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Séries numériques
Exercice 1. Etudier la convergence des séries suivantes :
∑
∑
Allez à : Correction exercice 1
Exercice 2. Etudier la convergence des séries suivantes :
∑ ∑ √
∑ ( ) ∑ ( ) ∑ (^ )
Allez à : Correction exercice 2
Exercice 3. Déterminer la nature des séries dont les termes généraux sont les suivants :
- ( )
- (^) ( )
- (^) ( ( )) ( )
Allez à : Correction exercice 3
Exercice 4. Déterminer la nature de la série de terme général :
Allez à : Correction exercice 4
Exercice 5. Les sommes suivantes sont-elles finies?
∑ ∑ ( ) ∑ ∑
Allez à : Correction exercice 5
Exercice 6. Existence et calcul de :
∑ ( )
Allez à : Correction exercice 6
Exercice 7. Soit ( ) une suite de réels positifs et
Montrer que les séries et sont de même nature.
Allez à : Correction exercice 7
Exercice 8. Déterminer en fonction du paramètre la nature de la série de terme général ( )
Allez à : Correction exercice 8
Exercice 9. Etudier la nature de la série de terme général :
( )
√
(^) ( )
(^ )
(^) ( )
(^) ( ((^ )) )
- ( ( ))
- ( )
- ( )
Allez à : Correction exercice 9
Exercice 10.
Montrer que la série de terme général ( (√^ ) ) est semi-convergente.
Allez à : Correction exercice 10
Exercice 11. Etudier la convergence de la série numérique de terme général :
- (^ )^. 2.. 3..
- ( ).
- (^ )^ (√ √ )
- (^ )
- ( ) (√ )
a) La nature de la série. b) La nature de la suite (^ ).
a) Si ( ( )), quelle est la nature de la série? b) Quelle est la nature de la suite (^ )^ pour. Allez à : Correction exercice 17
Exercice 18. On considère la suite ( ) définie par et pour tout.
- Nature de la série?
- Nature de la série ( )? Allez à : Correction exercice 18
Exercice 19.
Montrer que la suite converge, on pourra d’abord montrer que la série de terme général
( ) est convergente. Allez à : Correction exercice 19
Exercice 20. Nature de la série de terme général (convergence et absolue convergence).
∑
Où ( ) ( )
Allez à : Correction exercice 20
Exercice 21. Montrer que les séries de terme général ( ) √
Ne sont pas de mêmes natures et que pourtant. Allez à : Correction exercice 21
Exercice 22. On pose
( ) ∫
- Montrer que la suite ( )^ est positive et décroissante. Au moyen d’une intégration par parties donner une relation de récurrence entre ( ) et ( ). Montrer par récurrence que pour tout
( ) ( ∑ )
- Montrer que l’on a :
En déduire la nature des séries
∑ ( ) ∑
- Déterminer le rayon de convergence de la série entière
∑ ( )
Exercice 23. On considère la série numérique de terme général pour et :
( ( ))
- Montrer que si cette série est convergente pour une valeur donnée, elle converge pour tout.
- Montrer que si la série est divergente. On pourra utiliser un développement limité de ( ).
- On pose avec Montrer que est équivalent à ( ). En déduire que la série est alors convergente.
- Donner toutes les valeurs de pour lesquelles cette série converge. Allez à : Exercice 23
Exercice 24. Pour , on pose : ∫
a) Calculer. b) Montrer que pour tout on a :
a) Montrer que pour tout on a :
b) En déduire que :
∑ ( )
c) Montrer que la série de terme général converge et calculer sa somme. Allez à : Exercice 24
Corrections
Correction exercice 1.
Il s’agit d’une série de Riemann divergente avec
Ainsi, il est plus clair que tous les « » sont dans la série et que donc la série diverge.
Allez à : Exercice 4
Correction exercice 5.
( ) est le terme général d’une série géométrique de raison dans ]^ [, la série converge. ( ) est le terme général d’une série géométrique de raison dans ]^ [, la série converge. ( ) est le terme général d’une série géométrique de raison dans ]^ [, la série converge. |
( ) | ( ) est le terme général d’une série géométrique de raison dans ]^ [, la série converge. (^) ( )( ) est le terme général d’une série d’une série de Riemann convergente avec . Allez à : Exercice 5
Correction exercice 6.
( ) est de signe constant (négatif) et
( ) Est le terme général d’une série d’une série de Riemann convergente avec. Allez à : Exercice 6
Correction exercice 7. Si la série de terme général converge, alors donc comme ce sont des séries à termes positifs, la série de terme général converge, si elle diverge alors la série de terme général diverge, bref, les deux séries sont de mêmes natures. Réciproquement ( ) ( ) On a encore donc les série sont de mêmes natures. Allez à : Exercice 7
Correction exercice 8. Si , alors on utilise la règle de Riemann avec ]^ [ ( ) ( )
Lorsque. Cela montre que la série de terme général (^ )^ converge car Si , alors on utilise la règle de Riemann avec ] [ ( ) ( ) Lorsque. Cela montre que la série de terme général (^ )^ diverge car Lorsque , c’est plus compliqué, les règles de Riemann ne marche pas. Il s’agit d’une série à termes positifs, on peut appliquer la comparaison à une intégrale
Est intégrable car ∫ (^) ( ) [ ( ( )] ( ( )) ( ( )))
Lorsque tend vers l’infini, ce qui montre que l’intégrale est divergente, la fonction (^) ( ) est clairement décroissante et tend vers en l’infini, donc la série de terme général (^) ( ) diverge.
