Download Integration Exercises: Techniques and Solutions for Calculus Mastery and more Exercises Calculus in PDF only on Docsity!
Exercise on Integration
1.1 Substitution
Use a suitable substitution to evaluate the following integral.
dx √ 2 − 5 x
e 3 x
ex^ + 1
dx
x √ 1 − x^2
dx
x 2 3
1 + x^3 dx
xdx
(1 + x^2 )^2
dx √ x(1 +
x)
x^2
sin
x
dx
xe −x^2 dx
(ln x) 2
x
dx
exdx
2 + ex
cos xdx √ 1 − sin x
sec 2 x √ 1 + tan x
dx
dx √ x − 1
dx
ex^ + e−x
cos
x √ x
dx
sin x sec 3 xdx
tan xdx
sec 2 x cot xdx
dx
1 + ex
x(x 2
8 dx
x √ 25 − x^2
dx
x √ 3 x^2 + 1
dx
x^2 √ 9 − x^3
dx
x(x + 2) 7 dx
xdx √ 4 x + 5
x
x − 1 dx
(1 − sin x) ln(1 + sin x)
cos x
dx
(x + 2)
x − 1 dx
xdx √ x + 9
x 3 (1 + 3x 2 )
1 (^2) dx
1.2 Trigonometric Integrals
Evaluate
cos 6x sin 4xdx
dx
1 − cos x
sin 5 x cos xdx
sin 3x sin 5xdx
cos
x
2
cos
x
3
dx
cos 3 xdx
sin 4 xdx
(sin x + sec x) 2 dx
sec 2 x tan 2 xdx
sec x tan 3 xdx
tan x
1 + sec x
dx
cot 2 xdx
dx
cos x sin^2 x
sin x cos 3 x
1 + cos^2 x
, dx
tan 5 xdx
1 − tan x
1 + tan x
dx
dx
sin 4 x cos^4 x
, dx
sin 5x cos xdx
cos x cos 2x cos 3xdx
cos 5 x sin 3 xdx
cos 5 x sin 4 xdx
sin 2 x cos 4 xdx
1.3 Integration By Parts
ln xdx
x 2 ln xdx
(ln x) 2
x^2
dx
xe −x dx
x 2 e − 2 x dx
x cos xdx
x^2 sin 2xdx
x 5 e x^3 dx
x sin x cos xdx
(ln x) 2 dx
1.5 Trigonometric Substitution
Evaluate the following integrals by trigonometric substitution.
x^2
1 + x^2
dx
dx
(1 − x^2 )
3 2
4 − 9 x^2 dx
∫ √^
1 + x
1 − x
dx
dx
(1 + x^2 )
3 2
x^2 dx √ 9 − x^2
dx √ 4 + x^2
x 2
16 − x^2 dx
dx
x^2
x^2 + 4
x √ 1 − x
dx
(1 − x 2 )
3 (^2) dx
dx
(2x − x^2 )
3 2
1.6 Rational Functions
Evaluate the following integrals of rational functions.
x^2 dx
1 − x^2
x 2
x − 1
dx
x 3
x + 3
dx
(1 + x) 2
1 + x^2
dx
x(x − 6)
(x − 3)^2
dx
dx
x^2 + 2x − 3
x^2 + 1
x^4 − 2 x^2 + 1
dx
dx
(x^2 − 2)(x^2 + 3)
x + 1
x^2 + 4x + 8
dx
x^2 + 1
(x + 1)^2 (x − 1)
dx
x^2
(x^2 − 3 x + 2)^2
, dx
x^2 + 5x + 4
x^4 + 5x^2 + 4
dx
dx
(x + 1)(x^2 + 1)
2 x^3 − 4 x^2 − x − 3
x^2 − 2 x − 3
dx
4 − 2 x
(x^2 + 1)(x − 1)^2
dx
dx
x(x^2 + 1)^2
x 2 dx
(x − 1)(x − 2)(x − 3)
xdx
x^2 (x^2 − 2 x + 2)
1.7 t-method
Use t-substitution to evaluate the following integrals.
dx
sin 3 x
dx
1 + sin x
dx
sin x cos^4 x
dx
2 + sin x
cos x
1 + cos x
dx
1 − cos x
3 + cos x
dx
dx
4 sin x + 3 cos x
1 + cos x
sin x + cos x
dx
1.8 Miscellaneous
Evaluate the following integrals.
