Download Elementary functions; and more Schemes and Mind Maps Mathematics in PDF only on Docsity!
ELEMENTARNE FUNKCIJE – GRAFICI
Osnovne elementarne funkcije su :
- Konstantne funkcije
- Stepene funkcije
- Eksponencijalne funkcije
- Logaritamske funkcije
- Trigonometrijske funkcije
- Inverzne trigonometrijske funkcije
- Hiperboličke funkcije
Elementarnim funkcijama se nazivaju funkcije koje se mogu zadati pomoću osnovnih elementarnih funkcija i
konstanti , pomoću konačno mnogo operacija sabiranja , oduzimanja, množenja, deljenja i kompozicija osnovnih
elementarnih funkcija.
Napomena : Ovo nije stroga definicija elementarnih funkcija. Vi tu definiciju naučite kako vam je kaže vaš profesor, mi smo tu da samo malo pojasnimo stvari i podsetimo vas kako izgledaju grafici...
x
y
x
y
y (^) x^ n n-paran broj y x^ n n-neparan broj
Ovo su grafici stepenih funkcija gde je izložilac prirodni broj. Svi grafici izgledaju ovako, sem što se u zavisnosti
od izložioca sužavaju ili šire…( pogledajte fajl kvadratna funkcija iz druge godine).
www.matematiranje.com
x
y (^) y nx n-neparan broj
x
y (^) n y x n-paran broj
Ovo su grafici stepenih funkcija gde je izložilac racionalan broj.
Trebamo zapamtiti da je y nx , kada je n paran broj definisana samo za x [0, ) to jest x 0 , dok je funkcija
y ^ nx kada je n neparan broj definisana na celom skupu R, to jest x ( , )
x
y
x
y
1
log 1
y (^) ax a
log 0 1
y (^) ax a
1
x
y
1
y ln x
slika 1 (^) slika 2 slika 3
Podsetite se logaritamskih funkcija ( fajl iz II godine).
Važno je zapamtiti da su one definisane za vrednosti x koje su veće od nule , to jest x 0.
U graničnim vrednostima funkcija smo rekli da je ln 0 . Sa elementarnog grafika to sad možemo i uočiti
(slika 3.) : kad se x približava 0 sa pozitivne strane funkcija teži beskonačnosti ( minus): (^) x lim ln 0 x ( žuta crta)
A rekli smo i da je ln . Sa grafika je i to jasno, kad x teži beskonačnosti i funkcija ide u beskonačno, što je na
grafiku prikazano crvenom crtom.
www.matematiranje.com
sin cos tgx x x
2
(^3) 2 2
(^3) 2
x
y
0
y=tgx
cos sin
ctgx x x
2
2 (^3) ^ 2 2
(^3) 2
x
y
0
y=ctgx
Inverzne trigonometrijske funkcije:
Ove funkcije se nazivaju ciklometrijske ili arkus funkcije.
i) Arkus sinus
Pazite: funkcija y = sinx nema inverznu funkciju, jer nije bijekcija!
Ali ako posmatramo njenu restrikciju na intervalu [ , ] 2 2
^ i preslikavanje 1 :[ 1,1] [ , ]
f ^ ^ dobijamo arkus
sinus funkciju:
2
2 ^
y
y=arcsinx
0
www.matematiranje.com
Još zapamtite da važi:
arcsin(sin ) za [ , ] 2 2 sin(arcsin ) za x [-1,1]
x x x x x
^ ^
Funkcija je definisana za x [ 1,1]
Nula funkcije je u x=
ii) Arkus kosinus
I ovde ćemo iz sličnog razloga posmatrati restrikciju funkcije y = cos x na intervalu [0, ].
Posmatramo preslikavanje g ^1 :[ 1,1] [0, ]
2
-1 (^1) x
y
y=arccosx
0
Važi:
arccos(cos ) za [0, ] cos(arccos ) za [ 1,1]
x x x x x x
Funkcija je definisana za x [ 1,1]
Nula funkcije je u x =
iii) Arkus tangens
Posmatrajući restrikciju funkcije y = tgx na intervalu [ , ] 2 2
^ i preslikavanje 1 : [ , ]
h ^ R ^ ^
Dobijamo funkciju arkus tangens. www.matematiranje.com
Grafici ovih funkcija se dobijaju iz grafika y ex i y e x odnosno pomoću^1 i^1 2 2 y e x^ y e x
y e x y^ e^ x
x
y
0
1
y=sh (^) y ^12 e x y ^12 e x
(^12)
1
y=ch
x
y
Ovde važe identiteti ( podseti se adicionih formula iz II godine…)
2 2
2 2
ch x sh x sh x y shx chy chx shy ch x y chx chy shx shy sh x shx chx ch x ch x sh x
hiperbolički tangens i hiperbolički kotangens imaju grafike:
x
y
1
y=th
x
y
1
y=cth
www.matematiranje.com
