Differential Equations: Introduction and Concepts, Lecture notes of Differential Equations

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Chapter 1

(1)有關微分方程singular point之部分,將介紹如何求解singular point 與 singular

solution

(2)微分方程之數值解法(對於任何微分方程帶有初始條件者,都可用遞迴方式把解很

容易求出,包括偏微分方程)

(3)線性系統的微分方程,在本課程將會完整介紹,對於非線性系統之求解,本課程也會

利用線性系統去解決問題

(4)對於piecewise-continuous functions space 的介紹及其與線性系統之間的關係

由於上述課程之需要,所以把上課課本內容修改為如下:

1 、 First order differential equations

2 、 Differential equations of higher order

3 、 Laplace transform

4 、 Series solutions of linear equations (視情況可能刪除)

5 、 Systems of differential equations

6 、 Fourier series and boundary-value problems

一、 The course, Differential Equations, is a fundamental mathematics for the students in

the EE department. Based on the concepts of Logics and Sets, the derivations of both the

differential equation itself and the associated solution set (especially the singular

solution) are discussed. Not only the solution methods but also the mathematic concepts

are emphasized. The students are suggested to follow the schedule in time, otherwise will

be lost in the course. The course will be taught according to the Lecturer’s notebook. The

students had better review it after each course in order catch up with the schedule. The

EE assigned textbook is a reference. Both of the contents are consistent and listed as

follows.

1.Grading Standards

Homework 10%

Midterm 45%

Final 45%

2.Preliminary Course: Calculus

教科書： 1. The Lecturer’s notebook: the PDF file can be downloaded.

2. Differential Equations with Boundary-Value Problems (8th Edition) by Dennis G. Zill

and Michael R. Cullen

(2) Partial Differential Equation(PDE) : involving the partial derivatives of one or

more dependent variables of two or more independent variables.













2

2

2

2

2

u

x

u

t

u

t

 

2. By Order:

The order of the highest derivative in a differential equation is called the order of

the equation.

For example, a general nth-order, ordinary differential equation is often represented

by

f(x,y,y', ,y ) dx

d y (n 1 ) n

n    ( normal form ) 0 dx

d y ,..., dx

dy F x,y, n

n  

( general form )

If the coefficient of d

n y/dx

n is not a zero, then the differential equation is called

nth-order.上式的normal form確保該方程式是我們所指的nth-order；但是general form

可指的是nth-order(y

(n) 的係數不為零)或(n-1)th-order(y

(n) 的係數為零且y

(n-1) 的係數不

為零)或依此類推。

Remark: T he solutions of the normal form is actually a subset of the general form F = 0.

In the above equation, the logical implication is

f(x,y,y', ,y ) dx

d y (n 1 ) n

n     f(x,y,y', ,y ) 0 dx

d y (n 1 ) n

n  

   0 dx

d y ,..., dx

dy F x,y, n

n  

“ ” means that the first two sets are the same, and “ ” does that they are the subset of

the third one.

3

2

2

dx

dy

dx

d y  項的階數應為 3 而非 5 ，實際上的

理由在1.1 Supplement會加以說明。此外，general form 也包含某些尚未簡化成

normal form 的 nth-order DE。例如下列即為 1st–order 的一例。

(y ') 4 y'y 4 y 32 ye 16 y'e 0

2 2 6 x 6 x     

 

3. As Linear or Nonlinear:

(1) Linear Differential Equation :

前面所定義的normal form 或 general form 是包含linear及nonlinear。F is linear

in y, y’, …, y

(n) (x 可以不包括) or

a x

d y

dx

a x

d y

dx

a x

dy

dx

n a^ x y^ g x

n

n n

n

n

( )  (^) ( ) ...  ( )  ( )  ( )



(^1) 

1

1 1 0

so that the differential equation is called linear nth order.

何謂linear？就函數而言，如f(x, y) = ax + by(a, b是常數，更多的變數則是該

些變數的線性組合)。就operator而言，An operator Dx is linear if Dx (y) =Dx (y).

The left side of the above equation is a linear combination of the differential

operator.

(2) Nonlinear Differential Equation : for example

d y

dx

y

3

3

2   0

The operator of the left side is not linear.

