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Notes de cours complémentaires Collège Regina Assumpta
Fonctions expo et log - Page 64 Mathématique SN
2022 - 2023 Document préparé par S. Mathieu
Exemples dirigés
1. a) 5
b)
1
125
c) 4
d)
1
10 000
e) 7 f) 1
g)
16
7
h) 0
2. a) 625, 3 125, 15 625
b) 1 ,
1
2
1
4
3. a) 15, 75, 375
b) 5,
5
2
5
16
4. a) 2
6
3
∙ 5 b) − 3
4
a)
𝑎
6
𝑏
4
2
2
b)
1
2
4
3 3
4
3 𝑥
5
3 𝑦
2
3
c)
𝑥
12
3
8
𝑦
d)
3
13
𝑥
18
𝑦
13
e)
𝑥
3
3
2
𝑎𝑏
6
f)
−𝑎
2
3
5
g) 1
h) −
𝑎
193
12
5
113
6 𝑏
29
12
i)
2
11
3
4
3 𝑎
5
6 𝑏
11
2 𝑥
8
3
5
1
6
j)
2
31
2 7
39
5
𝑥
173
10 𝑦
493
20
k) 2
𝑎+ 2
4 𝑏
𝑎+ 2
𝑎
l) 𝑎
Corrigé détaillé pour l’exemple 5 précédent.
a)
2
3
2
2
2
2
6
2
2
4
2
6
2
6
4
2
b)
2
4
3
3
− 1
2
3
4
3
1
3
− 2
− 3
− 1
− 4
3
− 5
3
− 2
3
4
3
4
3
5
3
2
3
c)
− 3
− 2
− 2
4
− 1
− 2
4
− 6
6
4
− 2
6
− 5
− 8
12
− 1
12
8
d)
3
2
3
÷
− 5
− 2
4
6
3
÷
10
12
18
3
×
10
13
18
13
e)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
2
3
2
2
2
6
2
3
2
6
f)
3
5
2
3
4
2
2
6
2
4
2
2
12
4
8
2
5
Collège Regina Assumpta Notes de cours complémentaires
Mathématique SN5 Fonctions expo et log - Page 65
Document préparé par S. Mathieu 2022 - 2023
g)
3
4
2
− 3
6
3
4
2
− 3
− 6
3
4
2
− 3
6 + − 6
3
4
2
− 3
0
h)
3
− 2
− 3
− 2
3
1 ⁄ 4
5
4
3
− 4
6
− 2
− 4
− 6
− 9
6
− 3
2
1
4
3
4
5
3
4
3
1
3
16
− 24
8
− 6 +
5
3
− −
3
2
− 16
− 9 +
4
3
−
1
4
− − 24
6 +
1
3
−
3
4
− 8
− 113
6
193
12
− 29
12
193
12
113
6
29
12
i)
4
3
1 ⁄ 3
2
3
− 2
÷
2
3
2
1
3
1
3
4
3
− 6
− 2
− 4
− 2
3
5
3
2
2
1
2
1
2
5 − − 6
1
3
− − 2 − 1
1
3
−
1
2
4
3
−
1
2
3
2
− − 4
2 −
− 2
3
0
11
4
3
− 1
6
5
6
11
2
8
3
11
4
3
5
6
11
2
8
3
1
6
j)
− 3
− 4
3
1
2
1
4
3 ⁄ 5
÷
4
7
− 3
2
3
− 3
18
− 9
− 12
6
5
3
10
3
20
9
− 6
− 9
5
2
2
7
2
18 −
5
2
9 −
6
5
− 9 + − 6 −
3
10
− 2
− 12 + − 9 −
3
20
−
7
2
31
2
39
5
− 173
10
− 493
20
31
2
39
5
173
10
493
20
k)
2 𝑎 + 5
3 𝑎 + 5
5 𝑎 + 3 𝑏
𝑎 + 𝑏
5 𝑎 + 7 𝑏
2 𝑎 + 𝑏
𝑎 + 3
2 𝑎 + 3
2 𝑎 + 5
5 𝑎 + 7 𝑏
3 𝑎 + 5
2 𝑎 + 𝑏
𝑎 + 3
5 𝑎 + 3 𝑏
2 𝑎 + 3
𝑎 + 𝑏
𝑎+ 2
4 𝑏
𝑎+ 2
𝑎
l)
𝑛 + 1
𝑛 − 1
2
𝑛 + 1
𝑛− 2
− 1
2
2
3
− 1
4
− 3
Exemples dirigés
1. a) 4 = log
10
10 000 b) 2 = log
5
c) 5 = log
1/
d) 2 = log
a
256 e) m = log
b
p f) x = log
a
s
2. a) 4 b) 4 c) 3 d) - 6 e) - 5 f) - 3
3. a) log
2
8 = 3 b) log
5
125 = 3 c) log
7
w = s
d) log
1/
y = x e) log
w
s = v f) log
c
y = x
4. a) 4
3
= 64 b) n
p
= 1 000 c) (0,5)
