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A Lei de Gauss:
Para compreendermos a Lei de Gauss,
precisamos entender o significado de fluxo elétrico.
A Lei de Gauss está centralizada no que
chamamos hipoteticamente de superfície gaussiana.
Esta superfície pode ser formada com a forma que
quisermos, porém é adequada aquela que apresentar as
devidas simetrias que o problema se apresenta. Por
exemplo, uma carga pontual possui linhas de força
distribuídas esfericamente; então a superfície
gaussiana mais adequada é uma esférica.
Fluxo:
Definimos como fluxo de um vetor v através
de uma superfície de área A o produto:
Ψ = v. A = vA cos θ
GG
Ou seja, se pega a componente paralela do
vetor v ao vetor normal à superfície A e multiplica-se
pela área A. Para definirmos o fluxo de um campo
elétrico, consideramos uma área A que representa uma
superfície gaussiana, sendo atravessada pelas linhas de
campo elétrico. Definimos por:
i S
= (^) ∫∫ D ⋅ dS = Q
G G
Ou
i
S
Q
∫∫ E^ ⋅ dS =
G G
D E
G G
(Para o espaço livre). Figura 1 – Fluxo através de uma superfície Gaussiana.
O círculo na integração representa que a
integral deve ser feita sobre a superfície gaussiana
fechada.
A Lei de Gauss relaciona o fluxo do campo elétrico por uma superfície fechada com uma distribuição de cargas que estão envolvidas por essa superfície:
∫. =^ ε 0
q E dA
G G
Note que a carga q é a soma de todas as cargas, positivas e negativas, interiores à superfície gaussiana. A Lei de Gauss permite provar um importante teorema sobre condutores isolados: Se um excesso de carga é colocado em um condutor isolado, a carga irá se mover inteiramente sobre a superfície do condutor, nenhuma carga irá se encontrar no interior do corpo de um condutor.
Teorema da Divergência (Teorema Gauss): Seja
F = Fx ( x , y , z ) a ˆ x + Fy ( x , y , z ) a ˆ y + Fz ( x , y , z ) a ˆ z
G
Seja
S uma superfície contida numa região B , na qual as derivadas parciais de F x , Fy e Fz são contínuas e V uma
região limitada por B. Se a é um vetor normal exterior
à S , então:
ˆ n
F adS F dV S V
∫∫ ⋅^ n^ =∫∫∫∇⋅
G G G
ou
F dS F dV S V
∫∫ ⋅^ = ∫∫∫∇⋅
G G G G
Aplicando o Teorema de Gauss:
D dS D dV S V
∫∫ ⋅^ = ∫∫∫∇⋅
G G G G
Como, da Lei de Gauss:
i S
= (^) ∫∫ D ⋅ dS = Q
G G
E para uma distribuição volumétrica de carga:
Q dV V
i =∫∫∫ρ v
Observe que:
D dS DdV dV v
v S V
∫∫ ⋅ =∫∫∫∇⋅ = ∫∫∫ρ
G G G G
∇ ⋅ D = ρ v
G G
Exemplo 1 - Campo elétrico de uma carga puntiforme: Imagine um superfície esférica que englobe uma carga pontual q. Então:
(^42)
(^21)
0
0 0
r
q E r E
Q
E dS
i q
S
∫∫
G G
Figura 2 – Superfície Gaussiana esférica para calcular o campo elétrico de uma carga puntiforme.
Exemplo 2 - Campo de um condutor plano
infinito de densidade de carga superficial rs:
Figura 3 – Superfície Gaussiana cilíndrica para o cálculo do campo de um plano carregado.
Escolhendo uma superfície gaussiana
cilíndrica, a carga q está na superfície do condutor:
Note que o campo elétrico possui sentido divergente.
Então, aplicando a Lei de Gauss:
0
. ( ).( ) ε
q
S
∫∫ E^ ⋅ dS = EA +− E − A =
G G
2 ε 0
ρ (^) S
E =
Exemplo 3 - Campo elétrico de um fio
infinito de densidade de carga linear ρ L.
Nesse caso, a superfície gaussiana adequada é
um cilindro de raio r qualquer:
Figura 4 – Superfície Gaussiana cilíndrica envolvendo o fio com densidade de carga linear.λ=rL.
r
L
ρ
ρ ε πε
ρ
E dS Qi E L L^ L E^ L S
0 2 0
1
0
∫∫
G G
Exemplo 4 - Esfera condutora de raio R carregada com carga elétrica Q na superfície: No seu interior o campo é nulo; para r > R podemos imaginar que a superfície esférica gaussiana engloba uma carga elétrica puntiforme Q : Figura 5 – Superfície Gaussiana esférica envolvendo uma casca esférica de raio R
E
r R Q
r
r R
1 4 0 2
, se
πε se
Exemplo 5 - Distribuição esférica de raio R de carga elétrica Q com densidade volumétrica rv: Devemos imaginar duas superfícies gaussianas, de raios r > R e r < R :
( d ) Capacitor de placas paralelas com
densidades iguais e diferentes nas placas.
Exemplo 6 – (e 3.1 – Hayt pg. 34) Dada uma carga pontual de 60μC, localizada
na origem, determine o fluxo elétrico total que passa
através:
( a ) da porção de uma esfera limitada de r =
26 cm limitada por 0 < θ < π/2 e 0 < φ < π/2.
( b ) a superfície fechada definida por ρ = 26
cm e z = ± 26 cm.
( c ) do plano z = 26 cm.
Solução:
i S
= (^) ∫∫ D ⋅ dS = Q
G G
Ou
i
S
Q
∫∫ E^ ⋅ dS =
G G
( a ) da porção de uma esfera limitada de r =
26 cm limitada por 0 < θ < π/2 e 0 < φ < π/2.
