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Presentación
Este libro reúne la teoría completa y problemas (resueltos y propuestos). Son problemas tipo, que presentan las mismas características de los que se plantean al postulante en el concurso de admisión a la Universidad Nacional Federico Villarreal. La Plana Docente de trigonometría los expone y resuelve en 16 clases de manera ejemplar para que puedan servir como modelos en la resolución de otros problemas parecidos con los que el estudiante de CEPREVI tiene que enfrentarse en sus prácticas calificadas, exámenes parciales y finales. La Plana Docente de trigonometría de CEPREVI es conocida por los estudiantes no sólo por sus condiciones pedagógicas sino también por el amplio conocimiento de los temas de la trigonometría, lo cual hacen de este libro una guía teórica y práctica de gran utilidad para el estudiante de CEPREVI.
Los profesores.
Índice
- UNIDAD
- UNIDAD
- UNIDAD
- UNIDAD
- UNIDAD
- UNIDAD
- UNIDAD
- UNIDAD
- UNIDAD
- UNIDAD
- UNIDAD
- UNIDAD
- UNIDAD
- UNIDAD
- UNIDAD
- UNIDAD
- Sistemas de Medición Angular
- Arco y Sector Circular
- Razones Trigonométricas de Ángulos Agudos I
- Razones Trigonométricas del Ángulos Agudos II...........................
- Razones trigonométricas de ángulos de cualquier magnitud
- Reducción al primer cuadrante
- Circunferencia Trigonométrica (C.T.)
- Identidades trigonométricas para un mismo arco
- Identidades trigonométricas para el arco compuesto
- Identidades trigonométricas para el arco doble
- Identidades trigonométricas para el arco mitad
- Identidades trigonométricas para el arco triple
- Transformaciones trigonométricas
- Resolución de triángulos oblicuángulos
- Funciones trigonométricas
- Ecuaciones trigonométricas
2. ÁNGULO DE UNA VUELTA
Se genera por la rotación completa del rayo, es decir su lado final coincide con su lado inicial por primera vez.
O
1V (^) O
-1V
3. MAGNITUD DE UN ÁNGULO
Los ángulos trigonométricos pueden ser de cualquier magnitud, ya que su rayo puede girar infinitas vueltas, en cualquiera de los sentidos. Así por ejemplo en la figura (1), e l ángulo trigonométrico mide “3 vueltas”, en la figura (2) el ángulo trigonometrico mide “-2 vueltas”.
Fig. 1 Fig 2.
Medición de ángulos
Así como para medir segmentos se requiere de una unidad de longitud determinada (metros, pulgadas, etc.), para medir ángulos se necesita de otro ángulo como unidad de medición.
Sistema Sexagesimal (Inglés)
Su unidad ángular es el “grado sexagesimal”(1º), el cual es equivalente a la 360 ava parte del ángulo de una vuelta.
1º = 360
1 v ∴ 1v = 360º
Equivalencias 1º = 60’ 1’ = 60” 1º = 3600”
Sistema Centesimal (Francés)
Su unidad angular es el “grado Centesimal” (1g), el cual es equivalente a la 400 ava parte del ángulo de una vuelta.
1 g^ = 400
1 v → 1v = 400g
Equivalencias
1 g^ = 100m^1 m^ = 100s^1 g^ = 10000s
Sistema Radial o Circular (Internacional)
Su unidad es el “radián”, el cual es un ángulo central que subtiende un arco de longitud equivalente al radio de la circunferencia respectiva.
m ∴ AOB = 1 rad
1 rad = (^2) π
1 v ∴ 1v = 2π rad ∴ 6,2832 rad
Nota:
Como: π = 3,141592653...
Entonces: 3,1416 22 10 3 2 7
π ≅ ≅ ≅ ≅ +
Conversión de Sistemas
Factor de conversión
Es un cociente “conveniente” de dos magnitudes angulares equivalentes. Magnitudes angulares equivalentes :
∴ 1 vuelta : 1 v = 360º ∴ ∴ 400 g^ ∴ ∴ 2 πrad
∴ Llano : 1/2 v = 180º ∴ ∴ 200 g^ ∴ ∴ πrad Sólo grados: 9º ∴ ∴ 10 g
∴ Recto : 1/4 v = 90º ∴ ∴ 100 g^ ∴ ∴ π/2 rad Nótese que : “Para convertir un ángulo de un sistema otro, multiplicaremos por el factor de conversión”. Ejemplo (1) Convertir a radianes la siguiente magnitud angular: a = 12º
Resolución
Magnitud equivalente Factor de Conversión
π rad ∴ ∴ 180° 180 º
πrad
a = 12° · rad^ rad 180º 15
π (^) < > π
Luego: rad 8
π ∴ ∴ 22º30’
Comparando: a = 22 b = 30 Entonces: a + b = 52 ... Rpta.
