document title in mathematic, Slides of Geometry

Download document title in mathematic and more Slides Geometry in PDF only on Docsity!

УДК 373:514+514(075.3)

ББК 22.151я М

Серия «МГУ — школе» основана в 1999 году

А в т о р ы: Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, Л. С. Киселёва

На учебник получены положительные заключения научной (заключение РАО № 481 от 14.11.2016 г.), педагогической (заключение РАО № 170 от 05.10.2016 г.) и общественной (заключение РКС № 164-ОЭ от 19.12.2016 г.) экспертиз.

Условные обозначения: 25* — пункт, необязательный для изучения на базовом уровне 20 — задача, не являющаяся обязательной на базовом уровне ( — начало материала, необязательного для изучения на базовом уровне 7 — окончание материала, необязательного для изучения на базовом уровне

М

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10—11 классы : учеб. для общеобразо- ват. организаций : базовый и углубл. уровни / [Л. С. Атанасян и др.]. — 7-е изд., перераб. и доп. — М. : Просвещение, 2019. — 287 с. : ил. — (МГУ — школе). — ISBN 978-5-09-071730-4. Учебник позволяет обеспечить вариативность обучения не только согласно системе условных обозначений, но и благодаря хорошо подобранной системе задач, включающей типовые задачи к каждому параграфу, дополнительные за- дачи к главе и задачи повышенной трудности. УДК 373:514+514(075.3) ББК 22.151я

ISBN 978-5-09-071730-4 © Издательство «Просвещение», 2014, 2019 © Художественное оформление. Издательство «Просвещение», 2014, 2019 Все права защищены

4 Введение

предметов (их форме, взаимном расположении и т. д.) и можем использовать эти свойства в прак- тической деятельности. В этом состоит практиче- ское (прикладное) значение геометрии. Геометрия, в частности стереометрия, широко используется в строительном деле, архитектуре, машинострое- нии, геодезии, во многих других областях нау- ки и техники. При изучении пространственных фигур, в частности геометрических тел, пользуются их изображениями на чертеже. Как правило, изобра- жением пространственной фигуры служит её про- екция на ту или иную плоскость. Одна и та же фигура допускает различные изображения. Обыч- но выбирается то из них, которое создаёт пра- вильное представление о форме фигуры и наибо- лее удобно для исследования её свойств. На ри- сун ках 2, а , б изображены два многогранника — параллелепипед и пирамида , а на рисунке 2, в — конус. При этом невидимые части этих фигур изображены штриховыми линиями. Правила изо- бражения пространственных фигур приведены в приложении 1. В течение двух лет мы будем изучать взаимное расположение прямых и плоскостей, многогранники, «круглые» геометрические тела — цилиндр, конус, шар, рассмотрим вопрос об объ- ёмах тел и познакомимся с векторами и методом координат в пространстве.

2 Аксиомы стереометрии

В планиметрии основными фигурами были точки и прямые. В стереометрии наряду с ними рассматривается ещё одна основная фигура — плоскость. Представление о плоскости даёт глад- кая поверхность стола или стены. Плоскость как геометрическую фигуру следует представлять себе простирающейся неограниченно во все стороны. Как и ранее, точки будем обозначать прописными латинскими буквами А , В , С и т. д., а прямые — строчными латинскими буквами а , b , с и т. д. или двумя прописными латинскими буквами АВ , CD и т. д. Плоскости будем обозна- чать греческими буквами α, β, γ и т. д. На рисун- ках плоскости изображаются в виде параллело- грамма (рис. 3, а ) или в виде произвольной обла- сти (рис. 3, б ).