[Solution of a Differential Equation]

For the differential equation

f(x,y,y', ,y ) dx

d y (n 1 ) n

n   

Any function f defined on an interval I and possessing at least n derivatives that

are continuous on I, which, when substituted into an nth-order ordinary differential

equation, reduces the equation to an identity, is said to be a solution of the equation on

the interval. The associated interval I may be called the interval of definition, interval of

existence, interval of validity, or domain of the solution.

[Explicit and Implicit Solutions]

(1) Explicit solutions : An explicit function y = f(x) is a solution of an ODE on the

interval I. Please note that in the solution, x is an independent variable while y is a dependent variable.

(2) Implicit solutions : An implicit function g(x,y) = 0 is a solution of an ODE on the

interval I. Please note that either x or y may be an independent variable while the

other is a dependent variable.

For example, x

2

• y

2 = 25 is implicit while

2 y  25  x is explicit on (-5, 5). In

addition, we may have a following implication

x y 25

2 2   d( x y ) 0

2 2   xdx ydy 0

即使常數項並非 25 ，上述結果仍然成立。The implication indicates that the implicit

function is one of the solutions of the ODE.寫成derivative form則可為

y

x

dx

dy  or x

y

dy

dx 

Remark : Derivative 所形成的方程式與 Differential 所形成方程式之不同：Seriously,

y

x

dx

dy  (x independent and y dependent 其 解 為

2 y  c x ) or x

y

dy

dx  (x

dependent and y independent其解為

2 x  c y )  xdx + ydy = 0.

[More Terminology]

(1) Solution curve : the graph of a solution f(x) of an ODE

(2) Function curve : the graph of a function f(x)

(3) Integral of the equation = solution

(4) Integral Curve = Solution Curve

(5) n-parameter family of solutions (n-parameter family curves) :

F x ,y,y,...,y  0 G  x,y,c 1 ,...,cn 0

(n ) solution    

n 階微分方程式的求解就是要找到包含 n 個參數的家族曲線。

(6) Particular solutions : free of arbitrary parameters

Example 1: y = c exp(x

2 ) is a one-parameter family of solutions of the equation dy/dx =

2xy while y = 0 is a trivial solution and also a particular solution.

(2) G( x,y,c 1 ,,cn) c 1 g 1 (x,y)cngn(x,y)g(x,y) 0 , j.e., g(x, y) is the linear

combination of gi(x, y).

應注意到的：(1)是(2)的一個特例。

[Redundancy]

當參數改變時，所指定 family curves 中的曲線也跟著改變。不同的一組參數

若能指向不同的曲線，而且每個參數均可獨立變化，則稱各個參數均為 effective ，

意即參數與曲線是 one-on-one對應。若存在不同一組參數對應到相同的曲線，則表

示有 redundant 參數存在，可加以修正。

Example c 1 x

2

• c 2 y

2 = c 3 (c 3  0) 可修正為 c 1 x

2

• c 2 y

2 = 1。因為前者三個參數成比

例時，則代表是同一曲線。又如 c 1 x + 2c 2 x - y = 0可修正為 cx - y = 0。

參數是否為 redundant，事實上跟各個組成單元是否為獨立函數有關。在第四

章中，會特別對組性組合的函數獨立性更進一步討論。

[Alternative to specify a curve]

指定 family curves 中曲線的方式，除了指定各個參數外，也可考慮給定通過

某一定點 (x, y)、該點的曲線斜率 y’、該點的 y”、一直到該點的 y

(n-1) 共 n 個資

訊，相當於 n 個參數。對於指定曲線而言，它們之間是否能互相取代？底下是仔細

的探討。

[Principle to find a DE]

Given an effective n-parameter family curves, G(x,y,c 1 ,..., cn) = 0, we can get a

system of n equations by differentiating the equation (n – 1) times with respect to x:



 G(x,y(x),c,'...,c ) 0 dx

d

G(x,y(x),c,'...,c ) 0 dx

d

G(x,y(x),c,'...,c ) 0

n 1 1 n

n 1

1 n

1 n

若 G 為前面所定義的線性組合系統，則方程式系統可寫為















 g dx

d g c dx

d g c dx

d gc dx

d

gc g c g c g

n 1

n 1

n 1 n n

n 1

n 1 2 2

n 1

n 1 11

n 1

11 2 2 n n

n 1 1 n 2 2 nn n n 0

111 12 2 1 n n 10

g c g c g c g

g c g c g c g

其中所有的係數 g 均可為 x, y, y’, …, y

(n-1) 的函數。根據代數的運算，我們可得到

n 1 nn

11 1 n

g g

g g

由於  也是 x, y, y’, …, y

(n-1) 的函數，我們可認為；在此 (n+1)維度底下，在  0

區域，我們均可找到唯一的一組 c 解。最後將所得的 c 值代入 dnG(x,y,c 1 ,..., cn)/dxn

= 0 即可得到 nth-order DE。

[ 微方程式 n 個參數唯一解區 ]

