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Université Abou Bekr Belkaid Tlemcen Faculté des Sciences Département de Mathématiques Année Universitaire 2023/
2 ème^ année MATH- Semestre 1
Examen nal : Analyse 3
Durée : 1h30mn
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Exercice 1. ( 3 Pts) Discuter en fonction du paramètre α > 0 , la nature de la série numérique suivante ∑
n≥ 1
1 − cos(n−α)
Exercice 2. ( 5 Pts) On considère la série de fonction de terme général
un(x) = ln
x n
x n , x ∈ [0, 1], n ≥ 1.
- Montrer que
n≥ 1
un(x) converge simplement sur [0, 1].
- On pose S(x) =
n≥ 1
un(x).
a) Montrer que S est dérivable sur [0, 1]. b) Calculer S′(1). Exercice 3. ( 6 Pts) On considère l'équation diérentielle suivante
(E)
(1 + x^2 )y′′^ + 6xy′^ + 6y = 0 y(0) = 1 y′(0) = 0.
On note y(x) =
∑^ ∞
n=
anxn, une série entière dont le rayon de convergence R > 0.
- Calculer les coe cients a 0 et a 1.
- Trouver la relation de récurrence liant les coe cients an.
- En déduire la solution de l'équation diérentielle (E). Exercice 4. ( 6 Pts) Soit f une fonction 2 π− périodique dé nie par
f (x) = |x|^3 , pour − π < x ≤ π.
- Tracer le graphe de f sur au moins deux périodes.
- Déterminer la série de Fourier associée à f, notée Sf.
- Etudier la nature de Sf sur R.
- Sachant que
n≥ 1
n^2
π^2 6 , en déduire la somme de
∑^ +∞
n=
(2n − 1)^4
Université Abou Bekr Belkaid Tlemcen Faculté des Sciences Département de Mathématiques Année Universitaire 2023/
2 ème^ année M.I - Semestre 1
Corrigé de l'examen nal : Analyse 3
Durée : 1h30mn
Exercice 1. ( 3 Pts) On remarque qu'au voisinage de 0 , on a cos(x) = 1 − x 2 2 +^ o(x
(^2) ), donc pour α > 0 , on a
1 − cos
nα
2 n^2 α^
n^2 α
. ( 0 .5Pt)
Ainsi, on obtient 1 − cos
nα
2 n^2 α^
. ( 0 .5Pt)
Si 2 α > 1 ⇔ α > 12 , alors
n^2 α^ converge ( série de Rieaman) et par le critère d'équivalence ∑ ( 1 − cos
nα
converge. (1 Pt)
Si 2 α ≤ 1 ⇔ α ≤ 12 , alors
n^2 α^ diverge ( série de Rieaman) et par le critère d'équivalence ∑ ( 1 − cos
nα
diverge. (1 Pt)
Exercice 2. ( 5 Pts)
- Si x = 0, alors
un(0) converge. (0.25 Pt) Si x 6 = 0, alors on peut remarquer que le DL de un(x) est
un(x) = − x^2 2 n^2
n^2 ). (1Pt)
Alors, |un(x)| ∼ 2 xn^22 , (0.5 Pt) or
n^2 converge et donc par le critère d'équivalence
un(x) converge absolument, càd simplement sur [0, 1]. (0.5 Pt)
- a) On peut remarquer que ∀n ∈ N∗, un(x) est de classe C^1 sur [0, 1] (0.25 Pt) et ∀x ∈ [0, 1],
u′ n(x) =
x + n
n
−x n(x + n)
. ( 0 .5Pt)
Donc, ∀n ∈ N∗, ∀x ∈ [0, 1], |u′ n(x)| ≤
n^2
. ( 0 .5Pt)
Or
n^2 converge et donc
u′ n(x) converge normalement donc uniformément sur [0, 1]. Ainsi, S est dérivable sur [0, 1]. (0.5 Pt) b) On remarque que
S′(1) =
n≥ 1
u′ n(1) =
n≥ 1
n + 1
n
= − 1. (1Pt)
- Puisque f est paire, alors bn = 0, ∀n ≥ 1. (0.25 Pt) Donc,
a 0 =
π
∫ (^) π
0
x^3 dx =
π
[
x^4 4
]π
0
π^3 2
. ( 0 .25Pt)
Aussi, en ulitilsant une série d'intérgation par parties, on obtient
an =
π
∫ (^) π
0
x^3 cos(nx)dx =
π
([
x^3 sin(nx) n
]π
0
n
∫ (^) π
0
x^2 sin(nx)dx
πn
([
x^2 cos(nx) n
]π
0
n
∫ (^) π
0
x cos(nx)dx
πn
[
π^2 (−1)n n
n
∫ (^) π
0
x cos(nx)dx
]
6 π(−1)n n^2
πn^2
([
x sin(nx) n
]π
0
n
∫ (^) π
0
sin(nx)dx
6 π(−1)n n^2
πn^4
[− cos(nx)]π 0
6 π(−1)n n^2
πn^4 (1 − (−1)n). ( 1 .5Pts)
Ainsi,
∀x ∈ R, Sf (x) = π^3 4
∑^ +∞
n=
(−1)n n^2
2(1 − (−1)n) π^2 n^4
cos(nx). ( 0 .5Pt)
- Il su t de remarquer que puisque la fonction f est contine sur R, alors la convergence est uniforme. (0.5 Pt)
- On remplace x = π, (0.5 Pt) alors on obtient
f (π) = π^3 = π^3 4
∑^ +∞
n=
(−1)n n^2
2(1 − (−1)n) π^2 n^4
(−1)n
π^3 4
∑^ +∞
n=
n^2
π
∑^ +∞
n=
(1 − (−1)n) n^4 (−1)n. ( 0 .5Pt)
En remplaçant que
∑^ +∞
n=
n^2
π^2 6
, alors on a
π^3 = π^3 4
π
∑^ +∞
p=
(2p − 1)^4
. (1Pt)
Ainsi, ∑+∞
p=
(2p − 1)^4
π^4 96
. ( 0 .5Pt)
