Algebra delle Matrici, Numeri Complessi e Sistemi Dinamici: Esercizi e Teoria, Study notes of Theory of Automata

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Fondamenti di Automatica: Esercitazioni

2016

Alessandro Vittorio Papadopoulos

[email protected]

Fondamenti di Automatica

Prof. M. Farina

F.d.A.

• 1 Algebra delle matrici e numeri complessi
  • 1.1 Definizioni di base
  • 1.2 Determinante di una matrice (quadrata)
    • 1.2.1 Proprietà del determinante
  • 1.3 Rango di matrici (rettangolari)
  • 1.4 Matrice inversa (o reciproca)
    • 1.4.1 Calcolo della matrice inversa
    • 1.4.2 Esempio nel caso di matrice 2 ×
    • 1.4.3 Proprietà della matrice inversa
  • 1.5 Polinomio caratteristico
  • 1.6 Autovalori e autovettori
    • 1.6.1 Proprietà degli autovalori
    • 1.6.2 Proprietà degli autovettori
  • 1.7 Similitudine e diagonalizzabilità
  • 1.8 Esponenziale di matrice
    • 1.8.1 Diagonalizzabilità dell’esponenziale
  • 1.9 Numeri complessi
    • 1.9.1 Inverso moltiplicativo
  • 1.10 Rappresentazione polare
  • 1.11 Esponenziale trigonometrico
    • 1.11.1 Formula di Eulero
    • 1.11.2 Utili espressioni trigonometriche
• 2 Analisi di sistemi dinamici: movimenti ed equilibri
  • 2.1 Sistema massa-molla-smorzatore
  • 2.2 Circuito RC
• 3 Sistemi a tempo discreto
  • 3.1 Analisi di investimenti
  • 3.2 Prestito
  • 3.3 Modello degli studenti universitari
  • 3.4 Il ranking di Google: PageRank (semplificato)
  • 3.5 Popolazioni animali
• 4 Stabilità dei sistemi dinamici e sistemi interconnessi
  • 4.1 Sistema lineare (non osservabile)
  • 4.2 Sistemi interconnessi
  • 4.3 Sistema non lineare
  • 4.4 Modello di crescita logistica di Verhulst F.d.A.
  • 4.5 Pendolo inverso
• 5 Trasformata di Laplace e funzione di trasferimento
  • 5.1 Risposta allo scalino
  • 5.2 Stabilità e funzione di trasferimento
  • 5.3 Risposta all’esponenziale
  • 5.4 Movimento del sistema
  • 5.5 Poli multipli
  • 5.6 Sistema a fase non minima
• 6 Sistemi interconnessi e funzioni di trasferimento
  • 6.1 Schema a blocchi
  • 6.2 Schemi a blocchi
  • 6.3 Schema a blocchi
  • 6.4 Schema a blocchi
  • 6.5 Schema a blocchi
  • 6.6 Schema a blocchi
  • 6.7 Schemi a blocchi
• 7 Ripasso I prova in Itinere
  • 7.1 Sistemi a tempo discreto
  • 7.2 Sistemi non lineari a tempo continuo (1)
  • 7.3 Sistemi non lineari a tempo continuo (2)
  • 7.4 Schemi a blocchi e funzioni di trasferimento
  • 7.5 Sistemi lineari a tempo continuo
  • 7.6 Funzioni di trasferimento, approssimazioni ai poli dominanti, risposte qualitative
• 8 Risposta in frequenza
  • 8.1 Tracciamento diagrammi di Bode
  • 8.2 Tracciamento diagrammi di Bode con poli complessi coniugati
  • 8.3 Risposta in frequenza
  • 8.4 Analisi diagrammi di Bode
  • 8.5 Risposa a diversi ingressi
  • 8.6 Analisi sistema di controllo
• 9 Analisi di stabilità dei sistemi di controllo
  • 9.1 Cruise control
  • 9.2 Analisi di stabilità
  • 9.3 Analisi di stabilità
  • 9.4 Analisi di stabilità
  • 9.5 Analisi di stabilità
• 10 Prestazioni dei sistemi di controllo
  • 10.1 Analisi delle prestazioni del cruise control
  • 10.2 Analisi delle prestazioni
  • 10.3 Analisi delle prestazioni
• 11 Sintesi del controllore
  • 11.1 Sistema a fase minima
  • 11.2 Processo a fase non minima
  • 11.3 Sistema con ritardo
  • 11.4 Disturbi Fourier trasformabili
• 12 Ripasso F.d.A.
  • 12.1 Sistema non lineare
  • 12.2 Schemi a blocchi
  • 12.3 Sistema in anello aperto
  • 12.4 Sistema a fase non minima
  • 12.5 Integratore nel processo
• 13 Ripasso II prova in itinere
  • 13.1 Analisi prestazioni
  • 13.2 Sistema in anello aperto
  • 13.3 Controllore digitale
  • 13.4 Progetto del controllore

