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Ejerciosa de matemáticas discretas para el uso de maestros y alumnos y su respectiva respuesta
Typology: Exercises
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En el presente volumen se presentan los enunciados de los ejercicios del curso de “Lógica informática (2010–11)”. Este volumen es complementario de Temas de "Lógica informática" (2010-11) y Soluciones de exámenes de Lógica informática. En cada tema los ejercicios se han dividido en tres grupos:
Ejercicios resueltos: son ejercicios comentados en las clases cuyas soluciones se encuentran en las transparencias y en Temas de "Lógica informática" (2010-11).
Ejercicios propuestos.
Ejercicios de exámenes: son ejercicios de exámenes de cursos anteriores y sus so- luciones se encuentran en Soluciones de exámenes de Lógica informática.
6 Índice general
Ejercicio 1.1 Determinar cuáles de las siguientes expresiones son fórmulas proposicio- nales:
Ejercicio 1.2 Definir por recursión sobre fórmulas las siguientes funciones
Ejercicio 1.3 Demostrar por inducción que todas las fórmulas proposicionales tienen un número par de paréntesis.
8 Tema 1. Sintaxis y semántica de la lógica proposicional
Ejercicio 1.4 Para la siguiente fórmula
p → ¬q ∨ p
escribir la fórmula con paréntesis, construir el árbol de análisis y determinar todas sus subfórmulas.
Ejercicio 1.5 Calcular el valor de la fórmula (p ∨ q) ∧ (¬q ∨ r) en las siguientes inter- pretaciones
Ejercicio 1.6 Demostrar que para toda fórmula F se tiene que para todo par de intepre- taciones I 1 , I 2 , si I 1 (p) = I 2 (p) para todos las variables proposicionales de F, entonces I 1 (F) = I 2 (F).
Ejercicio 1.7 Determinar cuáles de las siguientes interpretaciones es modelo de la fór- mula (p ∨ q) ∧ (¬q ∨ r)
Ejercicio 1.8 Determinar si las siguientes fórmulas son satisfacible o insatisfacible.
Ejercicio 1.9 Demostrar o refutar las siguientes proposiciones:
Ejercicio 1.10 En cada caso, determinar todos los modelos de la fórmula proposicional correspondiente:
1.1. Ejercicios resueltos 9
Clasificar las fórmulas anteriores en tautologías, contingentes y contradicciones. ¿Cuá- les son satisfacibles? ¿Cuáles son insatisfacibles?
Ejercicio 1.11 Demostrar que las fórmulas que aparecen en la transparencia 19 del tema 1 son tautologías:
Ejercicio 1.12 Demostrar las equivalencias lógicas que aparecen en la transparencia 20 del tema 1:
10 Tema 1. Sintaxis y semántica de la lógica proposicional
Ejercicio 1.13 Demostrar que F ≡ G syss |= F ↔ G.
Ejercicio 1.14 Determinar cuáles de las siguientes interpretaciones es modelo del con- junto de fórmulas S = {(p ∨ q) ∧ (¬q ∨ r), q → r}.
Ejercicio 1.15 Calcular los modelos de los siguientes conjuntos de fórmulas y decidir cuáles son consistente.
Ejercicio 1.16 Decidir cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas:
Ejercicio 1.17 Demostrar o refutar las siguientes proposiciones:
Ejercicio 1.18 Demostrar que las siguientes condiciones son equivalentes:
Ejercicio 1.19 Determinar si los siguientes argumentos son lógicamente correctos:
1.2. Ejercicios propuestos 11
Ejercicio 1.20 Determinar la corrección del siguiente argumento.
Se sabe que
Ejercicio 1.21 En una isla hay dos tribus, la de los veraces (que siempre dicen la verdad) y la de los mentirosos (que siempre mienten). Un viajero se encuentra con tres isleños A, B y C y cada uno le dice una frase
Determinar a qué tribu pertenecen A, B y C.
1.2. Ejercicios propuestos
Ejercicio 1.22 Definir por recursión sobre fórmulas las siguientes funciones
Ejercicio 1.23 Demostrar por inducción que todas las fórmulas proposicionales tienen el mismo número de paréntesis izquierdos que de derechos.
Ejercicio 1.24 Para cada una de las siguientes fórmulas,
12 Tema 1. Sintaxis y semántica de la lógica proposicional
escribir la fórmula con paréntesis, construir el árbol de análisis y determinar todas sus subfórmulas.
Ejercicio 1.25 Definir por recursión sobre fórmulas las siguientes funciones
Demostrar por inducción, que para toda fórmula F, n_variables(F) ≤ 2 profundidad(F).
