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Module 2 : Déterminant d’une matrice
Unité 1 : Déterminant d’une matrice 2x
Soit une matrice A a 2 lignes et 2 colonnes
c d
a b A (^) ( 2 , 2 )
Par définition, son déterminant est le nombre réel noté det A ou A :
ad bc c d
a b det A=A = = −
Ne pas confondre les notations :
- avec des parenthèses (ou des crochets) pour une matrice,
- avec des barres pour un déterminant.
Un déterminant n’est pas une matrice. C’est un nombre réel.
Ex (^)
B
A
det A=A = = − =
det B= 0 − 42 =− 42
Le déterminant concerne les matrices carrées. Une matrice dont le déterminant est différent de zéro
est une matrice dite régulière. Elle est dite singulière dans le cas contraire.
2. Déterminant d’une matrice nxn
n 1 n 2 nn
ij
21 22 2 n
11 12 1 n
a a a
a
a a a
a a a
A
K
M M M
L
L
Considérons un élément aij de A. Si on raye dans A la ligne et la colonne contenant aij , on obtient
une matrice a n-1 lignes et n-1 colonnes notée A (^) ij. Son déterminant A (^) ij s’appelle le mineur de aij
dans A. On appelle cofacteur du terme a (^) ijle produit (^) ij
i j ( 1 ) A
−
1 n 1 n
n 1 det A a 11 A 11 a 12 A 12 a 13 A 13 ( 1 ) a A
= − + +K+ −
Ex matrice 3x
11 (^22332332 )^12 (^21332331 )^13 (^21322231 )
31 32
21 22 13 31 33
21 23 12 32 33
22 23 11
31 32 33
21 22 23
11 12 13
a a a a a a a a a a a a a a a
a a
a a a a a
a a a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
Dans cet exemple, le mineur de a 11 est
32 33
22 23
a a
a a
Pour le signe du cofacteur :
i j ( 1 )
−
1
ère ligne + 1
ère colonne (1+1)=2 nombre pair → ( 1 ) 1
2 − = donc signe positif
1
ère ligne + 2
ème colonne (1+2)=3 nombre impair → ( 1 ) 1
3 − =− donc signe négatif.
Exemple :
A
On peut développer selon les lignes ou les colonnes. Développons selon la 1
ère ligne :
A 1
On peut vérifier le résultat si on développe selon la 2
ième ligne ou la 3
ième ligne. Développons selon la
2
ème ligne :
A 2
Développons selon la 3
ème ligne :
A 5
Développons selon la 1
ère colonne :
A 1
3.3 Alternance
Si l’on échange 2 lignes d’un déterminant, celui-ci change de signe en gardant la même valeur
absolue.
A cause de la deuxième propriété, si on échange 2 colonnes d’un déterminant, celui-ci change aussi
de signe en gardant la même valeur absolue.
3.4 Linéarité
- Si on multiplie une ligne (ou une colonne) d’une matrice par un réel λ, le déterminant de la nouvelle
matrice est multiplié par ce réel.
Ex :
A 32
A =−
Multiplions la 2
ème ligne par ½ :
- Si un vecteur colonne se présente comme la somme de deux vecteurs colonnes, le déterminant est
la somme des deux déterminants obtenus en prenant successivement chacun des termes de la
somme.
Ex :
- En ajoutant à une ligne un multiple d’une autre, on ne change pas un déterminant.
Ex : soit le déterminant suivant :
On utilise cette propriété pour obtenir des 0 dans une ligne ou une colonne et ainsi simplifier le calcul
du déterminant.
Si on retranche à la deuxième ligne, la première multipliée par 2, on obtient :
2 2 x 1 4 2 x 3 8 2 x 7
Si on ajoute à la troisième ligne, la première multipliée par –5, on obtient :
5 1 x( 5 ) 0 3 x( 5 ) 6 7 x( 5 )
Le calcul du déterminant est alors simplifié :
Autre exemple :
A
Si on ajoute la première colonne à la troisième colonne et la première colonne multipliée par -2 à a
quatrième colonne, on obtient :
A
Si on retranche à la première ligne deux fois la deuxième ligne et à la troisième ligne trois fois la
deuxième ligne, on obtient :
A