2 2 2 2 0 0
r r S
Q
D dS a r sen d d a r
π π
ψ θ θ φ π
= (^) ∫∫ ⋅ = (^) ∫ ∫ ⋅
G G
w
2 2
Q
sen d d
π π
ψ θ θ φ π
= (^) ∫ ∫
2 2 [ cos ] [ ] 0 0 4
Q^ π^ π ψ θ φ π
[ cos 2 ( cos 0)][ 2 0] 4
Q π π ψ π
2
Q Q
ψ^ π μ μ C π
( b ) a superfície fechada definida por ρ = 26 cm e z = ± 26 cm.
i s L T (^) i Ts
L T T S S S S
ψ = (^) ∫∫ D dS ⋅ = (^) ∫∫ D dS ⋅ + (^) ∫∫ D dS ⋅ (^) ∫∫ D dS ⋅
G G^ G G^ G G^ G G
w w w w
dS L = ρ φ d dza^ ˆ ρ
G
Ts z
dS = ρ d ρ φ d a
G
dST (^) i = ρ d ρ φ d (^) ( − a ˆ z )
G
2
r
Q
D a π r
G
2
2
2
2 0
L
L L
L r S
Q
D dS a d dza r
π ρ φ ρ π
−
∫∫ ∫ ∫
G G
w
2
2
2
2 0
L
L L
L r S
Q
D dS a a d dz r
π
ρ
ρ φ π
−
∫∫ ⋅^ =^ ∫ ∫ ⋅
G^ G
w
a sen a sen sen a a ˆ ˆ (^) r cos ˆ (^) x ˆ y cos z [ ] ( )
2 (^2 ) 0 2 2 2 3 2 sec 4 L
L
L S L
Q
D dS d tg
π ρ φ ρ θ θ π (^) ρ θ ρ
−
∫∫ ∫
G^ G
w
a ˆ^ ρ= cos φ a ˆ x + sen φ a^ ˆ y
ar ⋅ a ρ= sen θ cos φ + sen sen θ φ
( )
ar ⋅ a (^) ρ= sen θ cos φ + sen φ
a^ ˆ^ r ⋅ a ˆ ρ= sen θ
Observe da figura que:
z ρ
z θ r
G
r
y φ ρ
x
sen r
ρ θ =
2 2 r = x + y + z
2
2 2 ρ = x + y
2 2
r = ρ + z
Então:
a^ ˆ^ r a ˆ r
ρ
ρ ⋅ =
Substituindo, teremos: 2
2
2
2 (^40)
L
L L
L S
Q
D dS d dz r r
π ρ ρ φ π
−
∫∫ ⋅^ = ∫ ∫
G G
w
2
2
2 2
3 (^40)
L
L L
L S
Q
D dS d dz r
π ρ φ π
−
∫∫ ⋅^ = ∫ ∫
G G
w
(^2 )
3 L^40
L
L S L
Q
D dS d dz r
π ρ φ π
−
∫∫ ∫ ∫
G G
w
( )
(^2 )
2 2 3 2 L^40
L
L S L
Q
D dS d dz z
π ρ φ π ρ
−
∫∫ ∫ ∫
G G
w
Chamando: 2
z = ρ tg θ ⇔ dz =ρsec θ d θ
( )
3 2 (^2 3 2) 3 2s (^4 ) L
L
L S L
Q
D dS d tg
ρ π ec θ θ π (^) ρ θ
−
∫∫ ∫
G G
w
2 3
2 sec 4 sec L
L
L S L
Q
D dS π θ θ d π θ
−
∫∫ ⋅^ = ∫
G G
w
2 sec L
L
L S L
Q
D dS d θ θ
−
∫∫ ⋅^ = ∫
G^ G
w
cos 2 L
L
L S L
Q
D dS θ d θ
−
∫∫ ⋅^ = ∫
G G
w
L
L S
Q
D dS sen θ π
∫∫
G G
w
Como: 2 2 1
tg z sen tg z
2
θ θ θ ρ
2 2
L
z
L S (^) z
Q z D dS z ρ
=
=−
∫∫
G G
w
2 2 2 2
L
L S
Q
D dS
⎝ +^ + ⎠
∫∫
G G
w
L
L S
Q
D dS
∫∫
G G
w
L
L S
Q
∫∫ D dS ⋅^ =
G G
w
L^2
L S
Q
∫∫ D dS ⋅^ =
G G
w
2
2 0 0
s 4 Ts
R
T r z S
Q
D dS a a d d r
π ρ ρ φ π
∫∫ ⋅^ =^ ∫ ∫ ⋅
G G
w
Observe da figura que:
ˆ (^) r ˆ (^) z cos
z a a r
⋅ = θ=
2
2 0 0
s 4 Ts
R
T S
Q z D dS d d r r
π ρ ρ φ π
∫∫ ⋅^ = ∫ ∫
G G
w
( )
2
2 2 3 2 (^40 )
s Ts
R
T S
Q z D dS d d z
π ρ ρ φ π (^) ρ
∫∫ ∫ ∫
G^ G
w
( a ) uma carga pontual QA = 55 mC em Q (-2,
3, -6).
2
A R
P A
Q a D π r r
G
G G
rA ′ = − 2 a^ ˆ^ (^) x + 3 a ˆ y − 6 ˆ
G
az
rP = 2 a ˆ^ x − 3 a ˆ y + 6 a^ ˆ z
G
ˆ R P
P P
r r a r r
−^ ′
G G
G G
4 ˆ^6 ˆ^12 ˆ^14 14
x y z R x x y z
a a a a a a a a
a ˆ (^) y + a ˆ z
2
x y z
m D a a a
G
6.38 ˆ 9.57 ˆ 19.14 ˆ ( 2 )
C D ax a (^) y az (^) m
μ = − +
G
( b ) uma linha de cargas uniforme de ρ LB = 20
mC/m no eixo x.
ˆ
L a D
G
( )
(^2 ) ρ = − 3 + 6 = 45
a (^) ρ = − a y + a ˆ z
a y az m D
G
y z
m D a
G
a
2 212 ˆ^ y 424 ˆ z
C
D a a m
G
( c ) uma densidade superficial de carga de ρ SC
= 120 μC/m^2 no plano z = -5m.
S D aN
G
D aZ
G
60 ˆ ( 2 )
C D aZ (^) m
μ
G
Exemplo 8 – (e 3.3 – Hayt pg. 36)
Dada a densidade de fluxo elétrico D =0,3 r^2 ar nC/m^2 no espaço livre: ( a ) determine E no ponto P ( r = 2, θ = 25°, φ = 90°). ( b ) determine a carga total dentro da esfera r =
( c ) determine o fluxo elétrico total que deixa a esfera r = 4.