Allez à : Exercice 8 Remarque : C’est ce que l’on appelle la règle de Duhamel.
Correction exercice 9.
- La suite ( ) est de signe constant
C’est le terme général d’une série de Riemann convergente avec Allez à : Exercice 9
- La suite (^ )^ est de signe constant
C’est le terme général d’une série de Riemann divergente avec Allez à : Exercice 9
- la série diverge grossièrement Allez à : Exercice 9
- La suite (^ )^ est de signe constant
C’est le terme général d’une série de Riemann convergente avec Allez à : Exercice 9
- Méfiance
√
√ √ (^ )
Comme ( ) √ On a √ (^ ) Ce qui montre que
C’est le terme général d’une série de Riemann divergente avec Allez à : Exercice 9
- est de signe constant
( ) ( ( )) ( )^ (^ )^ ( )^ (^ )
- est de signe constant
( ( )) (^ )^
( (^) ( )) (^) ( )
La série de terme général diverge grossièrement Remarque : il était inutile de faire un développement limité à l’ordre de ( ).
Allez à : Exercice 9
- est de signe constant
( ) (^ )^
( ( )) (^) ( ) ( ) √
√ (^ )^ est le terme général d’une suite géométrique de raison^ strictement inférieure à^. La série de terme général converge. Allez à : Exercice 9
( ) Donc ne peut pas tendre vers. Allez à : Exercice 9
Correction exercice 10. On pose ( ) (√ )
Donc la suite de terme général ( ) est décroissante, elle tend vers , d’après le TSSA la série converge. | | (√ )
| | (√ ) D’après les règles de Riemann si | | avec la série de terme général | | diverge ce qui montre que la série de terme général ne converge pas absolument. Cette série est donc semi- convergente. Allez à : Exercice 10
Correction exercice 11.
- On pose |^ | ( ) ( ) (^) ( )
D’après la règle de D’Alembert, la série de terme général converge, donc la série de terme général converge absolument, donc elle converge.
- On pose |^ |^ |^ |
D’après la règle de D’Alembert, la série de terme général converge, donc la série de terme général converge absolument, donc elle converge.
- On pose |^ |^ | | ( )| | | | | |^ | | Si | | D’après la règle de D’Alembert, la série de terme général converge, donc la série de terme général converge absolument, donc elle converge. Si | | , | | donc la série diverge grossièrement
( ) ( ) (^ )^ ( )
Il s’agit d’une série alternée car ( ) , il est à peu près évident que est décroissant et tend vers , d’après le TSSA, la série converge. Remarque : on pourrait montrer qu’elle semi-convergente.
( ) (√ (^) √ ) ( ) √ √
√ √ est positif, décroissant et tend vers^ , d’après le TSSA la série converge.
- On pose
∑ ( ) ∑ ( ) (∑ )
Normalement il faudrait prendre la somme à partir de car n’est pas défini, mais cela ne change rien au fond.
( )
( ) (
( ) ( ) )
( )
Donc
|∑ | |
Et
| | | (∑ )| |∑ | ( ) Les sommes partielles sont bornées et la suite est décroissante et tend vers. Cela montre que la série de terme général (^ )^ converge.
Comme on le verra dans le chapitre « séries entières » et
∑ ∑ ( ) ( ) Finalement
∑
Allez à : Exercice 13
Correction exercice 14.
- qui est une suite de Riemann convergente car donc la série de terme général converge. On décompose cette fraction en élément simple
En posant dans la seconde somme. et
∑ ∑ ∑
En changeant en.
∑
Allez à : Exercice 14 Car tous les termes entre et se simplifient.
