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Ejercicios de matemáticas, Exercises of Techniques and Instrumentation for Biochemistry

Ejerciosa de matemáticas discretas para el uso de maestros y alumnos y su respectiva respuesta

Typology: Exercises

2021/2022

Uploaded on 10/23/2022

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Ejercicios de “Lógica informática”

(2015–16)

José A. Alonso Jiménez

Andrés Cordón Franco

María J. Hidalgo Doblado

Grupo de Lógica Computacional

Dpto. de Ciencias de la Computación e Inteligencia Artificial

Universidad de Sevilla

Sevilla, 6 de septiembre de 2014

Esta obra está bajo una licencia Reconocimiento–NoComercial–CompartirIgual 2.5 Spain de Creative Commons.

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Índice general

    1. Sintaxis y semántica de la lógica proposicional
    • 1.1. Ejercicios resueltos
    • 1.2. Ejercicios propuestos
    • 1.3. Ejercios de exámenes
    1. Deducción natural proposicional
    • 2.1. Ejercicios resueltos
    • 2.2. Ejercicios propuestos
    • 2.3. Ejercicios de exámenes
    1. Tableros semánticos
    • 3.1. Ejercicios resueltos
    • 3.2. Ejercicios propuestos
    • 3.3. Ejercicios de exámenes
    1. Formales normales
    • 4.1. Ejercicios resueltos
    • 4.2. Ejercicios propuestos
    • 4.3. Ejercicios de exámenes
    1. Resolución proposicional
    • 5.1. Ejercicios resueltos
    • 5.2. Ejercicios propuestos
    • 5.3. Ejercicios de exámenes
    1. Algoritmos para SAT. Aplicaciones
    • 6.1. Ejercicios resueltos
    • 6.2. Ejercicios propuestos
    1. Sintaxis y semántica de la lógica de primer orden
    • 7.1. Ejercicios resueltos
    • 7.2. Ejercicios propuestos
    • 7.3. Ejercicios de exámenes 4 Índice general
    1. Deducción natural de primer orden
    • 8.1. Ejercicios resueltos
    • 8.2. Ejercicios propuestos
    • 8.3. Ejercicios de exámenes
    1. Tableros semánticos
    • 9.1. Ejercicios resueltos
    • 9.2. Ejercicios propuestos
    • 9.3. Ejercicios de exámenes
    1. Formas normales. Cláusulas
    • 10.1. Ejercicios resueltos
    1. Modelos de Herbrand
    • 11.1. Ejercicios resueltos
    1. Cláusulas. Modelos de Herbrand. Resolución
    • 12.1. Ejercicios resueltos
    • 12.2. Ejercios propuestos
  • Bibliografía

Introducción

En el presente volumen se presentan los enunciados de los ejercicios del curso de “Lógica informática (2010–11)”. Este volumen es complementario de Temas de "Lógica informática" (2010-11) y Soluciones de exámenes de Lógica informática. En cada tema los ejercicios se han dividido en tres grupos:

Ejercicios resueltos: son ejercicios comentados en las clases cuyas soluciones se encuentran en las transparencias y en Temas de "Lógica informática" (2010-11).

Ejercicios propuestos.

Ejercicios de exámenes: son ejercicios de exámenes de cursos anteriores y sus so- luciones se encuentran en Soluciones de exámenes de Lógica informática.

6 Índice general

Tema 1

Sintaxis y semántica de la lógica

proposicional

1.1. Ejercicios resueltos

Ejercicio 1.1 Determinar cuáles de las siguientes expresiones son fórmulas proposicio- nales:

  1. p
  2. (p)
  3. (p ∨ ¬q)
  4. p ∨ ¬q
  5. ¬(p ∨ p)
  6. ((p → q) ∨ (q → p))
  7. (p ∨ ∧q)

Ejercicio 1.2 Definir por recursión sobre fórmulas las siguientes funciones

  1. np(F) que calcula el número de paréntesis de la fórmula F. Por ejemplo, np((p → (¬q ∨ p))) = 4.
  2. Subf(F) que calcula el conjunto de las subfórmulas de la fórmula F. Por ejemplo, Subf(p → ¬q ∨ p) = {p → ¬q ∨ p, p, ¬q ∨ p, ¬q, q}.