а) Параллелепипед

б) Пирамида

в) Конус

Рис. 2

5 Введение

Ясно, что в каждой плоскости лежат какие-то точки пространства, но не все точки про- странства лежат в одной и той же плоскости. На рисунке 3, б точки A и В лежат в плоскости β (плоскость β проходит через эти точки), а точки М , N , Р не лежат в этой плоскости. Коротко это записывают так: А ∈ β, В ∈ β, M ∉ β, N ∉ β, P ∉ β. Основные свойства точек, прямых и плоскостей, касающиеся их взаимного располо- жения, выражены в аксиомах. Вся система акси- ом стереометрии состоит из ряда аксиом, большая часть которых нам знакома по курсу планимет- рии. Полный список аксиом и некоторые след- ствия из них приведены в приложении 2. Здесь мы сформулируем лишь три аксиомы о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей в про- странстве. Ниже они обозначены А 1 , А 2 , А 3.

А 1

Через любые три точки, не лежащие на одной пря- мой, проходит плоскость, и притом только одна.

Иллюстрацией к этой аксиоме может служить модель, изображённая на рисунке 4. Плоскость, проходящую через точки А , В и С , не лежащие на одной прямой, иногда называют пло- скостью ABC. Отметим, что если взять не три, а четы- ре произвольные точки, то через них может не проходить ни одна плоскость. Иначе говоря, че- тыре точки могут не лежать в одной плоскости. Каждый знаком с таким наглядным подтвержде- нием этого факта: если ножки стула не одинако- вые по длине, то стул стоит на трёх ножках, т. е. опирается на три «точки», а конец четвёртой нож- ки (четвёртая «точка») не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе.

А 2

Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости^1.

(^1) Здесь и в дальнейшем, говоря «две точки» («две прямые», «три плоскости» и т. д.), будем считать, что эти точки (пря- мые, плоскости) различны.

б) Точки А и В лежат в плоскости β, а точки M , N и Р не лежат в этой плоскости

Рис. 3

Иллюстрация к аксио- ме А 1 : пластинка под- держивается тремя точ- ками А , B и C , не лежа- щими на одной прямой

Рис. 4

а)

7 Введение

Доказательство Рассмотрим прямую а и не лежащую на ней точку М (рис. 6). Докажем, что через пря- мую а и точку М проходит плоскость. Отметим на прямой а две точки Р и Q. Точки М , Р и Q не лежат на одной прямой, поэтому согласно аксио- ме А 1 через эти точки проходит некоторая пло- скость α. Так как две точки прямой а ( Р и Q ) ле- жат в плоскости α, то по аксиоме А 2 плоскость α проходит через прямую а. Единственность плоскости, проходящей через прямую а и точку М , следует из того, что любая плоскость, проходящая через прямую а и точку М , проходит через точки М , Р и Q. Следо- вательно, эта плоскость совпадает с плоскостью α, так как по аксиоме A 1 через точки М , Р и Q про- ходит только одна плоскость. Теорема доказана.

Теорема

Через две пересекающиеся прямые проходит пло- скость, и притом только одна.

Доказательство Рассмотрим прямые а и b , пересекающие- ся в точке М (рис. 7), и докажем, что через эти прямые проходит плоскость, и притом только одна. Отметим на прямой b какую-нибудь точку N , отличную от точки М , и рассмотрим пло- скость α, проходящую через точку N и прямую а. Так как две точки прямой b лежат в плоскости α, то по аксиоме А 2 плоскость α проходит через пря- мую b. Итак, плоскость α проходит через прямые а и b. Единственность такой плоскости следует из того, что любая плоскость, проходящая через пря- мые а и b , проходит через точку N. Следовательно, она совпадает с плоскостью α, поскольку через точку N и прямую а проходит только одна пло- скость. Теорема доказана.

Вопросы и задачи 1 По рисунку 8 назовите: а) плоскости, в ко- торых лежат прямые РЕ , МK , DB , АВ , ЕС ; б) точки пересечения прямой DK с плоско- стью ABC , прямой СЕ с плоскостью ADB ; в) точки, лежащие в плоскостях ADB и DВС ; г) прямые, по которым пересекаются пло- скости ABC и DCB , ABD и CDA , PDC и ABC.