1. 由 c 值唯一解的條件   0 ，再加上d

n G(x,y,c 1 ,..., cn)/dx

n = 0時也會對 c 值

某些條件的限制(實際例子在 Sec. 1.2)，如此即構成微分方程式 n 個參數唯一解

區。亦即在此區域內，給定 (x, y)、y’、y”、一直到該點的 y

(n-1) 共 n 個資訊，即

相當於指定唯一組 n 倜參數 c 值而代入 family curves 即得到唯一相對應的曲

線。其中給定的各導函數在該區域內均有一定範圍的自由度，並非是一指定的數值，

且定義此些導函數為該微分方程式的 initial conditions，這在Sec. 1.2 會進一步地討

論。在微分方程 n 個參數唯一解區域中 x 的範圍一般定義為 solution unterval 。

It may also be called the interval of definition.

[nth-order Normal form DE]

該 DE 事實上可表示成 normal form，因為

dx

dy

dx

d G

dx y

dy'

dx

d G

dx y'

dy

dx

d G

dx y

d G

x

G

dx

d

(n 1 )

n 1

n 1

n 1 (n 1 )

n 1

n 1

n 1

n 1

n 1

n

n  







 









 

即 y(n)^ 僅出現在上式的最後項；而且僅是一次方項。簡而言之，根據上述求得微分

方程的步驟，就線性系統而言，我們在微分方程 n 個參數唯一解區內一定可找到一

組 c 解及其相對應 nth-order normal-form DE：

f(x,y,y', ,y ) dx

d y (n 1 ) n

n    。

Example: y = c 1 e

2x +c 2 e

- 2x , Please find the associated DE.

Solution:該 Family curves 的重要成份有

(1) 組成單元： e

2x 及 e

• 2x

(2) 組成方式：線性組合，y 是 e

2x 及 e

• 2x 的線性組合。

(3) 微分方程式兩個參數唯一解區域：首先考慮求解 c 1 及 c 2 ，由原 y 式及首次導

函數

y = c 1 e

2x +c 2 e

• 2x , 及

dy

dx

c e c e

x x  

 2 1 2

2 2

2

得到 c 1 及 c 2 有唯一解的條件為

2 e 2 e

e e 2 x 2 x

2 x 2 x   



 for all x

因此唯一解的 x 區域是所有實數。而且解得唯一解為

 

2 x 2 x

2 x

2 x

1 2 ye y'e 4

y' 2 e 1

y e

c

 





