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-1- NUMEROS COMPLEXOS 1. Conceitos e definicées basicos relativos a nimeros complexos Estudando a historia do desenvolvimento da Matematica, é facil perceber que cada nova espécie numérica foi introduzida quando surgiam as necessidades cientificas praticas. Por exemplo, é sabido por que razfio foram introduzidos os nimeros negativos: pois nado era sempre possivel efectuar a operacdo de subtracao aplicando sé os numeros positivos. Com isso exigia-se uma imaginagdo para compreender o conceito de numero negativo. De modo analogo, quando surgiram problemas que nao podiam ser resolvidos sobre o conjunto de numeros reais, tornou-se necessario de ampliar 0 conjunto numérico. Entao, foi introduzida tal espécie numérica que permita extrair raiz quadrada de um numero negativo. Desta maneira surgiu o conjunto de nimeros complexos. O conjunto de numeros complexos designa-se pela letra C e representa a totalidade de todos os pares ordenados (x,y) de numeros reais x e y, que se designam pela letra z e para os quais sao definidas as seguintes operagées de adigao e de multiplicagéo: dados dois nimeros complexos Z, =(X,,Y;) © Zp) =(Xp, Yo), tem-se Zy + Zp = (X,V1) + (XpV2) =(% + Xai t+ V2) EC, Zy + Zp = (Xp, V1)* (Xa Vo) = (XpXo —VV2s Xo + V1) EC, sendo, também, definida a condigdo de igualdade de dois nimeros complexos: Z, = Zp, Ou seja, (X1,Y1) = (Xp, V2), S8@ X= X_ AV = Vo- Dado um nimero complexo z=(x,y) diz-se que x é sua parte real e y & sua parte imaginaria, escrevendo x =Rez, y =|mz. Chama-se conjugado de um nimero complexo Z=(X,Y) ao niimero z =(x,-Y). Verifica-se a igualdade: z-z =(x? + y”,0). Denomina-se numero real puro a todo nimero complexo Z, cuja parte imaginaria é igual a zero, isto é Z=(Xx,0). Verifica-se que qualquer numero real puro (x,0) possui as mesmas propriedades que o numero real x, a saber: a soma ou produto de dois nimeros reais puros é, também, um numero real puro. Por esta razio foi convensionado identificar um numero real puro (x,0) com o numero real x, isto é, (x,0) =x. De acordo com esta convensao o numero (40)=1 é chamado wnidade real. Denomina-se numero imagindrio puro a todo nimero complexo Z, cuja parte real é igual a zero, isto é z=(0,y). Chama-se unidade imagindaria e designa-se pela letra i ao numero imaginério puro i = (0,1) que possui a propriedade i? =—1. -2- Um numero complexo z=(x,y), sendo definido como um par ordenado de numeros reais X e Y, pode ser representado graficamente sobre o plano das coordenadas > xOy na forma do ponto P(x, y) ou, também, na forma do raio-vector OP = (x,y). O plano > cartesiano R? sobre o qual cada ponto P(x,y) ou raio-vector OP =(x,y) representa geometricamente um nimero complexo z =(X,y) é chamado plano complexo e, também, é conhecido como plano de Gauss. O eixo Ox do plano complexo representa o conjunto geométrico de todos ntmeros reais puros e, ent&éo, passa a ser chamado eixo real. O eixo Oy da representagdo geométrica de nimeros imagindrios puros e é denominado eixo imaginario. Muitas vezes é conveniente incorporar ao plano complexo um novo elemento — 0 ponto no infinito, para o qual se usa a notacao o. A adjuncao do infinito ao plano complexo resulta no plano complexo estendido que consiste de todos os pontos finitos e do ponto Z=00. Qualque semi-recta de origem Z=(x,y) sobre o plano complexo liga o ponto P(x, y) com o ponto no infinito. Sobre os nimeros complexos, dados graficamente no plano complexo na forma vectorial, podem ser realizadas as operagdes de adigao e de subtragao, aplicando as conhecidas regras de paralelogramo para soma e diferenga de vectores. 