x^3 √ 1 − x^2
dx
x(ln x) 2 dx
x + 4
(x + 1)^2
dx
cos 3 x
sin^2 x
dx
xdx
(1 + x^2 )^2
x^4
4 − x^2
dx
x^3
4 + x^2
dx
e 2 x dx
1 + ex
dx
x(1 + 2 ln x)
dx
2 x
cos 2 x sin 3 xdx
sin 2x
1 + cos^2 x
dx
e
1 x
x^2
dx
sin x
cos^2 x
dx
x sec x tan xdx
x tan 2 xdx
cot x
1 + sin x
dx
tan^3 x
1 + sec x
dx
x 3 dx
x^2 − 1
dx
e^2 x^ + ex^ − 2
ln x
x
1 + ln x
dx
x^2 + 1 dx
Section 1.1: Substitution
1. −^2
5
2 − 5 x + C
2 e^2 x^ − ex^ + x + C
1 − x^2 + C
1 4 (1 +^ x
3 )
4 (^3) + C
1 2(1+x^2 ) +^ C
- 2 ln(1 +
x) + C
- cos 1 x +^ C
1 2 e
−x^2
1 3 (ln^ x)
3
- ln(2 + e x ) + C
1 − sin x + C
1 + tan x + C
x + 2 ln |
x − 1 | + C
- tan−^1 ex^ + C
- 2 sin
x + C
2 sec^2 x + C
- − ln | cos x| + C
- ln | tan x| + C
- x − ln(1 + e x ) + C
(x^2 +2)^9 18 +^ C
25 − x^2 + C
3
3 x^2 + 1 + C
23. −^23
9 − x^3 + C
(x+2)^9 9 −^
(x+2)^8 4 +^ C.
- 121 (2x − 5)
4 x + 5 + C
2 15 (x^ −^ 1)
3 / 2 (3x + 2) + C
1 2 (ln(1 + sin^ x))
2 + C
2 5 (x^ −^ 1)
3 / 2 (x + 4) + C
2 3 (x^ −^ 18)
x + 9 + C
135 (3x^2 + 1)
3 / 2 (9x^2 − 2) + C
Section 1.2: Trigonometric Integrals
4 cos 2x − 1 20 cos 10x + C
- − cot x 2 +^ C
- 16 sin^6 x + C
1 4 sin 2x^ −^
1 16 sin 8x^ +^ C
- 3 sin x 6 +^
3 5 sin^
5 x 6 +^ C
- sin x − 1 3 sin
3 x + C
3 8 x^ −^
1 4 sin 2x^ +^
1 32 sin 4x^ +^ C
- x 2 − sin 2x 4 − 2 ln | cos x| + tan x + C
1 3 tan
(^3) x + C
- 13 sec^3 x − sec x + C
- − ln(1 + cos x) + C
- −x − cot x + C
1 sin x +^
1 2 ln^
1+sin x 1 −sin x +^ C
1 2 cos
(^2) x + 1 2 ln(1 + cos
(^2) x) + C
tan^4 4 −^
tan^2 x 2 −^ ln^ |^ cos^ x|^ +^ C
- ln | sin x + cos x| + C
- −8 cot 2x − 8 3 cot
(^3 2) x + C
1 8 cos 4x^ −^
1 12 cos 6x^ +^ C
x 4 +^
sin 2x 8 +^
sin 4x 16 +^
sin 6x 24 +^ C
cos^8 (x) 8 −^
cos^6 (x) 6 +^ C
sin^9 (x) 9
2 sin^7 (x) 7
sin^5 (x) 5
+ C 22. −
1 6 cos
(^5) x sin x + 1 24 cos
(^3) x sin x + 1 16 cos x sin x + 1 16 x + C.
Section 1.3: Integration By Parts
- x ln x − x + C
x^3 3 (ln^ x^ −^
1 3 ) +^ C
1 x ((ln^ x)
(^2) + 2 ln x + 2) + C
- −(x + 1)e −x + C
- −e
− 2 x 4 (2x^2 + 2x + 1) + C
- x sin x + cos x + C
2 x^2 − 1 4 cos 2x^ +^
x 2 sin 2x^ +^ C
2 x^3 ex
3 − 1 3 ex
3
- 18 sin 2x − 14 x cos 2x + C
- x(ln x)^2 − 2 x ln x + 2x + C
- x sin − 1 x +
1 − x^2 + C
x 2 +^
1+x^2 2 tan
− 1 x + C
- 2 sin
x − 2
x cos
x + C
- x ln(x +
1 + x^2 ) −
1 + x^2 + C
- x
2 4 −^
x 4 sin 2x^ −^
1 8 cos 2x^ +^ C
x 2 (sin(ln^ x)^ −^ cos(ln^ x)) +^ C
- 161 sin 4x − 14 x cos 4x + C
x^2 cos−^1 x 2 +^
sin−^1 x 4 −^
x
√ 1 −x^2 4 +^ C
- x tan−^1 x − 1 2 log(x
2 + 1) + C
x^5 ln x 5 −^
x^5 25 +^ C
- − ln x 3 x^3 −^
1 9 x^3 +^ C
- x tan x + ln(cos x) + C
1 13 e
2 x(3 sin 3x + 2 cos 3x) + C.