Solução:
( a ) 0
E D
G G
2
0
E 0.3 nr a ˆ r
G
9 2 12
E ar
− = (^) − ⋅ ⋅
G
135,5 ˆ ( ) V E = ar (^) m
G
( b ) S
Q = Ψ = D ⋅ dS ∫∫
G G
w
2 2 0.3 ˆ r S
Q = Ψ = nr a ⋅ r sen θ d d θ φ
w∫∫
2 4
0 0
Q 0.3 nr sen d d
π π = (^) ∫ ∫ θ θ φ
4
Q =0.3 3 4 n π
Q = 305 nC
( c ) S
Ψ = (^) ∫∫ D dS ⋅
G G
w
2 2 0.3 ˆ r S
Ψ = (^) w∫∫ nr a ⋅ r sen d d θ θ φ
4 Ψ =0.3 4 4 n π
Ψ = 965.09 nC
Exemplo 9 – (e 3.3 – Hayt pg. 36)
Calcule o fluxo elétrico total deixando uma superfície cúbica formada por seis planos x , y , z = ±5, se a distribuição de cargas é: ( a ) duas cargas pontuais, uma de 0,1 μC em
(1,-2,3) e outra de
1
7 μ C^ em (-1, 2, -2);
( b ) uma linha de cargas uniforme de πμC/m em x = -2, y = 3; ( c ) uma superfície de cargas uniforme de 0,1μC/m
2 no plano y = 3 x.
Solução:
( a ) (^1 ) S
Ψ = (^) ∫∫ D dS ⋅ = Q + Q
G G
w
1 7
Ψ = 0, 243 μ C
( b ) (^) i S
Ψ = (^) ∫∫ D dS ⋅ = Q
G G
w
z
d
3 y
x O comprimento da linha que está dentro do
cubo possui uma carga de:
L S
Ψ = D dS ⋅ = ρ d
∫∫
G G
w
Ψ = πμ 10
Ψ = 31, 4 μ C
( c ) uma superfície de cargas uniforme de
0,1μC/m
2 no plano y = 3 x.
A interseção do cubo de lado 10 com o plano dá um retângulo, de dimensões:
d/ y=
x= 5/ 5
5/3 x
2 2 2 5 2 5 25 2 3
⎛^ d ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ =^ +^ ⎜ ⎟ =^ + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 225 25 250
4 9
d + = = 9
4 250
9
d
d =
A Carga interna ao cubo será:
Qi = ρ s S = ρ s ⋅ d ⋅ 2 l
Q i = μ⋅ ⋅ ⋅ = μ
Ψ = Qi = 10,54 μ C
Exemplo 10 – (e 3.5 – Hayt pg. 39) Uma carga pontual de 0,25μC está localizada em r =0, e duas densidades superficiais de cargas uniformes estão localizadas como se segue: uma de 2mC/m
2 em r = 1cm e outra de -0,6 mC/m
2 em r = 1, cm. Calcule D em: ( a ) r = 0,5 cm. ( b ) r = 1,5 cm. ( c ) r = 2,5 cm. ( d ) Que densidade superficial de carga uniforme deve ser estabelecida em r = 3 cm para causar D = 0 em r = 3,5 cm?
Solução:
( a ) r = 0,5 cm
v v V
Q
Q dV D V
= ρ ⇔ ∇ ⋅ = ρ ≅ ∆
∫∫∫
G G
Q = ∆ V ⋅∇ ⋅
G G
D
( 2 )
4 2 4 2 3 8 ˆ^4 ˆ^16 ˆ
pC D = xyz a (^) x + x z ay + x yz az (^) m
G
( ) ( ) ( ) ( ) D 8 xyz^4^4 x z^2 4^16 x yz^2^3 p x y z
⎛ ∂ ∂ ∂ ⎞ ∇ ⋅ = (^) ⎜ + + ⎟ ⎝ ∂^ ∂^ ∂ ⎠
G G
4 2 ∇ ⋅ D = 8 yz p + 0 + 48 x yz p
G G 2
( )( )
4 2 2
D 8( 1)3 0 48 2 ( 1)3 10
−
G G
( )
12
( )
4 2 2 D 8( 1)3 0 48 2 ( 1)3 10
− ∇ ⋅ = − + + ⋅ −
G G 12
21 Q V D 2,376 10 C
− = ∆ ⋅∇ ⋅ = − ⋅
G G
Exemplo 12 – (e 3.7 – Hayt pg. 42)
Para cada um dos seguintes itens, determine
um valor numérico para div D no ponto especificado:
( a ) (^) ( ) ( ) ( 2 )
2 2 2 2 ˆ (^) x 2 ˆ y C m
D = xyz − y a + x z − xy a + x ya
G
ˆ z em
PA (2, 3, -1).
( b ) (^) ( 2 )
2 2 2 2 2 2 ˆ^2 ˆ^2 ˆ z C m
D = ρ z sen φ a ρ + ρ z sen φ a φ +ρ zsen φ a
G
em PB ( ρ = 2, φ = 110°, z =-1).
( c ) 2 cos ˆ^ r cos cos ˆ ( C 2 ) m
D = rsen θ φ a + r θ φ a θ − rsen a φφ
G
ˆ (^) em
PB ( r = 1,5; θ = 30°, φ = 50°).
Solução:
( a ) (^) ( ) ( ) ( 2 )
2 2 2 2 ˆ^ x 2 ˆ y C m
D = xyz − y a + x z − xy a + x ya
G
ˆ z em
PA (2, 3, -1). Em coordenadas cartesianas:
Dx D y Dz D x y z
G G
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 xyz y x z 2 xy x y D x y z
G G
∇ ⋅ D = 2 yz − 2 x + 0
G G
∇ ⋅ D (2, 3, -1) = 2 3⋅ ⋅ − ( 1 ) − 2 2⋅
G G
(2, 3, -1) (^10) ( 3 ) C m
∇ ⋅ D = −
G G
( b ) (^) ( 2 )
2 2 2 2 2 2 ˆ 2 ˆ 2 ˆ z C m
D = ρ z sen φ a (^) ρ + ρ z sen φ a (^) φ + ρ zsen φ a
G
em PB ( ρ = 2, φ = 110°, z =-1).