 及  

2 x 2 x

2 x

2 x

2 2 ye y'e 4

2 e y' 1

e y

c   

這是對任意給定的 y(x) 及 y’(x) 均成立。代入二次微分項

家族曲線經過分組後，假設共有 M 個 normal form DE找到，則我們可以用

乘積(因為它們之間的關係是或)組合成如下的型式

f(x,y,y',...,y ) 0 dx

d y

M

i 1

(n 1 ) n i

n i i

i

^  





這相當於一個 general form

dx

d y ,..., dx

dy F x,y, n

n  

在此我們是以可能的最高階 n 來代表該 general form DE，事實上它是有可能小於

n 的。

Example: y cxy cx y ccx 0

3 1 2

2 1 2

2     或y cxy cx y cx 0

2 2 2 3     ，請找出相對應

的微分方程式。

Solutuon: 這兩家族曲線可對參數因式分解而進行分組

(y cx)(y cx ) 0

2  1  2  或(y cx)(y cx ) 0

2   

事實上由於 c 1 及 c 2 可分屬於兩不同子集，且參斁的名稱只具代表性意義，我們也

可通稱兩參數為 c，因此該兩家族曲線是相同的。而由上面的分解得知

y = cx 或 y = cx

2 兩個子集

這相當於兩個一階的方程式。

考慮 y = cx

n (n 是自然數 ) ，該Family curves 的重要成份有

(1) 組成單元：xn^ 曲線

(2) 組成方式：線性組合，y 是 xn^ 的線性組合。

(3) 微分方程一個參數唯一解的區域：If x  0 then c = y/xn^ i.e., either x > 0 or x < 0 for

any y。在此兩區域內，給定一組 (x, y) 即能決定唯一的 c 值。

代入微分項 n x

y

dx

d c dx

d  i.e., ny 0 dx

dy x   if x  0

所以微分方程一個參數唯一解區域為 (x > 0, y任罳) 或 (x < 0, y 任意)。

從求解過程可以看出：原組成單元 xn^ 的 x 及 n 分別出現在首次微分項及

y 項前的係數，亦即微分方程式的係數隱涵著組成單元的訊息。此外，該方程式對 y

而言是線其此跟線性組合是一致的。

就整個 xy 平面而言，若依照”給定區域內任一點 (x, y) 值所決定參數解的

個數”來區分，family curves 將其分割成 5 個區域：( x < 0, y任意), ( x > 0, y任意), ( x =

0., y = 0)、 ( x = 0, y < 0 ) 及 ( x = 0, y > 0 )。其中前兩區域是 c 值唯一解的兩區

域，第 3 區域即即原點(注意該方程式一定過原點)，且 c 值是無限多解；第 4 區

域是 c =負無窮大區；第 5 區域是 c =正無窮大區。Solution interval 是 x < 0 或 x

0。有關無窮多解的問題稍後討論。

上迍的結果可推得相關的 general form DE 為

(xy’-y)(xy’-2y) = 0

此方程式應屬於一階微分方程式。對兩參數及一參數的家族曲線意義如下

(1) 因為沒有二階方程式相對，兩參數的唯一解區是不存在的。意即給定 y(x) 及

y’(x)，家族曲線一般而言是找不到柤對應的參數值；除非是剛湊巧是相對應到

兩個一階方程式的某個解。此處所謂的湊巧是指給定 y(x) 的話，y’的值就只

能是 y/x 或 2y/x ，沒有其它的自由度可言。而其兩個參數分別相對於一個一

階方裎式。

(2) 一參數有兩組解，原因是在參數的二次方，因而 DE 是兩個一階方程式的乘積。

[Relation between FC and DE]

1. n-parameter family curves 進行分組後，依每組所擁有的參數個數，可求階數等於

參數個數的 normal form DE，最後將所有程式的相乘樍即得到 general form

DE。其階數是小於或等於 n。

2. General form DE 依導函數進行因式分解，即可得刲 normal form DE，然後進行

求解相對應的 family curves，最後以相乘積來組合；即得到 general form DE 的

解。

3. nth-order normal DE 一定有相對應的微分方程 n 個參數唯一解區。相對地，

n-parameter family curves 則不一定存在 n 個參數唯一解區。

[ 參數無解的情況 ]

n-parameter family curves 不一定有 n 個參數唯一解區。如果沒有的話，當給

定 n 個導函數的 initial conditions 時，就會出現無解的情況；這是因為其相對應的

微分方程是低於 nth-order general form。另外，如果effective 參數個數小於 n，也

會發生同樣情形。

[singular point and singular solution( 多解的情況 )]

對於 normal form DE 而言，一定存在微分方程參數唯一解區，意即相當於

方程式解唯一區。另由家族曲線推論到微分方程式，意涵家族曲線是微分方程式的

充分條件，即方程式尚有其它無法藉由指定(一組)參數值的解，我們稱之為 Singular

solution 。這些解會出現在那裏？應該是唯一區以外的其它地區。我們可以分割其它

區為多解區及無解區。其中多解區包涵了無限多解。我們同時也可定義在唯一解區

的點為 ordinary point ；相相對地在多解或無解區的點為 singular point 。所謂的

singular solution 應指的是通過多解區 singular point 的解。

兩個同階的normal form聯立方程組相減可得到一個較低階(大都是低一階)

