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IUT Aix-en-Provence Ann´ee 2012- DUT Informatique TD Probabilit´es feuille n◦^6
Variables al´eatoires continues
Exercice 1 Soit X une variable al´eatoire dont la fonction de r´epartition est donn´ee par
FX =
0 si x < 0 x 2 si^ x^ ∈^ [0,^ 1[ 1 si x ≥ 1
- Tracer le graphe de FX. Est ce que X est une variable discr
ete? Une variablea densit´e? - Donner les valeurs de P (X = 12 ), P (X = 1), P ( 34 < X ≤ 1) et P ( 34 ≤ X ≤ 1). (^) Y
Exercice 2 Une entreprise d’autocars dessert une r´egion montagneuse. En chemin, les v´ehicules peuvent ˆetre bloqu´es par des incidents ext´erieurs comme des chutes de pierres, des troupeaux sur la route, etc. Un autocar part de son entrepˆot. On note D la variable al´eatoire qui mesure la distance en kilometres que l’autocar va parcourir jusqu’a ce qu’il survienne un incident. On admet que la variable D suit une loi de densit´e
f (x) =
0 si x < 0 , Ae−^ 82 x si x ≥ 0.
- D´eterminer la constante A pour que la fonction f soit une densit´e de probabilit´e.
- Calculer la probabilit´e pour que la distance parcourue sans incident soit comprise entre 50 et 100 km, soit sup´erieure `a 25 km.
- Sachant que l’autocar a d´ej`a parcouru 350 km sans incident, quelle est la probabilit´e qu’il n’en subisse pas non plus au cours des 25 prochains km? Comparez avec le r´esultat pr´ec´edent.
- On veut d´eterminer la distance moyenne parcourue sans incident. A l’aide d’une int´` egration par partie, calculer l’esp´erence E(D) =
−∞ xf^ (x)dx.
- L’entreprise poss
ede n autocars. Les distances parcourues par chacun des autocars entre l’entrepˆot et le lieu ou survient un incident sont des variables al´eatoires deux a deux ind´ependantes et de mˆeme loi exponentielle donn´e par la densit´e f. On note Xd la variable al´eatoire ´egale au nombre d’autocars n’ayant subi aucun incident apres avoir parcouru d km. Montrer que Xd suit une loi binomiale et d´eterminez les parametres. En d´eduire le nombre moyen d’autocars n’ayant subi aucun incident apres avoir parcouru d km. (^) Y
Exercice 3 On consid`ere deux variables al´eatoires T 1 et T 2 prenant pour valeur les dur´ees de vie en heure de deux composants de type A et B. On suppose que ces deux composants suivent respectivement les lois Exp(λ 1 ) et Exp(λ 2 ) avec λ 1 = 0, 0011 et λ 2 = 0, 0008. Une variable al´eatoire X suit une loi exponentielle Exp(λ) si elle a pour densit´e :
f (x) =
0 si x < 0 , λe−λx^ si x ≥ 0.
- Quelle la dur´ee de vie moyenne des composants de type A et B.
- Quelle est la probabilit´e qu’un composant de type A soit encore en ´etat de marche apr`es 1000 heures de fonctionnement? Mˆeme question pour un composant de type B.
- D´eterminer
a partir de combien d’heures 70% des composants de type A auront eu leur premiere d´efaillance. - Pour essayer d’am´eliorer la fiabilit´e, on associe deux composants de type A : quelle est la probabilit´e qu’un tel syst
eme connaisse sa premiere panne avant 1000 heures de fonctionnement? (On suppose que les deux composants fonctionnent ind´ependamment l’un de l’autre) - On constitue un syst
eme associant en s´erie un composant de type A et un composant de type B. Quelle est la probabilit´e que ce systeme fonctionne encore au-del`a de 1000 heures? Y
Exercice 4 Le d´elai de livraison d’une pi`ece suit une loi normale de moyenne 30 jours et d’´ecart-type 5 jours.
- Quelle est la probabilit´e pour que le d´elai soit inf´erieur `a 38 jours? Compris entre 22 et 38 jours?
- Mˆeme question si la moyenne passe `a 32 jours avec un ´ecart-type de 8 jours. (^) Y
Exercice 5 Une usine assure le conditionnement d’un tres grand nombre de bouteilles d’un certain type. On d´esigne par X la variable al´eatoire qui,a toute bouteille prise au hasard, associe sa contenance exprim´ee en litres. On admet que lorsque la machine est bien r´egl´ee X suit la loi normale de moyenne 1L et d’´ecart type 0 , 01 L.