Ejercicio 1.3 Demostrar por inducción que todas las fórmulas proposicionales tienen un número par de paréntesis.

8 Tema 1. Sintaxis y semántica de la lógica proposicional

Ejercicio 1.4 Para la siguiente fórmula

p → ¬q ∨ p

escribir la fórmula con paréntesis, construir el árbol de análisis y determinar todas sus subfórmulas.

Ejercicio 1.5 Calcular el valor de la fórmula (p ∨ q) ∧ (¬q ∨ r) en las siguientes inter- pretaciones

  1. I 1 tal que I 1 (p) = I 1 (r) = 1, I 1 (q) = 0
  2. I 2 tal que I 2 (r) = 1, I 2 (p) = I 2 (q) = 0

Ejercicio 1.6 Demostrar que para toda fórmula F se tiene que para todo par de intepre- taciones I 1 , I 2 , si I 1 (p) = I 2 (p) para todos las variables proposicionales de F, entonces I 1 (F) = I 2 (F).

Ejercicio 1.7 Determinar cuáles de las siguientes interpretaciones es modelo de la fór- mula (p ∨ q) ∧ (¬q ∨ r)

  1. I 1 tal que I 1 (p) = I 1 (r) = 1, I 1 (q) = 0
  2. I 2 tal que I 2 (r) = 1, I 2 (p) = I 2 (q) = 0

Ejercicio 1.8 Determinar si las siguientes fórmulas son satisfacible o insatisfacible.

  1. (p → q) ∧ (q → r)
  2. p ∧ ¬p

Ejercicio 1.9 Demostrar o refutar las siguientes proposiciones:

  1. F es tautología syss ¬F es insatisfacible.
  2. Si F es tautología, entonces F es satisfacible.
  3. Si F es satisfacible, entonces ¬F es insatisfacible.

Ejercicio 1.10 En cada caso, determinar todos los modelos de la fórmula proposicional correspondiente:

  1. (p → q) ∨ (q → p)
  2. (p → q) ∧ ¬(p → q)
  3. p → q

1.1. Ejercicios resueltos 9

  1. p ∨ ¬p
  2. p ∧ ¬p
  3. (p → q) ∨ (q → p)
  4. (p ↔ q) ∨ (q ↔ p)

Clasificar las fórmulas anteriores en tautologías, contingentes y contradicciones. ¿Cuá- les son satisfacibles? ¿Cuáles son insatisfacibles?

Ejercicio 1.11 Demostrar que las fórmulas que aparecen en la transparencia 19 del tema 1 son tautologías:

  1. F → F ley de identidad
  2. F ∨ ¬F ley del tercio excluso
  3. ¬(F ∧ ¬F) principio de no contradicción
  4. (¬F → F) → F ley de Clavius
  5. ¬F → (F → G) ley de Duns Scoto
  6. ((F → G) → F) → F ley de Peirce
  7. (F → G) ∧ F → G modus ponens
  8. (F → G) ∧ ¬G → ¬F modus tollens

Ejercicio 1.12 Demostrar las equivalencias lógicas que aparecen en la transparencia 20 del tema 1:

  1. Idempotencia: F ∨ F ≡ F F ∧ F ≡ F
  2. Conmutatividad: F ∨ G ≡ G ∨ F F ∧ G ≡ G ∧ F
  3. Asociatividad: F ∨ (G ∨ H) ≡ (F ∨ G) ∨ H F ∧ (G ∧ H) ≡ (F ∧ G) ∧ H
  4. Absorción: F ∧ (F ∨ G) ≡ F F ∨ (F ∧ G) ≡ F
  5. Distributividad: F ∧ (G ∨ H) ≡ (F ∧ G) ∨ (F ∧ H) F ∨ (G ∧ H) ≡ (F ∨ G) ∧ (F ∨ H)
  6. Doble negación: ¬¬F ≡ F.
  7. Leyes de De Morgan: ¬(F ∧ G) ≡ ¬F ∨ ¬G ¬(F ∨ G) ≡ ¬F ∧ ¬G

10 Tema 1. Sintaxis y semántica de la lógica proposicional

Ejercicio 1.13 Demostrar que F ≡ G syss |= F ↔ G.

