Differential Calculus and Integral Calculus, Cheat Sheet of Law

Download Differential Calculus and Integral Calculus and more Cheat Sheet Law in PDF only on Docsity!

CC D„NG B€I TON THÜC T˜

1. íi sèng.
2. Vªt lþ.
3. Kÿ thuªt.
4. Y t¸, sinh håc.
5. Mæi tr÷íng.
6. Kinh doanh, kinh t¸.

Ch֓ng 1

D‚Y SÈ THÜC

1.1 T½nh ch§t d¢y sè

1. Kh£o s¡t t½nh ìn i»u cõa c¡c d¢y sè {an} sau khi n õ lîn.

a. an = 2n^2 + 1 b. an = (^) n n+ 2

c. an =

1 − (^1) n

2. Chùng minh c¡c d¢y sè sau bà ch°n

(a) an = n n^ −+ 2^1 (b) an =

1 − (^) n^1

1.2 Giîi h¤n d¢y sè

T½nh giîi h¤n c¡c d¢y sè {an} sau:

1. an =^3 n

(^2) + 2n + 1 n^2 − 4 n + 2

2. an = (^11). 2 + (^21). 3 +... + (^) n(n^1 + 1)

1.3 D¢y con

1.3.1 X¡c ành cæng thùc d¢y con

Cho an = n^ n+ 1 2 , x¡c ành cæng thùc a 2 k, a 2 k− 1 , a 3 k+2, ak 2.

1.3.2 D¢y con v giîi h¤n

1. Cho an = n

(^2) − 2 n + 1 n^2 , x¡c ành giîi h¤n cõa c¡c d¢y con^ ak+1, a^2 k−^1 , a^2 k, ak^2.

2. Cho {an} x¡c ành bði: a 2 k = (−1)

k k − 2 , a^2 k+1^ =^

k^2 k^3 + 1. T¼m giîi h¤n cõa^ an.

H€M SÈ 2.2 Mi·n x¡c ành, mi·n gi¡ trà cõa h m sè.

5. (H m tuy¸n t½nh) Trong nhúng ký Olympic ¦u ti¶n, ð mæn nh£y s o, mùc s o cao nh§t m ng÷íi væ àch ¤t ÷ñc cho bði h m sè h(t) = 130 + 2t, trong â h t½nh b¬ng inches v t t½nh theo n«m, t = 0 t÷ìng ùng n«m 1990. a. H¢y cho bi¸t þ ngh¾a giao iºm cõa ç thà h m sè tr¶n vîi tröc tung. b. H¢y cho bi¸t þ ngh¾a h» sè gâc a = 2 cõa ç thà h m sè h(t).
6. (H m mô) D¥n sè cõa mët th nh phè A v o n«m 2008 l 50.000. Méi n«m t l» gia t«ng l 4, a. Lªp mët h m sè mæ t£ d¥n sè tø n«m 2008 cõa th nh phè n y. b. D¥n sè v o n«m 2018 l bao nhi¶u? c. Khi n o th¼ d¥n sè ¤t 100.000?
7. (H m nhi·u biºu thùc) Mët cûa h ng photo copy ni¶m y¸t gi¡ nh÷ sau: 200 çng cho méi b£n copy cho 100 b£n ¦u ti¶n (cï gi§y A4), 170 çng méi b£n v÷ñt mèc 100. Vi¸t h m sè mæ t£ têng sè ti·n photo copy x b£n, bi¸t r¬ng câ mët kho£n ph½ cè ành cho méi l¦n photo copy ð cûa h ng n y l 5000 çng.

2.2 Mi·n x¡c ành, mi·n gi¡ trà cõa h m sè.

1. T¼m mi·n x¡c ành, mi·n gi¡ trà cõa c¡c h m sè sau: f (x) = ln(1 − x − 2 x^2 ).
2. Mët gia ¼nh dü ành tê chùc ti»c ð mët nh h ng. Mùc phöc vö chung cho búa ti»c (m°t b¬ng, trang tr½,... ) l 5 tri»u çng. Nh h ng nhªn tèi thiºu 2 b n, méi b n 10 ng÷íi. Gi¡ cho méi kh¡ch «n l 250 ng n çng. Gia ¼nh dü t½nh chi tèi a 25 tri»u. N¸u gåi x l sè kh¡ch míi, C(x) l chi ph½ cho búa ti»c. T¼m mi·n x¡c ành D v mi·n gi¡ trà R cõa C.