的方程式。如果較低階者可求出解，則須反代入高階者去再度驗證，因為有可

能是無解，反代不成就是代表無解。兩同階方程式相減可仍是同階或較低階。

其中後者是最小集合，如此的唯一性可保證是降階者是兩者之交集，但仍須排

除交集是空集合的情形。利用上述升降階的方式可進行聯立方程組的簡化。

2. 假設某 n 0 - parameter family curves 是非線性系統，其中有 n 0 項一次方參

數，稱之為舊參數項；另外有高次方(>1)項，它是某些一次方參數的組合，

稱之為組合項，假設共有 n 1 項。例如

2 4 2

2 1

3 1 2

2 y c 1 xc 2 x ccx (c c)x 前兩項為舊參數，後兩項為組合項。

2 3 2

2 1

2 1 2 1 2

2 4 2

2 1

3 1 2

2 1 2

y' c c 2 x cc 3 x (c c ) 4 x

y cx c x cc x (c c )x 可解得參數共 4 組解，代入二階導函數後

4. 對每一組合項指定一個一次方新參數，而使系統成為 n 0 +n 1 個參數的線性

系統，但另外有 n 1 項舊參數與新參數間的 constraint。例如

4

2 2

2 1

1 2 3

4 4

3 3

2 1 2

c c c

cc c

y cx c x c x c x

5. 由於線性系統有 n 0 +n 1 個參數，我們可依序微分直到 (n 0 +n 1 - 1)th-order 導

函數出現(此動作依昇階方式事實可到任意階導函數)，而將所有參數用線性

系統求解。然後代入 n 1 個 constraint，即可得到 n 1 個 (n 0 +n 1 - 1)th-order

DE。此 n 1 個 DE 解的交集就是我們前述的 n 0 th-order DE 的解集合。例

如

4

2 2

2 1

1 2 3

3 4

( 3 )

2 2 3 4

3 4

2 1 2 3

4 4

3 3

2 1 2

c c c

cc c

y c 6 c 24 x

y" c 2 c 6 x c 12 x

y' c c 2 x c 3 x c 4 x

y cx c x cx cx

四倜參數六個方程式，可解得參數及 2 DE

( 3 ) (^4432)

( 3 ) (^332)

( 3 ) (^22)

( 3 )

2

1

y 6 x

y" 2 x

y' x

y x

c

y 2

y" x

y' x

y x

c

y 2

x y" 2

y' x

y x

c

y 6

x y 3 y' xy" x

c

代入constraints而得

( 3 ) 4 3 2

2 ( 3 ) 2

2 ( 3 )

2

( 3 ) 3 2

( 3 ) 2

( 3 )

2

y 6 x

y" 2 x

y' x

y x

y 2

x y" 2

y' x

y x

y 6

x y 3 y' xy" x

y 2

y" x

y' x

y x

y 2

x y" 2

y' x

y x

y 6

x y 3 y' xy" x

6. 利用每兩個 (n 0 +n 1 - 1)th-order DE 可降階簡化成一個 n 0 +n 1 - 2)th-order DE；

故 n 1 個 (n 0 +n 1 - 1)th-order DE 可針對共同一個(或相鄰) DE 降階簡化成

n 1 - 1 個 (n 0 +n 1 - 2)th-order DE。如此降階程序依序重覆 n 1 - 1 次即可得到一個

n 0 th-order DE。

 

2 x 2 x 1 2 ye y'e 4

c

    及  

2 x 2 x 2 2 ye y'e 4

c  

2 c 2  4 c

得刲    

2 x 2 x^22 x 2 x 2 ye y'e 162 ye y'e

    

(y ') 4 y'y 4 y 32 ye 16 y'e 0

2 2 6 x 6 x     

 

由前例得知此方程式的 solution interval 是整個 x 軸。又由於參數 c 是實

數，故由其家族曲線方程式得到

4 e

- 4 x - 4 e

2x (-y)  0 即 y  - e

- 8 x

這即微分方程一個參數唯一解區，其相對應的微分方程有兩個一階的 normal form

DE ，但相乘整理後為如上的 general form DE 。

從求解過程可以看出：原組成單元是以原來的型式(或組合)出現在方程式的

係數。此外，該方程式對 y 而言是非線性的，此跟非線性組合是一致的。

該方程式相對於 one-parameter family curves，故階數應是一階的。方程式中

如 (y’)