Ejercicio 1.14 Determinar cuáles de las siguientes interpretaciones es modelo del con- junto de fórmulas S = {(p ∨ q) ∧ (¬q ∨ r), q → r}.

  1. I 1 tal que I 1 (p) = 1, I 1 (q) = 0, I 1 (r) = 1.
  2. I 2 tal que I 2 (p) = 0, I 2 (q) = 1, I 2 (r) = 0.

Ejercicio 1.15 Calcular los modelos de los siguientes conjuntos de fórmulas y decidir cuáles son consistente.

  1. S 1 = {(p ∨ q) ∧ (¬q ∨ r), p → r}
  2. S 2 = {(p ∨ q) ∧ (¬q ∨ r), p → r, ¬r}

Ejercicio 1.16 Decidir cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas:

  1. {p → q, q → r} |= p → r
  2. {p} 6 |= p ∧ q

Ejercicio 1.17 Demostrar o refutar las siguientes proposiciones:

  1. Para todo conjunto de fórmula S, S |= S.
  2. Para todo conjunto de fórmula S 1 y toda fórmula F, si S 1 |= F y S 1 ⊆ S 2 , entonces S 2 |= F.
  3. Para todo conjunto de fórmula S 1 y todo par de fórmulas F, G, si S |= F y {F} |= G, entonces S |= G.

Ejercicio 1.18 Demostrar que las siguientes condiciones son equivalentes:

  1. {F 1 ,... , Fn} |= G
  2. |= F 1 ∧ · · · ∧ Fn → G
  3. ¬(F 1 ∧ · · · ∧ Fn → G) es insatisfacible
  4. {F 1 ,... , Fn, ¬G} es inconsistente

Ejercicio 1.19 Determinar si los siguientes argumentos son lógicamente correctos:

  1. Si el tren llega a las 7 y no hay taxis en la estación, entonces Juan llegará tarde a la reunión. Juan no ha llegado tarde a la reunión. El tren llegó a las 7. Por tanto, habían taxis en la estación.

1.2. Ejercicios propuestos 11

  1. Si hay corriente y la lámpara no está fundida, entonces está encendida. La lámpara no está encendida. Hay corriente. Por tanto, la lámpara está fundida.

Ejercicio 1.20 Determinar la corrección del siguiente argumento.

Se sabe que

  1. Los animales con pelo o que dan leche son mamíferos.
  2. Los mamíferos que tienen pezuñas o que rumian son ungulados.
  3. Los ungulados de cuello largo son jirafas.
  4. Los ungulados con rayas negras son cebras. Se observa un animal que tiene pelos, pezuñas y rayas negras. Por consi- guiente, se concluye que el animal es una cebra.

Ejercicio 1.21 En una isla hay dos tribus, la de los veraces (que siempre dicen la verdad) y la de los mentirosos (que siempre mienten). Un viajero se encuentra con tres isleños A, B y C y cada uno le dice una frase

  1. A dice “B y C son veraces syss C es veraz”
  2. B dice “Si A y C son veraces, entonces B y C son veraces y A es mentiroso”
  3. C dice “B es mentiroso syss A o B es veraz”

Determinar a qué tribu pertenecen A, B y C.

1.2. Ejercicios propuestos

Ejercicio 1.22 Definir por recursión sobre fórmulas las siguientes funciones

  1. npi(F) que calcula el número de paréntesis izquierdos de la fórmula F. Por ejem- plo, npi((p → (¬q ∨ p))) = 2.
  2. npd(F) que calcula el número de paréntesis derechos de la fórmula F. Por ejemplo, npd((p → (¬q ∨ p))) = 2.

Ejercicio 1.23 Demostrar por inducción que todas las fórmulas proposicionales tienen el mismo número de paréntesis izquierdos que de derechos.

Ejercicio 1.24 Para cada una de las siguientes fórmulas,

  1. ¬q ∧ q ∧ p → r

12 Tema 1. Sintaxis y semántica de la lógica proposicional

  1. p → q → ¬r ∨ s ∨ p

escribir la fórmula con paréntesis, construir el árbol de análisis y determinar todas sus subfórmulas.