2.3 H m sè hñp

1. Cho 2 h m sè f : R → [− 1 , 1], f (x) = sin(x), g : (0, +∞) → R, g(x) = ln(x). T¼m c¡c biºu thùc g ◦ f (x) v f ◦ g(x) (n¸u tçn t¤i).
2. Cho 2 h m sè f (x) = x x^ + 1− 2 , g(x) = x^3 + x. T¼m g ◦ f (x), f ◦ g(x) v i·u ki»n x¡c ành cõa 2 biºu thùc n y.
3. Mët nghi¶n cùu cho th§y mùc ë kh½ CO trung b¼nh h ng ng y trong khæng kh½ t¤i 1 khu vüc X câ p ngh¼n d¥n l

C(p) = 0. 5 p + 1 (%).

Ng÷íi ta công ÷îc t½nh r¬ng, sau t n«m kº tø thíi iºm hi»n t¤i, d¥n sè ð khu vüc n y s³ l

p(t) = 10 + 0. 1 t^2 (ngh¼n).

T¼m mùc CO trung b¼nh h ng ng y theo sè n«m kº tø thíi iºm hi»n t¤i v cho bi¸t ¸n khi n o th¼ mùc CO trung b¼nh h ng ng y s³ ¤t 6.8 %.

H€M SÈ 2.4 H m sè ng÷ñc

2.4 H m sè ng÷ñc

1. Cho f : (2, +∞) → (1, +∞) , f (x) = x x^ + 1− 2. Chùng minh f l mët song ¡nh. T¼m f −^1 (x).
2. P = f (t), trong â P l sè l÷ñng lo i chim tr¶n mët hán £o (ìn và ngh¼n), t l sè n«m t½nh tø n«m
   2007. H¢y cho bi¸t a. f (4) þ ngh¾a l g¼? b. f −^1 (4) þ ngh¾a l g¼?
3. Cho h m sè y = f (x) câ ç thà nh÷ h¼nh v³ v 3 ç thà A, B, C.

H¢y cho bi¸t ç thà n o l cõa f −^1.

GIÎI H„N V€ LI–N TÖC 3.4 H m sè li¶n töc

3.4 H m sè li¶n töc

1. X²t t½nh li¶n töc tr¡i, li¶n töc ph£i, li¶n töc cõa c¡c h m sè sau

f (x) =

sin(x) |x| , x^6 = 0, 1 , x = 0,

t¤i x = 0, x = 1.

2. Mët cæng ty t½nh ph½ 7.5/l½t cho mët lo¤i sìn cho t§t c£ c¡c ìn °t h ng 50 l½t trð xuèng v 6. /l½t cho c¡c ìn h ng tr¶n 50 l½t. °t P (x) l chi ph½ º cæng ty mua x l½t sìn. a. T¼m chi ph½ mua 40 l½t, 50 l½t, 60 l½t. b. P khæng li¶n töc t¤i ¥u?

Ch֓ng 4

„O H€M V€ VI PH

N

4.1 ¤o h m cõa h m sè y = f (x)

4.1.1 T½nh ¤o h m t¤i c¡c iºm ÷ñc ch¿ ra

1. f (x) = x. 2 x−x^2 , x 0 = − 1
2. f (x) = (x − 2) |x| , x 0 = 1, x 0 = 0

4.1.2 Þ ngh¾a thüc t¸ cõa ¤o h m

1. Mët thòng h¼nh trö chùa 1000 l½t n÷îc. Thòng bà thõng ð ¡y v n÷îc tho¡t ra ngo i. Thº t½ch n÷îc cán l¤i sau t gi¥y ÷ñc cho bði ph÷ìng tr¼nh : V (t) = 1000

1 − 60 t

, 0 ≤ t ≤ 60

a. T¼m tèc ë n÷îc tho¡t ra ngo i theo thíi gian t. b. T¤i c¡c thíi iºm 0 , 10 , 20 , 30 , 40 , 50 , 60 , x¡c ành vªn tèc dáng n÷îc tho¡t v l÷ñng n÷îc cán l¤i.

2. Mët nh s£n xu§t cho bi¸t têng chi ph½ (t½nh b¬ng ng n USD) º s£n xu§t x ìn và s£n ph©m A l C(x) = 6x^2 + 2x + 10. T¼m chi ph½ cªn bi¶n khi s£n xu§t 10 ìn và s£n ph©m A.