Рис. 6

Рис. 7

Рис. 8

8 Введение

2 По рисунку 9 назовите: а) точки, лежащие в плоскостях DCC 1 и BQC ; б) плоскости, в которых лежит прямая AA 1 ; в) точки пе- ресечения прямой МK с плоскостью ABD , прямых DK и ВР с плоскостью A 1 B 1 C 1 ; г) прямые, по которым пересекаются пло- скости АА 1 В 1 и ACD , РВ 1 С 1 и ABC ; д) точ- ки пересечения прямых МK и DC , B 1 C 1 и BP , C 1 M и DC. 3 Верно ли, что: а) любые три точки лежат в одной плоскости; б) любые четыре точки лежат в одной плоскости; в) любые четыре точки не лежат в одной плоскости; г) через любые три точки проходит плоскость, и притом только одна? 4 Точки А , В , С и D не лежат в одной плоскости. а) Могут ли ка- кие-то три из них лежать на одной прямой? б) Могут ли пря- мые АВ и CD пересекаться? Ответ обоснуйте. 5 Докажите, что через три данные точки, лежащие на прямой, про- ходит плоскость. Сколько существует таких плоскостей? 6 Три данные точки соединены попарно отрезками. Докажите, что все отрезки лежат в одной плоскости. 7 Две прямые пересекаются в точке М. Докажите, что все прямые, не проходящие через точку М и пересекающие данные прямые, лежат в одной плоскости. Лежат ли в одной плоскости все прямые, проходящие через точку М? 8 Верно ли утверждение: а) если две точки окружности лежат в пло- скости, то и вся окружность лежит в этой плоскости; б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости? 9 Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей паралле- лограмма лежат в плоскости α. Лежат ли две другие вершины па- раллелограмма в плоскости α? Ответ обоснуйте. 10 Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного треугольника, если она: а) пересекает две стороны треугольника; б) проходит че- рез одну из вершин треугольника?

11 Даны прямая и точка, не лежащая на этой прямой. Докажите, что все прямые, проходящие через данную точку и пересекающие дан- ную прямую, лежат в одной плоскости. 12 Точки А , В , С , D не лежат в одной плоскости. Пересекаются ли плоскости, проходящие через точки А , В , С и А , В , D? 13 Могут ли две плоскости иметь: а) только одну общую точку; б) только две общие точки; в) только одну общую прямую? 14 Три прямые проходят через одну точку. Через каждые две из них проведена плоскость. Сколько всего проведено плоскостей? 15 Три прямые попарно пересекаются. Докажите, что они либо лежат в одной плоскости, либо имеют общую точку.

Рис. 9

Параллельность прямых и плоскостей

В дальнейшем нам понадобятся также понятия параллельных отрезков, параллельных отрезка и прямой, параллельных лучей. Два от- резка называются параллельными , если они ле- жат на параллельных прямых. Аналогично опре- деляется параллельность отрезка и прямой, а так- же параллельность двух лучей. На рисунке 12 отрезки CD и EF параллельны ( CD || EF ), а отрез- ки АВ и CD не параллельны, отрезок АВ парал- лелен прямой а ( АВ || а ).

5 Параллельность трёх прямых

Докажем лемму о пересечении плоско- сти параллельными прямыми, необходимую для дальнейшего изложения.

Лемма

Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

( Доказательство Рассмотрим параллельные прямые а и b , одна из которых — прямая а — пересекает пло- скость α в точке М (рис. 13, а ). Докажем, что пря- мая b также пересекает плоскость α, т. е. имеет с ней только одну общую точку. Обозначим буквой β плоскость, в кото- рой лежат параллельные прямые а и b. Так как две различные плоскости α и β имеют общую точку М , то по аксиоме А 3 они пересекаются по некоторой прямой р (рис. 13, б ). Эта прямая лежит в плоско- сти β и пересекает прямую а (в точке М ), поэтому она пересекает параллельную ей прямую b в неко- торой точке N. Прямая р лежит также в плоско- сти α, поэтому N — точка плоскости α. Следова- тельно, N — общая точка прямой b и плоскости α. Докажем теперь, что прямая b не име- ет других общих точек с плоскостью α, кроме точ- ки N. Это и будет означать, что прямая b пере- секает плоскость α. Действительно, если бы пря- мая b имела ещё одну общую точку с плоскостью α, то она целиком лежала бы в плоскости α и, зна- чит, была бы общей прямой плоскостей α и β, т. е. совпадала бы с прямой р. Но это невозможно, так как по условию прямые а и b параллельны, а прямые а и р пересекаются. Лемма доказана. 7