Ejercicio 1.25 Definir por recursión sobre fórmulas las siguientes funciones

  1. n_variables(F) que calcula el número variables proposicionales que ocurren en la fórmula F. Por ejemplo, n_variables(p → p ∨ q) = 3.
  2. profundidad(F) que calcula la profundidad del árbol de análisis de la fórmula F. Por ejemplo, profundidad(p → p ∨ q) = 2.

Demostrar por inducción, que para toda fórmula F, n_variables(F) ≤ 2 profundidad(F).

Ejercicio 1.26 En cada caso, determinar todos los modelos de la fórmula proposicional correspondiente:

  1. p → (q → r ∧ q)
  2. q → (p ∧ ¬p) → r
  3. (p ↔ q) ∧ (p → ¬q) ∧ p
  4. (p ∧ r) ∨ (¬p ∧ q) → ¬q

Clasificar las fórmulas anteriores en tautologías, contingentes y contradicciones. ¿Cuá- les son satisfacibles? ¿Cuáles son insatisfacibles?

Ejercicio 1.27 Para cada uno de los siguientes pares de fórmulas, decidir si son o no equivalentes:

  1. A → B → C y A ∧ B → C
  2. A → (B ∧ ¬C) y A → B → C
  3. ¬(A ↔ B) y A ↔ ¬B

Ejercicio 1.28 ¿Existe un conjunto S de tres fórmulas tal que de todos los subconjuntos de S sólo uno es consistente?

Ejercicio 1.29 Decidir cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas:

  1. {p ∨ q} |= p → q
  2. {p → q, ¬r → ¬q} |= p → r

1.3. Ejercios de exámenes 13

  1. {p ∧ ¬p} |= r ↔ r ∨ q
  2. {p → q, q → p ∧ r} |= p → (p → q) → r

Ejercicio 1.30 Determinar si los siguientes argumentos son lógicamente correctos:

  1. Si Juan es andaluz, entonces Juan es europeo. Juan es europeo. Por tanto, Juan es andaluz.
  2. Cuando tanto la temperatura como la presión atmosférica permanecen contantes, no llueve. La temperatura permanece constante. En consecuencia, en caso de que llueva, la presión atmosférica no permanece constante.
  3. Siempre que un número x es divisible por 10, acaba en 0. El número x no acaba en
    1. Luego, x no es divisible por 10.
  4. En cierto experimento, cuando hemos empleado un fármaco A, el paciente ha me- jorado considerablemente en el caso, y sólo en el caso, en que no se haya empleado también un fármaco B. Además, o se ha empleado el fármaco A o se ha emplea- do el fármaco B. En consecuencia, podemos afirmar que si no hemos empleado el fármaco B, el paciente ha mejorado considerablemente.

Ejercicio 1.31 Un rey somete a un prisionero a la siguiente prueba: lo enfrenta a dos puertas, de las que el prisionero debe elegir una, y entrar en la habitación correspon- diente. Se informa al prisionero que en cada una de las habitaciones puede haber un tigre o una dama. Como es natural, el prisionero debe elegir la puerta que le lleva a la dama (entre otras cosas, para no ser devorado por el tigre). Para ayudarle, en cada puerta hay un letrero:

puerta 1: en esta habitación hay una dama y en la otra un tigre.

puerta 2: en una de estas habitaciones hay una dama y en una de estas habitaciones hay un tigre.

Sabiendo que uno de los carteles dice la verdad y el otro no, determinar la puerta que debe de elegir el prisionero.

1.3. Ejercios de exámenes

Ejercicio 1.32 [Examen 5–Mayo–2005] ¿Es cierto que si F → G y F son satisfacibles, entonces G es satisfacible? Si es cierto, dar una explicación. Si no es cierto, dar un con- traejemplo.

14 Tema 1. Sintaxis y semántica de la lógica proposicional

Ejercicio 1.33 [Examen 30–Junio–2005] Demostrar o refutar las siguientes proposicio- nes:

  1. Si F es una fórmula satisfacible, entonces todas las subfórmulas de F son satisfaci- bles.
  2. Existen fórmulas válidas tales que todas sus subfórmulas son válidas.

