didactique mathématique, Slides of Mathematics

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Université M’Hamed

Bougara Boumerdes

Faculté des sciences

Département de mathématiques

L’erreur et l’obstacle chez les élèves

en mathématiques

• Année académique : 2020 /

II. L’erreur :

1.1 Définition de l’erreur :

Apprendre = prendre le risque de se tromper.

« L’erreur est considérée en tant que « symptôme » de la manière dont l’apprenant affronte un type d’obstacle donné. L’enseignant relève et explique les erreurs antérieures de la même nature pour pouvoir les prévenir. » (Astolfi, 2015)

L’erreur est un indicateur du processus didactique de l’élève, des tâches intellectuelles qu’il réalise et des obstacles qu’il rencontre. Certaines réponses erronées, y compris le silence, témoignent de réels efforts intellectuels de l’élève pour adapter ses représentations d’un phénomène à une situation didactique nouvelle. Il n’y a pas d’apprentissage vrai sans tentative de tester dans un cadre nouveau des outils dont le caractère opératoire ne s’applique qu’à un champ limité.

I.2 Types d’erreurs :

Puisque nous sommes étudiants, nous savons très bien qu'il y a des faiblesses évidentes parmi les étudiants dans les concepts et compétences de base mathématique en général et dans les opérations mathématiques en particulier, et cette faiblesse continue avec les étudiants jusqu'au lycée et à l'université , et qu'il est absolument nécessaire de diagnostiquer et d'identifier ses causes et d'essayer de la traiter.

• Erreurs mineures: L’élève mobilise et applique un concept requis par la tâche. Il démontre une compréhension du concept au sens où il sait ce qu’il doit faire et comment le faire, mais, il fait une erreur qui peut être corrigée immédiatement. Expl : ne pas différencier entre < et >.
• Erreurs composées: Sont celles que l'élève exprime en posant une question afin que l'enseignant travaille à la corriger et à diriger l'élève. Expl : (a+b)²=?
• Erreurs très complexes: Souvent associées aux idées, perceptions et idées fausses de l'apprenant et l’enseignant est là a expliqué jusqu'à ce que ses caractéristiques deviennent progressivement claires pour l'apprenant.
• Les erreurs les plus difficiles: Ce sont les obstacles où l'erreur est associée à une barrière qui empêche l'auto-réponse avec la question, l'obstacle est une barrière qui doit être brisée. selon Gaston Bachelard,

On a aussi d’autres types d’erreurs , on distingue 8 erreurs selon ASTOLFI : 1- Erreurs relevant de la compréhension des consignes de travail ; Décodage des mots d’usage courant utilisés dans des sens particuliers, exemple : expression algébrique, adn … ;

III. L’obstact :

2.1 Définition de l’obstacle :

Un obstacle en mathématique se manifeste par un ensemble de difficultés communes à de nombreux actants (sujets ou institutions), qui partagent une conception inappropriée d’une notion mathématique. un obstacle n'est pas une absence de connaissances mais au contraire résulte de connaissances. Souvent en mathématique un obstacle est une connaissance valide dans un certain domaine non vide, mais c’est une connaissance inadéquate, qui empêche la mise en place ou la compréhension d'une autre connaissance, elle, adéquate. En tant que "connaissance", un obstacle possède en général un domaine de validité, ce qui lui donne un certaine valeur et donne confiance à l'utilisateur, mais ce domaine n'a pas été repéré par l'actant et il utilise la connaissance obstacle, sans le savoir, hors de son domaine de validité. Un obstacle est composé d'un ensemble de connaissances qui s'expliquent, s'appuient, s'épaulent mutuellement, de sorte qu'un obstacle "résiste" à des contradictions ou à des explications partielles. La cause de l'obstacle n'est pas extérieure à la connaissance, elle est dans l'acte même de connaître.

2.2 Les différents types d'obstacles :

Il est illusoire de prétendre connaître tous les types d'obstacles possibles et probables à l’apprentissage chez les élèves, mais nous pouvons citer ci- dessous quelques uns de ces obstacles :  Obstacles linguistiques(langagiers): Une non maîtrise ou mauvaise maîtrise de la langue est l’obstacle le plus évident pour l'élève; mais peuvent survenir des obstacles créés par l’enseignant qui n’adapte pas son niveau de langage à celui des ses élèves.  Obstacles culturels et sociaux : Selon Gilles Verbunt, il faut prendre en compte, pour les publics migrants et en difficulté d’insertion, un type de culture lié aux concepts des classes sociales.  Obstacles psychologiques: Exemple d’un enfant de parents non-lecteurs qui « s’interdit » de façon inconsciente de dépasser leur niveau et donc n’apprend pas lire lui non plus. Ce sont des sentiments de mise en danger face aux savoirs.  Obstacles ontogéniques: Les obstacles d'origine ontogénique sont ceux qui surviennent du fait des limitations (neurophysiologiques entre autres) du sujet à un moment de son développement: il développe des connaissances appropriées à ses moyens et à ses buts à cet âge là.  Obstacles didactiques: Les obstacles d'origine didactique sont ceux qui semblent ne dépendre que d'un choix ou d'un projet du système éducatif (construits par les apprentissages précédents). Ils résultent d’une transposition didactique, récente ou ancienne et sont toujours le produit d’un apprentissage. Un obstacle didactique est donc une représentation négative de la tâche d’apprentissage, induite par un apprentissage antérieur, et faisant

 La recherche d’un sens utilitaire: Les élèves ne trouvent pas de sens aux savoirs scolaires car ils n’ont pas d’utilité pratique. L’enseignant doit aider l’élève à construire un cadrage instruit.

