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© 2003 - Gérard Lavau - http://perso.wanadoo.fr/lavau/index.htm Vous avez toute liberté pour télécharger, imprimer, photocopier ce cours et le diffuser gratuitement. Toute diffusion à titre onéreux ou utilisation commerciale est interdite sans accord de l'auteur.
DEVELOPPEMENTS LIMITES
PLAN
I : Généralités
- Définition
- Formule de Taylor avec reste intégral
- Inégalité de Taylor–Lagrange
- Formule de Taylor–Young
- Méthode de Newton-Raphson II : Opérations sur les développements limités
- Somme
- Produit
- Composition
- Quotient
- Intégration et dérivation III : Utilisation des développements limités
- Calcul de limites
- Etude locale d'une courbe y = f ( x )
- asymptotes
- Etude locale d'un arc paramétré a) Tangente b) Concavité IV : Développements limités usuels
I : Généralités
1– Définition
f admet un développement limité au voisinage de 0 à l'ordre n si f est de la forme : f ( x ) = a 0 + a 1 x + ... + anxn^ + o( xn )
f admet un développement limité au voisinage de x 0 à l'ordre n si f est de la forme : f ( x ) = a 0 + a 1 ( x – x 0 ) + ... + an ( x – x 0 ) n^ + o(( x – x 0 ) n ) On retrouve la forme précédente en posant h = x – x 0.
f admet un développement limité au voisinage de ∞ à l'ordre n si f est de la forme :
f ( x ) = a 0 + a^1 x
On retrouve la forme précédente en posant h =^1 x
. On peut donc toujours se ramener au voisinage de
Il y a unicité du développement limité, puisque, si f est de la forme : f ( x ) = a 0 + a 1 x + ... + anxn^ + o( xn ) = b 0 + b 1 x + ... + bnxn^ + o( xn ) alors :
( a 0 – b 0 ) + ( a 1 – b 1 ) x + ... + ( an – bn ) xn^ = o( xn ) ce qui ne peut se produire que si tous les coefficients sont nuls. (Si l'un d'entre eux est non nul, le membre de gauche est équivalent au terme de plus bas degré, qui ne sera pas négligeable devant xn ).
Si f est de classe C n^ au voisinage de x 0 , alors f admet un développement limité à l'ordre n. Ce sont les formules de Taylor.
2– Formule de Taylor avec reste intégral
Soit f de classe C^1 sur un intervalle [ a , b ]. On peut alors écrire :
f ( b ) = f ( a ) + ⌡
a
b f '( t ) d t
Si f ' est elle–même C^1 , c'est–à–dire si f est C^2 , on peut intégrer cette relation avec u ' = 1 et v = f ', soit u = – ( b – t ) et v ' = f " (on prend une primitive u qui s'annule en b ). u est choisi de la sorte de façon à s'annuler en b. On obtient :
f ( b )= f ( a ) + ( b – a ) f '( a ) + ⌡
a
b ( b – t ) f "( t ) d t
On peut itérer le procéder si on suppose f " C^1 , soit f de classe C^3. Posons u ' = ( b – t ) et v = f "( t ), soit
u = – ( b – t )
2 2
et v ' = f (3)( t )
f ( b ) = f ( a ) + ( b – a ) f '( a ) + ( b – a )^2 f "( a ) 2
a
b ( b – t )^2 f (3)( t ) 2 d t
Par récurrence, on montre alors que, pour f de classe C n^ :
f ( b ) = f ( a ) + ( b – a ) f '( a ) + ( b – a )^2 f "( a ) 2
- ... + ( b – a ) n –^ f ( n –1)( a ) ( n –1)!
a
b ( b – t ) n –^ f ( n )( t ) ( n –1)! d t
Si f est de classe C n +1, il suffit en effet de poser u ' = ( b – t )
n – ( n –1)!
et v = f ( n )( t ), soit u = – ( b – t )
n n!
et
v ' = f ( n +1)( t ).
Cette formule pose des difficultés de mémorisation. En dehors de la démonstration directe, les remarques suivantes permettent de la retrouver facilement :
- Pour n = 1, on doit retrouver f ( b ) = f ( a ) + ⌡
a
b f '( t ) d t
- Si on s'arrête à ( b – a ) n –1^ f
( n –1)( a ) ( n –1)!
dans la partie polynômiale, alors nécessairement l'intégrale fait
intervenir f ( n ).