Algebra delle matrici e numeri complessi

1.1 Definizioni di base

Definizione 1.1 (Matrice (m × n)). Tabella di m righe ed n colonne

A =

 

a 11 a 12 · · · a 1 n .. .

a m 1 a m 2 · · · a mn

  a ij ∈^ R

Definizione 1.2 (Vettore (colonna) (m × 1 )).

b =

 

b 1 .. . b m

  b i ∈^ R

Diamo per scontati i concetti di somma e differenza di matrici, di prodotto di una matrice per uno scalare , di prodotto di matrici , di trasposta di una matrice e di determinante di una matrice quadrata.

1.2 Determinante di una matrice (quadrata)

Definizione 1.3 (Complemento algebrico). Data una matrice A n × n , si dice complemento algebrico (o cofattore) di a ij il determinante ∆ ij della sottomatrice di A ottenuta eliminando la i -esima riga e la j -esima colonna moltiplicato per (−1) i + j^.

Il calcolo è definito in modo ricorsivo:

1. det(a) = a
2. det(A) =

∑ n j =1 a ij^ ∆ ij^ =^

∑ n i =1 a ij^ ∆ ij

1.2.1 Proprietà del determinante

• det(A T^ ) = det(A)
• det(αA) = α n^ det(A), α ∈ R
• det(AB) = det(A) det(B), se A e B sono matrici quadrate

Se det(A) = 0, A si dice matrice singolare (non invertibile).

F.d.A. CAPITOLO 1. ALGEBRA DELLE MATRICI E NUMERI COMPLESSI

1.3 Rango di matrici (rettangolari)

Definizione 1.4 (Rango). Il rango di una matrice (rettangolare) A , rank(A) , è l’ordine della sotto- matrice quadrata di A non singolare di ordine massimo.

Il rango corrisponde al numero massimo di righe (e colonne) linearmente indipendenti tra loro.

Definizione 1.5 (Vettori linearmente indipendenti). Dati n vettori v 1 , v 2 ,... , v n, essi si dicono linearmente indipendenti se e solo se ∀α 1 , α 2 ,... , α n scalari

∑^ n

i =

α i v i 6 = 0, α i ∈ R

Definizione 1.6 (Vettori linearmente dipendenti). Dati n vettori v 1 , v 2 ,... , v n, essi si dicono linearmente dipendenti se e solo se ∃α 1 , α 2 ,... , α n scalari, tali che:

∑^ n

i =

α i v i = 0, α i ∈ R

1.4 Matrice inversa (o reciproca)

Definizione 1.7 (Matrice inversa). Data una matrice quadrata A n × n , la sua matrice inversa A−^1 , se esiste, è una matrice n × n tale che

A−^1 A = AA−^1 = I

Teorema 1.8. Condizione Necessaria e Sufficiente (CNS) per l’esistenza della matrice inversa di A è che la matrice A sia non singolare (cioè che il determinante di A sia non nullo):

∃A−^1 ⇔ det (A) 6 = 0

Di seguito indicheremo con c ij l’elemento sulla riga i-esima e sulla colonna j-esima di una matrice C.

1.4.1 Calcolo della matrice inversa

Data una matrice A n × n non singolare, l’elemento b ij della sua matrice inversa B = A−^1 si calcola nel modo seguente

b ij = ∆ ji det A

dove ∆ ji è il complemento algebrico di a ji.