( ) z
D D
D D
z
∂
φ ρ
G G 1 1
( )
( ) ( )
2 2 1 2 2 1 2 2 2
z sen zsen D z sen z
2 ρ φ ρ ρ ρ φ ρ ρ ρ φ
∂ ∂^ ∂ ∇⋅ = + + ∂ ∂
G G φ
∂
( )
2 2 2 2 2 (^2 )^2 (^ )
2
z sen z sen^ 2 z D sen z
φ ρ^ φ ρ ρ ρ ρ ρ φ
∂ ∂^ ∂ ∇⋅ = + + φ ∂ ∂ ∂
G G
2 2
2 2cos2 2 1
z sen
D z sen
φ ρ φ ρ φ ρ
G G
2 2 2 2 2
∇⋅ D = 4 z sen φ+ 2 z cos2φ + 2 ρ sen φ
G G
( )
(^2 ) ∇⋅ D ( ρ = 2, φ=110 , ° z = -1) = 4 − 1 sen 110º+
G G
( ) ( )
(^2 2 ) 2 −1 cos 2 110 ⋅ ° + ⋅ 2 2 sen 110 °
( )
(^2 ) ∇⋅ D ( ρ = 2, φ=110 , ° z = -1) = 4 − 1 sen 110º+
G G
( ) ( )
(^2 2 ) 2 −1 cos 2 110 ⋅ ° + ⋅ 2 2 sen 110 °
( 2, 110 , -1) 9.06 ( (^3) ) C ∇⋅ D ρ = φ= ° z = = m
G G
( c ) (^2) cos ˆ (^) r cos cos ˆ ˆ( C 2 ) m
D = rsen θ φ a + r θ φ a (^) θ − rsen a φφ
G em
PB ( r = 1,5; θ = 30°, φ = 50°).
( )
2 (^ ) 2
1 1 1 r
sen D^ D D r D r r rsen rsen
θ θ φ
θ θ θ φ
∂ ∂^ ∂ ∇⋅ = + + ∂ ∂ ∂
G G
( )
2 (^ ) 2
1 1 cos^ cos 2 cos
sen r D r rsen r r rsen
θ θ φ θ φ θ θ
∂ ∂ ∇⋅ = + + ∂ ∂
G G
1 ( rsen )
rsen
φ
θ φ
∂ −
∂
( )
3 2
2
2 cos cos (^2)
sen
sen r D r r r rsen
θ
θ φ φ
θ θ
⎛ ⎞ ∂⎜ ⎟ ∂ (^) ⎝ ⎠ ∇⋅ = + + ∂ ∂
G G
r ( sen )
rsen
φ
θ φ
− ∂
∂
2 2
2 cos cos 2cos 3 2
sen r D r r rsen
θ φ φ θ
θ
⎛ ⎞ ∇⋅ = + (^) ⎜ ⎟+ ⎝ ⎠
G G
1 cos sen
φ θ
−
cos cos 2 cos D 6 sen cos sen sen
φ θ φ θ φ θ θ
∇⋅ = + −
G G
2 6 sen cos cos2 cos cos D sen
θ φ θ φ
θ
G G φ
( )
2 2 2 6 sen cos cos sen cos cos D sen
θ φ θ θ φ
θ
G G φ
2 2 2 6 sen cos cos cos sen cos cos D sen
θ φ θ φ θ φ
θ
G G
(
φ
)
2 2 2 6 sen cos 1 sen cos sen cos cos D sen
θ φ θ φ θ φ
θ
G G φ
2 2 2 6 sen cos cos sen cos sen cos cos D sen
θ φ φ θ φ θ φ
θ
G G φ
2 4 sen cos D sen
θ φ
θ
∇⋅ =
G G
∇⋅ D = 4 sen θ cosφ
G G
∇⋅ D = 4 sen 30 cos50° °
G G
1 4 0. 2
∇⋅ D =
G G
1,28 (^) ( 3 ) C ∇⋅ D = m
G G
Exemplo 13 – (e 3.8 – Hayt pg. 41) Determine a expressão para a densidade
volumétrica de carga associada com cada campo D a
seguir:
( a ) (^) ( 2 )
2 2
2
ˆ (^) x ˆ (^) y ˆ (^) z C m
xy x x y D a a a z z z
G
.
( b ) ˆ cos ˆ ˆ z ( C 2 ) m
D = zsen a φ (^) ρ+ z φ a φ +ρ sen a φ
G
( c ) ˆ r (^) cos ˆ (^) cos ˆ( C 2 ) m
D = sen sen a θ φ + θ sen a φ (^) θ + φ a φ
G
Solução:
( a ) (^) ( 2 )
2 2
2
ˆ (^) x ˆ (^) y ˆ (^) z C m
xy x x y D a a a z z z
G
.
Em coordenadas cartesianas:
x y z v
D D D
D
x y z
G G
2 2
2
4 xy 4 x 2 x D x z y z z z
∂ ⎛ ⎞ ∂ ⎛^ ⎞^ ∂⎛
G G (^) y ⎞ ⎟ ⎠ 2
3
4 4 0
y x y D z z
∇ ⋅ = + −
G G
2 2
3
4 4 v
yz x y D z
ρ
− = ∇ ⋅ =
G G
( )( 3 )
2 2 3
4 (2, 3, -1) C m
y D z x z
∇ ⋅ = −
G G
( b ) ˆ cos ˆ ˆ z ( C 2 ) m
D = zsen a φ (^) ρ+ z φ a φ +ρ sen a φ
G .
( )
(^1 1) z v
D D
D D
z
φ
∂ ∂^ ∂
G G
1 1 ( z cos^ ) ( sen )
D zsen z
φ ρ φ ρ φ ρ ρ ρ φ
∂ ∂^ ∂ ∇⋅ = + + ∂ ∂ ∂
G G
( cos^ )
0
zsen z D
φ φ ρ ρ ρ ρ φ
∂ ∂ ∇⋅ = + + ∂ ∂
G G
zsen zsen
D
φ φ
ρ ρ
G G
(^0) ( (^3) ) C ρ =∇⋅ v D = m
G G
( c ) ˆ (^) r cos ˆ (^) cos ˆ( C 2 ) m
D = sen sen a θ φ + θ sen a φ (^) θ + φ a φ
G .