- Une valeur approchée de l'intégrale doit être ( b – a ) n^ f
( n )( a ) n!
qui est le terme d'ordre n du
développement de Taylor. Aussi f ( n )( t ) doit-il être multiplié par une fonction ayant une valeur prépondérante en a plutôt qu'en b , ce qui est le cas du facteur b – t et a fortiori de ses puissances.
- La puissance de b – t se retrouve en remarquant que ⌡
a
b (^) ( b – t ) n – ( n –1)!
d t donne exactement le coefficient
attendu au rang n , à savoir ( b – a )
n n!
Par ailleurs, l'inégalité de Taylor–Lagrange pour l'exponentielle entre 0 et x conduit à :
ex^ – 1 – x – x^2 2
x^3 3!
xn n!
≤ M
xn + ( n +1)! où M = Max(1, ex )
ce qui donne, pour x fixé lorsque l'on fait tendre n vers l'infini :
ex^ = lim n → ∞
k =
n (^) xk k!
que l'on note ∑
k =
∞ (^) xk k!
Ces formules permettent de calculer très efficacement des valeurs approchées de l'exponentielle.
Ainsi e peut-il être approché par 1 + 1 +^1 2
+^1
+ ... +^1
n!
avec une erreur majorée par 3 ( n +1)!
Il n'est pas toujours nécessaire de faire appel à la formule de Taylor. Ainsi :
1 + x + x^2 + ... + xn^ = 1 – xn + 1 – x
1– x
d'où : 1 1– x
= 1 + x + x^2 + ... + xn^ + o( xn )
et
1+ x = 1 – x + x^2 + ... + (–1) n^ xn^ + o( xn )
On aurait pu également utiliser la formule de (1+ x )α^ pour α = –1.
Il n'est pas non plus nécessaire que f soit de classe C n. Si I est la fonction indicatrice de , (i.e.
I ( x ) = 1 si x est rationnel et 0 sinon), alors f ( x ) = 1 + x + x^2 + x^3 I ( x ) admet un développement
limité à l'ordre 2 en 0, mais n'est pas continue en dehors de 0.
5– Méthode de Newton-Raphson
Il s'agit de trouver une valeur approchée de c , solution de l'équation f ( x ) = 0. Pour cela, on part d'un point x 0. On trace la tangente au graphe de f passant par le point d'abscisse x 0. Cette tangente coupe l'axe des abscisses en un point x 1. L'opération peut être itérée.
x 0 x 1
c
L'équation de la tangente est y = ( x – x 0 ) f '( x 0 ) + f ( x 0 ). Donc x 1 vérifie 0 = ( x 1 – x 0 ) f '( x 0 ) + f ( x 0 ) soit
x 1 = x 0 – f ( x^0 ) f '( x 0 )
. Il faut évidemment que f '( x 0 ) soit non nul, sinon la tangente est parallèle à l'axe des
abscisses et ne la coupe pas. En itérant, on définit la suite :
xn +1 = xn – f ( xn ) f '( xn )
= g ( xn )
Début de partie réservée aux MPSI Etudions la convergence de la suite ( xn ) dans deux cas :
q Cas où f " est de signe constant et où f ( x 0 ) f "( x 0 ) > 0. Par exemple (quitte à changer f en – f ) , f " > 0, c'est-à-dire f convexe, f ( x 0 ) > 0 et x 0 < c (quitte à faire une symétrie par rapport à un axe vertical). C'est le cas de la figure précédente. On a nécessairement f '( x 0 ) négative, car, la fonction étant convexe, f ' est croissante, et si f '( x 0 ) ≥ 0, alors, pour x ≥ x 0 , f '( x ) ≥ f '( x 0 ) ≥ 0 donc f serait croissante pour x ≥ x 0 et donc f ( x ) ≥ f ( x 0 ) > 0 : dans ce cas, il ne pourrait y avoir de solution c supérieure à x 0. Ainsi : f " > 0 f ( x 0 ) > 0 x 0 < c f '( x 0 ) < 0
On en déduit déjà que :
x 1 = x 0 – f ( x^0 ) f '( x 0 )
x 0
Par ailleurs, la fonction étant convexe, la courbe est au-dessus de la tangente, c'est-à-dire : f ( x ) ≥ ( x – x 0 ) f '( x 0 ) + f ( x 0 ) Pour x = c , on obtient : 0 ≥ ( c – x 0 ) f '( x 0 ) + f ( x 0 )
⇒ c ≥ x 0 – f ( x^0 ) f '( x 0 )
≥ x 1
Ainsi, x 0 < x 1 ≤ c. Le raisonnement précédent peut être itéré, ce qui prouve que la suite ( xn ) est croissante majorée, donc converge. Sa limite est un point fixe de g , donc une solution de f.