1.4.2 Esempio nel caso di matrice 2 × 2

Data una matrice A 2 × 2

A =

[ a 11 a 12 a 21 a 22

] ,

la sua inversa è:

A−^1 =

det A

[ a 22 −a 12 −a 21 a 11

]

. (1.9)

Dimostrazione. La matrice inversa di A

A−^1 =

[ b 11 b 12 b 21 b 22

]

F.d.A. CAPITOLO 1. ALGEBRA DELLE MATRICI E NUMERI COMPLESSI

1.5 Polinomio caratteristico

Definizione 1.10 (Polinomio caratteristico). Il polinomio caratteristico di una matrice A n × n è il polinomio di grado n nella variabile complessa λ

p A (λ) = det(λI − A), λ ∈ C

Definizione 1.11 (Equazione caratteristica). L’equazione caratteristica è l’equazione

p A (λ) = 0

Esempio

Calcolare il polinomio e l’equazione caratteristica della matrice

A =

[ 2 1 1 2

] .

Soluzione

Calcoliamo

λI − A =

[ λ − 2 − 1 − 1 λ − 2

]

da cui possiamo ricavare il polinomio caratteristico

p A (λ) = det(λI − A) = (λ − 2)^2 − 1 = λ^2 − 4 λ + 3

L’equazione caratteristica è quindi λ^2 − 4 λ + 3 = 0.

1.6 Autovalori e autovettori

Definizione 1.12 (Autovalori e autovettori). λ ∈ C si dice autovalore di una matrice A n × n se esiste un vettore v ∈ C n^ con v 6 = 0 tale che

Av = λv.

v è detto autovettore di A associato a λ.

Da questo segue che

1. Gli autovalori di A sono le radici del polinomio caratteristico di A

p A (λ) = det(λI − A)

Dimostrazione. λ è autovalore se esiste v 6 = 0 tale che Av = λv. Questa equazione è equivalente a (λI − A)v = 0 che ha soluzioni diverse da v = 0 se e solo se det(λI − A) = 0.

2. Il numero degli autovalori è μ ≤ n, μ ∈ N
3. Ogni autovalore compare n i volte nell’equazione caratteristica, cioè:

p A (λ) =

∏^ μ

i =

(λ − λ i ) ni

4. n i è la molteplicità algebrica di λ i

CAPITOLO 1. ALGEBRA DELLE MATRICI E NUMERI COMPLESSI F.d.A.

Esempio

Calcolare gli autovalori della matrice

A =

[ 2 1 1 2

] .

Soluzione

L’equazione caratteristica di A calcolata nell’esempio precendente

λ^2 − 4 λ + 3 = 0

consente di determinare gli autovalori di A:

λ 1 , 2 = 2 ±

{ λ 1 = 3 λ 2 = 1

1.6.1 Proprietà degli autovalori

Data una matrice A n × n con elementi reali, valgono le seguenti proprietà

1. La matrice A ha μ autovalori, ognuno con molteplicità algebrica n i , i = 1,... , μ

∑ μ i =1 n i^ =^ n, ossia la matrice^ A^ di ordine^ n^ ha^ n^ autovalori in campo complesso, ognuno contato con la sua molteplicità algebrica

3. Gli autovalori sono reali oppure complessi e coniugati
4. det A = ∏ μ i =1(λ i ) n i =^ λ

n 1 1 λ

n 2 2 · · ·^ λ

nμ μ

• Di conseguenza det (A) = 0 ⇔ ∃i : λ i = 0

5. A triangolare (o diagonale) ⇒ λ i = a ii
6. Se λ è autovalore di A ⇒ λ−^1 è autovalore di A−^1
7. La traccia della matrice A è uguale alla somma degli autovalori di A

tr (A) :=

∑^ n

i =

a ii =

∑^ μ

i =

n i λ i

1.6.2 Proprietà degli autovettori

• v i è autovettore o autospazio associato a λ i
• La dimensione (numero di gradi di libertà) dell’autospazio v i è 1 ≤ g i ≤ n i e si chiama molteplicità geometrica dell’autovalore λ i
• La molteplità geometrica è data da:

g i := n − rank(λ i I − A)

CAPITOLO 1. ALGEBRA DELLE MATRICI E NUMERI COMPLESSI F.d.A.

Esempio

Verificare che la matrice

A =

  

  

è diagonalizzabile e calcolare la matrice di similitudine per porla in forma diagonale.