4.1.3 Þ ngh¾a h¼nh håc cõa ¤o h m

1. T¼m h» sè gâc ti¸p tuy¸n cõa ç thà h m sè f (x) = x^2 + x^1 t¤i x 0 = − 1.
2. T¼m t§t c£ c¡c iºm tr¶n ÷íng cong y = f (x) = 2x^3 − x^2 − 7 x − 1 m t¤i â ti¸p tuy¸n song song vîi ÷íng th¯ng y = 3x − 2.

4.1.4 C¡c ph²p to¡n ¤o h m

A. Bèn ph²p to¡n

1. Vîi 1 mol kh½ lþ t÷ðng, ph÷ìng tr¼nh tr¤ng th¡i cho bði P V = 8. 31 T , trong â P (KP ascal), V (Lit), T (Kenvin). T¤i thíi iºm nhi»t ë ¤t ÷ñc 300K v thº t½ch kh½ ¤t 100L , vªn tèc t«ng nhi»t l 0.1K/s v vªn tèc t«ng thº t½ch l 0.2L/s , t½nh tèc ë thay êi cõa ¡p su§t P.

„O H€M V€ VI PH N 4.4 Khai triºn Taylor

4.3.2 X§p x¿ tuy¸n t½nh

1. Dòng x§p x¿ tuy¸n t½nh º t½nh g¦n óng ln(1.02).
2. Ph¥n bân câ thº l m thay êi s£n l÷ñng c¥y trçng. Mët nghi¶n cùu ð Kenya tr¶n ngæ cho bi¸t s£n l÷ñng cõa ngæ (t¤i 1 àa ph÷ìng cö thº) theo sè kg ph¥n bân (x) ÷ñc biºu di¹n d¤ng y = f (x), trong â f t½nh theo shilling. Gi£ sû f câ ¤o h m t¤i måi x > 0. a. N¶u þ ngh¾a f (5) = 11500 v f ′(5) = 350 b. ×îc t½nh s£n l÷ñng ngæ theo c¡c gi¡ trà ¢ cho ð c¥u tr¶n n¸u sû döng 5.2kg ph¥n bân.

4.4 Khai triºn Taylor

4.4.1 T¼m khai triºn Taylor/Maclaurin

1. T¼m khai triºn Maclaurin c§p 3 cõa f (x) = ln(2 + x).
2. T¼m khai triºn Taylor c§p 3 cõa f (x) = x ln(x) trong l¥n cªn x = 1.

4.5 Kh£o s¡t h m sè y = f (x)

4.5.1 B i to¡n v· chi·u bi¸n thi¶n v cüc trà

1. T¼m c¡c kho£ng t«ng/gi£m cõa h m sè f (x) = x (1 + √x)
2. T¼m cüc trà cõa c¡c h m sè sau f (x) = √^3 (x − 1)(x + 2)^2.
3. Gi£ sû f (x) li¶n töc v câ ç thà cõa f ′(x) nh÷ h¼nh b¶n d÷îi, h¢y ch¿ ra c¡c iºm cüc trà cõa f (x).

4.5.2 B i to¡n v· t½nh lçi lãm v iºm uèn

1. T¼m t§t c£ c¡c iºm uèn cõa ÷íng cong y = x^2 ln(x).
2. Cho h m sè f (x) câ ç thà nh÷ h¼nh v³. H¢y cho bi¸t a. f ′′^ (xA) d÷ìng hay ¥m? b. T¼m c¡c kho£ng t«ng/gi£m cõa f ′(x). c. f ′(x) câ bao nhi¶u iºm cüc ¤i, bao nhi¶u iºm cüc tiºu, trong c¡c kho£ng n o?

4.5.3 V³ ç thà h m sè y = f (x)

„O H€M V€ VI PH N 4.6 H m sè cho bði ph÷ìng tr¼nh tham sè

1. f (x) = √xx^ + 1 (^2) − 4 2.^ f^ (x) =^3

x^3 − 2 x^2 + 1

4.5.4 B i to¡n t¼m min-max

1. T¼m gi¡ trà lîn nh§t gi¡ trà nhä nh§t cõa c¡c h m sè sau

a. f (x) = xe−^ x 22 , x ∈ R (^) b. f (x) = arctan

( (^1) − x 1 + x

, x ∈ [0, 1]

Ng÷íi ta muèn treo ph½a tr¶n v ch½nh giúa mët bçn cä h¼nh trán câ b¡n k½nh √ 2 m. Bi¸t r¬ng c÷íng ë ¡nh s¡ng i ¸n m²p bçn cho bði C = c sinl 2 α (c l h¬ng sè phö thuëc nguçn s¡ng, α v l nh÷ h¼nh v³). T¼m l º C ¤t gi¡ trà lîn nh§t.

