Universit´
e Virtuelle de Tunis
RIoT
2019-2020
Alg`ebre 1-Sem 1
TD 2-Fraction Rationnelle
Exercice 1:
1. D´ecomposer en ´el´ements simples de R(X), les fractions rationnelles suivantes:
(a) f(x) = 1
x(x+1) .
(b) g(x) = 1
x(x+1)(x+2) .
2. D´eduire les ´egalit´es suivantes:
(a) Pn
k=1
1
k(k+1) = 1 −1
n+1
(b) Pn
k=1
1
k(k+1)(k+2) =1
4
−1
2(n+1) +1
2(n+2)
Exercice 2:
D´ecomposer en ´el´ements simples de R(X), les fractions rationnelles suivantes:
2x
x2+x+ 1;x2
x2+x+ 1;x
x2−3x+ 2;
1
(x2+ 1)2−x2;x−1
x2(x2+ 1);x4−x+ 2
(x−1)(x2−1).
Exercice 3:
D´ecomposer ces fractions rationnelles en ´el´ements simples de R(X), puis de C(X):
x
x2−1;6x3+ 3x2−5
x4−1;
−x2+ 2x+ 1
(x−1)2(x2+ 1);x2
x3−1.
Exercice 4:
1. Effectuer la division suivant les puissances croissantes de:
(a) 1 par x−1, `a l’ordre 5.
(b) 1 + x+x2+x3par 1 −x, `a l’ordre 4.
2. D´eduire alors, les d´ecompositions en ´el´ements simples sur Rdes fractions rationnelles:
(a) 1
x5(x−1) ,
(b) 1+x+x2+x3
x4(1−x).
1