q Cas où g est C^2 : L'inégalité de Taylor-Lagrange appliquée à g en x 0 à l'ordre 2 donne :
g ( x ) – g ( c ) – ( x – c ) g '( c ) ≤ M( x^ –^ c )
2 2
or g ( c ) = c et g '( x ) = f ( x ) f^ "( x ) f '( x )^2
⇒ g '( c ) = 0. Si on remplace x par xn , on obtient :
xn +1 – c ≤ M( xn^ –^ c )
2 2 Par récurrence, on vérifiera que :
xn – c ≤
M
M^2
n ( x 0 – c )^2
n
22
n
Si on prend x 0 suffisamment près de c , à savoir
M x 0 – c 2
≤ k < 1, on a :
xn – c ≤ Cte × k^2
n
f ( x ) = x – x
2 2
3 3
g ( x ) = x – x^3 6
⇒ f ( x ) g ( x ) = x^2 – x
3 2
4 6
3– Composition
PROPOSITION : Si f admet un développement limité à l'ordre n en x 0 , fini ou non, si le terme constant de f vaut a 0 et si g admet un développement limité à l'ordre n en a 0 , alors g o f admet un développement limité à l'ordre n en x 0 , obtenu en développant la composée des développements limités de f et g.
Démonstration : f ( x 0 + h ) = A( h ) + o( hn ) = a 0 + B( h ) + o( hn ) avec B( h ) polynôme en h qui tend vers 0 lorsque h tend vers 0. g ( a 0 + k ) = C( k ) + o( kn ) avec C polynôme en k ⇒ g o f ( x 0 + h ) = g [ a 0 + B( h ) + o( hn )]
k = C(B( h ) + o( hn )) + o( kn ) or k se factorise au moins une fois par h car B(0) = 0 donc o( kn ) = o( hn ). On obtient : g o f ( x 0 + h ) = C o B( h ) + o( hn ) Il suffit de ne garder dans C o B que les puissances de h inférieures ou égales à n.
EXEMPLE : exp(cos( x )) à l'ordre 4 en 0.
cos( x ) = 1 – x
2 2
4 24
exp(1+X) = e (1 + X +X^2 /2 + o(X^2 )) Ici X est d'ordre 2 en x , donc il suffit de s'arrêter à X^2 :
X = – x^2 2
x^4 24
X^2 = x
4 4
⇒ exp(cos( x )) = e (1 – x
2 2
4 6
4– Quotient
PROPOSITION : Si f et g admette un développement limité à l'ordre n, au voisinage de x 0 , fini ou non, et si le coefficient constant de g est non nul, alors f/g admet un développement limité à l'ordre n.
Démonstration : Il suffit de montrer que 1/ g admet un développement limité à l'ordre n , puis de faire le produit par celui de f. Or (en supposant x 0 = 0 pour simplifier les notations) : g ( x ) = a 0 + a 1 x + ... + a n xn^ + o( xn ) = a 0 (1 – u )
avec u = – a^1 x^ – ... – a n x
n (^) – o( xn ) a 0
g ( x )
=^1
a 0
1 – u
Il suffit alors d'effectuer la composition du développement limité de
1 – u par celui de u.