2. Formas analiticas de ntimeros complexos e operacées algébricas sobre eles Qualquer numero complexo z=(x,y) pode ser representado sob uma das formas analiticas conhecidas. Vamos considerar as formas analiticas principais de representagao de numeros complexos e as respectivas regras de realizagfo das operagées algébricas sobre eles. a) Forma algébrica de um numero complexo E facil ver que qualquer nimero complexo z = (X,Y) pode ser representado como a soma do numero real puro (x,0) e do numero imaginéario puro (0,y), isto é z=(x,0)+(0,y). Atendendo a que (x,0)=x e (0,y)=(0;1)-(y,0)=iy, obtemos a tal chamada forma algébrica de um numero complexo: z=x+iy, sendo (2 =-1. Assim, 0 conjunto C de nimeros complexos pode ser definido, também, como C=: z=x+iy; xyeR i? =-t}. Sobre dois nimeros complexos dados na forma algébrica Z, = X,+iy, © Z.=X_+lV2 efectuam-se as seguintes operacdes: — adigaéo e subtragéo 2, £Z, =(x,£X2)+ iV, £2); -4- A parte real x e a parte imaginaria y de um numero complexo z=x+/y podem ser expressas através do seu mddulo Iz| =r=,x?+y? © 0 seu argumento principal argz=9 de modo seguinte: x=rcosg, y=rseng. Entao, o numero complexo z= Xx+iy pode ser representado na tal chamada forma trigonométrica: z=r(cosy+iseng). Sobre os nimeros complexos dados na forma trigonométrica efectuam-se as seguintes operagoes: — multiplicagéo Z,*Z> ="f|cos(y, + g)+isen(y, + 9)]; Zz. L, . = =+[cos(9, - 9,)+i sen(g, - 9,)] ; 2 Ip — diviséo — elevagdo a um expoente inteiro z* =r*(coskpt+isenkg), keZ; Caso r =1 obtem-se a férmula de Moivre: (cosg+iseng)* =(coskp+isenkg), keZ; — extragdo de raizes de indice natural 2 = Ur | coe 2*28) + ison( 2*2H)| neN, n>2, k=0,12.....,(n-1); — elevacgdo a um expoente racional Pp 2" =a? =A? [cos{ 22*2H) .j5on{ P0*20t)| peZ, n neN, n>2, k=0,1,2.....,(n-1). Nota: quando se trabalha com poténcia de um nimero complexo de expoente racional é preciso ter cuidado, porque certas simplificagdes que se fazem no caso de niumeros reais, 4 2 deixam de ser validas para nimeros complexos, por exemplo z® #z°. c) Forma exponencial de um nimero complexo Sobre o conjunto de nimeros complexos entre as fungdes exponenciais e trigonométricas verificam-se certas relagdes das quais resulta a seguinte formula, conhecida como formula de Euler: cosy+iseng=e'’. Atendendo a esta formula, um numero complexo Z= r(cose+ i seng) pode ser escrito sob a seguinte forma, chamada forma exponencial deste nimero: z=re”. Sobre os numeros complexos dados na forma exponencial efectuam-se as seguintes operagoes: we i — multiplicacdo Zy+Zp =e (e1+2) ; 41 Nh giloron) . 2 I diviséo elevagao a um expoente inteiro zearkel keZ; extracao de raizes de indice natural . (ec vz=Vre\ " ) neN, n= k=0,12....(n-1); elevagao a um expoente racional Pp i(Pexzet) zr a=%zP =VrPe\ " ) peZ, neN, nz=2, k=0,12.....,(n—1). Exercicio 3. Resolvaaequagao Z*+4=0. Resolugdéo. Da equacdo dada resulta: z*=-4 ov z=4%-4. Atendendo a que |- 4| =4e k\ . + 27k arg(-4)=7, achamos: z=%/—-4= 1 cos{* z }s isen{ * 7) dd )h Em seguida, fazendo k =0,1,2,3, obtém-se todas as raizes da equagao dada: k=0: z;-V2{ eos +/sen7|=14; k=1: 2,-\2( cos + /sen 3) = 14 k=2: 25=\2{ cos + ison =) = -1-i; k=3: 0 Zy= 2 cos 7 sisen 2 | 1-1 Resposta: +1+/. -3-i ) 3 — , apresentando-os na forma algébrica. -14+V3 ; Resolucdo. Primeiro, vamos efectuar a divisio do numero Z, = V3 -i pelo namero Z) = —1+ V3i > utilizando a forma algébrica destes numeros: z,_ -V3-i _ (V3-/)-C 1-3) _ V3 +3/+i-V3 _ Exercicio 4. Calcule todos os valores de Z = ( Z —1+V3i (-1+V3i)-C1-v3i) 4 5 “3 5 Entio, temos: 2-(2) ° = (i 3 =¥(iy° =¥-j. Atendendo a que |-i| =1e arg(-i)=-5. 22 -2 42k -2 42k achamos: z= cos 2 3 +isen 2 , onde k=0,1,2. Assim, encontramos: k=0: z,=00s{-2)+isen{-2)=23-41- k=1: z,=008{2)+isen(2)=i, 2 2 a 