q
= r d) e
t
= s
5. Les fonctions f et g sont symétriques par rapport à l’axe des ordonnées.
Exemples dirigés
1. a = 12 b = 3 h = 1
k =
et c = 0,
2. a) y = − b) y =
c) y =
d) y =
3. a) 𝑓(𝑥) =
3
4
10
𝑥
+ 2 b) 𝑓(𝑥) =
− 1
81
2
𝑥
− 5 c) 𝑓(𝑥) =
1
12
𝑥
Exemples dirigés
1. a) x = 6 b) x = 3 c) x = - 4
d) x =
Collège Regina Assumpta Notes de cours complémentaires
Mathématique SN5 Fonctions expo et log - Page 67
Document préparé par S. Mathieu 2022 - 2023
Corrigé des exercices supplémentaires
Corrigé – Exercices d’écriture
- a) log
3
4
b) log
25
1/
c) log
1/
= 3 d) log
1/
()
3
e) log
1/
f) log
27
0
g) log 0,01 = - 2 10
h) log
3
- a) 2 b) 4 c) 10 d) 16 e) 3
f) 1
g)
h) 0
)
j) - 3
- a) x = - 3 b) x = 4
c) x =
d) x = - 2
a)
b)
c)
d)
- a) x = 9
b) x =
c) x = 11 d) x = 16
Notes de cours complémentaires Collège Regina Assumpta
Fonctions expo et log - Page 68 Mathématique SN
2022 - 2023 Document préparé par S. Mathieu
Corrigé – Équations exponentielles – série 1
- a) 𝑥 =
3
4
b) 𝑥 = 2 c) 𝑥 = − 4 d) 𝑥 = 1 e) 𝑥 = −
3
2
f) 𝑥 = 6 g) 𝑥 = −
6
5
h) 𝑥 = − 2 i) 𝑥 =
5
2
- a) 𝑥 = 2 b) 𝑥 = 3 c) 𝑥 = 3 d) 𝑥 = − 1
- a) 𝑥 = 2 b) 𝑥 = 4 c) 𝑥 = 5 d) x
- a) 𝑥 = 3 b) 𝑥 = 12 c) 𝑥 = − 6
d) x
car la fonction n’a pas de zéro
Notes de cours complémentaires Collège Regina Assumpta
Fonctions expo et log - Page 70 Mathématique SN
2022 - 2023 Document préparé par S. Mathieu
Corrigé – Équations exponentielles – série 3
a) x =
b) x =
c) x =
d) x =
e) x =
f) x =
a) x =
b) x =
c) x =
d) x = 0 e) x = - 1
f) x =
a) x =
b) x = - 6
c) x =
d) x = - 2 e) x = 0
f) x =
a) x =
b) x = - 24 c) x = 2
- a) x = 3
b) x =
c) x = 3
d) x = 6
e) x =
f) x = - 5
a) x =
b) x =
c) x =
Collège Regina Assumpta Notes de cours complémentaires
Mathématique SN5 Fonctions expo et log - Page 71
Document préparé par S. Mathieu 2022 - 2023
Corrigé – Fonctions exponentielles – série 1
a) f ( x ) = ·()
x –
ou encore avec 2 paramètres : f ( x ) =
x
b) g ( x ) = −·
− x +
ou encore avec 2 paramètres : g ( x ) =
x
Graphique de la fonction f Graphique de la fonction g
Dom f = ℝ Dom g = ℝ
Codom f = ]-6, +∞ Codom g = - ∞, 12[
Extremum : aucun Extremum : aucun
Ordonnée à l’origine : f (0) =
Ordonnée à l’origine : g (0) =
Zéro :
f ( x ) =
x –
x –
x – =
x =
Zéro :
g ( x ) =
− x +
− x +
−(− x + )
2 x – =
x =
Variation :