EXEMPLE :
tan( x ) = sin( x ) cos( x )
= x^ –^ x
(^3) /6 + x (^5) /120 + o( x (^5) ) 1 – x^2 /2 + x^4 /24 + o( x^5 ) = ( x – x^3 6
x^5 120
- o( x^5 ))(1 + u + u^2 + o( x^5 ))
avec u = x
2 2
4 24
. Il est inutile de calculer u^3 qui donnera des termes en x^6
⇒ tan( x ) = ( x – x
3 6
5 120
2 2
4 24
4 4
= ( x – x
3 6
5 120
2 2
+^5 x
4 24
= x + x
3 3
+^2 x
5 15
th( x ) = x – x
3 3
+^2 x
5 15
Dans le cas où g (0) = 0, on peut opérer d'une manière analogue, mais on obtient un développement dit généralisé.
EXEMPLE : En développant sin et cos à l'ordre 4, on obtiendra : 1 tan x
=^1
x
3 45
5– Intégration et dérivation
PROPOSITION Si f est continue et dérivable au voisinage de x 0 , élément de R , et si f ' admet un développement limité en x 0 à l'ordre n, alors f admet un développement limité à l'ordre n+1 en x 0 , obtenu en intégrant celui de f '.
Démonstration : Pour x 0 = 0. f '( x ) = a 0 + a 1 x + ... + a n xn^ + o( xn )
Soit f ( x ) = f ( x ) – f (0) – a 0 x – a^1 x
2 2
n + ( n +1)
. Alors :
F(0) = 0, et F '( x ) = f '( x ) – a 0 + a 1 x + ... + a n xn^ = o( xn ) donc en appliquant le théorème des accroissements finis, on obtient : f ( x ) = x F '(θ x ) avec θ ∈ ]0,1[. = x o(θ nxn ) = o( x n +1)
EXEMPLE :
l'accélération de la pesanteur et à une force de frottement opposée à sa vitesse et proportionnelle à celle-ci. L'équation différentielle vérifiée par son altitude z est :
m
z = – mg – k
z , z (0) = h et
z (0) = 0 On en déduit que : . z = mg k
exp(– kt m
) – mg k puis que :
z = – m
(^2) g k^2
exp(– kt m
) – mg k
t + h + m
(^2) g k^2 On s'intéresse à ce qui se passe lorsque l'argument de l'exponentielle tend vers 0. Un développement limité à l'ordre 3 fournit :
z = h –^1 2
gt^2 +^1 6
kt^3 g m
3 m
Ce qui signifie : q Ou bien k et m sont fixés, et quand t tend vers 0, on a :
z = h –
gt^2 + o( t^2 )
Au début de la chute, on est quasiment en chute libre. L'erreur est en t^3.
q Ou bien t et m sont donnés, et k tend vers 0. On a :
z = h –^1 2
gt^2 + o( k^0 )
Lorsqu'il n'y a pas de frottement, on est en chute libre. L'erreur est en k.
q Ou bien k et t sont fixés et m tend vers ∞. On a :
z = h –
gt^2 + o(1/ m^0 )
Si la masse devient importante, le parachute perd de son efficacité. On obtient la chute libre, avec
une erreur en
m
2– Etude locale d'une courbe y = f ( x )
Si, au voisinage de x 0 , on a : f ( x ) = a 0 + a 1 ( x – x 0 ) + a 2 ( x – x 0 )^2 + o(( x – x 0 )^2 ) alors : y = a 0 + a 1 ( x – x 0 ) est l'équation de la tangente. f se prolonge par continuité en x 0 par f ( x 0 ) = a 0. On a par ailleurs f '( x 0 ) = a 1 , mais rien ne dit que f est deux fois dérivable, même si f admet un développement limité à l'ordre 2. Il suffit pour cela de considérer la fonction f définie par :
f ( x ) = x^3 sin^1 x en 0, avec a 0 = a 1 = a 2 = 0
On a f '( x ) = 3 x^2 sin^1 x
et f '(0) = 0, mais f "(0) n'est pas définie.
Si a 2 ≠ 0, la position par rapport à la tangente est donnée par le signe de a 2.
Si, au voisinage de x 0 , on a : f ( x ) = a 0 + a 1 ( x – x 0 ) + a 3 ( x – x 0 )^3 + o(( x – x 0 )^3 ) et si a 3 ≠ 0, alors il y a un point d'inflexion au point d'abscisse x 0 puisque la courbe traverse sa tangente.