 Des motivations extrinsèques: L’élève travaille avant tout pour la note ou pour plaire à ses parents et à l’enseignant. Il ne développe pas des buts de maîtrise qui visent à acquérir une connaissance approfondie. Il acquiert seulement une connaissance superficielle qu’il oublie rapidement.

 La passivité mentale: L’élève en difficulté scolaire identifie la passivité physique du bon élève à une passivité mentale. L’enseignant doit expliciter l’activité cognitive qui permet les apprentissages.

 Autres obstacles:

 L’écrasement du processus scolaire sur l’élève. Le facteur principal est sans doute la centration sur l’élève. Cette centration est probablement issue d’une conception où la connaissance est un bien essentiellement personnelle, qui s’acquiert par une activité personnelle, à un rythme personnel, suivant des rites et par des voies largement personnelles, dans des conditions qui ne sont collectives que par nécessité économique.  Maine de Biran a conduit une réflexion approfondie sur l'habitude et son influence quant à la « faculté de penser ». Il pose le problème en termes de résistance comme source du procès de la connaissance. Dans cette réflexion peut se retirer l'idée d'une extériorité dans la possibilité de transformation par le dépassement des résistances au changement issues de l'habitude.

IV. COMMENT EVITER A L’ELEVE A COMMETRE CES

ERREURS!

Une erreur est d’abord une déclaration « contradictoire » avec un certain contexte accepté au préalable. Comment se fait-il que certains élèves n’arrivent pas à comprendre des problèmes simples? est-ce parce qu’ils n’arrivent pas à comprendre le problème ou vraiment ne sont-ils pas capables de les comprendre? et dans ce cas comment peut-on aider un élève à comprendre les problèmes? Les élèves ont le droit de commettre des erreurs. C’est une étape cruciale dans leur apprentissage. Se tromper est apprécié et en classe, l’erreur est valorisée comme une source d’apprentissage. Elle permet à l’apprenant de découvrir et d’expérimenter. Cependant, il y a une différence entre la perception des erreurs faites par des élèves

à différentes étapes de l’apprentissages ou à différents niveaux scolaires, ou suivant le nombre d’occurrences qui l’auront Page 12 précédée. En général une même erreur passe du traitement i) ci-dessus, en tout début d’apprentissage aux traitements suivants ii, iii, iv dans l’ordre, pour finir au statut ii lorsque l’erreur paraîtra si triviale qu’elle sera jugée erratique et vénielle. Et dans chaque catégorie, il convient de distinguer les types de réponses (et de corrections) du professeur - celles qui concerneront tous les élèves, qu’ils aient fait ou non l’erreur, - celles qui concerneront seulement les élèves qui ont fait l’erreur mais qui seront traitées collectivement et publiquement - celles qui concerneront ceux qui ont fait l’erreur, maisindividuellement et en privé. La Théorie des Situations didactiques « montre » que le taux de réussite est une variable dont la valeur est régulée par le système9 : en dessous d’un certain taux d’erreurs tm, le devoir proposé apparaît comme une exercice trop facile, qui n’est pas susceptible d’apporter un apprentissage utile et qui est donc une perte de temps ou une redondance. Au dessus d’un autre taux tM , il apparaît comme un problème trop complexe qui exigera de longues corrections et apportera peu d’apprentissages, il est donc aussi pour la plupart des élèves une perte de temps. De plus, à moins d’être accidentel, il crée une insatisfaction excessive. Le professeur corrige ses exigences de façon à obtenir des réussites entre ces deux valeurs. Il s’agit donc d’une sorte de loi théorique. Cette loi est confirmée par l’observation : dans la pratique ordinaire, le taux optimal paraît être voisin de 80 %10. Toutefois les valeurs autour desquelles les taux de réussite sont régulés peuvent varier suivant certaines caractéristiques pédagogiques, suivant les méthodes ou les enseignants. Cependant la pratique inconsidérée de taux assez différents conduit régulièrement à d’autres difficultés

11. De toute façon la pratique systématique de taux fixes conduit à certains échecs alors que la pratique de taux variables suivant le type d’activité est difficile à gérer et n’est pas bien compris par le système éducatif. Ignorer ces différences conduit à des malentendus entre les professeurs et la société. L’observation de ces différentes valeurs et de leur « explication »

puis leur modélisation mathématique serait donc un beau sujet de recherche en « théorie des situations ».