Ejercicio 1.34 [Examen 5–Abril–2006] Demostrar o refutar las siguientes proposiciones:

  1. Si S 1 y S 2 son dos conjuntos consistentes de fórmulas, entonces S 1 ∪ S 2 es consis- tente.
  2. Si S 1 y S 2 son dos conjuntos inconsistentes de fórmulas, entonces S 1 ∩ S 2 es incon- sistente.

Ejercicio 1.35 [Examen 26–Junio–2006] Demostrar o refutar las siguiente proposición: Si {F → G, F} es consistente, entonces {G} es consistente.

Ejercicio 1.36 [Examen 7–Abril–2006] Demostrar o refutar las siguientes proposiciones:

  1. Existe un conjunto de fórmulas S y una fórmula F tal que S |= F y S |= ¬F.
  2. Existe un conjunto de fórmulas S y una fórmula F tal que S 6 |= F y S 6 |= ¬F.

Ejercicio 1.37 [Examen 23–Septiembre–05] Demostrar o refutar las siguiente proposi- ción: Para todo conjunto de fórmula S y para toda fórmula F se verifica que si S 6 |= F entonces S |= ¬F.

Tema 2

Deducción natural proposicional

2.1. Ejercicios resueltos

Ejercicio 2.1 Probar mediante deducción natural:

  1. p ∧ q, r ` q ∧ r
  2. p, ¬¬(q ∧ r) ` ¬¬p ∧ r
  3. ¬p ∧ q, ¬p ∧ q → r ∨ ¬p ` r ∨ ¬p
  4. p, p → q, p → (q → r) ` r
  5. p → (q → r), p, ¬r ` ¬q
  6. ¬p → q, ¬q ` p
  7. p → q ` ¬q → ¬p
  8. ¬q → ¬p ` p → ¬¬q
  9. ` p → p
  10. ` (q → r) → ((¬q → ¬p) → (p → r))
  11. p ∨ q ` q ∨ p
  12. q → r ` p ∨ q → p ∨ r
  13. ` p → (q → p)
  14. ¬p ∨ q ` p → q
  15. p → q, p → ¬q ` ¬p

16 Tema 2. Deducción natural proposicional

  1. p ∧ q ↔ q ∧ p
  2. p ↔ q, p ∨ q ` p ∧ q
  3. p → q ` ¬p ∨ q

Ejercicio 2.2 Demostrar la adecuación de las reglas de deducción natural:

  1. ∧i: {F, G} |= F ∧ G
  2. ∧e: F ∧ G |= F
  3. ∧e: F ∧ G |= G
  4. ¬¬e: {¬¬F} |= F
  5. ¬¬i: {F} |= ¬¬F
  6. → e: {F, F → G} |= G
  7. → i: Si F |= G, entonces |= F → G.
  8. ⊥e: ⊥ |= F
  9. ¬e: {F, ¬F} |= ⊥
  10. ¬i: Si F |= ⊥, entonces |= ¬F.

Ejercicio 2.3 Demostrar las reglas derivadas.

  1. Modus tollens: F → G ¬G MT ¬F
  2. Introducción de la doble negación: F ¬¬i ¬¬F
  3. Reducción al absurdo: ¬F .. . ⊥ RAA F
  4. Ley del tercio excluido: LEM F ∨ ¬F

Ejercicio 2.4 Demostrar las equivalencias lógicas que aparecen en la transparencia 20 del tema 1:

2.2. Ejercicios propuestos 17

  1. Idempotencia: F ∨ F ≡ F F ∧ F ≡ F
  2. Conmutatividad: F ∨ G ≡ G ∨ F F ∧ G ≡ G ∧ F
  3. Asociatividad: F ∨ (G ∨ H) ≡ (F ∨ G) ∨ H F ∧ (G ∧ H) ≡ (F ∧ G) ∧ H
  4. Absorción: F ∧ (F ∨ G) ≡ F F ∨ (F ∧ G) ≡ F
  5. Distributividad: F ∧ (G ∨ H) ≡ (F ∧ G) ∨ (F ∧ H) F ∨ (G ∧ H) ≡ (F ∨ G) ∧ (F ∨ H)
  6. Doble negación: ¬¬F ≡ F.
  7. Leyes de De Morgan: ¬(F ∧ G) ≡ ¬F ∨ ¬G ¬(F ∨ G) ≡ ¬F ∧ ¬G

