថ�ណា េមី α β ∈, I ្ដល α > β នឲនំ f ( α ) < f ( β) ។

 អនុគមន៍ f រនអ្ (^) ពមររេធៀម្្ង ា 0 x = x លុា្ ត្្

0

0

f x

f x

^ =

0 f x = M ជ្ៃមាអ្ (^) ពមររេធៀម្ ្ង ា x = x 0 ។

 អនុគមន៍ f រនអមបមររេធៀម្្ង ា 0 x = x ឹល ល

0

0

f x

f x

^ =

0 f x = m ជ្ៃមាអម បមររេធៀម្ ្ង ា 0 x = x ។

 េមី្ គមា x ∈ I េគរន f ''( x ) > 0 េនាេគប f ជអនុគមន៍ផ្ េលីចេនា ា I ។

 េមី្ គមា x ∈េគរន f ''( x ) < 0 េនាេគប f ជអនុគមន៍េគតងេលីចេនាា I ។

0 0 I x , y ជចំណុចរម្ាៃន្ខ្េឹងតងអនុគម ន៍ y = f x ( )

 a x , 0 

 x 0 (^) , b 

 រេបៀបរកចំណុចរបត់របស់ែខ្េេ ងង y = f x ( ) េគ្តតវ ន

 គណនេដរីេវទីនីរ y '' = f ''( x )

 េដា្ស សមីឹរ (^) f ''( x ) = 0 (សន�្ បរនម នស 0 x ន។

 សពថ្ស �ស ៃន f ''( x )

.េមី f ''( x )មសរស�សេនសងខងៃនមនស x (^) 0 េនា្ ខ្េឹង រនចំណុចរម្ា

I (^) ( x (^) 0 , f (^) ( x 0 (^) )) ។

.េមី f ''( x )មពនមសរស�សេនា្ ខ្េឹង ក�នចំណុចរម្ាេទ ។

ឧមរបេគរនអនុគមន៍ y = f ( x )

រថេដរីេវទីមន (^) y ' = f '( x )

េដា្ស សមីឹរ y ' = f '( x ) = 0 រនឬស x = x 0

រថេដរីេវទីនីរ y '' = f ''( x )

0 f ''( x ) < 0 េនាអនុគមន៍រន្ៃមាអ្ (^) ពមររេធៀម្្ង ា 0 x = x េហី្ ៃមា ៃន

អ្ (^) ពមររេធៀមេនាគឺ f x ( 0 )= M ។

• េមី f ''( x (^) 0 ) > 0 េនាអនុគមន៍រន្ៃមាអមបមររេធៀម្្ង ា x = x 0 េហី្ ៃមាៃន

អមបមររេធៀមេនាគឺ f x ( 0 )= m ។

0 f ''( x ) = 0 មពនអចសន់ពដ នគន ។

សំទុាៃនចលនេនខណា t គឺ

2

2 ( ) '( ) ''(t)

dV d S a t V t S dt dt

្ ដល V t ( ) ជេលបបនៃនចលនេនខណា t ។

េគឲន f ជអនុគមន៍ថំណ្ា ន (^) ពង ជមា េហីរនេដរីេវេលីចេនាា I ។

េមីរននី រចំនន ននព្ m នពង M ្ដល្ គមា x ∈ I : m ≤ f '( x )≤ M េនា្ គមា

ចំននននព្ a b , ∈ I ្ដល a < b េគគន m b ( − a ) ≤ f b ( ) − f a ( ) ≤ M b ( − a ) ។

តងអនុគមន៍ g ្ដល g x ( ) = f x ( )− mx រនេដរីេវេលី I

េគគន g '( x ) = f '( x ) − m ≥ 0 ្គមា x ∈ I ( េ្ ពា f '( x )≥ m ន

េនា g ជអនុគមន៍េថីនេលីចេនាា I ។

ចំេពា្គមាចំនន ននព្ a b , ∈ I ្ដល a < b េគគន g a ( ) ≤ g b ( )

ឬ f a ( ) − ma ≤ f b ( ) − mb េនា f b ( ) − f a ( ) ≥ m b ( − a ) ( ) i

តងអនុគមន៍ h ្ដល h x ( ) = f x ( )− Mx រនេដរីេវេលី I

េគគន h '( x ) = f '( x ) − M ≤ 0 ្គមា x ∈ I េ្ ពា f '( x )≤ M េនាេគទញគន

h ជអនុគមន៍ចុាេលីចេនាា I ។

ចំេពា្គមាចំនន ននព្ a b , ∈ I ្ដល a < b េគគន h a ( ) ≥ h b ( )

