Download Engineering Mathematics Summary: Key Formulas & Problem Solving Guide and more Exams Engineering Mathematics in PDF only on Docsity!
4
3
B2 : 𝑦 2 = 𝑦1.
− ∫ 𝑝
( 𝑥
) 𝑑𝑥
Đưa về phương trình đặc trưng : 𝑦
′′
2
′
= 𝑚 ; 𝑦 𝑙à 1
𝑛ế𝑢 𝑐ó 𝑦
′′′
𝑡ℎì 𝑏ằ𝑛𝑔 𝑚
3
𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑟𝑖ê𝑛𝑔 𝑐ủ𝑎 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ 𝑐ó 𝑑ạ𝑛𝑔 𝒚 = 𝒆
𝒎𝒙
CÁC DẠNG BÀI TẬP CỦA LẦN KT THỨ 2
B1: 𝒕í𝒏𝒉 𝒆
− ∫
𝒑(𝒙)𝒅𝒙
B2: 𝒚𝟐 = 𝒚𝟏.
𝒆
− ∫ 𝒑
( 𝒙
) 𝒅𝒙
𝒚𝟏
𝟐
Nghiệm y c
= c 1
y 1
+ c 2
y 2
Vd: 𝒙
𝟐
′′
′
𝟐
Đầu tiên chia 2 vế cho x
2
để hệ số của y’’ là 1
′′ − 𝑦
′
𝑥
4
𝑥
2
B1 : P(x) = −
3
𝑥
3
𝑥
− ∫
𝑝(𝑥)𝑑𝑥
3 𝑙𝑛𝑥
(𝑙𝑛𝑥)
3
3
2
𝑥
3
2
𝑥
1
2
𝑥
𝑉ậ𝑦 𝑦 1 = 𝑥
2
2
2
2
Chú ý dạng 2 khác dạng 1: ở dạng 1 đi kèm với y’ là 1 hàm theo x còn dạng 2 là hệ
số.
1 2 2
1
1
Các trường hợp khi tìm ra nghiệm của m
Th1: 2 nghiệm phân biệt m1 ≠ 𝒎𝟐
=> y
1
= e
m x
và y = e
m x
=> y c
= c 1
y 1
y 2
Vd: nếu giải ra 2 giá trị của m là m=2 và m=
=> y1 = 𝑒
2 𝑥
y2= 𝑒
4 𝑥
=> y c
= c
1
e
2x
+c
2
e
4x
Th2: giải ra m là nghiệm kép ( nghiệm bội 2 ) m 1
= m 2
y 1
= e
m x
y 2
= xy 1
Nếu có 3 giá trị m bằng nhau m 1
= m 2
= m 3
y 1
= e
m x
y 2
= xy 1
y 3
= xy 2
= x
2
y 1
Tương tự cho nghiệm bội 4, bội 5 …. (không có đâu yên tâm)
Vd: giải ra m 1 = m 2 = 5
=> y 1 = 𝑒
5 𝑥
y 2 = 𝑥𝑒
5 𝑥
Nếu m 1
= m 2
= m 3
=> y 1
5 𝑥
y 2
5 𝑥
y 3
2
5 𝑥
Th3: Nghiệm phức m1 = 𝜶 + 𝒊𝜷
m2 = 𝜶 − 𝒊𝜷
y 1
𝛼𝑥
cos
và y 2
𝛼𝑥
sin
𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑡ổ𝑛𝑔 𝑞𝑢á𝑡 𝑐ủ𝑎 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ: y c
= c 1
y 1
y 2
Giải bằng phương pháp hệ số bất định
B1 : giải 𝑦
′′
′
- 𝑐𝑦 = 0 để 𝑡ì𝑚 𝑟𝑎 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑦 c
B2 : tìm nghiệm y p
