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Departamento de Automatización y Control Industrial Análisis de Circuitos Eléctricos II
Circuitos Trifásicos: magnitudes OECA - 2005 pág. 1
1.- Una fuente 3 φ simétrica de secuencia negativa, tiene un voltaje entre líneas
| | 200 [ ]
__
V L = V y alimenta a una carga 3 φ en Y sin neutro, cuyas impedancias son
Z 1 (^) = 10 [Ω ], Z 2 (^) = − j 5 [Ω]y Z 3 (^) = j 10 [Ω]. Determine las corrientes y los voltajes de fase.
El circuito correspondiente, viene dado por:
donde: ( 10 − j 5 ) Ia + j 5 Ib = 200 ∠ 0 °
j 5 Ia + j 5 Ib = 200 ∠ 120 °
resolviendo el sistema anterior, se tiene que:
I (^) a = 24. 49 ∠ 15 °= 23. 66 + j 6. 34
I (^) b = 17. 53 ∠ 51. 2 °= 10. 98 + j 13. 66
por lo tanto: I 1 ≡ Ia = 24. 49 ∠ 15 °[ A ]
I 2 = Ib − Ia =− 12. 68 + j 7. 32 = 14. 64 ∠ 150 º[ A ]
I (^) 3 =− Ib = 17. 53 ∠− 128. 8 º[ A ]
entonces: V (^) 1 = Z 1 I 1 = 10 * 24. 49 ∠ 15 °= 244. 9 ∠ 15 º[ V ]
V (^) 2 = Z 2 I 2 =− j 5 * 14. 64 ∠ 150 °= 73. 2 ∠ 60 º [ V ]
V (^) 3 = Z 3 I 3 = j 10 * 17. 53 ∠− 128. 8 °= 175. 3 ∠− 38. 8 º [ V ]
1
2
3
I 1
I 2
I 3
10
Ia -j5 j
I b
V 1
V 2 V 3
O
Departamento de Automatización y Control Industrial Análisis de Circuitos Eléctricos II
Circuitos Trifásicos: magnitudes OECA - 2005 pág. 2
2.- Obtenga el valor que marca el voltímetro ideal, si Z (^) 1 = 3 [Ω] y Z (^) 3 = j 4 [Ω]. La fuente
3 φ simétrica es de secuencia negativa y tiene un voltaje entre líneas | | 200 [ ]
__ V (^) L = V.
La lectura del voltímetro viene dada por: | V 20 |
donde: V (^) 10 = Z 1 ⋅ I 1 , I 2 = 0 ⇒ V 20 (^) = V 10 − V 12
además: V 12 = 200 ∠ 0 º
31
23
= ∠ −
V
V
por lo tanto: 40 6. 9 º 3 4
1 3
13 1 3 = ∠
Z Z j
V
I I
V 10 = 3 * 40 ∠ 6. 9 º= 120 ∠ 6. 9 º
por tanto: V 20 = 120 ∠ 6. 9 º− 200 ∠ 0 º=− 80. 86 + j 14. 35 = 82. 13 ∠ 169. 9 º
entonces, la lectura del voltímetro es: 82.13 [V]
3.- Encuentre el valor de la impedancia Z Y de la carga 3 φ en Y y el valor de los voltajes
V (^) ab Vbc V ca
, ,. La fuente 3 φ es simétrica con un voltaje entre líneas | | 200 [ ]
__ V (^) L = V y una
corriente de línea | | 10 [ ]
