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Übung
lineare
Differentialgleichungen
Korollar
:
( ( I.
V
V
,
um UHO
Isomorphismus
(
bij
Homomorphismus
)
t
t
Lösungen
von AW
ÜH
)
Act )
nit )
tblt )
→
din
(
Lösung
sraum
)
=
dein
CV
)
Bsp
: ÜH )
= Alt ) alt )
)
,
Ulto )
uo
Homogenes
ANP : ÜH )
= Alt
) alt
Ulto )
=
wo
Uhr)
=D
für ein
-4EUR
:
11=-
Trennung
der Variablen :
Üt) = Alt
)
KH )
t
lnlult ) )
Acs)
als
lncuo
to
t
net
)
=
exp
(
/
Acs)
ds
)
no
to
Inhomogenes
AWP : Ansatz
: Variation der konstanten
t
net )
=
exp
JA
ds
)
CH
)
to
int
=
exp
(
§
Acs
)
ds
)
Alt) CH
=
uct
Ätsch
)
CH
to
=
Alt
)
alt
exp
(
Als
as
)
C.
'
H
=
Alt
)
ult)
t
t
tblt
alt
)
=
exp
(
/
Acs
ds
)
/
CYSIDS
to
to
s
=
exp
( [
Acs )
as
)
Jexpf
/
Air )
dr
)
bis
)
als
spezielle
Lösung
to
to to
(
löst
das AWP
mit uit
. )
löse das
AWP :
{
Üsct
Alt
MSH
)
homogenes
AWP
U
=
bis
t
t
s
Us (f)
=
exp tcrdr
)
bes
=
expfffkrklrfexpf-ftcrldrfb.IS
s
to to
⑦
d-
Jus
ds
=
(
utct
just
)
as
)
(
h
)
☒
to
to
t
=
Ut
lt
|
Act
Uslt )
as
to
t
=
b.
(f)
Alt
)
/
Us A)
ds
to
t
=)
|
Us A)
ds
löst das
AWP
ÜH
=
Alt )
ult
)
bit )
to
Ulto )
= O
t s
net
=
exp
(
[
Acs)
ds
)
(
u
.
|
exp
(
JAK
)
ar
)
bis ds
)
to
Ä÷Ä
löst das einhorn .
ANP mit ucto)
→
Allen
→
Ausp
→
Uo
→
0
löst das einhorn
.
AWP mit ucto )
=
u.
Korollar 1.56: autonome inhom .
DGL
Ült
= Aut )
bct
)
U
( to)
=
Uo
besitzt
eindeutige
&
globale Lösung
t
nit
)
=
exp (
It
to
) A) not / exp
(
Lt
s)
A)
bcssds
to
→
exp
( At
ausrechnen
Bsp
: Variation der konstanten
✗
'
= 6-
,
✗
(
01=
Umschreiben
: ✗
'
=
3T
✗
Ansatz
: ✗
it
)
=
exp
( f
-3T
'
dt
)
CH
=
expf
F)
CH
A)
=
EI
CH
exp
(
_ES
C)
CH )
=
-31-
✗
it
expl
ts
C.
'
It
)
=D
"
(
t
=
exp
(f)
GE
Part
.
Int.
CH
)
=
/
expct
}
bts-dt-fexpcszsds-2s.ee/pcs)-f2expcs)dss=t
'
=
Ztsexpct
Zexplt )
als
= 3T
'
dt
[
t
t
,
tut
= bit
/ alt
,
) /
alt
. .
.
/
alt
"
)
bltn
atu
...
dt
,
K
= '
&
,
× tn
°
[
alt ,
)
/
alt
..
/
altnt
,
Ultnt
,
)
dtnt
,
...
dt
,
✗ ✗
a
Fundamental
lösung
E Basis des
lösungs
raums
→
jede
Lösung
ist
eine
Linearkombination von lin .
unabhängigen
Lösungen
der
Fundamental
lösung
→
als Matrix darstellbar
{
FH
)
=
Act )
FH
)
FHO
)
= A-
t
→
UH
=
FH)
(
not
/
F-
'
(5) bis
ds
)
I
Satz 1.61 : det
(
FH ))
to
FH )
invertierbar
det (
FA)
=
exp
(
[
Spart
Acs
)
ds
)
to
→ um
die Matrix zu
invertieren
Bsp
: ✗
'
=
Alt
×
,
A A)
=
(
to f)
,
Flo )
= I
(E)
=/
tut "
)
für
(
"
o
)
✗
v0)
)
=
(f)
&
(
410
no)
)
(9)
txz
1-
.
✗
<
=
Xzco )
exp
(
¥
)
=D
×
,
=
✗
v ) exp
/ ¥ )
=
exp
(E)
Xz
=
exp
(E)
×
,
=
txstexp (
TI
)
: Variation
der konstanten
✗
it
)
= CH
exp
(E)
DGL
✗
it
=
Kit
Yt
exp
(E)
=
tx
,
exp
(E)
CYT
(A)
=
ttc
„
Hk Htc
exp
E
)
AW
a-
Mio
=
Cexp
(E)
=)
C- 0
Kit)
=
texp (E)
=
(
expl
E)
t.ee/PlE
)
&
Fco )
=
( f q )
0
exp (E)
→
Lösung
für
{
✗
'
=
Attx
:
✗(E)
=
Fit
)
Z
)
✗ ☐
=
(E)
=
(
Karl
E) (
Kt
)
)
Zexp
(E)