ឬ (^) f a ( ) − Ma ≥ f b ( ) − Mb េនា f b ( ) − f a ( ) ≤ M b ( − a ) ( ii )

តមទំនថា ទំនង ( ) & ( i ii ) េគគន m b ( − a ) ≤ f b ( ) − f a ( ) ≤ M b ( − a ) ។

េគឲន f ជអនុគមន៍ រនេដរីេវេលីចេនាា [ a b , ] ។

េមីរននី រចំនន ននព្ M ្ដល្ គមា x ∈ [ a b , ] : | f '( x )|≤ M េនាេគគន

| ( ) f b − f a ( )| ≤ M .| b − a | ។

េគរន្គមា x ∈ [ a b , ] : | f '( x )|≤ M េនាេគទញ − M ≤ f '( x )≤ M

ចំេពា a < b េគគន − M b ( − a ) ≤ f b ( ) − f a ( ) ≤ M b ( − a ) (1)

ចំេពា a > b េគគន − M a ( − b ) ≤ f a ( ) − f b ( ) ≤ M a ( − b ) (2)

តម( 1 ននពង( 2 នេគគន | ( ) f b − f a ( )| ≤ M .| b − a | ។

េមី f ជអនុគមន៍ជមា េលីចេនាា (^)  a b ,   

រនេដរីេវេលីចេនា ា( a b , )

នពង f a ( ) = f b ( )េនារនចំននន c ∈ ( a b , ) យតង្ (^) ពចមន ្ ដល f '( ) c = 0 ។

ថ g x ( ) = f b ( ) − f x ( ) − λ( b − x ) ្ដល

f b ( ) f a ( )

b a

េនា g ជអនុគមន៍ជមា ថ់ ុងចេន ាា (^)  a b ,   

នពង រនេដរីេវថ់ុង( a b , ) េហីេដ

g a ( ) = g b ( ) = 0 េនាតម្ទ៉ សីមទរ តសលរន^ c ∈ ( a b , )មនយតង្^ ពច្ដល^ g '( ) c = 0

េដ g '( ) c = − f '( ) c + λេនា f '( ) c = λ ។

ដស ចេនា េមី f ជអនុគមន៍ជមា េលីចេនាា  a b ,   

រនេដរីេវេលីចេនា ា( a b , )េនារន

ចំននន c ∈ ( a b , ) យតង្ (^) ពចមន្ដល

f b f a f c b a

O

f b ( )

a b

f a ( )

c

f c ( )

y

x

( C^ ) : y^ = f^ ( x )

x '

េងតី ង C = C x ( ) ជអនុគមន៍ចំលសរុមថ់ុងឹរផល (^) ព្សរ តរាចំននន x េ្គ គង ,

R = R x ( ) ជអនុគមន៍ចំណស លសរុមនីឹរលថាសរតរ ាចំននន x េ្គ គង

P = P x ( ) = R x ( ) − C x ( ) ជអនុគមន៍្គថាចំេណញនីឹ រលថាសរត រ សចំននន x េ្គ គង

េគគន (^) C '( ) x េហបអនុគមន៍ៃន្គថាចំលម្នា ម។

R '( ) x េហបអនុគមន៍ៃន្គថាចំណស លម្នាម។

P '( ) x េហបអនុគមន៍ៃន្គថាចំេណញម្នាម ។

ក)រូបមន�េហរ៉ុងៃផ�្ កក្ ា្េតី S = p p ( − a )( p − b )( p − c ) ។

a b c p

sin sin sin

a b c R A B C

A

B a C

c b

S

តម S = x × h ។

ខ)បរិម្ា p = 2( x + y ) ។

a b h S

A B

D C

H

x

y h S

A B

D H C

h

a

b

ៃផ�្ កកឡាុ េតីេឹ (^) េណ S = d 1 (^) × d 2 ។

1 d : អង�ា�្ រទ ងរ្១ និង ែដល 2 d : អង�ា�្ រទ ងរ្២។

sin 2

S = d d α ។

d 1

d 2

A

B

C

D

H

A

a

B

C

D

I

d 1 (^) 2 d

b

c

d

S α = α R ។

AB គឺ  AB = α R ។

ៃផ�្ កករបឹ �េអល្បគឺ S = π ab ។

R

o

B

A

α

a

b

V R

2

S = 4 π R

3 V = a ។

2 S = 6 a ។

R

o

M

a

a

x

y

z