2.2. Ejercicios propuestos

Ejercicio 2.5 Probar mediante deducción natural:

  1. p, p → q ` q
  2. p → q, q → r, p ` r
  3. p → (q → r), p → q, p ` r
  4. p → q, q → r ` p → r
  5. p → (q → r) ` q → (p → r)
  6. p → (q → r) ` (p → q) → (p → r)
  7. p ` q → p
  8. ` p → (q → p)
  9. p → q ` (q → r) → (p → r)
  10. p → (q → (r → s)) ` r → (q → (p → s))
  11. ` (p → (q → r)) → ((p → q) → (p → r))
  12. (p → q) → r ` p → (q → r)

18 Tema 2. Deducción natural proposicional

  1. p, q ` p ∧ q
  2. p ∧ q ` p
  3. p ∧ q ` q
  4. p ∧ (q ∧ r) ` (p ∧ q) ∧ r
  5. (p ∧ q) ∧ r ` p ∧ (q ∧ r)
  6. p ∧ q ` p → q
  7. (p → q) ∧ (p → r) ` p → (q ∧ r)
  8. p → (q ∧ r) ` (p → q) ∧ (p → r)
  9. p → (q → r) ` (p ∧ q) → r
  10. (p ∧ q) → r ` p → (q → r)
  11. p ` p ∨ q
  12. q ` p ∨ q
  13. p ∨ q ` q ∨ p
  14. q → r ` (p ∨ q) → (p ∨ r)
  15. p ∨ p ` p
  16. p ` p ∨ p
  17. p ∨ (q ∨ r) ` (p ∨ q) ∨ r
  18. (p ∨ q) ∨ r ` p ∨ (q ∨ r)
  19. p ∧ (q ∨ r) ` (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
  20. (p ∧ q) ∨ (p ∧ r ` p ∧ (q ∨ r)
  21. p ∨ (q ∧ r) ` (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
  22. (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) ` p ∨ (q ∧ r)
  23. (p → r) ∧ (q → r) ` (p ∨ q) → r
  24. (p ∨ q) → r ` (p → r) ∧ (q → r)
  25. p ` ¬¬p

2.2. Ejercicios propuestos 19

  1. ¬p ` p → q
  2. p → q ` ¬q → ¬p
  3. p ∨ q, ¬q ` p
  4. p ∨ q, ¬p ` q
  5. p ∨ q ` ¬(¬p ∧ ¬q)
  6. p ∧ q ` ¬(¬p ∨ ¬q)
  7. ¬(p ∨ q) ` ¬p ∧ ¬q
  8. ¬p ∧ ¬q ` ¬(p ∨ q)
  9. ¬p ∨ ¬q ` ¬(p ∧ q)
  10. ` ¬(p ∧ ¬p)
  11. p ∧ ¬p ` q
  12. ¬¬p ` p
  13. ` p ∨ ¬p
  14. ` ((p → q) → p) → p
  15. ¬q → ¬p ` p → q
  16. ¬(¬p ∧ q) ` p ∨ q
  17. ¬(¬p ∨ ¬q) ` p ∧ q
  18. ¬(p ∧ q) ` ¬p ∨ ¬q
  19. ` (p → q) ∨ (q → p)

Ejercicio 2.6 Demostrar, por deducción natural, la corrección del siguiente argumento: Se sabe que

  1. Los animales con pelo o que dan leche son mamíferos.
  2. Los mamíferos que tienen pezuñas o que rumian son ungulados.
  3. Los ungulados de cuello largo son jirafas.
  4. Los ungulados con rayas negras son cebras.

20 Tema 2. Deducción natural proposicional

Se observa un animal que tiene pelos, pezuñas y rayas negras. Por tanto, el animal es una cebra.

Ejercicio 2.7 Demostrar por deducción natural cada una de las argumentaciones váli- das del ejercicio 1.30.