Nótese que : “Para convertir un ángulo de un sistema a otro, multiplicaremos por el factor de conversión”.
Ejemplo (6) Convertir a sexagesimales y radianes la siguiente magnitud angular: a = 16g
Resolución A) 16 g^ ∴ sexagesimales (°)
Factor de conversión = (^) g
Luego: 16 g • 9ºg^ 144º^ 72º 14, 4º 10 10 5
α = = = =
B) 16 g^ ∴ radianes
Factor de conversión = (^) g
πrad
Luego: 16 g• radg^16 rad^2 rad 200 200 25
α = π^ = ⋅ π^ = π
Fórmula general de conversión
Sean S, C y R los números que representan la medida de un ángulo en los sistemas sexagesimal, centesimal y radial respectivamente, luego hallamos la relación que existe entre dichos números.
De la fig. Sº ∴ ∴ Cg^ ∴ ∴ R rad ... () Además 180º ∴ ∴ 200 g^ ∴ ∴ π rad ... (*)
Dividiendo () entre (*) tenemos:
S C R 180 200
π Fórmula o Relación de Conversión
Fórmulas particulares:
S C
π
R
S
π
R
C
Ejemplos
1. Convertir rad
a grados sexagesimales
Resolución
R
S ∴
S
∴ S = 36
∴ rad
- Convertir 60g^ a radianes Resolución
π
R
C
∴ 60 R
π
∴ R =
\ 60 g^ =
rad
- Convertir 27º a grados centesimales
Resolución
S C
= → 27 C
= → C = 30
\ 27º = 30g
- Seis veces el número de grados sexagesimales de un ángulo sumado a dos veces el número de sus grados centesimales es 222. Hallar el número de radianes de dicho ángulo.
Resolución Si S, C y R son los números que representan las medidas del ángulo en grados sexagesimales, en grados centesimales y en radianes respectivamente; del enunciado afirmamos que: 6S + 2C = 222 ... (1)
Sabemos: NOTA: Para solucionar este tipo de problemas también podríamos hacer:
K
R
C
S
R K?
C 200 K
S 180 K
Problemas I
- Simplificar:
70 g 18 K rad 40 4
= −^ °
π (^) − °
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
- Si: a = 1 2' 3''
° (^) , hallar: a − 15 a) 30 b) 33 c) 35 d) 53 e) 32
- En la figura, hallar “x”.
10°(1-12x)
πx rad
a) 3 b) 1/3 c) 2 d) 1/2 e) 1
- Si: S = # de grados sexagesimal C = # de grados centesimal Simplificar:
M 4 C^ S^3 C^ S 8 C S C S
= +^ − + +
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
- Calcular:
E C^ S^ 20R 3 C S 20R
= π^ + π^ + π − π + a) 5/11 b) 10/11 c) 11/ d) 1 e) 2
- Si: S^ C 3 2
- (^) = 40. Hallar “R”, siendo
“S”, “C” y “R” los conocidos. a) 4
π (^) b) 3
π (^) c) 2
π
d) 6
π (^) e) 5
π
- De la condición: 5° < > x
π (^) rad. Hallar:
g E x 10
=^ °
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10
- En un triángulo se cumple que la suma del primer y segundo ángulo es igual a ( 34 π^ )rad, y que la suma del segundo y tercer ángulo es 150 g, según sus ángulos que tipo de triángulo es: a) Escaleno b) Isósceles c) Equilátero d) Rectángulo e) Rectángulo isósceles
- Se crea un nuevo sistema de medición angular denominado “x” tal que 7 unidades de este nuevo sistema equivale a 35g. Calcular el equivalente de ( 10
π (^) )rad, en el nuevo sistema. a) 1x^ b) 2x^ c) 3x d) 4x^ e) 5x
- Siendo “S” y “C” lo convencional. Hallar “x”.
S = 5x+ C = 5x+
a) 1 b) -2 c) 0 d) 4 e) 2
- Hallar “R”, en: 643 (^) S^ π + 180 π^ (^) Cπ^ + 200 π^ (^) Rπ + 1 =27SCRπ
Siendo “S”; “C” y “R” los conocidos. a) 4
π (^) b) 3
π (^) c) 2
π
d) 6
π (^) e) 5
π
- Indicar el valor de “θ” que verifica la igualdad.