__ I L = A , cada línea tiene una impedancia Z (^) L = j 10 [Ω].
°
°
° Z 1
o
Z 3
V
Z 2 →∞ [Ω]
I 1
I 2
I 3
1
2
3
I 1
I 2
I 3
V 12
V 23
V 31
I 1
I 2
I 3
1
2
3
Carga 3Ø simétrica en Y
ZY
Z L °
Z L °
Z L °
a
b
c
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Circuitos Trifásicos: magnitudes OECA - 2005 pág. 4
a) mediante el método de variables de corriente (mallas), se tiene:
donde:
31
23
12
V
V
V
entonces:
∠ −
∠
=
− −
− + −
−
0
200 120 º
200 0 º
2 1 2 1
1 5
7
5
6
5
2
2 5
2
5
4
c
b
a
I
I
I
j j j
j j j
j j j
cuya solución, viene dada por:
I j
I j
I j
c
b
a
por tanto:
2 *( ) 158. 12 71. 6 [ ]
1 *( ) 2. 83 47. 17 47. 25 93. 4 [ ]
2 *( ) 102. 82 47. 18 113. 13 114. 6 [ ]
V I V
V j I I j V
V j I I j V
ca c
bc b c
ab a c
b) mediante transformación ∆ − Y , se tiene:
°
°
°
a
b
c
Za
ZC
Zb
o
j12/
j2/
6/
I 1
I 2
I 3
1
2
3
°
°
°
a
b
c
j12/
j2/
6/
1
2
3
2
j
I a
I b
I c
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Circuitos Trifásicos: magnitudes OECA - 2005 pág. 5
donde:
=− + = ∠ ° −
= −
=
= + = ∠ ° −
−
= − = ∠− ° − +
−
- 89 116. 6 5
4
5
2
2 1
2
2 1
2 ( 1 )
- 89 26. 6 5
2
5
4
2 1
( 1 )( 2 )
- 79 63. 4 5
8
5
4
2 2 1
2 ( 2 )
j j
j
j
j Z
j j
j j Z
j j j
j Z
c
b
a
entonces:
por tanto:
⇒ = + = ∠ °
= + = +
= + = +
= + = +
- 13 45 5
4
5
4
5
4
5
4
5
6
5
4
5
4
5
2
5
4
5
4
5
12
3
2
1
Z j
Z Z j
Z j Z j
Z j Z j
Y
c
b
a
además: 102. 06
- 13
Y
f L Z
V
I I I I
así:
06 ( 90 45 ) 102. 06 45 [ ]
06 ( 150 45 ) 102. 06 165 [ ]
06 ( 30 45 ) 102. 06 75 [ ]
3
30 3
2
20 2
1
10 1
A Z
V I
A Z
V I
A Z
V I
= = ∠ °− ° = ∠ °
= = ∠− °− ° = ∠ °
= = ∠− °− ° = ∠− °
por lo que:
V ab = ZaI 1 − ZbI 2 =− 47. 65 − j 103. 03 = 113. 52 ∠− 114. 8 °[ V ]
V (^) bc = ZbI 2 − ZcI 3 =− 2. 78 − j 46. 93 = 47. 01 ∠− 93. 4 °[ V ]
V (^) ca = ZcI 3 − ZaI 1 = 50. 43 + j 149. 96 = 158. 21 ∠ 71. 4 °[ V ]
°
°
° Z 1
Z 3
Z 2
O
I 1
I 2
I 3
1
2
3
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Circuitos Trifásicos: potencias OECA - 2005 pág. 7
donde:
= ∠− °
= ∠ °
= ∠ °= ∠ °
120 3
200
120 3
200
0 115. 5 0 3
200
3
2
1
N
N
N
V
V
V
los triángulos de potencias, vienen dados por:
[ ]
[ ] I [ A ]
Sen
V en
Q
I
Z Q fp atraso
N
1 A 1 30
S ( 30 )
: 57.74VAR, 0. 866 (30)
1 1
1 1
1 1 1
[ A ]
V
Z I
N = ∠ °
2 2 2
[ ]
- 43 [ ] 0. 43 75 [ A]
C
3 (^33)
3 3
3 3 3
A I
V os
P
I
Z P W fp adelanto
N^ φ
entonces, el triángulo de potencias totales, está dado por:
[ ]
[ ]
fp Cos tg Cos ( ) atraso
Q Q Q Q VARind
P P P P W
1 3
3 1 2 3
3 1 2 3
= °^ =
− φ
φ
φ
7.- La fuente 3 φ simétrica de secuencia negativa, tiene un voltaje 200 [ ]
__ VL = V. Encuentre la
potencia activa, reactiva y el factor de potencia de la fuente 3 φ. Donde Z 0 = 3 − j 4 [Ω];
carga 3 φ simétrica S 3 φ = 500 [ VA ]y fp 3 φ = 0. 6 atraso.