Ejercicio 1.26 En cada caso, determinar todos los modelos de la fórmula proposicional correspondiente:
Clasificar las fórmulas anteriores en tautologías, contingentes y contradicciones. ¿Cuá- les son satisfacibles? ¿Cuáles son insatisfacibles?
Ejercicio 1.27 Para cada uno de los siguientes pares de fórmulas, decidir si son o no equivalentes:
Ejercicio 1.28 ¿Existe un conjunto S de tres fórmulas tal que de todos los subconjuntos de S sólo uno es consistente?
Ejercicio 1.29 Decidir cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas:
1.3. Ejercios de exámenes 13
Ejercicio 1.30 Determinar si los siguientes argumentos son lógicamente correctos:
Ejercicio 1.31 Un rey somete a un prisionero a la siguiente prueba: lo enfrenta a dos puertas, de las que el prisionero debe elegir una, y entrar en la habitación correspon- diente. Se informa al prisionero que en cada una de las habitaciones puede haber un tigre o una dama. Como es natural, el prisionero debe elegir la puerta que le lleva a la dama (entre otras cosas, para no ser devorado por el tigre). Para ayudarle, en cada puerta hay un letrero:
puerta 1: en esta habitación hay una dama y en la otra un tigre.
puerta 2: en una de estas habitaciones hay una dama y en una de estas habitaciones hay un tigre.
Sabiendo que uno de los carteles dice la verdad y el otro no, determinar la puerta que debe de elegir el prisionero.
1.3. Ejercios de exámenes
Ejercicio 1.32 [Examen 5–Mayo–2005] ¿Es cierto que si F → G y F son satisfacibles, entonces G es satisfacible? Si es cierto, dar una explicación. Si no es cierto, dar un con- traejemplo.
14 Tema 1. Sintaxis y semántica de la lógica proposicional
Ejercicio 1.33 [Examen 30–Junio–2005] Demostrar o refutar las siguientes proposicio- nes:
Ejercicio 1.34 [Examen 5–Abril–2006] Demostrar o refutar las siguientes proposiciones:
Ejercicio 1.35 [Examen 26–Junio–2006] Demostrar o refutar las siguiente proposición: Si {F → G, F} es consistente, entonces {G} es consistente.
Ejercicio 1.36 [Examen 7–Abril–2006] Demostrar o refutar las siguientes proposiciones:
Ejercicio 1.37 [Examen 23–Septiembre–05] Demostrar o refutar las siguiente proposi- ción: Para todo conjunto de fórmula S y para toda fórmula F se verifica que si S 6 |= F entonces S |= ¬F.
Ejercicio 2.1 Probar mediante deducción natural:
16 Tema 2. Deducción natural proposicional
Ejercicio 2.2 Demostrar la adecuación de las reglas de deducción natural:
Ejercicio 2.3 Demostrar las reglas derivadas.
Ejercicio 2.4 Demostrar las equivalencias lógicas que aparecen en la transparencia 20 del tema 1:
2.2. Ejercicios propuestos 17
2.2. Ejercicios propuestos
Ejercicio 2.5 Probar mediante deducción natural:
18 Tema 2. Deducción natural proposicional
2.2. Ejercicios propuestos 19
Ejercicio 2.6 Demostrar, por deducción natural, la corrección del siguiente argumento: Se sabe que
20 Tema 2. Deducción natural proposicional
Se observa un animal que tiene pelos, pezuñas y rayas negras. Por tanto, el animal es una cebra.
Ejercicio 2.7 Demostrar por deducción natural cada una de las argumentaciones váli- das del ejercicio 1.30.
Ejercicio 2.8 Un rey somete a un prisionero a la siguiente prueba: lo enfrenta a dos puertas, de las que el prisionero debe elegir una, y entrar en la habitación correspon- diente. Se informa al prisionero que en cada una de las habitaciones puede haber un tigre o una dama. Como es natural, el prisionero debe elegir la puerta que le lleva a la dama (entre otras cosas, para no ser devorado por el tigre). Para ayudarle, en cada puerta hay un letrero:
puerta 1: en esta habitación hay una dama y en la otra un tigre.
puerta 2: en una de estas habitaciones hay una dama y en una de estas habitaciones hay un tigre.
Sabiendo que uno de los carteles dice la verdad y el otro no, demostrar por deducción natural que la dama está en la segunda puerta.