∑ ∑
- qui est une suite de Riemann convergente car donc la série de terme général converge. On décompose cette fraction en élément simple
Dans la seconde somme on pose , et Dans la troisième somme on pose , et
∑ ∑ ∑ ∑
On change en et en
On va réunir les valeurs de comprises entre et
∑ ( ∑ ) ( ∑ ) (∑ )
Les trois dernières sommes s’annulent et il reste
∑ ( ) ( ) ( )
Allez à : Exercice 14
- qui est une suite de Riemann convergente car donc la série de terme général converge. On décompose cette fraction en élément simple
Dans la seconde somme on pose , et Dans la troisième somme on pose , et
∑ ∑ ∑ ∑
On change en et en
∑ ∑ ∑ ∑
On va réunir les valeurs de comprises entre et
∑ ( ∑ ) ( ∑ )
Les trois dernières sommes s’annulent et il reste
Allez à : Exercice 14
- ( (^) ( ) ) (^) ( ) , il s’agit d’une suite de Riemann avec , la série converge. Petit calcul
( )
( ) )^ ∑^ (^ )^ ∑^ (^ )^ ∑^ (^ )
Dans la première somme on pose , , Dans la deuxième somme on pose , , Dans la troisième somme on pose , ,
∑ ( (^) ( ) ) ∑ ( ) ∑ ( ) ∑ ( )
On remplace et par
∑ ( (^) ( ) ) ∑ ( )^ ∑ ( )^ ∑ ( )
On va réunir les sommes entre et
∑ ( (^) ( ) )
(∑ ( )^ (^ )^ (^ )) ( ( )^ ( )^ ∑ ( ))
Les sommes de ( ) de à s’éliminent.
∑ ( (^) ( ) ) (^ (^ )^ (^ ))^ (^ ( )^ ( ))^ (^ ( )^ (^ ))
( ) )^ ( )^ ( )
donc
∑ ( (^) ( ) ) ( )^ ( )^ ( )
Allez à : Exercice 14
Correction exercice 15.
∑ ∑( ) ∑ ∑ ∑
Dans la deuxième somme on pose , et Dans la troisième somme on pose , et
∑ ∑ ∑ ∑
On change et par.
∑ ∑ ∑ ∑
On réunit les sommes entre et
∑ ( ∑ ) ( ∑ ) (∑ )
Car La suite tend vers donc
∑ ( (^ )^ (^ )) (^ )
Allez à : Exercice 15
Correction exercice 16.
- On va d’abord diviser par , ce qui donne ( ) ( ), donc
Et alors ( ) ( ) (^ )^ ( ) On va montrer que la série est alternée, mais comme , le sinus va être négatif aussi, on va légèrement modifier
( ) (^ )^ ( )
Puis on va montrer que ( ) est décroissante et qu’elle tend vers tend vers , donc tend vers ( )^. Avant de montrer que la suite est décroissante on va montrer que ] [ c’est clair
( )
Pour ( tend vers l’infini donc on n’a pas de problème pour les petites valeurs de ) ( ) ( )^ ( )^ ( )
( ) Donc ( ) ( ) D’après la règle de Cauchy Si ( ) , autrement dit si ( ) , soit encore √^ ( ) √^ , c’est-à-dire si ] [ avec ou ] [ avec. Cela se voit assez facilement sur le cercle trigonométrique. La série de terme général converge Si (^ )^ , autrement dit si (^ )^ , soit encore (^ )^ √^ ou √^ (^ )^ , c’est-à-dire si ]^ [^ avec ou ]^ [^ avec La série de terme général diverge. Si (^ )^ on ne peut pas conclure avec la règle de Cauchy, mais alors ( ( ))
Qui est le terme général d’une série de Riemann convergente avec
Allez à : Exercice 16
Correction exercice 17.
a. La suite n’est pas forcément positive mais à partir d’un certain rang donc les termes ( ) sont positifs donc ne change plus de signe lorsque que augmente. Elle est de signe constant. ( ) ∏^ ( ) ∏ (^) ( )
D’après la règle de D’Alembert si alors la série converge et si la série diverge. b. Si la série converge alors la suite tend vers.
a. ( ) donc tend vers , on va faire un développement limité de en à l’ordre. Attention en multipliant par on va perdre un ordre. Remarque ( ) donc ( ) et la suite est négatif (donc de signe constant).
( ( )) ( ( ( ))) ( ( )) ( )
est le terme général d’une série de Riemann convergente ( ). Donc la série de terme général converge. b. Pour
Donc
( ) (^) (∏ ( )) ∑ ( ( )) ∑
La série de terme général converge, donc la suite ( ) converge. Allez à : Exercice 17
Correction exercice 18.
- Dans un premier temps remarquons que pour tout , , on en déduit que
Cela montre que la suite (^ )^ tend vers mais cela ne suffit pas pour montrer que la série est convergente (si on avait pu montrer que là cela aurait été bon). Dans un deuxième temps on va faire un développement limité en « » ( (^ )) ( ) est le terme général d’une série de Riemann divergente donc la série de terme général diverge.
( )
( ) (^) est une série alternée, tend vers en décroissant, c’est le terme général d’une série de
Riemann. |(^ )^ ( )| Et (^) ( ) par conséquent ( ) ( ) est le terme général d’une série absolument convergente, c’est donc le terme général d’une série convergente et enfin ( ) est le terme général d’une série convergente. (il en est de même pour (^ )^ évidemment). Allez à : Exercice 18
Correction exercice 19. ( ) ( ) (^ ) ( ) ( )
( ) (^ )^ (^ )^ (^ )^ (^ )^ (^ )^ (^ )
Le but est de faire un développement limité de en à l’ordre. ( )( ( )) ( ( )) (^) ( )
Par conséquent ( ( )) ( )