4.6 H m sè cho bði ph÷ìng tr¼nh tham sè

4.6.1 Þ ngh¾a cõa ÷íng cong tham sè

1. X¡c ành chi·u ÷íng i tr¶n quÿ ¤o n¸u chuyºn ëng cõa vªt cho bði ph÷ìng tr¼nh tham sè vîi t l thíi gian.   

x(t) = sin(t) y(t) = sin^2 (t) cos(t)

t ∈ [0, π]

2. H¼nh b¶n d÷îi l ç thà cõa 4 h m sè cho bði c¡c ph÷ìng tr¼nh tham sè

x = x(t) y = y(t)

, t ∈ [a, b], a < b.

H¢y x¡c ành c¡c ç thà tr¶n t÷ìng ùng vîi t½nh ch§t n o cõa x(y), y(t), ∀t ∈ (a, b) d÷îi ¥y:

(I)

x′(t) > 0 y′(t) > 0

(II)

x′(t) < 0 y′(t) > 0

(III)

x′(t) > 0 y′(t) < 0

(IV)

x′(t) < 0 y′(t) < 0

Ch֓ng 5

TCH PH

N

5.1 T½ch ph¥n b§t ành

5.1.1 T½nh t½ch ph¥n

1. Dòng c¡c ph÷ìng ph¡p êi bi¸n sè v t½ch ph¥n tøng ph¦n º t½nh c¡c t½ch ph¥n sau

a.

x^2 e−x^3 dx b.

x arctan(x)dx

2. T½nh t½ch ph¥n c¡c h m húu t sau

a.

∫ (^3) x − 2 x^2 + 2x − 3 dx^ b.

∫ (^) dx x^2 + 2x + 1

3. T½nh t½ch ph¥n c¡c h m væ t sau

a.

∫ (^) dx x + √x b.

∫ (^) xdx √ x^2 + 1 c.

∫ (^) dx x

x^2 − 2

5.1.2 Þ ngh¾a nguy¶n h m

1. N¸u gåi C(t) l mùc CO 2 b¼nh qu¥n trong khæng kh½ t½nh theo t l» ph¦n tri»u (%) v t l thíi gian t½nh theo n«m th¼ mæ h¼nh kh½ th£i n y tø n«m 1950 (t¤i mët khu vüc n o â) cho bði cæng thùc: C′(t) = 0.5 + 0. 03 t, t = 0 t÷ìng ùng n«m 1950. N¸u C v o n«m 1950 l 311%, t¼m C(t).
2. T¼m mët h m sè f bi¸t r¬ng h» sè gâc ti¸p tuy¸n t¤i iºm (x, f (x)) b§t ký cõa ç thà l x^2 − x + 2 v ç thà i qua iºm (− 1 , 1).

5.2 T½ch ph¥n x¡c ành

5.2.1 B i to¡n d¨n v· t½ch ph¥n

1. Nghi¶n cùu v· mët chõng vi rót trong pháng th½ nghi»m cho th§y tèc ë gia t«ng sè l÷ñng cõa lo i n y sau t gií kº tø thíi iºm hi»n t¤i l v(t) = 3 + 0. 1 t^2. T½nh têng sè vi khu©n trong 20 gií ¦u ti¶n kº tø thíi iºm hi»n t¤i.

TCH PH N 5.2 T½ch ph¥n x¡c ành

5.2.2 T½nh g¦n óng nhí têng t½ch ph¥n

1. ×îc t½nh gi¡ trà cõa c¡c t½ch ph¥n sau b¬ng têng Riemnn vîi ph¥n ho¤ch ·u 10 o¤n chia v dòng 3 c¡ch: têng tr¡i, têng ph£i, têng trung t¥m. ∫^1

0

x^2 dx

2. ×îc t½nh mùc ti¶u thö d¦u thæ tr¶n th¸ giîi trong 25 n«m tø 1985 ¸n 2010 düa v o b£ng thèng k¶ sau, sû döng têng Riemann tr¡i. N«m 1985 1990 1995 2000 2005 2010 Mùc ti¶u thö (t thòng/n«m) 20.9 23.3 25.6 28.0 30.7 31.