typologie d’erreurs associées à l’activité mathématique Nous avons signalé à plusieurs reprises que l’identification de l’erreur, son explication et la décision didactique de « remédiation », dans la mesure où l’élève devait être associé à cette décision, devait s’effectuer à l’aide de l’organisation des connaissances déjà enseignées (et si possible effectivement connues de l’élève). Dans l’analyse du professeur, l’erreur est d’abord rapportée à un niveau praxéologiques : - erreur spécifique à la tâche, - erreur de technique : le professeur peut critiquer la mise en œuvre, l’exécution, d’un mode opératoire connu, - erreurs de technologie : le professeur critique le choix de la technique, - erreur de niveau théorique : le professeur incrimine les connaissances théoriques de l’élève qui servent de base à la technologie et aux techniques associées.

conclusion

ce exposé qui nous somme faire propose une méthode d’étude utilisée dans plusieurs thèses, dessuggestions pour des recherches nouvelles plus précises. Les sujets sont à chercher dans deuxdirections d’abord dans l’observation effective des élèves et des classes, ensuite dans lefonctionnement des situations et des processus. La façon dont la contingence et la nécessité seconjuguent pour engendrer de nouveaux types d’erreurs est toujours surprenante. Nous n’avons vouludonner ici qu’une méthode d’analyse que nous espérons utile aux professeursPour résumer, en didactique des mathématiques les erreurs sont :

• Spécifiques d’une connaissance et/ou d’une situation mathématique, plus ou moins

générale : Inhérentes au processus d’apprentissage, en ce sens qu’il n’y apprentissage que

susceptible d’apporter un apprentissage utile et qui est donc une perte de temps ou une redondance. Au dessus d’un autre taux tM , il apparaît comme un problème trop complexe qui exigera de longues corrections et apportera peu d’apprentissages, il est donc aussi pour la plupart des élèves une perte de temps. De plus, à moins d’être accidentel, il crée une

V. Comment aider l’élève a

surmonté ces obstacles?

L’élève peut être affronté a des obstacles de différents

niveaux, mais a chaque élève sa manière de les surmonter ou

de les ignorer.

Face a telles situations l’élève est en difficulté et essaye

d’arrêter ou modifier son comportement en :

 Refusant d’affronter l’obstacle : Il ne cherche pas à

produire ou a réussir le travail demandé ;

Comme étant un élément non perturbateur et :

 Il abandonne

 Il fait semblant de travailler

 Il réalise l’activité au hasard

 Il refuse les aides proposées

Ou bien comme étant un élément perturbateur et

 Il empêche les autres à travailler

 Il détruit son travail ou le travail d’autrui

 Il produit des comportements affiliatifs ou

dominateurs

 Il attire l’attention vers lui

 En s’engageant dans une activité ou un état

parasite : il est stoppé ou détourner de son travail et ;

 Il est reste bloqué

 Il est déstabilisé ou neutralisé

 Il dérive vers une autre tache

 En contournant l’obstacle : il cherche à réussir en utilisant

des méthodes économiques pour le modifier ou le réduire et ;

 inventer des trucs mnémotechniques.

3- Revenir a la base :

Parfois, pour mieux avancer, il faut faire un pas de recul. En invitant votre jeune à faire quelques exercices plus faciles (les premiers exercices du chapitre à l’étude par exemple), vous lui permettez de renforcer certains apprentissages et de repartir sur des bases plus solides. Question de le faire pratiquer adéquatement, vous pouvez lui suggérer de :  refaire certaines situations-problèmes de son cahier;  faire quelques exercices proposés par Alloprof;  jouer à certains jeux comme Météormath pour pratiquer ses opérations (LA base des maths);  faire les exercices non faits dans son cahier

4- Prendre des pauses pendant la période des devoirs :

S’acharner sur un problème lorsque la réponse ne vient pas, c’est décourageant! Pour aider votre enfant à garder sa belle motivation, vous pouvez lui suggérer de prendre de petites pauses dans le but de s’aérer le cerveau. Par exemple, après chaque tranche de travail, votre jeune peut s’autoriser une pause pendant laquelle il peut :  fermer les yeux et relaxer,  lire une à deux pages de son livre favori,  écouter une chanson qui lui plaît,  faire une dizaine de pompes,  etc.

5- Encourager les efforts de l’élève :

Votre enfant travaille d’arrache-pied, mais n’obtient toujours pas les résultats souhaités? Ce n’est pas grave, ce n’est peut-être qu’une question de temps avant d’y arriver! En attendant, vous pouvez l’encourager à rester motivé. Comment? En essayant de :  mettre l’accent sur les efforts et les progrès et non pas sur la note;

 montrer votre admiration par des mots d’encouragements (ex. : tu me remplis de fierté, j’aime ta persévérance, etc.);  souligner ses bons coups;  Dédramatiser ses échecs.