2 及 yy’ 項的階應指定為 1 ，意指他們無含有比一階更高階的項，其方程式

解的參數僅有一個。

在本例中，我們是用 y (y = c

2 e

2x

• 2 ce

• 2x )及 y’兩項與 c 1 及 c 2 的關式來求解

後兩者。相對地，我們也可用如 y’及 y”(事實上此時的 y 可為 y = c^2 e

2x

• 2 ce

• 2x

c 3 )兩項與 c 1 及 c 2 的關式來求解後兩者。最後代入兩者的受限條件會發現：兩方

程式的階數是不相同的。事實上，後者的方程式是包含前者的，因為前者獨立參數

僅有一個(c)，後者郤有兩個(c 及 c 3 )。這說明在求解過程中，階數必須保持最小，

所得的微分方程式才能真正等於 family curves；否則變成包含 family curves。

從前逑兩 family curves 例子是可以看出：線性方程式

d y

dx

y

2

2

方程式(y ') 4 y'y 4 y 32 ye 16 y'e 0

2 2 6 x 6 x     

  的所有解，這可由兩者 family curves

的定義得到。 從 family curves 來解釋常態微分方程式：方程式的階數是相對

1.2 Initial-Value Problem

[Initial-Value Problem (IVP)]

Solve:

d y

dx

f x y y y

n

n

n 

 ( , , ', , )

( ) 

1

Subject to: y(x 0 ) = y 0 , y'(x 0 ) = y 1 ,..., y(n-1)(x 0 ) = yn- 1

where y 0 , y 1 ,..., yn- 1 are arbitrarily specified real constants. The condition which the

equation is subject to is called initial condition. The above equation is also named as

nth-order initial-value problem.

對於 nth-order General form DE ，我們從 family curves supplement section 得知，

應先針對 y(n)^ 求解而得到有限個 normal form 。然後針對每個 normal form 個別

考慮其 nth-order(or less) initial-value problem 。

由 family curves supplement section 得知：在微分方程參數唯一解區域，針

對 initial-value condition 可求解出唯一解的 n 個參數值，然後代入 family curves

中即可得到相對應的唯一曲線。此曲線即為相對應 nth-order 微分方程式之解。因

此， nth IVP 的求解重點在於找到相對應的 n-parameter family of solutions 。

此唯一解區域相對應的 x interval 稱之為 solution interval。 That is. the solution

interval is defined as the interval in which the initial value problem has a unique

solution. It may be called the interval of definition.

:

First-order IVP

Solve

dy

dx

 f x y( , )

Subject to: y(x 0 ) = y 0

Second-order IVP

Solve:

d y

dx

f x y y

2

2

 ( , , ')

Subject to: y(x 0 ) = y 0 , y'(x 0 ) = y 1

Geometric Interpretation of the two equations

First IVP: Passing through (x 0 , y 0 )

Second IVP: Not only passing through (x 0 , y 0 ) but also having a slope of y 1

Numerical Method

已知 f(x,y,y, ,y ) dx

d y (n 1 ) n

n    Subject to: y(x 0 ) = y 0 , y'(x 0 ) =

( 1 ) y 0 ,..., y (n-1)(x 0 ) =

(n 1 ) y (^0)



(n) 0

(n 1 ) 0

( 1 ) 0 0 0 0

(n ) y (x ) f(x ,y,y , ,y )y

 

故可假設已知 yi,

( 1 ) yi ,...,

(n) yi , i = 0 開始

如果 x 取得絇小的話，可計算求得y y y x

(m 1 ) i

(m) i

(m) i 1 ^  

 (^)  m = 0, … , n- 1

(n) i 1

(n 1 ) i

( 1 ) i 1 i i i

(n ) y (x ) f(x,y,y , ,y ) y

 (^)     其中的xi = x 0 +ix。如此遞迴求值

同理general form亦雷同，其中多了多次方程式求解。

[Existence and Uniqueness of First IVP]

