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1 Ecuaciones diferenciales
La soluci´on a una ecuaci´on algebraica es un n´umero, o un conjunto de n´umeros que satisfacen la ecuaci´on. Por ejemplo las soluci´ones de
x^2 − 4 x + 3 = 0
son x 0 = 1 y x 1 = 3. Las soluciones de una ecuaci´on diferencial, ser´an funciones. Por lo tanto, resolver una ecuaci´on diferencial es encontrar una funci´on que junto con sus derivadas satisfagan la ecuaci´on dada. Por ejemplo, soluciones de la ecuaci´on diferencial y′(t) = dy/dt = 2 (1)
son las funciones y(t) = 2t, y(t) = 1 + 2t, y(t) = a + 2t, donde a en una constante arbitraria. Note que esta ´ultima soluci´on es la mas general que podemos escribir. La soluci´on mas general de la ecuaci´on diferencial
y′′(t) = d^2 y/dt^2 = 4 (2)
es la funci´on y(t) = a + bt + 2t^2 , donde a, b son constantes arbitrarias. Note que si damos valores a a y a b obtendremos soluciones particulares de la ecuaci´on diferencial. La soluci´on mas general de la ecuaci´on diferencial
y′′(t) = y′(t) (3)
es la funci´on y(t) = a + bet, donde a, b son constantes arbitrarias. Otros ejemplos de ecuaciones diferenciales son
y(t)y′(t) = t (4)
(y′′(t))^3 + y′′(t)(y′(t)^4 − t^7 y(t) = sen(t) (5)
Ejercicio 1 Verificar que las soluciones satisfacen las ecuaciones dadas.
Una soluci´on a una ecuaci´on diferencial es una funci´on que junto con sus derivadas, satisfacen la ecuaci´on diferencial. La soluci´on general de una ecuaci´on diferencial es una soluci´on conteniendo constantes arbitrarias. Cuando se especifica el valor de estas constantes se dice que es una soluci´on particular. As´ı la soluci´on general a la ecuaci´on diferencial (3) es y(t) = a+bet mientras que y(t) = et, y(t) = 2 − 3 et^ son soluciones particulares. Nosotros estaremos interesados en encontrar soluciones particulares de las ecuaciones diferencial que pasen por un punto dado. En general necesitaremos deter- minar el valor de las constantes arbitrarias, para esto necesitaremos el valor de la soluci´on en un punto, o en varios puntos (esto ser´a dado como dato y recibe el nombre de condici´on inicial). Por ejemplo, si y(0) = A fuera la condici´on inicial debemos evaluar la soluci´on general y(t) en t = 0 y resolver la ecuaci´on algebraica. Las ecuaciones diferenciales son clasificadas en t´erminos de la derivada de mayor orden. Esto es lo que se denomina orden de la ecuaci´on diferencial. Las ecuaciones (1), (4) son de primer orden y las ecuaciones (2), (3), (5) son de segundo orden. Una ecuaci´on diferencial se dice lineal si la funci´on desconocida (en los casos anteriores y(t)) y sus derivadas que aparecen el la ecuaci´on diferencial estan elevadas a la potencia primera. En otro caso se dice que la ecuaci´on es nolineal.
Ejercicio 2 Clasificar las ecuaciones anteriores en lineales y nolineales.
1.1 Variables Separables
Hay varios m´etodos para resolver ecuaciones diferenciales. Uno de ellos se conoce por el m´etodo de variables separables. Este m´etodo resuelve ecua- ciones del tipo g(y)y′(t) = f (t)
(donde f e y dependen solamente de t y g de y). As´ı la ecuaci´on anterior se puede reescribir como g(y)dy = f (t)dt.
Las variables est´an separadas y la soluci´on general es ∫ g(y)dy =
∫ f (t)dt + c
se dice exacta si existe una funci´on U (t, y) tal que
dU ≡ Utdt + Uydy ≡ f dt + gdy
As´ı, la ecuaci´on diferencial es exacta s´ı es precisamente la diferencial total de alguna funci´on. La equaci´on diferencial exacta dU = 0 tiene un soluci´on inmediata U (t, y) = c.