5.2.3 T½ch ph¥n x¡c ành v di»n t½ch mi·n ph¯ng

1. H m sè f câ ç thà f ′^ nh÷ h¼nh v³, bi¸t f (0) = 2, i·n c¡c gi¡ trà v o b£ng sau

x 0 1 2 3 4 5 6 f (x)

2. H m sè f câ ç thà f ′^ nh÷ h¼nh v³, bi¸t f (0) = 10 ph¡c håa ç thà cõa f çng thíi ch¿ rã c¡c kho£ng t«ng gi£m v c¡c iºm cüc trà cõa f.

5.2.4 Gi¡ trà trung b¼nh

1. T½nh gi¡ trà trung b¼nh cõa f (x) = x^2 + x + 1, x ∈ [0, 2], t¼m t§t c£ c¡c gi¡ trà x 0 ∈ [0, 1] m t¤i â f ¤t gi¡ trà trung b¼nh.

5.2.5 ành lþ cì b£n cõa vi t½ch ph¥n

1. T½nh ¤o h m cõa f (x) =

∫^ x

0

t^2 e−^3 t+1dt t¤i x 0 = 1.

5.2.6 C¡c ùng döng h¼nh håc cõa t½ch ph¥n x¡c ành

1. T½nh di»n t½ch c¡c mi·n ph¯ng D cho bði c¡c i·u ki»n giîi h¤n nh÷ b¶n d÷îi

a. y = 2x, y = 3x, 0 ≤ x ≤ 1 (f 1 , f 2 , [a, b]) b. x + y = 2, x = √y, y = 0 (f 1 , f 2 , f 3 )

c. y = 4 − 2 x^2 , y = 2x (f 1 , f 2 ) d. x^2 + y^2 ≤ 2 , y ≥ x^2 , x ≤ 0 (≤, ≥)

2. T½nh thº t½ch trán xoay khi mi·n ph¯ng sau quay quanh tröc Ox, Oy: x + y = 2, x = √y, y = 0

Ch֓ng 6

PH×ÌNG TRœNH VI PH

N

6.1 Ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n c§p 1

6.1.1 T¼m nghi»m têng qu¡t

1. Ph÷ìng tr¼nh t¡ch bi¸n: 3 y^2 y′^ = 2x + 1
2. Ph÷ìng tr¼nh ÷a v· t¡ch bi¸n: y′^ = (2x − 3 y + 1)^2
3. Ph÷ìng tr¼nh thu¦n nh§t (¯ng c§p): y′^ = xx^ −+^ yy
4. Ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh: y′^ + 2xy = xe−x^2
5. Ph÷ìng tr¼nh Bernoulli: y′^ − 2 yx = − (^21) y

6.1.2 T¼m nghi»m b i to¡n Cauchy

(1 + y^2 ) − xyy′^ = 0; y(1) = 0

6.1.3 B i to¡n thüc t¸

1. D¤ng tü th nh lªp b i to¡n a. B i to¡n h¼nh håc i. B i to¡n li¶n quan ¸n ti¸p tuy¸n, ph¡p tuy¸n(ìn gi£n) T¼m mët ÷íng cong y = f (x) i qua iºm (3,2). Bi¸t r¬ng o¤n chn cõa ti¸p tuy¸n (vîi ÷íng cong t¤i 1 iºm b§t ký) tr¶n hai tröc tåa ë luæn bà chia æi bði ti¸p iºm. ii. B i to¡n v· quÿ ¤o trüc giao (mîi) T¼m quÿ ¤o trüc giao cõa hå ÷íng cong (P) câ ph÷ìng tr¼nh y = kx^2. b. B i to¡n d¥n sè i. Mæ h¼nh t«ng tr÷ðng tü nhi¶n P ′(t) = kP (t) (D¤ng n y sinh vi¶n câ thº lªp tø h m mô m khæng c¦n qua ptvp.) Mët th nh phè câ 226 ng n d¥n v o n«m 1996. Tèc ë gia t«ng d¥n sè tü nhi¶n cõa th nh phè n y l 0.08%/n«m. T¼m ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n mæ t£ d¥n sè cõa th nh phè n y. H¢y cho bi¶t sau bao l¥u th¼ d¥n sè ¤t 228 ng n d¥n.