在 family curves supplement section 中已討論過如何由參數唯一解的條件來求出唯

一解的區域及 solution interval。相對而言，在此即是討論如何由方程式得到此些訊

息。本節即對first IVP討論。

連續的集合

上述兩條件的證明，不在此詳述。但由此兩條件得知：f(x, y)連續的集合是至少有

一解集合的子集；f(x, y) and f x y ( , ) /y 連續的集合是唯一解集合的子集。又f(x,

y) and  f x y( , ) /y 連續的集合是f(x, y)連續的集合之子集；唯一解集合是至少有

一解集合的子集。故此四集合的關係可晝出如上的圖示。其中至少有一解集合與

無解集合就組成整個討論空間。前面所提到的微分方程參數值唯一解區域，事實

上嚴格說來應該指的是f(x, y) and f x y ( , ) /y 連續的集合。這可由如下的推論得

知：

因為 one-parameter family curves 最後可解得唯一參數 c = F(x, y)，但為求得

方程式，，對其進行全微分得 Fxdx + Fydy = 0；另外亦得 Fxy = Fyx，所以得到 Fx、

Fy 及 Fxy 均連續。比較 f(x, y)dx – dy = 0 得到：Fx = - fFy。亦即 Fxy = - fyFy - fFyy，

故另外得有 f、fy 及 Fyy 也連續。總而言之，f 及 fy 連續即相當於 F、Fx、Fy、

Fxy 及 Fyy 均連續。如此由家族曲線及微分方程式所得到的參數唯一解區域就變得

一致。

Note: 微分方程參數唯一解區是由參數唯一解的條件再加上微分方程形成條件共

同組成的。對 first IVP 而言，前者應是 F 連讀；其餘皆屬後者。

由上圖中可以看出，If f(x, y) is not continuous on R,則解可能是至少有一或無

解。If either f(x, y) or f x y ( , ) /yis not continuous on R, 則解可能是唯一的或至少有

一或無解。

Example: 家族曲線

2 2 c 4

x y 

4

x c y

2 1 / 2   if c 0 4

x

2  

4

x c y

2 1 / 2   if c 0 4

x

2  

dx 2

x y dy 2

1 / 2  

 if c 0 4

x

2  

dx 2

x y dy 2

1 / 2   

 if c 0 4

x

2  

dy

dx

 xy 

1 2 0

/ if c 0 4

x

2  

xy 0 dx

dy (^1) / 2   if c 0 4

x

2  

從上逑求淂方程式的過程中得知：雖然 y  0 即可得到唯一的 c 值。但為求得微分

方程式則 y  0 ，故溦分方程參數值唯一解區域應為 y > 0，而無解區域為 y < 0。

由微分方程式看來

f(x, y) and





f

y

x

y

 2

1 2/

均連續則須 y > 0 則結果與家族曲線者相同。

若 y = 0 則結果如何？上面的推論應是至少一解或是無解。事實上由方程式

得知 y = 0 是一解，但無法由家族曲線獲得(家族曲線是微分方程式的子集)，故稱

之為 Singular solution(完全不在唯一解區及無解區)。另外，當 c  0 時是有家族曲

線接觸到 y = 0，故 y = 0 就是多解區。由於它就是 x 軸，因此導致 x 軸上的每

一點均為 Singular (Separating) point，均可作為分割 x 軸成為左、右兩區段的

solution interval。因此，這個方程式的 solution interval 可以變得很複雜，且與 c 值

有關。

(1) 當初始值所決定的 c > 0 時，亦即曲線並未接觸到 x 軸，也就是 y > 0 for any

x，方程式的解是唯一的

2 2 c 4

x y (^)  

  。其相對應的 solution interval interval即為 x

(2) 當初始值所決定的 c  0 時，亦即家族曲線會接觸到 x 軸。由於 x 軸(y = 0)

也是方程式的解，若起始點是在接觸點，則 first IVP是多解的，即接觸點左右兩邊

各有兩種選擇：一為家族曲線，另一為 y = 0，因此該接觸點即成為 separating

(singular) point。事實上有無限多的家族曲線景可以接餲到 x 軸，而且彼此間的接

觸點是不相同的。

如果僅有一條家族曲線接觶到 x 軸，如下圖所示，接觸點為 (  2 c, 0 )與

( 2 c, 0 ) ，在最左區段處，由於起始點的 y 值是大於零的，所以解是唯一的。但

在接觸點以後的解可選擇原來的解或 y = 0，亦即形成多解的型式。所以 solution

interval 應該是 ( , 2 c)、 (  2 c, 2 c)或 ( 2 c,)，亦即被兩接觸點所分

割。如果有更多的家族曲線接觸到 x 軸，則分割的區段將會更多。

Note:

1. A few techniques to find the solution of the mentioned initial-value problem

(a) separation of variables (b) multiplication by integration factor

(c) substitution methods