Soluzione

λI − A =

  

λ − 2 − 1 0 − 1 λ − 2 0 0 0 λ + 1

  

da cui det(λI − A) =(λ − 2)^2 (λ + 1) + 0 + 0 − (0 + 0 + (λ + 1)) = =

( (λ − 2)^2 − 1

) (λ + 1) =

( λ^2 − 4 λ + 4 − 1

) (λ + 1) = =(λ − 3)(λ − 1)(λ + 1)

Gli autovalori sono quindi (^)  



λ 1 = λ 2 = λ 3 = − 1

Dato che gli μ = 3 autovalori calcolati sono distinti, la matrice è diagonalizzabile. Calcoliamo quindi gli autovettori associati agli autovalori

• λ 1 = 3

Av 1 = 3v 1 ⇒ v 1 =

  

α β γ

  

 



2 α + β = 3α α + 2β = 3β −γ = 3γ

 



2 α + α = 3α β = α γ = 0

{ β = α γ = 0

Si può quindi scegliere un qualunque valore per α e ottenere un autovettore associato a λ 1. Scegliamo α = 1 e otteniamo l’autovettore

v 1 =

 

 

• λ 2 = 1

Av 2 = v 2 ⇒ v 2 =

  

α β γ

  

 



2 α + β = α α + 2β = β −γ = γ

 



2 α − α = α β = −α γ = 0

{ β = −α γ = 0

Si può quindi scegliere un qualunque valore per α e ottenere un autovettore associato a λ 2. Scegliamo α = 1 e otteniamo l’autovettore

v 2 =

 

 

F.d.A. CAPITOLO 1. ALGEBRA DELLE MATRICI E NUMERI COMPLESSI

• λ 3 = − 1

Av 3 = −v 3 ⇒ v 3 =

  

α β γ

  

 



2 α + β = −α α + 2β = −β −γ = −γ

{ β = − 3 α α − 6 α = − 3 α

 



α = 0 β = 0 γ Si può quindi scegliere un qualunque valore per γ e ottenere un autovettore associato a λ 3. Scegliamo γ = 1 e otteniamo l’autovettore

v 3 =

 

 

Ora possiamo ricavare la matrice di similitudine

T −^1 =

  

   ,^ det(T^ −^1 ) = 3,^ T^ =

  

  .

e diagonalizzare la matrice A

A d = T AT −^1 =

 

 

Osservazione 1. Se avessimo scelto altri autovettori il risultato sarebbe stato lo stesso.

Osservazione 2. L’ordine con cui gli autovettori sono accostati per ottenere la matrice di similitudine, definisce l’ordine con cui appaiono gli autovalori nella matrice diagonalizzata A d.

Esercizio

Diagonalizzare la matrice

A =

  

  .

Esercizio

Dimostrare che la matrice

A =

 

 

non è diagonalizzabile.

1.8 Esponenziale di matrice

Data la matrice A n × n, l’esponenziale della matrice A · t è definito come

e A · t^ := I + A · t +

(A · t)^2 +

(A · t)^3 +... +

k!

(A · t) k^ +...

con I matrice identità di dimensione n × n.

F.d.A. CAPITOLO 1. ALGEBRA DELLE MATRICI E NUMERI COMPLESSI

Esempio

Data la matrice

A =

[ 0 1 0 λ

]

determinare e At.

Soluzione

e At^ =

[ 1 0 0 1

]

[ 0 1 0 λ

] t +

[ 0 λ 0 λ^2

] t^2 2!

[ 0 λ^2 0 λ^3

] t^3 3!

  

1 t + λ

t^2 2!

• λ^2

t^3 3!

0 1 + λt +

(λt)^2 +

(λt)^3 +...

  

  

λ

( −1 + 1 + t + λ^2

t^2 2!

• λ^3

t^3 3!

)

0 1 + λt +

(λt)^2 +

(λt)^3 +...

  

 ^1

λ

( e λt^ − 1

)

0 e λt

  (^).

1.8.1 Diagonalizzabilità dell’esponenziale

Se A è una matrice diagonalizzabile

T AT −^1 = A d

e At^ si può ottenere come

e At^ = T −^1 e Adt T

con e Adt^ matrice diagonale data da

e Adt^ =

 

e λ^1 t^... 0 0

0... e λnt

 

Dimostrazione. Si osservi che A = T −^1 A d T. Allora

e At^ = I + At +

(At)^2 +

(At)^3 +...

= T −^1 T + T −^1 A d T t +

(T −^1 A d T t)^2 +

(T −^1 A d T t)^3 +...