Ejercicio 2.8 Un rey somete a un prisionero a la siguiente prueba: lo enfrenta a dos puertas, de las que el prisionero debe elegir una, y entrar en la habitación correspon- diente. Se informa al prisionero que en cada una de las habitaciones puede haber un tigre o una dama. Como es natural, el prisionero debe elegir la puerta que le lleva a la dama (entre otras cosas, para no ser devorado por el tigre). Para ayudarle, en cada puerta hay un letrero:

puerta 1: en esta habitación hay una dama y en la otra un tigre.

puerta 2: en una de estas habitaciones hay una dama y en una de estas habitaciones hay un tigre.

Sabiendo que uno de los carteles dice la verdad y el otro no, demostrar por deducción natural que la dama está en la segunda puerta.

2.3. Ejercicios de exámenes

Ejercicio 2.9 Probar mediante deducción natural:

  1. [Examen de Junio de 2004]

(E ∨ F) → G ` (E → G) ∧ (F → G)

  1. [Examen de Septiembre de 2004]

` (E → (F ∧ G)) → (E → F) ∨ (E → G)

  1. [Examen de Abril de 2005]

a) {p → r, r → ¬q} |= ¬(p ∧ q) b) p ∨ q, ¬q ∨ r p ∨ r c) (p → q) → ((¬p → q) → q) d) (p ∨ (q → p)) ∧ q p e) ¬(p ∧ ¬q) p → q f ) (p → q) ∧ (p → r) |= p → (q ∧ r) g) (p 1 → p 2 ) ∧ (q 1 → q 2 ) (p 1 ∧ q 1 → p 2 ∧ q 2 ) h) ¬(¬p ∨ ¬q) p ∧ q

2.3. Ejercicios de exámenes 21

i) ((p → q) ∨ (p → r)) → (p → q ∨ r) j) ((¬p ∨ ¬q) → (¬p ∧ r)) ¬q ∨ (p ∨ r)

  1. [Examen de Junio de 2005]

p ∧ ¬(q → r) ` (p ∧ q) ∧ ¬r

  1. [Examen de Septiembre de 2005]

` ((p → (q ∧ ¬r)) → p) → p

  1. [Examen de Diciembre de 2005]

` (p → ¬q) ∧ (p → ¬r) → (p → ¬(q ∨ r))

  1. [Examen de Abril de 2006]

a) (p ∨ q) ∧ (p → r) p ∨ r. b) (¬p → q) → ((p → q) → q). c) ¬(¬q ∧ p) p → q. d) ¬p ∨ (r → q) ¬q → ¬(p ∧ r). e) ¬(p ∧ q) p → ¬q. f ) (p ∨ ¬q) → p ∧ r ¬q ∨ (¬p ∨ r). g) (p → q) ∧ ((¬r ∨ q) → s) ¬(p ∧ ¬s). h) (¬(s ∨ (p → q))) → (p ∧ ¬q ∧ ¬s).

  1. [Examen de Junio de 2006]

` ((p ∧ q) → (r ∨ s)) → ((p → r) ∨ (q → s))

  1. [Examen de Septiembre de 2006]

(p → r) ∨ (q → s) ` (p ∧ q) → (r ∨ s)

  1. [Examen de Diciembre de 2006]

` (¬q → ¬p) ∨ (q → p)

22 Tema 2. Deducción natural proposicional

Tema 3

Tableros semánticos

3.1. Ejercicios resueltos

Ejercicio 3.1 Calcular, mediante tableros semánticos, los modelos de las siguientes fór- mulas

¬(¬p ∨ ¬q → ¬(p ∧ r)).

¬(¬p ∨ ¬q → ¬(p ∧ q)).

Ejercicio 3.2 Demostrar o refutar las siguientes proposiciones:

  1. I |= F ∧ G syss I |= F e I |= G.
  2. I |= F ∨ G syss I |= F ó I |= G.

Ejercicio 3.3 Construir dos tableros completos distintos de (p ∨ q) ∧ (¬p ∧ ¬q)

Ejercicio 3.4 Decidir si

  1. `Tab ¬p ∨ ¬q → ¬(p ∧ q).
  2. `Tab ¬p ∨ ¬q → ¬(p ∧ r).
  3. {p → q, q → r} `Tab p → r.
  4. {p ∨ q} `Tab p ∧ q.