- Quelle est la probabilit´e qu’une bouteille, prise au hasard, contienne moins de 0, 98 L
- La capacit´e maximale d’une bouteille est de 1, 025 L ; quelle est la probabilit´e qu’une bouteille, prise au hasard, contienne plus de 1, 025 L? (^) Y
Exercice 6 On suppose qu’avec une certaine balance de laboratoire, l’erreur (en g) sur la pes´ee d’un corps est une variable al´eatoire suivant la loi normale de param`etres μ = 0 et σ = 0, 08. Soit X la variable al´eatoire ´egale au r´esultat de la pes´ee d’un corps de masse exacte 72, 37g.
- Quelle est la probabilit´e P (72, 3 < X < 72 , 5)?
- D´eterminer un intervalle centr´e I sur 72, 37 tel que P (X ∈ I) = 0, 98. (^) Y
Exercice 7 La taille d’une femme fran¸caise suit une loi normale de moyenne 167cm et d’´ecart-type 5cm.
- Quelle est la proportion de femmes ayant une taille sup´erieure `a 1m70?
- Quelle est la proportion de femmes ayant une taille inf´erieure `a 1m60?
- Quelle est la proportion de femmes ayant une taille comprise entre 1m63 et 1m69?
- Pour une place de pilote d’avion, 50 femmes ont postul´e et 23 ont ´et´e refus´ees parce qu’elles ´etaient trop grandes et 2 ont ´et´e refus´ees parce qu’elles ´etaient trop petites. (a) Calculer le pourcentage de femmes refus´ees parce qu’elles ´etaient trop grandes et celui des femmes refus´ees parce qu’elles ´etaient trop petites. (b) En supposant que l’on obtiendrait des r´esultats identiques (en proportion) en consid´erant l’ensemble des femmes fran¸caises, donner la taille minimale et la taille maximale impos´ees pour ˆetre pilote d’avion. (^) Y
Exercice 8 Dans une revue, on peut lire : “On estime a 60, 5% le pourcentage de fran¸cais partant au moins une fois en vacances dans le courant de l’ann´ee.” On considere 100 personnes prises au hasard, avec remise, parmi la population fran¸caise. On d´esigne par X la variable al´eatoire qui a chaque pr´elevement de 100 personnes associe le nombre de celles qui ne partent pas en vacances dans le courant de l’ann´ee.
- Justifier que X suit une loi binomiale, on donnera son esp´erance et l’´ecart type.
- Calculer la probabilit´e de l’´ev`enement “X = 45”.
- On d´ecide d’approcher X par une loi normale not´e Y. Donner les param`etres de cette loi normale et calculer P (44, 5 ≤ Y ≤ 45 , 5).
- D´eterminer la probabilit´e qu’au plus 30 de ces 100 personnes ne partent pas en vacances dans le courant de l’ann´ee. Y
Exercice 9 Au march´e de Brive-la-Gaillarde, on a pes´e les bottes d’oignons : sur 2000 bottes, 120 pesent moins de 900 grammes et 112 pesent plus de 1, 150 kilogrammes. En admettant que la variable al´eatoire X ´egale a la masse en kilogramme d’une botte d’oignons suit une loi normale, donner une estimation de ses parametres. Y
Exercice 10 Albert et Bernard d´ecident de faire n parties de pile ou face, avec un enjeu de 1e par partie. Chacun d’eux dispose de la somme de 20e. Le reglement aura lieua la fin de la ni`eme^ partie.
- Soit X le nombre de parties que gagnera Albert. Quelle double in´egalit´e doit satisfaire X pour que le r
eglement puisse s’effectuer sans dette de l’un ou de l’autre joueur (c’esta dire que le perdant peut r´egler imm´ediatement le gagnant)? - D´eterminer une valeur n pour que la probabilit´e d’un r
eglement sans dette soit au moins ´egalea 0, 68. Y
Fonction de r´epartition Π(t) de la Loi Normale Centr´ee R´eduite N or(0; 1).