1
2
3
ZO
CARGA TRIFÁSICA SIMÉTRICA
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Circuitos Trifásicos: potencias OECA - 2005 pág. 8
Donde: Z 0 = 3 − j 4 = 5 ∠− 53. 13 °[Ω]
por tanto: 40 [ ] 5
0
0 A
Z
V
I
L = = =
( 40 ) * 4 6400 [ ].
( 40 ) * 3 4800 [ ]
2 0
2 0 0
2 0
2 0 0
Q I X VAR cap
P I R W
= = =
= = =
carga 3 φ : S 3 φ = 500 [ VA ], fp 3 φ= 0. 6 atraso → φ 3 φ= 53. 13 °
P 3 (^) φ= 300 [ W ], Q 3 φ= 400 [ W ] ind.
fuente 3 φ : P 3 φ f = P 0 + P 3 φ= 4800 + 300 = 5100 [ W ]
Q 3 (^) φ f = Q 0 + Q 3 φ= 6400 − 400 = 6000 [ VAR ] cap.
Cos adelanto P
Q
fp Cos tg f
f f (^49.^63 )^0.^6476 3
1 3 3 = ° =
−
φ
φ φ
8.- Calcule el voltaje de línea en la fuente 3 φ simétrica de secuencia negativa, si el voltaje de
línea a los terminales de la carga 3 φ simétrica es | | 200 [ ]
__ V (^) L = V , además Z (^) L = 10 [Ω].
Puesto que: V (^) ab = Vbc = Vca = 200 [ V ] sec(−), ZL = 10 [Ω ]
carga 3 φ simétrica: Q 3 φ= 10 [ KVAR ] , fp 3 φ= 0. 707 adelanto → φ 3 φ= 45 º
considerando 1/3 del circuito, se tiene:
I 1
I 2
I 3
1
2
3
Carga 3Ø simétrica en ∆
Q 3Ø=10[KVAR] fp 3Ø=0.707 adelanto
Z L °
Z L °
Z L °
a
b
c
°
°
I 1 Z L
Z Y
a
o
1
N
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Circuitos Trifásicos: mediciones OECA - 2005 pág. 10
por tanto:
200 * 50 * ( 60 ( 30 )) 0 [ ]
200 * 66. 67 * ( 0 ) 13334 [ ]
32 3
12 1
3 32 3 ,
(^1121) ,
W V I Cos Cos W
W V I Cos Cos W
V I
V I
= = °− − ° =
además: I (^) 2 =−( I 1 + I 3 )=−( 109. 97 − j 25 )= 112. 77 ∠ 167. 2 °[ A ]
entonces, la lectura del amperímetro es: I (^) 2 = 112. 77 [ A ]
10.- Obtenga el valor de Z ∆ de la carga 3 φ simétrica en ∆, si la fuente 3 φ simétrica de
secuencia positiva tiene un voltaje de línea | | 200 [ ]
__ V (^) L = V y los elementos vatimétricos
marcan respectivamente W 1 (^) = − 200 [ W ], W 2 = 800 [ W ]. Además Z (^) L = − j 10 [Ω].
Siendo el circuito completamente simétrico, el análisis se reduce a 1/3, esto es:
donde:
[ ]
( ) [ ]
tg Zeq P
Q
tg
Q W W VAR cap
P W W W
φ
φ φ
φ
φ
− −
- 89 º 600
1
3
1 3 3
3 1 2
3 1 2
entonces: [ A ] V Cos Cos
P
I I
L
L^5.^29
3 1 = −
φ
φ
φ
°
°
°
I 1
I 2
I 3
1
2
3
W 1
W 2
Carga 3Ø simétrica en ∆
Z∆
Z L
Z L
Z L
°
°
I 1 Z L
Z ∆/ 3
o
1
N
I 1
Z eq
°
° o
1
N
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Circuitos Trifásicos: mediciones OECA - 2005 pág. 11
por tanto: = = = 21. 82 [Ω ]
- 29
1
1
I
V
Z
N eq
finalmente:
Z
Z (^) eq ZL
así: Z ∆ = 3 ( 21. 82 ∠− 70. 89 º+ j 10 )= 38. 4 ∠− 56 º[Ω]
11.- Una carga 3 φ simétrica en Y , viene dada por Q 3 φ = 400 [ VAR ], fp 3 φ= 0. 5 atraso ; se
conecta a una fuente 3 φ simétrica de secuencia negativa con voltaje de línea
| | 200 [ ]
__ V (^) L = V , a través de líneas de impedancias Z (^) L. Encuentre el valor de la
impedancia de la carga 3 φ y de la impedancia de cada línea, si los vatímetros miden
W 2 (^) = − 200 [ W ]y W 3 (^) = 800 [ W ].