Рис. 12

а)

б)

Рис. 13

Параллельность прямых и плоскостей

Из курса планиметрии известно, что если три прямые лежат в одной плоскости и две из них параллельны третьей прямой, то эти две прямые параллельны. Аналогичное утверждение имеет место и для трёх прямых в пространстве. Сформулируем и докажем это утверждение.

Теорема

Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Доказательство Пусть а || с и b || с. Докажем, что а || b. Для этого нужно доказать, что прямые а и b :

1. лежат в одной плоскости и 2) не пересекаются.
2. Отметим какую-нибудь точку K на прямой b и обозначим буквой α плоскость, про- ходящую через прямую а и точку K (рис. 14). До- кажем, что прямая b лежит в этой плоскости. Действительно, если допустить, что прямая b пе- ресекает плоскость α, то по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми прямая с также пересекает плоскость α. Но так как пря- мые а и с параллельны, то и прямая а пересекает плоскость α, что невозможно, ибо прямая а лежит в плоскости α.
3. Прямые а и b не пересекаются, так как в противном случае через точку их пересече- ния проходили бы две прямые ( а и b ), параллель- ные прямой с , что невозможно в силу теоремы о параллельных прямых (п. 4). Теорема доказана.

6 Параллельность прямой

и плоскости

Если две точки прямой лежат в данной плоскости, то согласно аксиоме А 2 вся прямая ле- жит в этой плоскости. Отсюда следует, что воз- можны три случая взаимного расположения пря- мой и плоскости в пространстве: а) прямая лежит в плоскости (см. рис. 5, a ); б) прямая и плоскость имеют только одну общую точку, т. е. пересекаются (см. рис. 5, б ); в) прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки.

Рис. 14

Параллельность прямых и плоскостей

10. Если плоскость проходит через дан- ную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересече- ния плоскостей параллельна данной прямой. Пусть через данную прямую а , парал- лельную плоскости α, проходит плоскость β, пе- ресекающая плоскость α по прямой b (рис. 16). Дока жем, что b || а. Действительно, эти прямые лежат в одной плоскости (в плоскости β) и не пе- ресекаются: ведь в противном случае прямая а пересекала бы плоскость α, что невозможно, по- скольку по условию a || α. 20. Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то дру- гая прямая либо также параллельна данной пло- скости, либо лежит в этой плоскости. В самом деле, пусть а и b — парал- лельные прямые, причём прямая а параллельна плоскости α. Тогда прямая а не пересекает пло- скость α, и, следовательно, по лемме о пересече- нии плоскости параллельными прямыми прямая b также не пересекает плоскость α. Поэтому пря- мая b либо параллельна плоскости α, либо лежит в этой плоскости.

Вопросы и задачи 16 Параллельные прямые а и b лежат в плоско- сти α. Докажите, что прямая с , пересека- ющая прямые а и b , также лежит в плоско- сти α. 17 На рисунке 17 точки М , N , Q и Р — сере- дины отрезков DB , DC , АС и АВ. Найдите периметр четырёхугольника MNQP , если AD = 12 см, ВС = 14 см. 18 Точка С лежит на отрезке АВ. Через точку А проведена плоскость, а через точки В и С — параллельные пря- мые, пересекающие эту плоскость соответственно в точках В 1 и С 1. Найдите длину отрезка СС 1 , если: а) точка С — середина отрезка АВ и ВВ 1 = 7 см; б) АС : СВ = 3 : 2 и ВВ 1 = 20 см. 19 Стороны АВ и ВС параллелограмма ABCD пересекают плоскость α. Докажите, что прямые AD и DC также пересекают плоскость α. 20 Средняя линия трапеции лежит в плоскости α. Пересекают ли пря- мые, содержащие её основания, плоскость α? Ответ обоснуйте. 21 Треугольники ABC и ABD не лежат в одной плоскости. Докажите, что любая прямая, параллельная отрезку CD , пересекает плоско- сти данных треугольников.