Π(t) = P (X ≤ t) =
∫ (^) t
−∞
2 π
e−^
x 22 dx et Π(−t) = 1 − Π(t).
t 0. 00 0. 01 0. 02 0. 03 0. 04 0. 05 0. 06 0. 07 0. 08 0. 09
- 0 0. 5000 0. 5040 0. 5080 0. 5120 0. 5160 0. 5199 0. 5239 0. 5279 0. 5319 0. 5359
- 1 0. 5398 0. 5438 0. 5478 0. 5517 0. 5557 0. 5596 0. 5636 0. 5675 0. 5714 0. 5753
- 2 0. 5793 0. 5832 0. 5871 0. 5910 0. 5948 0. 5987 0. 6026 0. 6064 0. 6103 0. 6141
- 3 0. 6179 0. 6217 0. 6255 0. 6293 0. 6331 0. 6368 0. 6406 0. 6443 0. 6480 0. 6517
- 4 0. 6554 0. 6591 0. 6628 0. 6664 0. 6700 0. 6736 0. 6772 0. 6808 0. 6844 0. 6879
- 5 0. 6915 0. 6950 0. 6985 0. 7019 0. 7054 0. 7088 0. 7123 0. 7157 0. 7190 0. 7224
- 6 0. 7257 0. 7291 0. 7324 0. 7357 0. 7389 0. 7422 0. 7454 0. 7486 0. 7517 0. 7549
- 7 0. 7580 0. 7611 0. 7642 0. 7673 0. 7704 0. 7734 0. 7764 0. 7794 0. 7823 0. 7852
- 8 0. 7881 0. 7910 0. 7939 0. 7967 0. 7995 0. 8023 0. 8051 0. 8078 0. 8106 0. 8133
- 9 0. 8159 0. 8186 0. 8212 0. 8238 0. 8264 0. 8289 0. 8315 0. 8340 0. 8365 0. 8389
- 0 0. 8413 0. 8438 0. 8461 0. 8485 0. 8508 0. 8531 0. 8554 0. 8577 0. 8599 0. 8621
- 1 0. 8643 0. 8665 0. 8686 0. 8708 0. 8729 0. 8749 0. 8770 0. 8790 0. 8810 0. 8830
- 2 0. 8849 0. 8869 0. 8888 0. 8907 0. 8925 0. 8944 0. 8962 0. 8980 0. 8997 0. 9015
- 3 0. 9032 0. 9049 0. 9066 0. 9082 0. 9099 0. 9115 0. 9131 0. 9147 0. 9162 0. 9177
- 4 0. 9192 0. 9207 0. 9222 0. 9236 0. 9251 0. 9265 0. 9279 0. 9292 0. 9306 0. 9319
- 5 0. 9332 0. 9345 0. 9357 0. 9370 0. 9382 0. 9394 0. 9406 0. 9418 0. 9429 0. 9441
- 6 0. 9452 0. 9463 0. 9474 0. 9484 0. 9495 0. 9505 0. 9515 0. 9525 0. 9535 0. 9545
- 7 0. 9554 0. 9564 0. 9573 0. 9582 0. 9591 0. 9599 0. 9608 0. 9616 0. 9625 0. 9633
- 8 0. 9641 0. 9649 0. 9656 0. 9664 0. 9671 0. 9678 0. 9686 0. 9693 0. 9699 0. 9706
- 9 0. 9713 0. 9719 0. 9726 0. 9732 0. 9738 0. 9744 0. 9750 0. 9756 0. 9761 0. 9767
- 0 0. 9772 0. 9778 0. 9783 0. 9788 0. 9793 0. 9798 0. 9803 0. 9808 0. 9812 0. 9817
- 1 0. 9821 0. 9826 0. 9830 0. 9834 0. 9838 0. 9842 0. 9846 0. 9850 0. 9854 0. 9857
- 2 0. 9861 0. 9864 0. 9868 0. 9871 0. 9875 0. 9878 0. 9881 0. 9884 0. 9887 0. 9890
- 3 0. 9893 0. 9896 0. 9898 0. 9901 0. 9904 0. 9906 0. 9909 0. 9911 0. 9913 0. 9916
- 4 0. 9918 0. 9920 0. 9922 0. 9925 0. 9927 0. 9929 0. 9931 0. 9932 0. 9934 0. 9936
- 5 0. 9938 0. 9940 0. 9941 0. 9943 0. 9945 0. 9946 0. 9948 0. 9949 0. 9951 0. 9952
- 6 0. 9953 0. 9955 0. 9956 0. 9957 0. 9959 0. 9960 0. 9961 0. 9962 0. 9963 0. 9964
- 7 0. 9965 0. 9966 0. 9967 0. 9968 0. 9969 0. 9970 0. 9971 0. 9972 0. 9973 0. 9974
- 8 0. 9974 0. 9975 0. 9976 0. 9977 0. 9977 0. 9978 0. 9979 0. 9979 0. 9980 0. 9981
- 9 0. 9981 0. 9982 0. 9982 0. 9983 0. 9984 0. 9984 0. 9985 0. 9985 0. 9986 0. 9986
- 0 0. 9987 0. 9987 0. 9987 0. 9988 0. 9988 0. 9989 0. 9989 0. 9989 0. 9990 0. 9990