Fuente 3 φ : P 3 φ f = W 2 + W 3 =- 200 + 800 = 600 [W]
Q 3 (^) φ f = 3 ( W 3 − W 2 ) = 3 ( 800 −( − 200 )) = 1000 3 [ VAR ] ind.
carga 3 φ : Q 3 φ = 400 [ VAR ] ind ., fp 3 φ= 0. 5 → φ 3 φ= 60 °
231 [ ]
3 3 W tg tg
Q
P =
φ
φ φ
líneas: P 3 (^) φ L = P 3 φ f − P 3 φ= 600 − 231 = 369 [ W ]
Q 3 (^) φ L = Q 3 φ f − Q 3 φ= 1000 3 − 400 = 1332 [ VAR ] ind.
°
°
°
I 1
I 2
I 3
1
2
3
W 2
W (^3) +
Carga 3Ø simétrica en Y
Q 3Ø=400 [VAR] fp 3Ø=0.5 atraso
Z L
Z L
Z L
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Circuitos Trifásicos: mediciones OECA - 2005 pág. 13
12.- Una fuente 3 φ simétrica de secuencia positiva tiene un voltaje entre líneas
| V L |= 200 [ V ] y se conecta a dos cargas 3 φ simétricas. Carga #1: P 3 φ = 400 [ W ],
fp 3 (^) φ = 0. 5 atraso ; Carga #2: Q 3 (^) φ = 300 [ VAR ], fp (^) 3 φ = 0. 707 adelanto. Calcule el valor
de la lectura de cada uno de los vatímetros.
Los triángulos de potencias de las cargas 3 φ , vienen dados por:
Carga # 1: P 3 φ= 400 [ W ], fp 3 φ= 0. 5 atraso → 60 º
Q 3 (^) φ= P 3 φ tg ( 60 º)= 692. 82 [ VAR ] ind.
Carga # 2 : Q 3 φ= 300 [ VAR ], fp 3 φ= 0. 707 adelanto → 45 º
P 3 (^) φ= 300 [ W ]
Carga 3 φ total: P 3 φ t = 400 + 300 = 700 [ W ]
Q 3 (^) φ t = 695. 82 − 300 = 392. 82 [ VAR ] ind.
entonces:
( ) 226. 8 3
3 3 1 3 1
3Ø 3 1 3 1
Q W W W W
P W W W W
φ
resolviendo las expresiones anteriores, se tiene:
W 1 = 236. 6 [ W ]
W 3 = 463. 4 [ W ]
°
°
°
I 1
I 2
I 3
1
2
3
W 1
W 3
Carga 3Ø simétrica
1
Carga 3Ø simétrica
2
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Condiciones Iniciales OECA - 2005 pág. 14
13.- Determine los valores de corriente i ( (^0) +) y la derivada del voltaje dt 0 +
dv , si en t = 0 , se
cierra el interruptor.
Análisis en t = (^0) −:
donde:
LVK : 8 = 2 iL ( 0 −) + vL ( 0 −)+ 6 iC ( 0 −)+ vC ( 0 −)= 2 iL ( 0 −)+ vC ( 0 − )
( 0 )
( 0 ) ( 0 ) ( 0 )
( 0 ) ( 0 )
2 2
− − −
− −
= L
C C L
C C i
v i i
i v LCK
entonces: 28 = 2 vC (^) ( 0 −) ⇒ vC ( 0 −)= 14 [V ]
[ A ]
v iL 3 2
C( 0 ) ( 0 )=^ − = − =−
− −
análisis en t = (^0) +:
donde:
i (^) L ( 0 +) = iL ( 0 −)=-3 [A]≡ i ( 0 + )
vC ( 0 + )= v C( 0 −)= 14 [ V]
2/
2
6
1/
v C(0-)
i L(0-)
2
2/
8
i L(0+)
6
1 /
v C(0+)
i C(0+)
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además: dt
di
dt
dv v i
C 10 = C + 2 ⇒ 0 = + 2
entonces:
[ As ]
v i
i
C
i
dt
dv
dt
di
C
C C
( 0 ) ( 0 )
( 0 ) ( 0 )
0 0
15.- Encuentre los valores de i ( (^0) +)y dt (^0) +
di , si cada uno de los interruptores actúa en el
instante señalado.