PH×ÌNG TRœNH VI PH N 6.2 Ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh c§p 2 h» sè h¬ng

ii. Ph÷ìng tr¼nh Logistic P ′(t) = k

1 − P^ L(t)

Trong mët hç n÷îc thi¶n nhi¶n ban ¦u câ 400 con c¡. Sè c¡ tèi a câ thº sinh sèng trong hç l 10.000 con. Bi¸t sau 1 n«m sè c¡ t«ng g§p 3 l¦n. T¼m sè c¡ sau t n«m. Sau bao nhi¶u n«m, cè c¡ trong hç s³ ¤t 5000 con. c. B i to¡n háa tan (t¡ch bi¸n/tuy¸n t½nh) i. Trong thòng chùa 100 l½t n÷îc. Ng÷íi ta bìm v o thòng n÷îc muèi câ nçng ë 0.4kg/l vîi tèc ë 5l/phót, hén hñp ÷ñc bìm ra công vîi tèc ë 5l/phót. Sü çng ch§t cõa hén hñp ÷ñc £m b£o b¬ng c¡ch khu§y ·u. T¼m l÷ñng muèi trong thòng sau 20 phót. ii. Trong thòng chùa 100 l½t n÷îc muèi nçng ë 0.5kg/l. Ng÷íi ta bìm n÷îc v o thòng vîi tèc ë 5l/phót, hén hñp ch£y ra vîi tèc ë 3l/phót. Sü çng ch§t cõa hén hñp ÷ñc £m b£o b¬ng c¡ch khu§y ·u. T¼m l÷ñng muèi trong thòng sau 20 phót. iii. Trong thòng chùa 100 l½t n÷îc. Ng÷íi ta bìm v o thòng hén hñp n÷îc muèi câ nçng ë 0.4kg/l vîi tèc ë 5l/phót, hén hñp ÷ñc bìm ra vîi tèc ë 3l/phót. Sü çng ch§t cõa hén hñp ÷ñc £m b£o b¬ng c¡ch khu§y ·u. T¼m l÷ñng muèi trong thòng sau 20 phót. Gåi y(t) l l÷ñng muèi cán l¤i trong thòng sau t phót. T¼m l÷ñng muèi cán l¤i trong thòng sau 20 phót. d. B i to¡n v· quy luªt gi£m nhi»t (ph¡t biºu l¤i quy luªt) Vªn tèc nguëi l¤nh cõa mët vªt trong khæng kh½ t l» vîi hi»u giúa nhi»t ë cõa vªt v nhi»t ë khæng kh½. T¼m quy luªt gi£m nhi»t cõa vªt n¸u nhi»t ë cõa khæng kh½ l 20 ◦C, nhi»t ë ban ¦u cõa vªt l 100 ◦C, sau 10 phót nhi»t ë cõa vªt cán 60◦C.

2. D¤ng cho s®n ph÷ìng tr¼nh (tòy þ) a. C÷íng ë dáng i»n I trong m¤ch câ cuën c£m vîi tø dung L (Henry), i»n trð R (Ohm), hi»u i»n th¸ V (volt) thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh

L d dIt + RI = U

T¼m c÷íng ë dáng i»n sau 10 gi¥y, n¸u U = 4(v), R = 10(Ω), L = 2(H), I(0) = 0. b. Mët lo¤i thuèc truy·n qua ÷íng t¾nh m¤ch cho b»nh nh¥n vîi tèc ë v 1 (t) = 1+sin(t)(mg/ml)/gií. Thuèc ÷ñc chuyºn hâa vîi tèc ë v 2 (t) = y(t)(mg/ml)/gií, vîi y(t) l nçng ë thuèc trong m¡u sau t gií kº tø lóc thuèc ÷ñc ÷a v o t¾nh m¤ch, t½nh b¬ng mg/ml. Tèc ë thay êi nçng ë thuèc trong m¡u sau t gií l y′(t) = v 1 (t) − v 2 (t). X¡c ành nçng ë thuèc trong m¡u sau 2 gií.

6.2 Ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh c§p 2 h» sè h¬ng

6.2.1 T¼m nghi»m ph÷ìng tr¼nh thu¦n nh§t

1. y′′^ − 3 y′^ + 2y = 0
2. y′′^ − 2 y′^ + y = 0
   3. y′′^ − 2 y′^ + 2y = 0
   4. y′′^ − 3 y′^ − 4 y = 0, y(0) = 1, y′(0) = − 2

6.2.2 T¼m nghi»m ri¶ng b¬ng ph÷ìng ph¡p bi¸n thi¶n h¬ng sè

y′′^ + 4y′^ + 4y = e−^2 x^ ln(x)