- 2(x − 2) sin
x + 4
x cos
x + C
Section 1.5: Trigonometric Substitution
- x − tan−^1 x + C
- √x 1 −x^2
+ C
x
√ 4 − 9 x^2 2 +^
2 3 sin
−1 3x 2 +^ C
1 − x^2 + sin − 1 x + C
√x 1+x^2
+ C
9 2 sin
− 1 x 3 −^
x 2
9 − x^2 + C
- ln |x +
4 + x^2 | + C
16 − x^2
x^3 4 −^2 x
+32 sin−^1
x 4
+C
√ x^2 + 4 x +^ C
x
1 − x − tan − 1
√ √^1 −x x +^ C
x(1−x^2 )
3 2 4
3 x(1−x^2 )
1 2 8
8 sin−^1 x + C
√x−^1 2 x−x^2
Section 1.6: Rational Functions
- −x + 1 2 ln^ |
1+x 1 −x |^ +^ C
x^2 2 + 3x^ + 2 ln^ |x^ −^1 |^ +^ C
- 9x − 32 x^2 + 13 x^3 − 27 ln |x + 3| + C
- x + ln(1 + x^2 ) + C
- x + 9 x− 3 +^ C
- 14 ln |x x−+3^1 | + C
x
√ x^2 + 2 −^
9 2 ln^ |x^ +^
x^2 + 9| + C
x(x^2 +10)
√ x^2 + 4 + 6 ln(x^ +^
x^2 + 4) + C
- ln(1 +
1 − x^2 ) −
1 − x^2 + C
- sin − 1 x − 1 −
√ 1 −x^2 x +^ C
- ln | sin x| − 1 2 sin
2 x + C
- x + 17 ln |x − 3 | − 12 ln |x − 2 | + C
- x − 2
x + 2 ln(1 +
x) + C
- 23 (x − 2)
3 (^2) + 4(x − 2)
1 (^2) + C
- x − 2 ln(1 +
1 + ex) + C
- x 2 (cos(ln x) + sin(ln x)) + C
1 4 x(1−x
2 )
3 (^2) + 3 8 x
1 − x^2 + 3 8 sin
− 1 x+C
1 2 tan
− 1 (x + 1) + 1 2 tan
− 1 (x − 1) + C
x^2 9 +^
x sin 6x 12 +^
cos 6x 72 +^ C
x 2 +^
1 2 ln^ |^ sin^ x^ + cos^ x|^ +^ C
- −2 sin − 1 e − x 2 + C
√ 4 −x^2 x +^ C
sin −1 1 x +^ C
1 x −^ 2 ln^ |x|^ + 2 ln^ |x^ −^1 |^ +^ C
1 3 sec
(^3) x + C
3 tan^3 x − tan x + x + C
1 2 sec^ x^ tan^ x^ −^
1 2 ln^ |^ sec^ x^ + tan^ x|^ +^ C
3 x^2 (x^2 + 1)
3 (^2) − 2 15 (x^2 + 1)
5 (^2) + C
1 10 cos 5x^ −^
1 2 cos^ x^ +^ C
- 12 x^2 − ln |x| + 12 ln(x^2 + 1) + C
1 3 (x
2 + 4)^32 − 4
x^2 + C
- 14 ln |x + 1| − 14 ln |x − 1 | − (^) 2(xx (^2) −1) + C
x − 2 ln(1 +
x) + C
x sin
x + 2 cos
x + C
- − 2 x + x ln(1 + x^2 ) + 2 tan−^1 x + C
- ln |
x − 1 | − ln |
x + 1| + C
1 3 x
3 tan − 1 x − 1 6 x
2
1 6 ln(x
2
- (x + 1) tan−^1
x −
x + C
- sin
x −
x
1 − x + C
x + 1 + ln |
x − 1 | − ln |
x + 1| + C
x + ln |1 + x| − 2 tan−^1
x + C
1 4 sin
x − 1 4
x
1 − x(1 − 2 x) + C
