Équations différentielles, Cheat Sheet of Mathematics

Une équation différentielle (ED) est une équation dont l'inconnue est une fonction (notée y(x)), et qui relie cette fonction à ses propres dérivées (y', y'', etc.). Elle sert à modéliser des systèmes en évolution constante (physique, biologie, économie). ​Classification rapide ​L'ordre : Déterminé par la dérivée la plus élevée (y' = ordre 1, y'' = ordre 2). ​Le second membre : Si l'équation est égale à 0, elle est dite homogène. ​Modèles incontournables (coefficients constants) ​Ordre 1 (y' + ay = 0) : Modélise une décroissance ou charge (ex. circuit RC). ​Solution : y(x) = C \cdot e^{-ax} ​Ordre 2 (y'' + \omega^2 y = 0) : Modélise une oscillation pure (ex. pendule). ​Solution : y(x) = A\cos(\omega x) + B\sin(\omega x) ​Résolution générale ​Pour une équation complète (avec un second membre), la solution totale est toujours la somme : Solution Homogène + Solution Particulière.