f est croissante sur son domaine
Variation :
g est décroissante sur son domaine
Signe :
x - ∞, 2], on a f ( x ) ≤
x [2, +∞, on a f ( x ) ≥
Signe :
x [1,5 ; +∞, on a g ( x ) ≤
x - ∞ ; 1,5], on a g ( x ) ≥
Réciproque :
f
−
( x ) = log
( x + )
Réciproque :
g
−
( x ) = log
−( x – )
c) f ( x ) = ·
x −
ou encore à 2 paramètres: f ( x ) =·
x
d) f ( x ) = −·
x +
ou encore à 2 paramètres : f ( x ) = - 12·()
x
Graphique de la fonction f Graphique de la fonction f
car l’égalité des bases
entraîne l’égalité des
exposants
car l’égalité des bases
entraîne l’égalité des
exposants
Collège Regina Assumpta Notes de cours complémentaires
Mathématique SN5 Fonctions expo et log - Page 73
Document préparé par S. Mathieu 2022 - 2023
Corrigé – Fonctions exponentielles – série 2
- a) 3 fois b) 20 minutes
- a) 18,98 grammes et 9,52 grammes b) 5 ans
- 4178 habitants
- a) 33 000$ b) 8137,83$
- La première (de 7,29$)
Notes de cours complémentaires Collège Regina Assumpta
Fonctions expo et log - Page 74 Mathématique SN
2022 - 2023 Document préparé par S. Mathieu
Corrigé – Fonctions exponentielles – série 3
- 20 bactéries
2 𝑥
- Règle avec 2 paramètres:
𝑥
dom 𝑓 = ℝ et codom 𝑓 = ]− 1 , +∞[
Extremum : aucun
Ordonnée à l’origine :
0
Graphique de la fonction 𝑓
Zéro :
𝑥
𝑥
2 𝑥
− 3
Variation : 𝑓 est croissante sur son domaine
Signe :
∀ 𝑥 ∈ ]−∞,
− 3
2
], on a 𝑓(𝑥) ≤ 0
∀ 𝑥 ∈ ]
− 3
2
, +∞], on a 𝑓(𝑥) ≥ 0
Réciproque : 𝑓
− 1
= log
4
1
8
𝑡/ 3
- 𝑄( 120 ) = 5 mg
- ≈ 9 , 6 milliards d'habitants
𝑥
car l’égalité des bases
entraîne l’égalité des
exposants
Notes de cours complémentaires Collège Regina Assumpta
Fonctions expo et log - Page 76 Mathématique SN
2022 - 2023 Document préparé par S. Mathieu
Corrigé – Propriétés des logarithmes – série 1
- a) 3log 2 5 + log 2 7
b) log 5 +
log 7 – log 3
c) 2log 3 x – 2log 3 y d) 5ln 2 – ln a – 2ln c
- a) log 3 7·
2
b) log
a
c) log 5
d) ln
x y
ab
- a) 3 b) 1 c) 8 d) 0
e)
f) 1 g) 0 h)
i) 0 j) 2 k) 1 l) 25
m) 2 n) 15 o) - 1
p)
- a) 2 b) - 4 c) 3
- a) - 0,5445 b) 2,
- a) -2,2619 b) 3,
a)
b) - 2 c) - 6
d)
(c + d)
e) - 6 f) 2a + 1 g) - 1 h) 2
i) 12 j) 0 k) 14 l) 10
m) −6x − 3y + 3
n) 4
Collège Regina Assumpta Notes de cours complémentaires
Mathématique SN5 Fonctions expo et log - Page 77
Document préparé par S. Mathieu 2022 - 2023
Corrigé – Propriétés des logarithmes – série 2