( )
2 (^ ) 2
1 1 1 r
sen D^ D D r D r r rsen rsen
θ θ φ
θ θ θ φ
∂ ∂^ ∂ ∇⋅ = + + ∂ ∂ ∂
G G
( )
2 (^ ) 2
1 1 sen^ cos sen D r sen sen r r rsen
θ θ φ θ φ θ θ
∂ ∂ ∇⋅ = + + ∂ ∂
G G
1 ( cos )
rsen
φ
θ φ
∂
∂
( )
2 2
2
2
sen
sen sen sen D r r r rsen
θ
θ φ φ
θ θ
⎛ ⎞ ∂⎜ ⎟ ∂ (^) ⎝ ⎠ ∇⋅ = + + ∂ ∂
G G
1 ( cos )
rsen
φ
θ φ
∂
∂
2
2cos 2 2
sen sen sen D r r rsen
θ φ φ θ
θ
⎛ ⎞ ∇⋅ = + (^) ⎜ ⎟+ ⎝ ⎠
G G
( )
1 sen rsen
φ θ
−
2 sen sen sen cos2 sen D r rsen rsen
θ φ φ θ φ
θ θ
∇⋅ = + −
G G
( ) 2 2 2 2 sen sen sen^ cos sen sen D rsen rsen rsen
θ φ^ φ^ θ^ θ φ
θ θ θ
− ∇⋅ = + −
G G
( ) 2 2 2 sen sen sen^^1 2 sen sen D rsen rsen rsen
θ φ^ φ θ φ
θ θ θ
− ∇⋅ = + −
G G
2 2 2 sen sen sen 2 sen sen sen D rsen rsen rsen
θ φ φ θ φ φ
θ θ θ
− ∇⋅ = + −
G G
(^0) ( (^3) ) C ρ =∇⋅ v D = m
G G
Exemplo 13 – (e 3.9 – Hayt pg. 45) Dado o campo:
( 2 )
1 1 6 2 ˆ^ 1, 5 cos 2 ˆ C m
D = ρ sen φ a (^) ρ+ ρ φ a φ
G
calcule ambos os lados do teorema da divergência para a região limitada por: ρ = 2, φ = 0, φ = π, z = 0 e z = 5.
Solução:
i S V
Ψ = (^) ∫∫ D dS ⋅ = Q = (^) ∫∫∫∇ ⋅ DdV
G G G G
w
Assim:
S S L ST (^) i ST (^) s Spi
∫∫ D dS ⋅^^ =^ ∫∫ D dS ⋅^^ +^ ∫∫ D dS ⋅^^ +^ ∫∫ D dS ⋅^^ +^ ∫∫ D dS ⋅
G G^ G G^ G G^ G G^ G G
w
( ) (
5 1 1 2 2 0 0
6 ˆ 1,5 cos ˆ ˆ L
L S
D dS sen a a d dza )
π
∫∫ ⋅^ =^ ∫∫ ρ^ φ^ ρ+^ ρ^ φ^ φ ⋅ρ φ ρ
G G
Como: a ˆ^ (^) ρ ⋅ a ˆ^ (^) ρ= 1 ∴ a ˆ^ (^) ρ ⋅ a ˆφ= 0
5 (^2 ) 2 0 0
6 L
L S
D dS sen d dz
π
∫∫ ⋅^ =∫∫^ ρ^ φ φ
G G
5 (^2 ) 2 0 0
L
L S
D dS dz sen d
π
∫∫ ∫ ∫
G G
[ ] [ ]
(^2 ) 6 2 0 2cos (^20)
L
z L (^) z S
D dS z
φ π φ
φ
= = ∫∫ ⋅^ =^ ⋅^ = − =
G G
[ ] ( ) (^) ( ( ))
1 1 24 5 0 2cos 2 2cos 20
L
L S
D dS ⋅ = − ⎡^ − π − − ⎤ ∫∫ ⎣ ⎦
G G
24 5 2 [ ]
L
L S
∫∫ D dS ⋅^ =^ ⋅
G G
S L
∫∫ D dS ⋅^^ = C
G G
( ) (^ )
2 1 1 2 2 0 0
6 ˆ^ 1,5 cos ˆ^ ˆ i Ti
T z S
D dS sen a a d d a
π
∫∫ ⋅^ =^ ∫ ∫ ρ^ φ^ ρ+^ ρ^ φ^ φ ⋅ −ρ^ ρ φ
G G
Como: a ˆ^ (^) ρ⋅ a ˆ^ (^) z = 0 ∴ a ˆ^ z ⋅ a ˆφ= 0
S Ti
∫∫ D dS ⋅^^ = C
G G
( ) (^ )
2 1 1 2 2 0 0
6 ˆ 1,5 cos ˆ i Ts
T z S
D dS sen a a d d a ˆ
π
∫∫ ⋅^ =^ ∫ ∫ ρ^ φ^ ρ+^ ρ^ φ^ φ ⋅ρ^ ρ φ
G G
Como: a ˆ^ (^) ρ⋅ a ˆ^ (^) z = 0 ∴ a ˆ^ z ⋅ a ˆφ= 0
S Ts
∫∫ D dS ⋅^^ = C
G G
( )
5 2 1 1 2 2 0 0
6 ˆ 1,5 cos ˆ S p
∫∫ D dS ⋅^^ =^ ∫∫ ρ sen^^ φ a^^^ ρ+^ ρ^ φ a^ φ^ ⋅ −(^ d^ ρ dza ˆφ)
G G
Como: a ˆ^ (^) φ ⋅ a ˆ^ (^) φ= 1 ∴ a ˆ^ (^) ρ ⋅ a ˆφ= 0
5 2 1 2 0 0
1,5 cos S p
∫∫ D dS ⋅^^ =^ ∫∫−^ ρ^ φ ρ d^ dz
G G
5 2 1 2 0 0
1,5cos S p
∫∫ D dS ⋅^^ = −^ φ^ ∫ dz^ ∫ρ ρ d
G G
( )[ ]
2 2 1 5 (^2 ) 0
1,5cos 0 2 p
z z S
D dS z
ρ
ρ
=
=
∫∫
G G
( )[ ]
2 2 2 0 1,5cos 0 5 0 2 2 Sp
D dS
∫∫
G G
1,5 1 5 [ ][ ] 2 S p
∫∫ D dS ⋅^ = −^ ⋅
G G
S p
∫∫ D dS ⋅^^ = − C
G G
S S L ST (^) i ST (^) s Spi
D dS ⋅ = D dS ⋅ + D dS ⋅ + D dS ⋅ + D dS ⋅ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫
G G G G G G G G G G
w
S
D dS ⋅ = + + − ∫∫
G G
w
S
D dS ⋅ = C ∫∫
G G
w
¾ Integral de volume:
V
Ψ = ∇ ⋅ DdV ∫∫∫
G G
( )
1 1 D^ Dz D D z
φ
∂ ∂^ ∂
G G
( 2 )
1 1 6 2 ˆ^ 1, 5 cos 2 ˆ C D = ρ sen φ a (^) ρ+ ρ φ a φ m
G
( ) ( )
1 1 2 2
D 6 sen 1,5 cos z
G G ∂ 0
( ) (^ )
1 (^2 ) 2
6 1, cos
sen D
φ ρ ρ φ ρ ρ ρ φ
∂ ∂ ∇ ⋅ = + ∂ ∂