tương ứng với dạng của f(x)
Rồi đạo hàm ra để thay lại vào pt ban đầu 𝑦
′′
′
Đạo hàm 2 lần gồm y’ và y’’ xong thay lại để tìm ra các hệ số A B của y p
Y = y c
Vd: 𝒚
′′
′
𝟐
B1: 𝑦
′′
′
2
𝑚 = − 2 + √ 6 v 𝑚 = − 2 − √ 6
Y
c
= c 1
(−2−√6)𝑥
(−2+√6)𝑥
B2: yp = 𝑎𝑥
2
- 𝑏𝑥 + 𝑐 là nghiệm của pt (1)
y’p = 2ax + b
y’’p = 2a
′
𝑣à 𝑦
′′
𝑣à𝑜 ( 1 ) 𝑡𝑎 𝑐ó:
2
2
2
2
2
2
5
2
Y
p
5
2
Y = y + y
= c 𝑒
(−2−√6)𝑥
(−2+√6)𝑥 2
5
c p 1
2
2
Giải bằng phương pháp biến thiên hằng số đối với dạng 3
′′
′
- 𝑐𝑦 = 𝒇(𝒙) 𝒗ớ𝒊 𝒃, 𝒄 𝒍à 𝒉ệ 𝒔ố 𝒗à 𝒉ệ 𝒔ố 𝒄ủ𝒂 𝒚
′′
𝒍à 𝟏
B1 : giải 𝑦
′′
′
- 𝑐𝑦 = 0 để 𝑡ì𝑚 𝑟𝑎 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑦 c
B2 : y p
= u 1
y 1
y 2
𝑊
1
−𝑦
2 𝑓(𝑥) 𝑢 = ∫
1
𝑊 𝑊
1 1
𝑊
2
𝑦
1 𝑓(𝑥)
2
𝑊 𝑊
2 2
1
2
2
1
1
2
1
2
2
1
Vd: 𝒚
′′
′
𝟐𝒙
B1 : 𝑦
′′
′
2
𝑚 = 2 (𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑘é𝑝)
𝑐
1
2 𝑥
2
2 𝑥
B2 : 𝑦
𝑝
1
2 𝑥
2
2 𝑥
𝑡í𝑛ℎ 𝑊
1
2
2 𝑥
2 𝑥
4 𝑥
1
2
1 2 1 2
2 𝑥
2 𝑥
2 𝑥
𝑚 = − 1 ℎ𝑜ặ𝑐 𝑚 = 4 ( 2 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑘ℎá𝑐 𝑛ℎ𝑎𝑢)𝑇ℎ 1
1
− 1
𝑣à 𝑦
2
4
𝑐
1
− 1
2
4
𝟐
′′
′
2
1
2
1
−
(𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑘é𝑝)𝑇ℎ 2
1
−
1
2
𝑣à 𝑦
2
= ln(𝑥) 𝑥
2
𝑐
1
1 1
2
2
ln(𝑥) 𝑥
−
2
𝒄) 𝒗𝒅 𝒏ế𝒖 𝒈𝒊ả𝒊 𝒓𝒂 𝒏𝒈𝒉𝒊ệ𝒎 𝒑𝒉ứ𝒄 𝒎 = ±𝒊 𝒕ứ𝒄 𝒍à 𝜶 = 𝟎 𝒗à 𝜷 = 𝟏
1
𝛼
1
0
2
𝛼
2
0
𝑐
1
cos(ln(𝑥)) + 𝑐
2
sin(ln(𝑥))
B1: 𝑲𝒉ử 𝒙 để 𝒕ì𝒎 𝒚 𝒉𝒐ặ𝒄 𝒌𝒉ử 𝒚 để 𝒕ì𝒎 𝒙
B2: 𝒕𝒉𝒂𝒚 𝒏𝒈ượ𝒄 𝒍ạ𝒊 để 𝒕ì𝒎 𝒈𝒊á 𝒕𝒓ị 𝒄ò𝒏 𝒍ạ𝒊.
𝐶ℎú ý: 𝑥
′
𝑐ó 𝑡ℎể 𝑣𝑖ế𝑡 𝑑ướ𝑖 𝑑ạ𝑛𝑔 𝐷𝑥
′′
2
′
= 𝐷 2 = 0 𝑡ươ𝑛𝑔 𝑡ự 𝑐ℎ𝑜 𝑦
′
= 𝐷𝑦 𝑣à 𝑦
′′
2
′
′′
𝟐
Vd: {
′
′
𝑐ℎ𝑢𝑦ể𝑛 𝑣ề 𝑑ạ𝑛𝑔 𝑣𝑖ế𝑡 đạ𝑜 ℎà𝑚 𝑡ℎ𝑒𝑜 𝐷
2
2
𝐺𝑜𝑚 𝑥 𝑣à 𝑦 𝑙ạ𝑖 𝑣ớ𝑖 𝑛ℎ𝑎𝑢
−
2
2
𝐾ℎử 𝑦 để 𝑡ì𝑚 𝑥 ( 𝑚ộ𝑡 𝑚ẹ𝑜 𝑛ℎỏ đó 𝑙à đạ𝑜 ℎà𝑚 𝑐ủ𝑎 𝑐á𝑖 𝑛à𝑜 𝑐ó 𝑏ậ𝑐 2,3 𝑡ℎì ư𝑢
𝑡𝑖ê𝑛 𝑘ℎử để 𝑣ề 𝑠𝑎𝑢 𝑙à𝑚 𝑛ℎẹ ℎơ𝑛. 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 𝑏à𝑖 𝑛à𝑦 𝑦 𝑐ó 𝐷
2
𝑛ê𝑛 ư𝑢 𝑡𝑖ê𝑛 𝑘ℎử 𝑦).