Ejemplo 3 Resolver la ecuaci´on diferencial
t^2 y′^ + 2ty = 0
Soluci´on. La ecuaci´on puede ser escrita como
t^2 dy + 2ty = 0
la cual es equivalente a d(t^2 y) = 0
(porque si diferenciamos esta igualdad nos queda la ecuaci´on anterior). In- tegrando nos d´a t^2 y = c
por lo tanto la soluci´on general al problema es
y(t) = c/t^2
Ejercicio 3 Resolver yy′^ = t^2
1.3 Ecuaciones de primer orden lineales
1.3.1 Coeficientes constantes
Una ecuaci´on diferencial de primer orden lineal tiene la forma
y′(t) + P (t) y(t) = Q (t) (6)
La soluci´on general de esta ecuaci´on consistir´a en la suma de dos t´erminos uno de los cuales se llama funci´on complementaria (y se denota por yc (t)) y la otra como integral particular (yp (t)).
La funci´on complementaria es la soluci´on de la ecuaci´on
y′(t) + P (t) y(t) = 0
esto se conoce como la ecuaci´on homog´enea de (6). Haciendo algunos pasos algebraicos esta ecuaci´on se transforma en
y′(t) = −P (t) y(t)
o equivalentemente y′(t) y (t)
= −P (t)
integrando y despejando y (t), nos queda que la funci´on complementaria es
y(t) = Ae
∫ −P (t)dt
donde A es una constante. La integral particular depender´a de la funci´on Q (t). Para calcular la inte- gral particular se propone alguna funci´on para y (t) y se resuleve la ecuaci´on (6). Daremos algunos ejemplos para aclarar esto.
Ejemplo 4 (Coeficientes constantes, esto es P (t) = P y Q (t)=Q) Resolver la ecuaci´on y′(t) + P y(t) = Q (7)
Soluci´on.
- C´alculo de la funci´on complementaria. La ecuaci´on diferencial ho- mog´enea asociada a (7) es
y′(t) + P y(t) = 0
entonces y′(t) y(t)
= −P
integrando y despejando y(t) nos queda que
yc (t) = Ae−P t
entonces C = R y B = (Q − P )/R. Es decir que la integral particular es yc (t) =
Q − P
R
eRt
- Soluci´on general. Como dijimos la soluci´on general de la ecuaci´on (8) es la suma de la funci´on complementaria y la integral particular.
y (t) = yc (t) + yp (t) = Ae−P t^ +
Q − P
R
eRt
Ejemplo 6 La ecuaci´on diferencial de primer orden mas general es
y′(t) + P (t)y(t) = Q(t) (9)
donde P (t) y Q(t) son conocidas e y(t) es la funci´on a ser determinada. La soluci´on general para esta ecuaci´on es
y(t) = Ae
∫ −P (t)dt (^) + e−
∫ P (t)dt
∫ Q(t)e
∫ P (t)dtdt
donde A es la constante de integraci´on.
1.4 Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden
Una ecuaci´on de segundo orden lineal puede ser escrita de la forma
y′′^ (t) + P (t) y′^ (t) + Q (t) y (t) = R (t) (10)
El caso R (t) = 0 se dice que es homog´enea, en otro caso es no–homog´enea. Al igual que en el caso lineal la soluci´on general se puede escribir como la suma de una soluci´on general de la ecuaci´on homog´enea (la que se llama la soluci´on complementaria y se denota por yc (t)) y una soluci´on particular de la ecuaci´on (10). Estudiaremos los casos que P (t) y Q (t) son funciones constantes.
1.4.1 Ecuaci´on homog´enea
La ecuaci´on diferencial tiene la forma
y′′^ (t) + P (t) y′^ (t) + Q (t) y (t) = 0 (11)
La soluci´on general de esta ecuaci´on homog´enea tiene la forma
y (t) = Ay 1 (t) + By 2 (t)
donde y 1 (t) e y 2 (t) son funciones linealmente independientes. El m´etodo que desarrollaremos cumplir´a con ´esto. Proponemos como soluci´on y (t) = cert. Entonces reemplazando en (11) nos queda cert^
( r^2 + P r + Q
) = 0 (12)
Excluimos el caso c = 0 (ya que buscamos soluciones no triviales). Entonces necesitamos calcular para que valores de r la ecuaci´on (12) tiene soluci´on, es decir , debemos calcular las ra´ıces de la ecuaci´on (que se denomina ecuaci´on caracter´ıstica asociada con (11)
r^2 + P r + Q = 0
las ra´ıces son r 1 , 2 =
−P ±
P 2 − 4 Q
consideraremos 3 casos.