θ° + (θ +1)’ + θ” =
π°π ' (^) +π π' '' π π a) 1/2 b) 1 c) 2 d) 1/4 e) 19
- Si “R” y “S” son los conocidos y se cumple:
R 20
= π y S = x − 1 ; hallar “x”.
a) 81 b) 80 c) 82 d) 83 e) 64
- S i e n d o “ S ” , “ C ” y “ R ” ; l o s convencionales. Además se cumple que: S = x^3 + x^2 + x + 2 C = x^3 + x^2 + x + 7
Hallar: “R”
a) 10
π (^) b) 8
π (^) c) 6
π
d) 5
π (^) e) 4
π
- Hallar: “R”; en: C S R 2S R (^4 ) 2S R 4 C S R
S i e n d o “ S ” ; “ C ” y “ R ” l o s convencionales.
a) 10
π (^) b) 8
π (^) c) 6
π
d) 5
π (^) e) 4
π
- Simplificar:
WE^ =^ CCg ° ++ E^ Eg ° + (^) + P^ Pg ° + (^) +^ RRg^ ° + (^) +^ EE^ ° +g +^ VV^ ° + °g +IIg
a) 9 b) 10 c) 9 10
d) 10 9
e) 1 90
- Un ángulo mide 1aa° y también g 1b0 , determinar (b-a)° en radianes.
a) 20
π (^) rad b) 40
π (^) rad c) 60
π (^) rad
d) 80
π (^) rad e) 90
π (^) rad
- Se ha creado un nuevo sistema de medida angular cuya unidad es el grado “x” (1x), tal que:
1 x^ < > 240
π (^) rad
¿A cuántos grados “x” equivalen 180 minutos sexagesimales? a) 2x^ b) 3x^ c) 4x d) 5x^ e) 6x
- Si se cumple que: g m g m g
x y x y ' y y y ' x
Calcular: x/y a) 1/6 b) 1/5 c) 1/ d) 1/3 e) 1/
- Halle la medida sexagesimal del ángulo que cumple que:
5C + 3S –
80R
π = 292 ; siendo: S, C y R, lo convencional para un ángulo. a) 9° b) 27° c) 36° d) 45° e) 54°
- Si al número de grados centesimales de un ángulo, le agregamos el triple de su número de grados sexagesimales y el quíntuple de su número de radianes resulta: 444+3π. Halle la medida sexagesimal de dicho ángulo. a) 18° b) 36° c) 72° d) 108° e) 120°
- Halle la medida radial del ángulo que cumple que: 32R^2 (C S) (C S)
π + = − (^) + π π
a) 3 4
π (^) rad b) 3
π (^) rad c) 4 3
π (^) rad
d) 5 4
π (^) rad e) 4 5
π (^) rad
- Si: S = x^2 27
^ C = 10
x Hallar “x”, siendo S y C lo convencional para un mismo ángulo. a) 2 b) 3 c) 4 d) 9 e) 11
- Para un cierto ángulo se cumple que:
S m^2
38
= − ^ C m^2
38
Halle la medida circular de dicho ángulo, siendo S y C lo convencional para un ángulo.
a) 19
π (^) rad b) 38
π (^) rad c) 190
π (^) rad
d) 380
π (^) rad e) 1900
π (^) rad
- Siendo S, C y R lo convencional para un ángulo de modo que: 10SC R 4S 3C R
=^ π + − π − Hallar: “R”
a) 6
π (^) b) 3
π (^) c) 2 3
π
d) 5 6
π (^) e) 3 5
π
- Si se cumple que: (S + C)°〈 〉− 1945 πrad. Siendo S y C lo convencional para un ángulo. Calcule la medida radial de dicho ángulo.
a) 10
π (^) rad b) 15
π (^) rad c) 12
π (^) rad
d) 5
π (^) rad e) 3
π (^) rad
- Si se cumple que: 40<S+C<120. Calcule el mayor ángulo entero en grados sexagesimales, siendo S y C lo convencional para un ángulo. a) 27° b) 36° c) 45° d) 54° e) 60°
- Si se cumple que: S = (x+3)(x-2) C = (x+2)(x-1) Siendo S y C lo convencional para un ángulo. Calcular la medida radial de dicho ángulo.
a) 5
π (^) rad b) 4
π (^) rad c) 3
π (^) rad
d) 2
π (^) rad e) π rad
- Si: 17g^ < > x°y’. Calcule el valor de: y x N y x
a) 3 b) 7 c) 9 d) 11 e) 15
- Si se cumple que: S (^) C − S = CC +S
Calcular: 1+ 10 C + S; siendo S y C lo conocido para un ángulo. a) 9 b) 10 c) 19 d) 20 e) 21
- Para un ángulo se cumple que: S–2C+3S-4C+5S-6C+...–100C=– Siendo S y C lo convencional; halle la medida radial de dicho ángulo.
a) 20
π (^) rad b) 10
π (^) rad c) 5
π (^) rad
d) π rad e) 5π rad
CLAVES II
- e 2. e 3. d 4. e 5. c
- d 7. c 8. a 9. c 10. d
- a 12. d 13. d 14. c 15. d
- d 17. a 18. d 19. d 20. a
Resolución L = R • θ L = 4 • 0, L = 2 El perímetro 2p del sector AOB será: 2p = R + R + L 2p = 4m + 4m + 2m 2p = 10m
Nota
La longitud de la circunferencia se calcula multiplicando 2π por el radio “R” de la circunferencia (2πR).