𝑛ℎâ𝑛 ở 𝑑ướ𝑖 𝑐ả 2 𝑣ế 𝑐ℎ𝑜 𝐷 để 𝑥𝑢ấ𝑡 ℎ𝑖ệ𝑛 𝐷
2
𝑦 𝑟ồ𝑖 𝑙ấ𝑦 𝑡𝑟ê𝑛 𝑡𝑟ừ 𝑑ướ𝑖.
2
2
2
2
2
2
2
2
𝑡ớ𝑖 đâ𝑦 đư𝑎 𝐷𝑥 𝑣ề 𝑙ạ𝑖 𝑑ạ𝑛𝑔 𝑥
′
′′
2
(𝑑ạ𝑛𝑔 3 ) (2)
′′
2
𝑚 = ±2𝑖 (𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑘é𝑝)
𝑐
1
cos
2
sin
B2: 𝑥
𝑝
2
′
𝑝
′′
𝑝
𝑡ℎ𝑎𝑦 𝑣à𝑜
𝑡𝑎 𝑐ó ∶ 2 𝑎 − 4
2
2
2
2
2
2
1
4
1
8
Á𝑝 𝑑ụ𝑛𝑔 𝑙𝑎𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒 để 𝑔𝑖ả𝑖 𝑡𝑜á𝑛 𝑔𝑖á 𝑡𝑟ị đầ𝑢
′
′
} + 3 𝐿{𝑦} = 13 𝐿{sin( 2 𝑡)}
2
𝑠
2
26
𝑠
2
26
(𝑠
2
+4)(𝑠+3)
6
𝑠+
𝑇í𝑛ℎ 𝑙𝑎𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒 𝑛𝑔ượ𝑐 𝑐ủ𝑎 𝑌
để 𝑡ì𝑚 đượ𝑐 𝑝𝑡 𝑦
𝑛ℎì𝑛 𝑙ạ𝑖 𝑝ℎầ𝑛 𝑐ô𝑛𝑔 𝑡ℎứ𝑐 𝑡ổ𝑛𝑔 𝑞𝑢á𝑡 𝑐ủ𝑎 𝐿𝑎𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒 để ℎ𝑖ể𝑢 𝑡ạ𝑖 𝑠𝑎𝑜.
𝑝ℎâ𝑛 𝑡í𝑐ℎ 𝑐ụ𝑚
26
(𝑠
2
+4)(𝑠+3)
𝑐ℎ𝑜 𝑛ó 𝑡á𝑐ℎ 𝑟𝑎 𝑡ℎà𝑛ℎ 2 𝑝ℎầ𝑛 để 𝑐ó 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 𝑏ả𝑛𝑔 𝑐ô𝑛𝑔 𝑡ℎứ𝑐
𝑡𝑟ướ𝑐 𝑘ℎ𝑖 𝑝ℎâ𝑛 𝑡í𝑐ℎ 𝑝ℎả𝑖 đả𝑚 𝑏ả𝑜 𝑚ẫ𝑢 𝑐ℎỉ 𝑡𝑜à𝑛 𝑙à 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑘ℎô𝑛𝑔 𝑡ℎể 𝑐ℎứ𝑎 𝑝𝑡
26
𝑎𝑠+𝑏
𝑐
( 𝑠
2
)( 𝑠+
) 𝑠
2
+4 𝑠+
2
2
2
2
26
− 2 𝑠+
2
(𝑠
2
+4)(𝑠+3) 𝑠
2
+4 𝑠+
𝑉ậ𝑦 𝑌
− 2 𝑠+
2
6
𝑠
2
+4 𝑠+3 𝑠+