Caso i. Ra´ıces reales distintas. En este caso la soluci´on ser´a de la forma
y (t) = c 1 er^1 (t)^ + c 2 er^2 (t)
donde c 1 , c 2 son las constantes de integraci´on.
Caso ii. Ra´ıces complejas. En este caso la soluci´on ser´a de la forma
y (t) = e−P t/^2 (c 1 cos bt + c 2 sen bt)
Caso iii. Ra´ıces reales iguales. En este caso tenemos que r = −P/2. Es de- cir que y (t) = c 1 e−P t/^2. Como la soluci´on general debe ser suma de dos funciones linealmente independientes, proponemos como soluci´on a y (t) = c 2 test^ entonces
y′^ (t) = c 2 est^ (1 + st) y y′′^ (t) = sc 2 est^ (2 + st)
es decir que las raices caracter´ısticas son r 1 = 2 y r 2 = −2. Por lo tanto estamos en el caso de ra´ıces reales distintas. Por lo tanto la soluci´on complementaria es yc (t) = c 1 e^2 t^ + c 2 e−^2 t
- Soluci´on particular. Proponemos como soluci´on y (t) = A. Reem- plazando en la ecuaci´on (13) tenemos que 4A = 3. Por lo tanto la soluci´on particular es yp (t) = 3/ 4
- Soluci´on general. Es la suma de la soluci´on complementaria y la soluci´on particular y (t) = yc (t) + yp (t) = c 1 e^2 t^ + c 2 e−^2 t^ +
2 Ecuaciones de diferencias
Las ecuaciones diferenciales (en problemas economicos) consideran la evoluci´on de las variables economicas sobre el tiempo (variable t) como una variable continua. Las ecuaciones de diferencias consideran la variable de tiempo, t, como una variable discreta. En este contexto una ecuaci´on de diferencia pude ser vista como un an´alogo a una ecuaci´on diferencial. Denotaremos por ∆yt (en lugar de ∆ (y (t)) )la primer diferencia de una funci´on y es decir ∆yt = yt+1 − yt
y por ∆^2 yt la deferencia segunda de y, es decir
∆^2 yt = ∆yt+1 − ∆yt = yt+2 − 2 yt+1 + yt
En general la diferencia n − esima´ de una funci´on es
∆nyt = ∆n−^1 yt+1 − ∆n−^1 yt
Una ecuaci´on en diferencias es una ecuaci´on que involucra una funci´on y sus diferencias. Resolver una ecuaci´on de diferencias (al igual que una ecuaci´on diferencial) es encontrar una funci´on que cumpla la ecuaci´on dada. Por ejemplo una soluci´on de la ecuaci´on de diferencia
∆yt = 2 o yt+1 − yt = 2 (15)
es yt = A + 2t, donde A es una constante (note que ´esta es la expresi´on m´as general que podemos escribir). Diremos que es la soluci´on general de esta ecuaci´on de diferneicas. yt = At + (t − 1) B es una soluci´on de la ecuaci´on de diferencias
∆^2 yt = ∆yt o yt+2 − yt+1 = yt+1 − yt. (16)
Estas definiciones y ejemplos nos sugiere una similitud entre ecuaciones de diferencias y ecuaciones diferenciales (reemplazar ∆yt por y′^ (t)). Esta similitud es casi verdadera en general, solo hay que hacer algunos cam- bios. Analogamente a las ecuaciones diferenciales, las ecuacions de difer- encias pueden ser lineales o no–lineales, homogeneas o no-homogeneas, de primer orden, segundo orden, etc. Por ejemplo la ecuaci´on (15) es de primer orden, lineal y no–homogenea. La ecuaci´on (16) es de segundo orden, lineal y homogenea. Nosotros estamos interesados en resolver ecuaciones de diferencias, pre- sentaremos algunos ejemplos.