2.3. Ejercicios de exámenes
Ejercicio 2.9 Probar mediante deducción natural:
(E ∨ F) → G ` (E → G) ∧ (F → G)
` (E → (F ∧ G)) → (E → F) ∨ (E → G)
a) {p → r, r → ¬q} |= ¬(p ∧ q) b) p ∨ q, ¬q ∨ r p ∨ r c)
(p → q) → ((¬p → q) → q) d) (p ∨ (q → p)) ∧ q p e) ¬(p ∧ ¬q)
p → q f ) (p → q) ∧ (p → r) |= p → (q ∧ r) g) (p 1 → p 2 ) ∧ (q 1 → q 2 ) (p 1 ∧ q 1 → p 2 ∧ q 2 ) h) ¬(¬p ∨ ¬q)
p ∧ q
2.3. Ejercicios de exámenes 21
i) ((p → q) ∨ (p → r)) → (p → q ∨ r) j) ((¬p ∨ ¬q) → (¬p ∧ r))
¬q ∨ (p ∨ r)
p ∧ ¬(q → r) ` (p ∧ q) ∧ ¬r
` ((p → (q ∧ ¬r)) → p) → p
` (p → ¬q) ∧ (p → ¬r) → (p → ¬(q ∨ r))
a) (p ∨ q) ∧ (p → r) p ∨ r. b)
(¬p → q) → ((p → q) → q). c) ¬(¬q ∧ p) p → q. d) ¬p ∨ (r → q)
¬q → ¬(p ∧ r). e) ¬(p ∧ q) p → ¬q. f ) (p ∨ ¬q) → p ∧ r
¬q ∨ (¬p ∨ r). g) (p → q) ∧ ((¬r ∨ q) → s) ¬(p ∧ ¬s). h)
(¬(s ∨ (p → q))) → (p ∧ ¬q ∧ ¬s).
` ((p ∧ q) → (r ∨ s)) → ((p → r) ∨ (q → s))
(p → r) ∨ (q → s) ` (p ∧ q) → (r ∨ s)
` (¬q → ¬p) ∨ (q → p)
22 Tema 2. Deducción natural proposicional
Ejercicio 3.1 Calcular, mediante tableros semánticos, los modelos de las siguientes fór- mulas
¬(¬p ∨ ¬q → ¬(p ∧ r)).
¬(¬p ∨ ¬q → ¬(p ∧ q)).
Ejercicio 3.2 Demostrar o refutar las siguientes proposiciones:
Ejercicio 3.3 Construir dos tableros completos distintos de (p ∨ q) ∧ (¬p ∧ ¬q)
Ejercicio 3.4 Decidir si
24 Tema 3. Tableros semánticos
3.2. Ejercicios propuestos
Ejercicio 3.5 Demostrar o refutar las siguientes proposiciones:
Ejercicio 3.6 Demostrar por deducción natural las equivalencias de la notación unifor- me:
Ejercicio 3.7 Sea A la fórmula proposicional p ∧ q ↔ ¬p ∨ r.
Ejercicio 3.8 Decidir, mediante tableros semánticos, si:
Ejercicio 3.9 Demostrar todos los apartados de los ejercicios 8.4 y 8.5 mediante el pro- cedimiento de los tableros semánticos.
Ejercicio 3.10 Demostrar, mediante tableros semánticos, la corrección de los argumen- tos válidos de los ejercicios 1.20, 1.30 y 7.34.
3.3. Ejercicios de exámenes 25
3.3. Ejercicios de exámenes
Ejercicio 3.11 [Examen de diciembre de 2000] Probar, usando tableros semánticos, que la fórmula
(p → ¬q ∧ r) → (p → (q → r))
es una tautología.
Ejercicio 3.12 [Examen de junio de 2001] Decidir, usando tableros semánticos, si la fór- mula
(p ∧ q ↔ p ∨ q) → (p → q)
es insatisfactible o una tautología.
Ejercicio 3.13 [Examen de junio de 2001] Decidir, mediante tableros semánticos, si
{p ∨ q → r ∨ s, r ∧ t → s, r ∧ ¬t → ¬u} |= p → s ∨ ¬u
Ejercicio 3.14 [Examen de septiembre de 2001 Probar, mediante tableros semánticos, que la fórmula
(p → r) → ((q → r) → (p ∨ q → r))
es una tautología.
Ejercicio 3.15 [Examen de diciembre de 2001] Demostrar por el método de tableros semánticos que
(p ∨ q ↔ ¬r) ∧ (¬p → s) ∧ (¬t → q) ∧ (s ∧ t → u) |= r → u
Ejercicio 3.16 [Examen de junio de 2002] Probar, mediante tableros semánticos, que
(r → p) ∧ (¬r → q ∨ s) → p ∨ q ∨ s
es una tautología.
Ejercicio 3.17 [Examen de septiembre de 2002] Sean
A : ¬r → s ∧ ¬u y
B : (r ∨ s) ∧ (u → r).
Probar, mediante tableros semánticos que A y B son lógicamente equivalentes.
Ejercicio 3.18 [Examen de junio de 2003] Se considera el conjunto de fórmulas
S = {p → q, q ↔ r ∧ s, ¬s ∧ r → q, ¬q}