LC = 2pR
2. Sector Circular
Se llama sector circular a la región circular limitada por dos radios y el arco correspondiente.
AOB: Sector Circular AOB
b. Área del sector circular
El área de un sector circular es igual al semiproducto de la longitud de su radio elevado al cuadrado y la medida de su ángulo central, en radianes; es decir:
R^2
S
=^ ⋅ θ
Donde: S : Area del Sector circular AOB
0
R
A
B
O
R
R (^) S θrad O B
A
Otras Fórmulas
L•R
S =
L^2
S
θ
Ejemplos (1) Calcular el valor del área de los sectores circulares mostrados en cada caso:
I. II. III.
0,5 rad
2m
O
4m 1 rad 4m
O
2m
2m
3m
O
Resolución Caso I Caso II Caso III
SI = L^2 • R SII = R 2
(^2) θ SIII = 2 Lθ
2
SI = (^3 m) 2 • (^2 m) SII = (^4 m 2 )•^1
2 SIII = ( 22 • m 0 ,) 5
2
SI = 3m^2 SII = 8m^2 SIII = 4m^2
Ejemplos (2) De la figura mostrada, calcular el área de la región sombreada, si el arco ABC tiene por longitud 4p m.
8m
C
B
A
12m cuerda D
Resolución Recordando la observación: A = 7S B = 3S
∴
B
A
2. Área de un trapecio circular
- Se llama trapecio circular a aquella región circular formada por la diferencia de dos sectores circulares concéntricos.
- El área de un trapecio circular es igual a la semisuma de las longitudes de arcos que conforman al trapecio circular, multiplicada por su espaciamiento, es decir: - h 2
B b A (^) T (^)
=^ +
Donde: AT = Área del trapecio circular
También: θ = h
B −b
Ejemplos (1) Calcular el valor del área del trapecio circular y encontrar la medida del ángulo central en la figura mostrada:
Resolución
AT = •^2 2
+^
θ =
∴ AT = 7m^2 ∴ θ = 2
Ejemplos (2) Hallar “x” si el área del trapecio circular es 21m².
S
3S
5S
7S
4 4 4 4
b^ AT B
h
h
θrad
3m^ AT 4m
2m
2m
θrad
Resolución Por dato: AT = 21
Por fórmula: AT = • 2
( x+ 9 )
= x + 9
Igualamos: x + 9 = 21 x = 12 m
0 9m
2m
2m
x
Problemas I
- En la figura mostrada, calcule “x”.
x rad
x+
A
B
x+
O x+
a) 3 b) 7 c) 9 d) 12 e) 15
- Sí a un sector circular le duplicamos el ángulo central y a su radio le aumentamos 3m, se obtendrá un nuevo sector cuya longitud de arco es el quíntuple de la longitud del arco inicial. Determine el radio del sector inicial. a) 1m b) 2m c) 3m d) 4m e) 5m
- Del gráfico mostrado, calcule el perímetro del sector AOB.
a rad
a+
A
B
a+
O 6a+
a) 22 b) 36 c) 55 d) 66 e) 77
- Si a un sector circular le triplicamos su radio y a su ángulo central le añadimos 60°, se obtendrá un nuevo sector de longitud de arco igual al quíntuple de la longitud del arco
inicial. Calcule el ángulo central del nuevo sector.
a) 2 3
π (^) rad b) 3 4
π (^) rad c) 4 3
π (^) rad
d) 3 2
π (^) rad e) 5 6
π (^) rad
- De la figura mostrada, calcule “L”.
2 θ°
θg
A
C
B
9 π m
O L
a) 10π m b) 15π m c) 20π m d) 9π m e) 18π m
- El ángulo central que subtiende un arco de radio 36 mide C rad, si se disminuye dicho ángulo hasta que mida S rad. ¿Cuánto debe aumentar el radio para que la longitud de dicho arco no varié? (S y C son lo convencional) a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10
- Calcular: θ^2 + θ
a) 1 b) 2 c) 3 d) 1/2 e) 1/