G G
1 2 1 2
(^6) 1,5 1 2 2
sen D s
φ ρ ρ en φ ρ ρ
⎛ ⎞ ∇ ⋅ = + (^) ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠
G G
1 1 2 2
1, 12 2
∇ ⋅ D = sen φ− sen φ
G G
1 2
22,
2
∇ ⋅ D = sen φ
G G
5 2 1 2 0 0 0
V^2
DdV sen d d dz
π
∫∫∫ ∇ ⋅^ =∫ ∫ ∫ φρ^ ρ φ
G G
5 2 1 2 0 0 0
V^2
DdV dz d sen d
π
∫∫∫ ∇ ⋅^ = ∫ ∫ ρ^ ρ^ ∫ φ
G G
[ ] (^) [ ]
2 2 (^5 ) (^0 ) 0
2 cos 2 2
z z V
DdV z
ρ φ π φ ρ
= = = = (^) = =
∫∫∫
G G
[ ] ( ) (^) ( ( ))
2 2 1 1 2 2
22,5 2 0 5 0 2cos 2cos 0 V^2 2
DdV π
⎡ ⎤ ∇⋅ = − − ⎡−^ − − ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∫∫∫
G G
[ ][ ][ ]
22, 5 2 2 V^2
∫∫∫∇⋅ D^ dV =
G G
225 V
∫∫∫ ∇ ⋅^^ DdV^ = C
G G
( )
10 0 , 2 1
3
Q = ⋅ ⋅ e e
Q C
12 9 , 438410
− = ⋅
Q = 9 , 4384 pC
4. As superfícies cilíndricas r = l, 2 e 3 cm
possuem densidades superficiais de carga uniformes
de 20, - 8 e 5 nC/m
2 , respectivamente, (a) Quanto
fluxo elétrico passa através da superfície fechada r = 5
cm, 0 < z < l m?
(b) Determine D em P (l cm, 2 cm, 3 cm).
5. Seja: 2 2 2 D = 4 xya ˆ x + 2 ( x + z ) a ˆ y + 4 yza ˆ zC m
G
Calcule as integrais de superfície para
determinar a carga total contida no paralelepípedo
retângulo 0 <. x : < 2. 0 < y < 3, 0 < z < 5 m.
Solução :
Observando a figura:
z Sxy 5
Sxz Syz 0 3 y 2
x
( ) ∫∫ ∫∫ ∫∫
= =
0 5
z
xy z
xy S
z S
z S
Qi D dS D a D a
G G G G
∫∫ ∫∫^ (^ )
= =
3 0
y
xz y
xz S
y S
D ay D a
G G
∫∫ ∫∫^ (^ )
= =
2 0
x
zy x
zy S
x S
D ax D a
G G
Q yz dydx yz dydx i (^) ∫ ∫ (^) z = ∫ ∫ z =
2
0
3
0
5
2
0
3
0
0
+∫ ∫ x + z dzdx −∫ ∫ x + z dzdx
2
0
5
0
2 2
2
0
5
0
2 2 2 ( ) 2 ( )
yx dzdy yx dzdy ∫ ∫ x^ =^ ∫ ∫ x =
3
0
5
0
0
3
0
5
0
Qi = − ∫ dx ∫ y dy
3
0
2
0
5
0
3
0
( )
5 0
3
0
(^32)
0
2
20 2 0 z
y y Qi ⎟
Qi = ⋅ +
Qi = 180 + 180
Qi = 360 C
6. Duas linhas de cargas uniformes de 20 nC/m cada estão localizadas em y = l., z = ± l m. Determine o fluxo elétrico total deixando a superfície da esfera de raio 2 m, se ela está centrada em: (a) A (3. l. 0); B (3, 2, 0). 7. Uma densidade volumétrica de carga está localizada no espaço livre com: r v e^
1000 2
− ρ = nC/m
3 para 0< r < l mm e rv =
O em qualquer outra parte, (a) Determine a carga total contida na superfície esférica r = l mm. (b) Usando a lei de Gauss, calcule o valor de D , na superfície r = l mm.
Solução :
(a) A carga total será dada por:
Q ρ dV Q ρ rsen θ drd φ d θ
V
i v v
i v
2 ∫∫∫ ∫∫∫
∫ ∫ ∫
− − = ⋅
π π θ θ φ
2
0 0
- 001
0
9 2 1000 Q 2 10 re dr sen d d
r i
[ θ ] [ ]π 0 φ^20 π
- 001
0
2 (^9 1000) cos 500000000
11000 500000 (^2 10) ⎥ − ⎦
⎤ ⎢ ⎣
⎡ ⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜ ⎝
⎛ (^) + + = ⋅ −^ − −
r r Qi e r
Q i = 2 ⋅ 10 −^91 , 606 ⋅ 10 −^102 ⋅ 2 π Qi = 40 , 36 ⋅ 10 −^19 C Qi = 4 , 036 ⋅ 10 −^9 nC (b) Usando a lei de Gauss:
i S
= (^) ∫ DS ⋅ dS = Q
G G
∫ ∫ Dr^ r sen θ d θ d φ= Q^ i
π π 2
2
0 0
2 4 r
Q
D (^) r i
( )
12 32
18 0 , 3211710 4 10
4 , (^03610) − −
− = ⋅
⋅
π
D r
13 2 Dr 3 , 211710 Cm
− = ⋅ 4 2 Dr 3 , 211710 nCm
− = ⋅
8. Duas linhas de cargas uniformes de 5 nC/m
estão localizadas no espaço livre em x = 1, y = 1 e z =
l.