- a) 2log 5 2 + 4log 5 3 b) 3 + log 2 3 – log 2 5
c) log a
5 + 2log a
d)
logb 3 +
logb 11 – 4logb 2
e) ln 2 + ln − 1 f) 2loga 2 + 2
g) 4log b
h) log 2 ( + 4) – log 2 5
- a) log 18 b) ln 2 c) log 2 40
d) log 3
e) log 6
f) log
ab
c
g) ln
a b
c
h) log 2
a
a
b
- a) 3 b) 4 c) - 3 d) - 2
e)
f)
g) 15 h) 3
i) 21
j)
k) 2 l) 125
m)
n)
o) 28 p) 3
- a) 1,855 b) 0,657 c) 1,733 d) 1,
e) 0,7385 f) - 0,2 79 g) 0,477 h) - 0,
i) 2,256 j) 1,023 k) 8 l) 1,
m) 1,512 n) 0,
- a) a + 2 b) 3x – 1 c) 9 d) 9
- a) - log b
x = log 1/b
x b) log b
a · log a
b = 1
log x
log b
−
log x
−log b
= - logb x
log a
log b
log b
log a
c) 𝑏
log 𝑏
𝑥
log 𝑏
𝑦
d) logb
x
= log1/b x
x y = xy par la loi fondamentale
log x
−
log b
−log x
log b
log x
−log b
log x
log b
−
= log 1/b
x
- a) 2,3219 b) 2,0794 c) 1, 2304 d) 6,6167 e) 1,3219 f) 1,
Collège Regina Assumpta Notes de cours complémentaires
Mathématique SN5 Fonctions expo et log - Page 79
Document préparé par S. Mathieu 2022 - 2023
Corrigé – Exponentielles et logarithmes en vrac – série 2
- a) 0 b)
− 15
4
c)
1
6
- a) x = 4 b) x = 3
3. N = 8 000 000
x =
a) ln
4 𝑥
√
3 𝑦
b) log
2
- Une fonction logarithmique transformée aura une ordonnée à l’origine si et seulement si les
paramètres b et h sont de signes contraires. Voir vos notes de cours en page 38 pour l’illustration
du constat.
g ( x ) = log
( – x ) −
Graphique de la fonction g Dom g = - ∞, 3[
Codom g = ℝ
Extremum : aucun
Ordonnée à l’origine :
g (0) = log
g (0) ,
Zéro :
g ( x ) =
4log
(- 2 ( x − )) − =
log
(- 2 ( x − )) =
x =
Variation :
g est décroissante sur son domaine
Signe :
x - ∞,
x [
Réciproque :
− 1
1
4
(𝑥+ 2 )
En passant de la forme
logarithmique à la forme
exponentielle
Notes de cours complémentaires Collège Regina Assumpta
Fonctions expo et log - Page 80 Mathématique SN
2022 - 2023 Document préparé par S. Mathieu
Corrigé – Exponentielles et logarithmes en vrac – série 3
- a) 4
3
b) 10
− 3
1
1000
c) 16
− 3
2
1
64
d) √
- a) log 10 000 = 4
b) log
2
1
4
c) log
11
121 = 2 d) log
5
- a) 6 b) − 3 c) 1 d) 0
4 a) 1 b) 2 c) 𝑥 ∈ ℝ
∗
∖ { 1 } d) ∅
- a) 3
b)
1
2
c)
1
6
d)
3
5
- a) log
3
b) log
𝑏
c) log
2
3 𝑥
3
𝑦
4
d) log
2
𝑥
3
( 𝑥 + 2
)
e) log
𝑏
25
2
1 3
⁄
- a) log
2
(𝑥 − 2 ) + log
2
b) 𝑟 log
2
𝑎 + 𝑟 log
2
𝑏 − 𝑟 log
2
c)
1
4
log 2 +
1
3
log 5
d) log
𝑎
(𝑥 − 1 ) + log
𝑎
