ﻥﺍﺮﻛ ﻮﻟ ﺲﻳﻮﻟ ﺱﺭﺍﺪﻣ ﺔﻋﻮﻤﺠﻣ GS LOUIS LEGRAND
Exercices sur la dérivabilité-2
ème
Bac SM-série N°1
EXERCICE 1
Soit
f
la fonction numérique définie par :
3
( ) 1 arctan 1 ; 1
( ) 3 1 ; 1
f x x x
f x x x x
= + − ≤
= − − >
.
1) Etudier la dérivabilité de
f
en
0
0
x
=
.
2) Donner l’équation de la tangente à la courbe
(
)
Cf
au point d’abscisse
0
.
3) Etudier la dérivabilité de
f
à droite et à gauche de
1
1
x
=
.
4) Donner une interprétation géométrique des résultats obtenus.
EXERCICE 2
1) Soit
U
la fonction définie par :
(
)
2
( ) 2 1 arctan 1
U x x x
= + −
.
a) Etudier les variations de la fonction
U
.
b) Montrer que :
(
)
(
)
( ) 0
U
α α
∗+
∃ ∈ =
ℝ.
c) En déduire le signe de
( )
U x
sur
+
ℝ
.
2) Soit
f
la fonction définie par :
( ) arctan
f x x x
= −
.
a) Déterminer le domaine de définition de
f
.
b) Calculer
lim ( )
x
f x
→+∞
.
c) Etudier la dérivabilité de la fonction
f
à droite de
0
.
d) Donner une interprétation géométrique du résultat obtenu.
e) Calculer
'( )
f x
pour tout
]
[
0,x
∈ +∞
.
f) Donner le tableau de variations de
f
.
g) En déduire le signe de
( )
f x
.
EXERCICE 3
Soit
f
la fonction définie par :
3
2
( ) 3 ; 0
( ) arctan 2 ; 0
f x x x x
f x x x x
= − ≥
= − <
.
1) Montrer que
f
est continue en
0
, et calculer
lim ( )
x
f x
→+∞
.
2) Etudier la dérivabilité de
f
à gauche et à droite de
0
0
x
=
.
3) Donner une interprétation géométrique des résultats obtenus.
4) Calculer
'( )
f x
pour tout
x
∗
∈
ℝ
.donner le tableau de variations de
f
.
5) Soit
g
la restriction de la fonction
f
à l’intervalle
]
]
, 0
I= −∞
.
a) Montrer que
g
réalise une bijection de
I
vers un intervalle
J
que l’on déterminera.
b) Montrer que
1
g
−
est dérivable en
1
3
x
π
=
et calculer
( )
1
'
3
g
π
−
.