(a) Obtenha a expressão para D^ em
coordenadas cartesianas em P(0, O, z);
(b) Esboce | D | versus z em -3< z < 10.
9. Uma densidade volumétrica de carga
uniforme de 80 mC/rn^3 está presente na região 8 mm <
r < 10 mm. Seja rv = 0 para 0 < r < 8 mm.
(a) Determine a carga total dentro da
superfície esférica r = 10 mm;
(b) Determine D , em r = 10 mm; (c) Se não
há carga para r > 10 mm, determine D , em r = 20 mm.
Solução :
(a) A carga total será dada por:
Q ρ dV Q ρ rsen θ drd φ d θ
V
i v v
i v
2 =∫∫∫ ⇒ = ∫∫∫
Q rsen θ drd φ d θ V
i
6 2 ∫∫∫ 8010
− = ⋅
φ θ θ
π π
Qi rdr d sen d ∫ ∫ ∫
− = ⋅ 0
2
0
- 01
0
6 2 8010
( )
π π
0
2 0
01
008
3 6 cos 3
− r Qi
3 3 6 ⋅
−
Qi π
80 10 1 , 6266710 4 π
6 7 = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
− − Q i
80 10 1 , 6266710 4 π
6 7 = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
− − Q i
Qi C
13 1635 , 30710
− = ⋅
Qi = 163 , 5307 pC
(b) D , em r = 10 mm
i S
= (^) ∫ DS ⋅ dS = Q
G G
∫ ∫ Dr^ rsen θ d θ d φ= Q^ i
π π 2
2
0 0
2
12
2 4 0 , 01
−
π r π
Q
D (^) r i
8 13 , 0110
− Dr = ⋅ 9 130 , 110
− Dr = ⋅
2 Dr = 130 , 1 nCm
10. Seja rs = 8 mC/m
2 na região onde x = 0, -4 < z < 4 m e rs = 0 em qualquer outra parte. Determine D em P(x, 0, z ), onde x > 0.
11. Em coordenadas cilíndricas, seja rs = 0 para
r < l mm, ρ v = 2 sen 2000 πρ(nC/m
3 ) para l mm < r
< l ,5 mm e rs = 0 para r > 1,5 mm. Determine D em toda parte.
Solução :
∇ ⋅ D = ρ V
G G
Em coordenadas cilíndricas:
( ) z
D D
D D
z
∂
ρ φ
ρ ρ ρ
φ ρ
G G 1 1
( ρ ) ( πρ)
ρ 2 2000
D = nsen ∂
( ρ ) ρ ( πρ)
D ρ (^) = 2 n sen 2000 ∂
( ρ D (^) ρ ) = 2 n ∫ρ sen ( 2000 πρ) d ρ
( ) ( ) C
sen D n +
− + = (^2) 4000000
2000 cos 2000 2000 2 π
πρ πρ πρ ρ (^) ρ
⎥ ⎦
⎤ ⎢ ⎣
⎡ = − + + C
n sen D π
πρ ρ πρ ρ π
ρ 2000
( 2000 ) cos( 2000 ) 2000
2
( )
[ πρ πρ πρ π] ρ (^) ρ π 2000 cos( 2000 ) ( 2000 ) 2000 2000
2 2 sen C
n D = − + +
[ (^2000) ( cos( 2000 )) ( 2000 )] 410
2 10 2 6
9 π ρ πρ πρ ρ (^) ρπ D C − + sen ⋅
⋅
−
[ 2 ( 10 10 cos( 2000 )) ( 2000 )] 2
(^10 ) 2
15 π ρ πρ πρ πρ
D ρ (^) = C − + sen
−
12. Uma densidade volumétrica de carga não - uniforme de rv = 120 r C/m^3 está situada dentro de uma superfície esférica de r = l m e rv = 0 em qualquer outra parte, (a) Determine D , em toda parte; (b) Qual densidade superficial de carga rs2 deve estar presente na superfície r= 2 m de modo que Dr’r= Drr’+? (c.) Esboce Dr versus r para 0 < r < 5 com ambas as distribuições presentes.
3 9 2 1 1
1
C m L
L
D ρ μ
ρ
− = −
3 9 2 1 1
1
D ρ μ C m
ρ
− = −
(c) Calculo de: D r em r = 0,8mm=8.10-4m
D ρ( ρ 1 = 8 mm )= 0
Pois não há carga interna a uma superfície
Gaussiana cilíndrica de raio r 1 = 0,8mm. A
distribuição de carga é nula para r 1 < 1mm.
D r em r = 1.6 mm
D r em r = 2.4 mm.
D dS Q S
∫∫ ⋅^ =
G G
( ( ) )( C )
L
D d dz
L
μ
π ρ φ
π
ρ
33 9
0
2
0
9 2 ( 8 1 ) 10 2 3
C m L
L
D μ
ρ
− = −
9 2 ( 8 1 ) 10 3
D μ C m
ρ
− = −
Substituindo: r = 2.4 mm=2.4.10-3m
9 2 3 (^81 )^10 3 2 , 4 10
D ρ μ C m
− − − ⋅ ⋅
6 2 D ρ 3. 8810 μ C m
− = ⋅
16. Dada a densidade de fluxo elétrico
D xyax xay zaz (C/m
2 3 = 2 ˆ + ˆ + 6
G
2 ) use a lei de
Gauss para calcular a carga total contida no volume 0
< x ,y,z < a ;
(b) Use Eq. 8 para determinar um valor
aproximado para a carga acima. Calcule as derivadas
em P ( a , a /2, a /2);
(c) Mostre que os resultados dos itens a e b são
equivalentes no limite a ö0.