Рис. 16

Рис. 17

Параллельность прямых и плоскостей

22 Точки А и В лежат в плоскости α, а точка С не лежит в этой пло- скости. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрез- ков АС и ВС , параллельна плоскости α. 23 Точка М не лежит в плоскости прямоугольника ABCD. Докажите, что прямая CD параллельна плоскости АВМ. 24 Точка М не лежит в плоскости трапеции ABCD с основанием AD. Докажите, что прямая AD параллельна плоскости ВМС. 25 Докажите, что если данная прямая параллельна прямой, по кото- рой пересекаются две плоскости, и не лежит в этих плоскостях, то она параллельна этим плоскостям. 26 Сторона АС треугольника ABC параллельна плоскости α, а сторо- ны АВ и ВС пересекаются с этой плоскостью в точках М и N. Докажите, что треугольники ABC и MBN подобны. 27 Точка С лежит на отрезке АВ , причём АВ : ВС = 4 : 3. Отрезок CD , равный 12 см, параллелен плоскости α, проходящей через точку В. Докажите, что прямая AD пересекает плоскость α в некоторой точ- ке Е , и найдите отрезок BE. 28 На сторонах АВ и АС треугольника ABC взяты соответственно точ- ки D и Е так, что длина отрезка DE равна 5 см и

BD DA

=

2 3

. Пло-

скость α проходит через точки В и С и параллельна отрезку DE. Найдите длину отрезка ВС. 29 В трапеции ABCD основание ВС равно 12 см. Точка М не лежит в плоскости трапеции, а точка K — середина отрезка ВМ. Докажи- те, что плоскость ADK пересекает отрезок МС в некоторой точ- ке Н , и найдите отрезок KН.

30 Основание АВ трапеции ABCD параллельно плоскости α, а верши- на С лежит в этой плоскости. Докажите, что: а) основание CD тра- пеции лежит в плоскости α; б) средняя линия трапеции параллель- на плоскости α.

31 Плоскость α параллельна стороне ВС треугольника ABC и прохо- дит через середину стороны АВ. Докажите, что плоскость α про- ходит также через середину стороны АС.

32 Плоскости α и β пересекаются по прямой АВ. Прямая а параллель- на как плоскости α, так и плоскости β. Докажите, что прямые а и АВ па раллельны. Решение Через точку А проведём^1 прямую^ AM , параллельную прямой^ a (рис. 18). Так как прямая a параллельна плоскостям α и β, то пря-

(^1) Выражения «проведём прямую», «проведём плоскость», разуме ется, не нужно понимать в буквальном смысле (ни прямую, ни плоскость в про- странстве мы не проводим). Эти слова означают, что указанная прямая или плоскость вводятся в рассмотрение.

Параллельность прямых и плоскостей

Доказательство Рассмотрим прямую АВ , лежащую в плоскости α, и прямую CD , пересекающую эту плоскость в точке С , не лежащей на прямой АВ (рис. 20). Докажем, что АВ и CD — скрещиваю- щиеся прямые, т. е. они не лежат в одной плоско- сти. Действительно, если допустить, что прямые АВ и CD лежат в некоторой плоскости β, то пло- скость β будет проходить через прямую АВ и точ- ку С и поэтому совпадёт с плоскостью α. Но это невозможно, так как прямая CD не лежит в пло- скости α. Теорема доказана. Итак, возможны три случая взаимного расположения двух прямых в пространстве: а) прямые пересекаются , т. е. имеют только одну общую точку (рис. 21, а ); б) прямые параллельны , т. е. лежат в одной плоскости и не пересекаются (рис. 21, б ); в) прямые скрещиваются , т. е. не ле- жат в одной плоскости (рис. 21, в ).