2.1 M´etodo iterativo
Este m´etodo consiste en calcular los valores de la funci´on suponiendo que se conocen los primeros valores. Veamos algunos ejemplos
Ejemplo 8 Resolver la ecuaci´on de diferencias (15)
Soluci´on. Esta ecuaci´on de diferencia se puede escribir como
yt+1 = 2 + yt
supongamos que y 0 = A, entonces
y 1 = 2 + A y 2 = 2 + y 1 = 2 + 2 + A
y as´ı siguiendo, esto nos lleva a proponer como soluci´on general a
yt = 2t + A
ya que no estamos seguro que esta sea la soluci´on, verificaremos que si lo es. Calculamos yt+1 = 2 (t + 1) + A
2.2 Ecuaciones de diferencias lineales
2.2.1 Ecuaciones de diferencias de primer orden lineales
Para resolver una ecuaci´on de diferencia de primer orden lineal
yt+1 + ayt = b (19)
Se procede como en las ecuaciones diferenciales de primer orden lineales, es decir que la soluci´on general de una ecuaci´on de diferencias consistir´a de la suma de la integral particular (denotada por yp,t, que es una soluci´on particular de la ecuaci´on de diferencias (19), tambi´en se la conoce como soluci´on particular) y la funci´on complementaria yc,t (que es una soluci´on general de la ecuaci´on de diferencias homogenea asociada a la ecuaci´on (19)). Veamos algunos ejemplos
Ejemplo 10 Resolver la ecuaci´on de diferencias (19)
Soluci´on.
- Funci´on complementaria. Ya que la soluci´on general de la ecuaci´on de diferencias homogenea asociada a (19) ya ha sido calculada, tenemos que yc,t = A (−a)t
- Integral particular. Al igual que en las ecuaciones diferenciales pro- ponemos alguna soluci´on particular y verificamos que es soluci´on. Para este caso proponemos como yt = B (es decir una constante), reem- plazando en (19) tenemos que
B + aB = b
es decir que B (1 + a) = b consideraremos dos casos:
Caso i. a 6 = − 1 , entonces yp,t =
b 1 + a
Caso ii. a = − 1 , entonces proponemos como soluci´on yt = Bt. Entonces reemplazando en (19) tenemos que
B (t + 1) + aBt = b
o equivalentemente
B (t (1 + a) + 1) = b
es decir que, la soluci´on particular es
yp,t = bt
- Soluci´on general. Tenemos dos casos:
Caso i. a 6 = − 1. Entonces
yt = yp,t + yc,t =
b 1 + a
Caso ii. a = −1. Entonces
yt = yp,t + yc,t = bt + A (−a)t
2.2.2 Ecuaciones de diferencias lineales de segundo orden
Para resolver una ecuaci´on de diferencia lineal de segundo orden de la forma
yt+2 + ayt+1 + byt = c
se utiliza un procedimiento similar a ecuaciones diferenciales de segundo or- den.
Ejemplo 11 Resolver la ecuaci´on
yt+2 +
yt+1 −
yt = 5 (20)
Soluci´on. La soluci´on general de esta ecuaci´on de diferencias ser´a la suma de la soluci´on complementaria y de la soluci´on particular.
de ecuaciones diferenciales
( (y′^ (t))^2 + (y (t))^2 = − 1
) que no tienen soluci´on.
Por supuesto que hay ecuaciones de diferencias
( (∆yt)^2 + (yt)^2 = − 1
) que no tienen soluci´on. Tambi´en hay ecuaciones que son resolubles pero no hay m´etodo (al menos hasta ahora) pero s´ı hay teoremas llamados de existencia que aseguran que bajo ciertas hipotesis una ecuaci´on diferencial tiene soluci´on. Por ultimo decimos que hay m´etodos num´ericos para resolver ecuaciones diferenciales. Aqu´ı resolver significa dar una aproximaci´on a la soluci´on de la ecuaci´on diferencial.