(𝑥 + 5 ) − 2 log
𝑎
e) 𝑝𝑠 log
𝑎
𝑢 + 𝑚𝑠 log
𝑎
- a) Faux b) Vrai c) Vrai d) Faux
e) Vrai f) Faux g) Faux h) Faux
- a) 12 b) 4 c) 24 d) 12
e) 2 f) − 2 g) 10
h)
15
16
i) 3 j) 4
k)
1
3
log
𝑏
3
- a) 𝑦 = 125
b) 𝑎 =
𝑥
2
𝑦
3
c) 𝑥
5
2
- a) 𝑥 ≈ 4 , 3 b) 𝑥 ≈ 0 , 185
c) 𝑥 ≈ 10 , 34 d) 𝑥 ≈ − 2 , 25
e) 𝑥 =
3 log 𝑃 +
3
4
log 𝑆
1
4
log 𝑆 + 2 log 𝑃
- a) 0 b) 1 c) 0 d) 3
e)
11
2
f) 0
Notes de cours complémentaires Collège Regina Assumpta
Fonctions expo et log - Page 82 Mathématique SN
2022 - 2023 Document préparé par S. Mathieu
Corrigé – Fonctions exponentielles et logarithmiques – série 1
- a)
- c), e) et f)
a) f ( x ) = 4
x
b) f ( x ) =
x
c) f ( x ) =
x
d) f ( x ) =
x
e) f ( x ) =
x
N ( t ) = ·
t
- x = log
y
- a) y = − b) y =
c) y =
d) y = e) x = −
a) x = − b) y =
- Point de rencontre : (-5, - 5)
- log
b
( m + )
- x =
x
- Restrictions x − et x d’où le domaine est x
Résolution
log
2
( x + )
x
= log 2 8
x + = x (car l’égalité des logarithmes en même base entraîne l’égalité des
arguments)
Résultat
x =
- Les associations … a) (3) b) (1) c) (4) d) (2)
a) f ( 0 ) = −
b) il n’y a pas d’ordonnée à l’origine
- a) il n’y a pas de zéro
b) x =
t =
log ()
·log ,
a) f
−
( x ) = log
− x −
− b) g
−
( x ) =
,( x – )
- a) Vrai b) Faux c) Faux d) Vrai
- a) Faux b) Faux c) Faux d) VRAI
Collège Regina Assumpta Notes de cours complémentaires
Mathématique SN5 Fonctions expo et log - Page 83
Document préparé par S. Mathieu 2022 - 2023
Corrigé – Fonctions exponentielles et logarithmiques – série 2
a) P ( t ) = · (,)
t
b) 7464,96 bactéries c) = 3,8 heures
log
1/
- a) Graphique de la fonction f b) Graphique de la fonction g
Dom f = ]-1, +∞ Dom f = ℝ
Codom f = ℝ Codom f = −∞, 6[
Extremum : aucun Extremum : aucun
Ordonnée à l’origine : f (0) = - 2
Ordonnée à l’origine : g (0) =
Zéro :
restriction : x + x −
résolution :
f ( x ) =
log
( x + ) – =
log
( x + ) = 2
= x +
x =
Zéro :
g ( x ) =
− x +
− x +
−(− x + )
x – = 1
x = 2
Variation :
f est croissante sur son domaine
Variation :
g est décroissante sur son domaine
Signe :
x ]-1, 3], on a f ( x ) ≤
x [3, +∞, on a f ( x ) ≥
Signe :
x ]2, +∞, on a g ( x ) ≤
x [−∞, 2, on a g ( x ) ≥
Réciproque :
f
−
( x ) =
( x + )
Réciproque :
g
−
( x ) = −log /
a + b – c
t =
k
· ln
M
M
ou t = −
ln ,
k
car l’égalité des bases
entraîne l’égalité des
exposants