Докажем ещё одну теорему о скрещи- вающихся прямых.

Теорема

Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой пря- мой, и притом только одна.

Доказательство Рассмотрим скрещивающиеся прямые АВ и CD (рис. 22). Докажем, что через прямую АВ проходит плоскость, параллельная прямой CD , и такая плоскость только одна. Проведём через точку А прямую АЕ , параллельную прямой CD , и обозначим буквой α плоскость, проходящую через прямые АВ и АЕ.

а) Пересекающиеся прямые

Рис. 21

б) Параллельные прямые

в) Скрещивающиеся прямые

Рис. 20

Параллельность прямых и плоскостей

Так как прямая CD не лежит в плоскости α и па- раллельна прямой АЕ , лежащей в этой плоско- сти, то прямая CD параллельна плоскости α. Ясно, что плоскость α — единственная плоскость, проходящая через прямую АВ и парал- лельная прямой CD. В самом деле, любая другая плоскость, проходящая через прямую АВ , пере- секается с прямой АЕ , а значит, пересекается и с параллельной ей прямой CD. Теорема доказана. Наглядной иллюстрацией этой теоремы служат две дороги, одна из которых проходит по эстакаде, а другая — под эстакадой (см. рис. 19). Нижняя дорога лежит в плоскости земли, парал- лельной дороге на эстакаде. Ясно, что и через до- рогу на эстакаде проходит плоскость, параллель- ная плоскости земли, а значит, параллельная ниж- ней дороге.

8 Углы с сонаправленными

сторонами

Согласно одной из аксиом (см. прило- жение 2) любая прямая а , лежащая в плоскости, разделяет эту плоскость на две части, называемые полуплоскостями (рис. 23). Прямая а называется границей каждой из этих полуплоскостей. Любые две точки одной и той же полуплоскости лежат по одну сторону от прямой а , а любые две точки разных полуплоскостей — по разные стороны от этой прямой (см. рис. 23). Два луча ОА и О 1 А 1 , не лежащие на одной прямой, называются сонаправленными , если они параллельны и лежат в одной полуплоскости с границей ОО 1. Лучи ОА и О 1 А 1 , лежащие на одной прямой, называются сонаправленными , если они совпадают или один из них содержит другой. На рисунке 24 лучи ОА и О 1 A 1 , а также лучи А 2 В 2 и О 2 В 2 сонаправлены, а лучи ОА и О 2 А 2 , ОА и О 3 А 3, О 2 А 2 и О 2 В 2 не являются сонаправленными (объясните почему). Докажем теорему об углах с сонаправленными сторонами.

Теорема

Если стороны двух углов соответственно сона- правлены, то такие углы равны.

Рис. 22

Прямая a разделяет плоскость на две полуплоскости

Рис. 23

Лучи ОА и О 1 А 1 , а также А 2 В 2 и О 2 В 2 — сонаправленные

Рис. 24

Параллельность прямых и плоскостей

Если угол между прямыми А 1 В 1 и C 1 D 1 равен ϕ, то будем говорить, что угол между скре- щивающимися прямыми АВ и CD равен ϕ. Докажем, что угол между скрещиваю- щимися прямыми не зависит от выбора точки М 1. Действительно, возьмём любую другую точку М 2 и проведём через неё прямые А 2 В 2 и C 2 D 2 , соот- ветственно параллельные прямым АВ и CD (см. рис. 27, б ). Так как A 1 B 1 || A 2 B 2 , C 1 D 1 || C 2 D 2 (объ- ясните почему), то стороны углов с вершинами М 1 и М 2 попарно сонаправлены (на рис. 27, б такими углами являются ∠ A 1 M 1 C 1 и ∠ А 2 М 2 С 2, ∠ A 1 M 1 D 1 и ∠ A 2 M 2 D 2 и т. д.). Поэтому эти углы соответ- ственно равны. Отсюда следует, что угол между прямыми А 2 В 2 и C 2 D 2 также равен ϕ. В качестве точки М 1 можно взять лю- бую точку на одной из скрещивающихся прямых. На рисунке 27, в на прямой CD отмечена точка М и через эту точку проведена прямая А ′ В ′, парал- лельная прямой АВ. Угол между прямыми А ′ В ′ и CD также равен ϕ.

