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as

Architecture des Systèmes d’Information

Tris r´ecursifs

I3 - Algorithmique et programmation

Nicolas Delestre

as

Architecture des Systèmes d’Information

Plan...

1 Introduction

2 Le tris rapide (Quick sort)

3 Tri par fusion

4 Conclusion

as

Architecture des Systèmes d’Information

Principe des tris r´ecursifs

Principe

L’algorithme des tris r´ecursifs est bas´e sur le principe :

Diviser : On divise le tableau en deux

R´egner : On trie ces deux tableaux

Combiner : On combine ces deux tableaux

Il existe deux tris r´ecursifs

Le tri rapide : “l’intelligence” du tri se trouve au niveau de la

division du tableau (partitionnement)

Le tri par fusion : “l’intelligence” du tri se trouve au niveau la

combinaison des deux tableaux

as

Architecture des Systèmes d’Information

Le tri rapide (Quick sort) 1 / 9

Principe

1 Partitionner le tableau afin que tous les ´el´ements du sous-tableau gauche soient

plus petits ou ´egaux `a un ´el´ement (le pivot)

2 Trier le sous-tableau gauche et le sous-tableau droit

algorithme

proc´edure triRapide (E/S t :Tableau[1..MAX] d’Entier,E nb :Naturel)

debut

triRapideRecursif(t,1,nb)

fin

proc´edure triRapideRecursif (E/S t :Tableau[1..MAX] d’Entier,E d,f :Naturel)

D´eclaration indicePivot : Naturel

debut

si d<f alors

partionner(t,d,f,indicePivot)

triRapideRecursif(t,d,indicePivot-1)

triRapideRecursif(t,indicePivot+1,f)

finsi

fin

as

Architecture des Systèmes d’Information

Le tri rapide (Quick sort) 3 / 9

Arbre des appels de proc´edures

5 3 7 6 9 1 3 7 9 8

1 3 3 5 9 6 7 7 9 8

1 3 3 9 6 7 7 9 8

1 3 3

3 3

3 3

3

8 6 7 7 9 9

8 6 7 7

7 6 7 8

7 6 7

7 6 7

7 6

6 7

6

partitionner

trier

9

9

9

as

Architecture des Systèmes d’Information

Le tri rapide (Quick sort) 4 / 9

Exemple de fonctionnement du partitionnement

d f

i j

d f

i j

d f

i j

d f

i j

as

Architecture des Systèmes d’Information

Le tri rapide (Quick sort) 6 / 9

Exemple de fonctionnement du partitionnement

d f

i j

d f

j i

d f

Ip

as

Architecture des Systèmes d’Information

Le tri rapide (Quick sort) 7 / 9

proc´edure partitionner (premi`ere version)

proc´edure partitionner (E/S t : Tableau[1..MAX] d’Entier ; E debut,fin : Naturel ; S

indicePivot : Naturel)

D´eclaration i,j,pivot : Naturel

debut

pivot ← t[debut]

i ← debut

j ← fin

tant que i≤j faire

tant que t[i]≤pivot et i≤j faire

i ← i+

fintantque

tant que t[j]>pivot et i≤j faire

j ← j-

fintantque

si i≤j alors

echanger(t[i],t[j])

finsi

fintantque

indicePivot ← j

echanger(t[debut],t[j])

fin

as

Architecture des Systèmes d’Information

Le tri rapide (Quick sort) 9 / 9

Calcul de la complexit´e

La proc´edure de partionnement a une complexit´e en n. La complexit´e du

tri rapide d´epend donc du nombre d’appels r´ecursifs (hauteur h de l’arbre

de r´ecursion)

Dans le meilleur des cas, le partitionnement coupe le tableau en deux parties de

mˆeme longueur (a plus ou moins 1 pres)

On a : n = 2

h

, donc h = log 2 n

Donc on a Ω(nlog 2 n)

Dans le pire des cas, le partionnement coupe le tableau en deux sous tableaux,

l’un de longueur 1 et l’autre n − 1

Dans ce cas h = n

Et donc on a O(n

En moyenne on a Θ(nlog 2 n)

Complexit´e

Ω(nlog 2 n) Θ(nlog 2 n) O(n^2 )

as

Architecture des Systèmes d’Information

Le tri par fusion 1 / 6

Principe

1 Diviser le tableau en deux sous-tableaux de mˆeme longueur (`a plus

ou moins 1 pr`es)

2 Trier le sous-tableau gauche et le sous-tableau droit

3 Fusionner les deux sous-tableaux

algorithme

proc´edure triFusion (E/S t :Tableau[1..MAX] d’Entier,E nb :Naturel)

debut

triFusionRecursif(t,1,nb)

fin

proc´edure triFusionRecursif (E/S t :Tableau[1..MAX] d’Entier,E d,f :Naturel)

debut

si d<f alors

triFusionRecursif(t,d,(d+f) div 2)

triFusionRecursif(t,((d+f) div 2)+1,f)

fusionnner(t,d,(d+f) div 2,f)

finsi

fin

as

Architecture des Systèmes d’Information

Le tri par fusion 3 / 6

Arbre des appels de proc´edures

5 3 7 6 9 1 3 7 9 8

fusionner

trier

5 3 7 6 9 1 3 7 9 8

5 3 7 6 9 1 3 7 9 8

5 3 7 6 9

5 3 7 6 9

5 3 7

5 3 7

5 3

5 3

3 5

3 5 7

3 5 6 7 9

1 3 7 9 8

1 3 7 9 8

1 3

1 3

6 9

6 9

6 9

1 3

1 3 7 9 8

1 3 7 9 8

8 9

1 3 7

1 3 7 8 9

1 3 3 5 6 7 7 8 9 9

diviser

as

Architecture des Systèmes d’Information

Le tri par fusion 4 / 6

Exemple de fonctionnement de fusionner

d f

Le tableau interm´ediaire :

as

Architecture des Systèmes d’Information

Le tri par fusion 6 / 6

Calcul de la complexit´e

Soit h La hauteur de l’arbre de r´ecursion

Ici on a toujours n = 2

h

, donc h = log 2 n

Donc en temps on a Ω(nlog 2 n), O(nlog 2 n) et Θ(nlog 2 n)

Mais on a besoin d’un tableau interm´ediaire pour fusionner

Complexit´e

Ω(nlog 2 n) Θ(nlog 2 n) O(nlog 2 n)

as

Architecture des Systèmes d’Information

Conclusion

Il existe plusieurs algorithmes de tri que l’on peut classer suivant :

les m´ethodes utilis´ees (it´eratifs ou r´ecursifs)

les performances

Ces cours ne pr´esentent pas toutes les m´ethodes de tri, entre autres :

le shellsort

le heapsort (ou tri par tas)

L’un des meilleurs car en O(nlog 2 n) et it´eratif

le radixsort

etc.