𝑇í𝑛ℎ 𝐿𝑎𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒 𝑛𝑔ượ𝑐 𝑐ủ𝑎 𝑌
để 𝑡ì𝑚 𝑦
− 1
− 1
− 2 𝑠+
2
6
𝑠
2
+4 𝑠+3 𝑠+
−𝒂𝒔
𝑐ℎỉ 𝑐ầ𝑛 𝑡í𝑛ℎ 𝐿
𝑏ằ𝑛𝑔 𝑡 𝐿
20
−𝟓𝒔
𝟐𝟎
𝒔
𝟐
!!! Chú ý: 𝑳{𝒂. 𝒃} ≠ 𝑳{𝒂}. 𝑳{𝒃}
−𝒂𝒔
− 5 𝑠
− 5 𝑠
− 5 𝑠
20
− 5 𝑠
100
𝒆
−𝒂𝒔
𝒔
Vd: 𝑇í𝑛ℎ 𝐿𝑎𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒 𝑐ủ𝑎 𝑓
𝑙ấ𝑦 𝑙𝑎𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒 2 𝑣ế 𝑡𝑎 đượ𝑐:
𝐿{𝑓(𝑡)} = 𝐿{ 20 𝑡} − 𝐿{ 20 𝑡𝑈(𝑡 − 5 )} (khung ở trên đã giải)
20
− 5 𝑠
20
− 5 𝑠
100
𝑠
2
𝑠
2
𝑠
2
𝑡
2
𝑡
2
1
𝑠
3
𝑠− 1
2
− 1
𝐹
( 𝑠
)
𝑡
𝑠 0
− 1
1
1
− 1
𝑠
2
𝑡
sin(𝑢) 𝑑𝑢 = 1 − cos(𝑡)
𝑠(𝑠
2
+1) 𝑠
0
𝑪á𝒄 𝒄ô𝒏𝒈 𝒕𝒉ứ𝒄 𝒃𝒊ế𝒏 đổ𝒊 𝑳𝒂𝒑𝒍𝒂𝒄𝒆
𝒂𝒕
𝐶ℎỉ 𝑡í𝑛ℎ 𝐿𝑎𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒 𝑐ủ𝑎 𝑓(𝑡) 𝑙à 𝑟𝑎 𝐹(𝑠)𝑟ồ𝑖 𝑡ℎ𝑎𝑦 𝑠 = 𝑠 − 𝑎
−𝟐𝒕
cos
𝑠
𝑠
2
− 2 𝑡
cos
𝑠+
(𝑠+2)
2
−𝟏
𝒂𝒕
Đư𝑎 𝑏𝑖ể𝑢 𝑡ℎứ𝑐 𝑣ề 𝑐ó 𝑑ạ𝑛𝑔 𝑠 − 𝑎 𝑟ồ𝑖 𝑡ℎ𝑎𝑦 𝑛𝑔𝑢𝑦ê𝑛 𝑐ụ𝑚 𝑏ằ𝑛𝑔 𝑠 𝑥𝑜𝑛𝑔 𝑟𝑎 𝑘ế𝑡
quả 𝑟ồ𝑖 𝑛ℎâ𝑛 𝑣ớ𝑖 𝑒
𝑎𝑡
−𝟏
𝒔+𝟐
( 𝒔+𝟐
)
𝟐
+𝟗
} = 𝒕𝒉𝒂𝒚 𝒄ụ𝒎 𝒔 + 𝟐 𝒕𝒉à𝒏𝒉 𝒔 𝒗ớ𝒊 𝒂 = −𝟐
− 1
𝑠
𝑠
2
} = cos
− 1
𝑠+
− 2 𝑡
cos
( 𝑠+
)
(𝒏)
(𝒏)
𝒏
𝒄𝒉ỉ 𝒄ầ𝒏 𝒕í𝒏𝒉 𝑳
𝒓ồ𝒊 𝒕𝒉𝒂𝒚 𝒄. 𝒕𝒉ứ𝒄
𝑛
𝑙à 𝑠𝑎𝑢 𝑘ℎ𝑖 𝑡í𝑛ℎ 𝑟𝑎 𝐹
𝑡ℎì đạ𝑜 ℎà𝑚 𝑛 lần
𝒗𝒅: 𝑳{𝒕𝒔𝒊𝒏(𝟐𝒕)} 𝒗ớ𝒊 𝒇(𝒕) = 𝐬𝐢𝐧 (𝟐𝒕)
𝐿{sin( 2 𝑡)} =
2
𝑠
2