24 Tema 3. Tableros semánticos

3.2. Ejercicios propuestos

Ejercicio 3.5 Demostrar o refutar las siguientes proposiciones:

  1. F ∧ G es satisfacible syss F es satisfacible y G es satisfacible.
  2. F ∨ G es satisfacible syss F es satisfacible o G es satisfacible.
  3. F ∧ G es válida syss F es válida y G es válida.
  4. F ∨ G es válida syss F es válida ó G es válida.

Ejercicio 3.6 Demostrar por deducción natural las equivalencias de la notación unifor- me:

  1. ¬¬F ≡ F.
  2. ¬(A 1 → A 2 ) ≡ A 1 ∧ ¬A 2.
  3. ¬(A 1 ∨ A 2 ) ≡ ¬A 1 ∧ ¬A 2.
  4. A 1 ↔ A 2 ≡ (A 1 → A 2 ) ∧ (A 2 → A 1 ).
  5. B 1 → B 2 ≡ ¬B 1 ∨ B 2.
  6. ¬(B 1 ∧ B 2 ) ≡ ¬B 1 ∨ ¬B 2.
  7. ¬(B 1 ↔ B 2 ) ≡ ¬(B 1 → B 2 ) ∨ ¬(B 2 → B 1 ).

Ejercicio 3.7 Sea A la fórmula proposicional p ∧ q ↔ ¬p ∨ r.

  1. Escribir un tablero completo para A y otro para ¬A.
  2. Describir todos los modelos y todos los contramodelos de la fórmula A.

Ejercicio 3.8 Decidir, mediante tableros semánticos, si:

  1. (p → q → r) ↔ (p ∧ q → r) es una tautología.
  2. {p → (q ↔ r), r} |= r → (p ∧ q).
  3. ¬r → ¬p ∧ ¬q ≡ p ∨ q → r ∨ s.

Ejercicio 3.9 Demostrar todos los apartados de los ejercicios 8.4 y 8.5 mediante el pro- cedimiento de los tableros semánticos.

Ejercicio 3.10 Demostrar, mediante tableros semánticos, la corrección de los argumen- tos válidos de los ejercicios 1.20, 1.30 y 7.34.

3.3. Ejercicios de exámenes 25

3.3. Ejercicios de exámenes

Ejercicio 3.11 [Examen de diciembre de 2000] Probar, usando tableros semánticos, que la fórmula

(p → ¬q ∧ r) → (p → (q → r))

es una tautología.

Ejercicio 3.12 [Examen de junio de 2001] Decidir, usando tableros semánticos, si la fór- mula

(p ∧ q ↔ p ∨ q) → (p → q)

es insatisfactible o una tautología.

Ejercicio 3.13 [Examen de junio de 2001] Decidir, mediante tableros semánticos, si

{p ∨ q → r ∨ s, r ∧ t → s, r ∧ ¬t → ¬u} |= p → s ∨ ¬u

Ejercicio 3.14 [Examen de septiembre de 2001 Probar, mediante tableros semánticos, que la fórmula

(p → r) → ((q → r) → (p ∨ q → r))

es una tautología.

Ejercicio 3.15 [Examen de diciembre de 2001] Demostrar por el método de tableros semánticos que

(p ∨ q ↔ ¬r) ∧ (¬p → s) ∧ (¬t → q) ∧ (s ∧ t → u) |= r → u

Ejercicio 3.16 [Examen de junio de 2002] Probar, mediante tableros semánticos, que

(r → p) ∧ (¬r → q ∨ s) → p ∨ q ∨ s

es una tautología.

Ejercicio 3.17 [Examen de septiembre de 2002] Sean

A : ¬r → s ∧ ¬u y

B : (r ∨ s) ∧ (u → r).

Probar, mediante tableros semánticos que A y B son lógicamente equivalentes.

Ejercicio 3.18 [Examen de junio de 2003] Se considera el conjunto de fórmulas

S = {p → q, q ↔ r ∧ s, ¬s ∧ r → q, ¬q}

  1. Probar, mediante tableros semánticos, que S es consistente.