Вопросы и задачи 34 Точка D не лежит в плоскости треугольни- ка ABC , точки М , N и Р — середины отрез- ков DA , DB и DC соответственно, точка K лежит на отрезке BN. Выясните взаимное расположение прямых: a) ND и АВ ; б) РK и ВС ; в) MN и АВ ; г) МР и АС ; д) KN и АС ; е) MD и ВС.

35 Через точку М , не лежащую на прямой а , проведены две прямые, не имеющие общих точек с прямой а. Докажите, что по край- ней мере одна из этих прямых и прямая а являются скрещивающимися прямыми.

36 Прямая с пересекает прямую а и не пересекает прямую b , па- раллельную прямой а. Докажите, что b и с — скрещивающиеся прямые.

37 Прямая т пересекает сторону АВ треугольника ABC. Каково вза- имное расположение прямых т и ВС , если: а) прямая т лежит в плоскости ABC и не имеет общих точек с от- резком АС ; б) прямая т не лежит в плоскости ABC?

в)

Рис. 27

б)

a)

M

Параллельность прямых и плоскостей

38 Через вершину А ромба ABCD проведена прямая а , параллельная диагонали BD , а через вершину С — прямая b , не лежащая в плоско- сти ромба. Докажите, что: а) прямые а и CD пересекаются; б) а и b — скрещивающиеся прямые.

39 Докажите, что если АВ и CD скрещивающиеся прямые, то AD и ВС также скрещивающиеся прямые.

40 На скрещивающихся прямых а и b отмечены соответственно точ- ки М и N. Через прямую а и точку N проведена плоскость α, а че- рез прямую b и точку М — плоскость β. а) Лежит ли прямая b в плоскости α? б) Пересекаются ли плоскости α и β? При положительном ответе укажите прямую, по которой они пересекаются.

41 Может ли каждая из двух скрещивающихся прямых быть парал- лельна третьей прямой? Ответ обоснуйте.

42 Даны параллелограмм ABCD и трапеция АВЕK с основанием ЕK , не лежащие в одной плоскости. а) Выясните взаимное расположение прямых CD и ЕK. б) Найдите периметр трапеции, если известно, что в неё можно вписать окружность и АВ = 22,5 см, ЕK = 27,5 см.

43 Докажите, что середины сторон пространственного четырёхуголь- ника^1 являются вершинами параллелограмма.

44 Прямые ОB и CD параллельные, а ОА и CD — скрещивающиеся прямые. Найдите угол между прямыми ОА и CD , если: a) ∠ AOB = 40 °; б) ∠ AOB = 135 °; в) ∠ AOB = 90 °.

45 Прямая а параллельна стороне ВС параллелограмма ABCD и не лежит в плоскости параллелограмма. Докажите, что а и CD — скре- щивающиеся прямые, и найдите угол между ними, если один из углов параллелограмма равен: а) 50°; б) 121°.

46 Прямая т параллельна диагонали BD ромба ABCD и не лежит в плоскости ромба. Докажите, что: а) т и АС — скрещивающиеся прямые, и найдите угол между ними; б) т и AD — скрещивающиеся прямые, и найдите угол между ними, если угол ABC равен 128°.

47 В пространственном четырёхугольнике ABCD стороны АВ и CD равны. Докажите, что прямые АВ и CD образуют равные углы с прямой, проходящей через середины отрезков ВС и AD.

(^1) Четырёхугольник называется пространственным , если его вершины не лежат в одной плоскости.