- 1 0. 9990 0. 9991 0. 9991 0. 9991 0. 9992 0. 9992 0. 9992 0. 9992 0. 9993 0. 9993
- 2 0. 9993 0. 9993 0. 9994 0. 9994 0. 9994 0. 9994 0. 9994 0. 9995 0. 9995 0. 9995
- 3 0. 9995 0. 9995 0. 9995 0. 9996 0. 9996 0. 9996 0. 9996 0. 9996 0. 9996 0. 9997
- 4 0. 9997 0. 9997 0. 9997 0. 9997 0. 9997 0. 9997 0. 9997 0. 9997 0. 9997 0. 9998
- 5 0. 9998 0. 9998 0. 9998 0. 9998 0. 9998 0. 9998 0. 9998 0. 9998 0. 9998 0. 9998
- 6 0. 9998 0. 9998 0. 9999 0. 9999 0. 9999 0. 9999 0. 9999 0. 9999 0. 9999 0. 9999
- 7 0. 9999 0. 9999 0. 9999 0. 9999 0. 9999 0. 9999 0. 9999 0. 9999 0. 9999 0. 9999
- 8 0. 9999 0. 9999 0. 9999 0. 9999 0. 9999 0. 9999 0. 9999 0. 9999 0. 9999 0. 9999
- 9 1. 0000 1. 0000 1. 0000 1. 0000 1. 0000 1. 0000 1. 0000 1. 0000 1. 0000 1. 0000
IUT Aix-en-Provence Ann´ee 2012- DUT Informatique TD Probabilit´es feuille n◦^6
Variables al´eatoires continues (M´ethodes)
Z Comment d´eterminer la loi de probabilit´e d’une variable al´eatoire continue?
- On suppose donn´ee une fonction f d´efinie sur R. V´erifier que f est bien une densit´e de probabilit´e, c’est-`a-dire, s’assurer que :
- ∀x ∈ R f (x) ≥ 0,
- f est continue par morceaux sur R,
−∞ f^ (x)dx^ = 1.
- On suppose donn´ee la fonction de r´epartition F de la variable al´eatoire X. Pour d´eterminer sa densit´e de probabilit´e f :
- D´eterminer les intervalles I sur lesquels F est d´erivable.
- Pour tout x ∈ I, f (x) = F ′(x).
Z Comment d´eterminer la fonction de r´epartition d’une variable al´eatoire continue?
On suppose connue f la densit´e de probabilit´e de X. Pour tout x ∈ R, on a :
F (x) = P(X ≤ x) = P(X < x) =
∫ (^) x
−∞
f (t)dt.
Z Comment calculer l’esp´erance, l’´ecart-type d’une variable al´eatoire continue?
On suppose connue f la densit´e de probabilit´e de X. Pour l’esp´erance math´ematique :
- Utiliser la formule E(X) =
−∞ xf^ (x)dx. Pour l’´ecart-type :
- Calculer E(X^2 ) =
−∞ x
(^2) f (x)dx
- Calculer la variance par la formule V (X) = E(X^2 ) − E(X)^2.
- Calculer enfin σ(X) =
V (X).
Z Comment calculer la probabilit´e d’une loi normale?
Soit X une loi normale N or(μ; σ). On cherche `a calculer P(x 1 ≤ X ≤ x 2 ).
- Il faut se ramener syst´ematiquement `a la loi normale centr´ee r´eduite N or(0; 1) par le changement de variable U = Xσ− μ. On peut alors ´ecrire :
P(x 1 ≤ X ≤ x 2 ) = P
x 1 − μ σ
X − μ σ
x 2 − μ σ
= P(u 1 ≤ X ≤ u 2 ) = Π(u 2 ) − Π(u 1 )
en posant u 1 = x^1 σ− μet u 2 = x^2 σ− μe o`u Π est la fonction de r´epartition de N or(0; 1).
- Les calculs sont ensuite effectu´es avec la table qui fournit les valeurs, pour u ≥ 0, de P(U ≤ u) = Π(u). Pour u < 0, on utilise la formule :
P(U < u) = P(U ≤ u) = 1 − P(U ≤ −u) = 1 − Π(−u).
Remarque : Pour calculer P(U ≥ u), on utilise la formule P(U ≥ u) = 1 − P(U < u) = 1 − Π(u).