= T −^1 T + T −^1 A d T t +

T −^1 A d T T −^1 A d T t^2 +

T −^1 A d T T −^1 A d T T −^1 A d T t^3 +...

= T −^1 T + T −^1 A d T t +

T −^1 A^2 d T t^2 +

T −^1 A^3 d T t^3 +...

= T −^1

[ I + A d t +

(A d t)^2 +

(A d t)^3 +...

] T

= T −^1 e Adt T

CAPITOLO 1. ALGEBRA DELLE MATRICI E NUMERI COMPLESSI F.d.A.

1.9 Numeri complessi

Definizione 1.16 (Numero complesso). Un numero complesso z ∈ C è determinato da due numeri reali a ∈ R e b ∈ R , detti rispettivamente parte reale e parte immaginaria_. Il numero complesso si esprime nella_ forma algebrica : z = a + b,

dove  è l’ unità immaginaria_. Dato_ z = a + b , si indicano a = < (z) e b = = (z).

Definizione 1.17 (Unità immaginaria). Il numero complesso  è detto unità immaginaria_. L’unità immaginaria gode della seguente proprietà:_

^2 =  ·  = − 1

L’insieme dei complessi è indicato con C. Il sottoinsieme dei complessi a parte immaginaria nulla si identifica con l’insieme dei numeri reali R. I numeri complessi con parte reale nulla si dicono numeri immaginari o numeri immaginari puri. L’insieme C non è ordinato: non ha alcun senso scrivere z 1 < z 2 o z 1 > z 2 con z 1 , z 2 ∈ C.

Esempio

Si determini la parte reale e immaginaria del numero complesso

z = 1 −  2

Soluzione

La parte reale di z è < (z) = 1, mentre la parte immaginaria è = (z) = − 2.

Definizione 1.18 (Coniugato). Dato un numero complesso z = a+b , si definisce il numero complesso coniugato

¯z = a − b

Una notazione alternativa per il coniugato è anche z∗

Esempio

Dato il numero complesso z = 1 −  2 , determinare il suo coniugato.

Soluzione

Il coniugato di z è dato da z¯ = 1 +  2.

1.9.1 Inverso moltiplicativo

Definizione 1.19 (Inverso moltiplicativo di un numero complesso). Dato un numero complesso z = a + b , con z 6 = 0 , il suo inverso moltiplicativo si ottiene come

1 z

z¯ z z¯

a − b a^2 + b^2

a a^2 + b^2

b^2 a^2 + b^2

Osservazione 4. Si noti che se z =  , il suo inverso è

1 

CAPITOLO 1. ALGEBRA DELLE MATRICI E NUMERI COMPLESSI F.d.A.

1.11.1 Formula di Eulero

Si consideri il numero complesso z = b. Dalla definizione, si può ricavare che

e b^ =

∑^ ∞

k =

(b) k k!

∑^ ∞

k =

(−1) k^

β^2 k (2k)!

∑^ ∞

k =

(−1) k^

β^2 k + (2k + 1)!

Nelle due sommatorie si riconoscono le serie di Taylor delle funzioni cos(b) e sin(b). Si può ricavare così, la formula di Eulero e b^ = cos(b) +  sin(b). L’esponenziale di un numero complesso immaginario puro è strettamente legato alla rappresenta- zione polare dei numeri complessi. Basta osservare che per z ∈ C

z = a + b = ρ (cos(φ) +  sin(φ)) = ρe φ^ = |z|e  ] z

Analogamente, si può dimostrare che il coniugato di z è dato da

¯z = a − b = ρ (cos(φ) −  sin(φ)) = ρe− φ^ = |z|e−  ] z

Esempio

Trovare la rappresentazione polare ρe φ^ del numero complesso z = 1 − .

Soluzione

Per ottenere la rappresentazione polare basta calcolare

ρ =

√ 1 + (−1)^2 =

φ = atan

( − 1 1

) = −

π 4

Quindi, si ha che z =

2 e− ^

π (^4).

1.11.2 Utili espressioni trigonometriche

Dalla formula di Eulero per e α^ e e− α , è possibile ricavare le seguenti relazioni

cos(α) = e α^ + e− α 2 sin(α) =

e α^ − e− α 2 

F.d.A. CAPITOLO 1. ALGEBRA DELLE MATRICI E NUMERI COMPLESSI