3– asymptotes
Si au voisinage de ∞, on a :
f ( x ) = a 0 x + a 1 + a^2 x
alors : y = a 0 x + a 1 est l'équation de l'asymptote. Si a 2 ≠ 0, la position par rapport à l'asymptote est donnée par le signe de a 2.
Exemple :
f ( x ) = x^2 ln(1 +^1 x ) = x^2 (^1 x
2 x^2
3 x^3
= x –^1 2
+^1
3 x
On ne négligera pas cependant les méthodes usuelles lorsque f tend vers ∞ si x tend vers ∞, à savoir :
Si lim x →∞
f ( x ) x
= 0 il y a branche parabolique de direction O x.
Si lim x →∞
f ( x ) x
= ∞ il y a branche parabolique de direction O y.
Si lim x →∞
f ( x ) x
= a ≠ 0, il y a direction asymptotique y = ax.
Si lim x →∞
f ( x ) – ax = b alors y = ax + b est asymptote.
Si lim x →∞
f ( x ) – ax = ∞ alors il y a branche parabolique dans la direction y = ax.
4– Etude locale d'un arc paramétré
On rappelle que, dans le cas d'un arc paramétré t → F ( t ) = OM ( t ) de classe C^1 , le vecteur :
lim t → t 0
t – t 0
. M ( t ) M ( t 0 ) = F '( t 0 )
s'il est non nul, et un vecteur directeur de la tangente à l'arc en M( t 0 ). Le point est dit régulier.
L'objet de ce chapitre est d'étudier la position de la courbe par rapport à la tangente, y compris lorsque F '( t 0 ) = 0 (point stationnaire).
a) Tangente : Nous supposerons que F admet un développement limité à un ordre suffisamment élevé tel que : F ( t ) = F ( t 0 ) + ( t – t 0 ) n^ a n + o(( t – t 0 ) n ) avec a n ≠ 0 ou bien en effectuant simultanément un développement limité sur chaque composante de F , ou bien parce que F est de classe C n^ avec F ( n )( t 0 ) ≠ 0.
La tangente est la droite passant par M( t 0 ) et de vecteur directeur a n. En effet, F ( t ) – F ( t 0 ) est égal à
M ( t ) M ( t 0 ). C'est donc un vecteur directeur de la corde. Il en est de même de 1 ( t – t 0 ) n^
( F ( t ) – F ( t 0 ))
qui est égal à a n + o(1). a n , qui est la limite de ce vecteur quand t tend vers t 0 , est un vecteur directeur de la tangente.
Dans le cas d'un point régulier, n = 1, a n = a 1 = F '( t 0 ).
q Cas où n est pair et m impair : la courbe traverse la tangente, mais la composante suivant le vecteur tangent garde un signe constant. On a un point de rebroussement de première espèce.
a 3
a 2
M
q Cas où n est pair et m est pair : la courbe reste du même côté de la tangente, et la composante suivant le vecteur tangent garde un signe constant. On a un point de rebroussement de deuxième espèce.
a 4 a 2
M
IV : Développements limités usuels
ex^ = 1 + x + x^2 2
x^3 3!
xn n!
sh( x ) = x + x
3 3!
5 5!
2 p + (2 p +1)!
ch( x ) = 1 + x
2 2
4 4!
2 p (2 p )!
sin( x ) = x – x^3 3!
x^5 5!
- ... + (–1) p^ x^2 p + (2 p +1)!
- o( x^2 p +2)
cos( x ) = 1 – x
2 2
4 4!
2 p (2 p )!
(1 + x )α^ = 1 + α x + α(α–1) 2
x^2 + ... + α(α–1)(α–2)...(α– n +1) n!
xn^ + o( xn )
1 1 – x = 1 + x + x^2 + ... + xn^ + o( xn )
1 1 + x
= 1 – x + x^2 + ... + (–1) n^ xn^ + o( xn )
ln(1+ x ) = x – x
2 2
3 3
n n
ln(1– x ) = – x – x^2 2
x^3 3
xn n
arctan( x ) = x – x
3 3
5 5
2 n + 2 n +
tan( x ) = x + x
3 3
+^2 x
5 15
th( x ) = x – x^3 3
2 x^5 15