17. Um cubo é definido por l < x,y,z < 1.2. Se
D 2 x ya ˆ x 3 x ya ˆ y (C/m
2 2 2 = +
G
(^2) ):
(a) aplique a lei de Gauss para determinar o
Fluxo total deixando a superfície fechada do cubo.
(b) calcule x
D
x
D
x
D (^) x y z
∂
no centro do
cubo.
(c) Estime a carga total contida dentro do cubo usando a Eq. 8.
Solução :
z
S
y
x
(a) Fluxo total no cubo de superfície S de superfícies S 1 , S 2 , S 3 , S 4 , S 5 e S 6 especificadas por:
dS dS dydz S x a a
S x a a
n x
n x 1 2 2
1
: 1. 2 ˆ ˆ
2
1
⎩
⎨
⎧ ⇔ = = = ⇒ =
= ⇒ =− dS dS dxdz S y a a
S y a a
n y
n y 3 4 4
3
: 1. 2 ˆ ˆ
: 1 ˆ ˆ
4
3
⎩
⎨
⎧ ⇔ = = = ⇒ =
= ⇒ =− dS dS dxdy S z a a
S z a a
n z
n z 5 6 6
5
: 1. 2 ˆ ˆ
: 1 ˆ ˆ
6
5
Escrevendo a integral fechada sobre a superfície S na soma de todas as 6 faces:
∫∫ ⋅^ =∫∫ ⋅^1 +∫∫ ⋅^2 +
2
2 1
1
D dS D a ˆ^ dS D a ˆ dS S
n S
n S
G G G G
3 4 5 5
5 4
4 3
3
D a ˆ dS D a ˆ dS D a ˆ dS
S
n S
n S
∫∫ ⋅^ n^ +∫∫ ⋅ +∫∫ ⋅
G G G
6 6
6
D a ˆ^ dS S
+ ∫∫ ⋅ n
G
Como: , ilustramos esse
campo vetorial na região abaixo:
D 2 x ya ˆ x 3 x ya ˆ y
2 2 2 = +
G
Fazemos os produtos escalares:
D an D ( ax ) x y
2 ˆ ˆ 2 1
G G
D an D ax x y
2 ˆ ˆ 2 2
G G
( )
2 2 ˆ ˆ 3 3
D ⋅ an = D ⋅− ay =− x y
G G
2 2 ˆ ˆ 3 4
D ⋅ an = D ⋅ ay = x y
G G
ˆ ( ˆ) 0 5
D ⋅ an = D ⋅− az =
G G
6
D ⋅ an = D ⋅ az =
G G
D dS ydydz y dydz S
∫∫ ⋅ =∫ ∫− ⋅ ⋅ + ∫ ∫ ⋅ ⋅
- 2
1
- 2
1
2
- 2
1
- 2
1
G G 212 21. 2
+∫ ∫ − ⋅ x ⋅ dxdz +∫ ∫+ x ⋅ dxdz
- 2
1
- 2
1
2 2
- 2
1
- 2
1
2 2 3 1 3 1. 2
∫∫ ⋅ =− ∫ ∫ + ∫ ∫
- 2
1
- 2
1
- 2
1
- 2
1
D dS 2 ydy dz 8 ydy dz S
G G
− ∫ ∫ + ∫ ∫
- 2
1
- 2
1
2
- 2
1
- 2
1
2 3 xdx dz 4. 32 xdx dz
2 1
2
1
2
2 1
2
1
2
2
- 44 2
2 z
y z
y D dS S
∫∫ ⋅ =− +^ ⋅
G G
2 1
2
1
3
2 1
2
1
3
3
- 32 3
3 z
x z
x − +
∫∫ ⋅ =−^ (^1.^22 −^12 )(^1.^2 −^1 )^ +^1.^44 (^1.^22 −^1 )(^1.^2 −^1 ) S
D dS
G G
( )(^ )^ ( 1. 2 1 )( 1. 2 1 ) 3
- 32
- 2 1 1. 2 1
3 3 3 3 − − − + − −
∫∫ ⋅ =^0.^44 (^0.^44 )(^0.^2 )^ +^0.^44 (^0.^728 )(^0.^2 ) S
D dS
G G
∫∫ ⋅ =−^0.^44 (^0.^44 )(^0.^2 )^ +^0.^44 (^0.^728 )(^0.^2 ) S
D dS
G G
( )( ) ( 1. 728 1 )( 0. 2 3
- 32 − 1. 728 − 10. 2 + − )
∫∫ ⋅ =^0.^44 (^0.^44 )(^0.^2 )^ +^0.^44 (^0.^728 )(^0.^2 ) S
D dS
G G
∫∫ ⋅ =^0.^03872 +^0.^064064 S
D dS
G G
2 D dS 0. 102784 C m S
∫∫ ⋅^ =
G G
(b) y
D
x
D
∇ ⋅ D =
x y ∂
G G ∂
( ) ( )
y
x y
x
x y D ∂
2 2 2 G G 2 3
2 2 ∇ ⋅ D = 4 xy + 6 x y
G G
( )
2 2 ∇ ⋅ D 1. 1 , 1. 1 , 1. 1 = 4 ⋅ 1. 1 ⋅ 1. 1 + 6 ⋅ 1. 11. 1
G G
∇ ⋅ D ( 1. 1 , 1. 1 , 1. 1 ) = 12. 826
G G
(c) Q V D V
Q
D (^) v
G G G G
Q 0. 2 12. 826 Q 0. 1026 C
3 = ⋅ ⇒ =
18. Seja um campo vetorial dado por
G 5 x y za ˆ y
4 4 4
G
.Calcule ambos os lados da Eq. 8 para
este campo G o volume definido por x = 3 e 3,1, y = 1 e 1,1 e z = 2 e 2.1. Calcule as derivadas parciais no centro do volume.
19. Uma superfície esférica de raio 3 mm está centrada em P (4, l, 5) no espaço livre. Seja
D = xa ˆ x
G
C/m
2
. Use os resultados da Seção 3.4 para
estimar o fluxo elétrico líquido que deixa a superfície esférica.