Análisis en t = 0 −: v C ( 0 −)= 0 [ V ] , iL ( 0 −)= 0 [ A ]
análisis en t = 0 :
donde: iC t Vo tdt [ V ]
−
0
0
( 0 )^10 ()^10
además: vL ( 0 )= 0 ⇒ I 0 = 0 [ A ]
(^1 )
1
1
t = 0+ t = 0-^ i (t)
10 δ(t)
° °
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análisis en (^) t = (^0) +: v (^) C (^) ( 0 +)= 10 [ V ] , iL ( 0 +)= 0 [ A ]
donde: i ( (^) 0 +)= iL ( 0 +)= 0 [ A ]
además: [ As ]
v
L
v
dt
di
dt
di i i
L L C L^10 1
( 0 ) ( 0 )
0 0
16.- Calcule los valores de i ( (^0) +)y dt (^0) +
dv si cada uno de los interruptores se abren en el
instante señalado.
Análisis en t = (^0) −:
puesto que: 0 1
( 0 ) ( 0 )=^ ∧ ( 0 )= ⇒ (^0 )= =
− − − −
L C L
v i v i
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Condiciones Iniciales OECA - 2005 pág. 19
17.- Determine los valores de i ( (^0) +)y dt 0 +
dv .
Análisis en t = 0 − : i L ( 0 −)= 0 [ A ] , vC ( 0 −)= 0 [ V ]
análisis en t = 0 :
donde: 10 () ( 0 ) 10 ()
2
1
( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) i t
v t i i C
C
δ = C + L + → = δ
entonces: V 10 ( t ) dt 20 [ V ]
0
(^20)
(^0 )
−
además: v L ( 0 )= vC ( 0 )= 0 ⇒ I 0 = 0 [ A ]
análisis en t = (^0) + :
[ ]
v v V [ V ]
i i I A
C C
L L
20
( 0 ) ( 0 ) 0
( 0 ) ( 0 ) 0
= + =
donde: 40 [ ] 2
1
( 0 ) ( 0 ) A
v i
C = =
10 δ(t)
2
1 /2 1 /
i L(0)
v C(0)
i C(0)
v L(0)
v
v C(0+)
2
1/2 1/
i L(0+)
+^ i 10
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Condiciones Iniciales OECA - 2005 pág. 20
además: dt
dv
dt
dv
dt
dv
dt
dv LVK v v
C C : 10 = + C ⇒ 0 = + → =−
entonces: (^) ( 0 )
2
1
( 0 )
0 0
= − =− = − C
C C i
i
dt
dv
dt
dv
también: LCK : iL = i + iC → iC ( 0 +)= iL ( 0 +)− i ( 0 +) = 0 − 40 =− 40 [ A ]
por tanto: ( ) [ V (^) s ] dt
dv 2 40 80 0
18.- Obtenga los valores de v ( (^0) +)y dt (^0) +
di , si en t = 0 el conmutador pasa de la posición (a)
a la posición (b).
Análisis en t = (^0) − :
donde:
[ ]
i [ A ]
v LCK i i
LVK v v v V
L
C L C
L C C
( 0 )
( 0 ) ( 0 ) ( 0 )
( 0 ) ( 0 ) ( 0 )
−
− − −
− − −
análisis en t = (^0) + :
[ ]
v v [ V ]
i i A
C C
L L
10
( 0 ) ( 0 )
( 0 ) ( 0 )
= =
1/
2
1/4 v C(0-)
i L(0-)
10
