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수열의 극한

I

중국 삼국 시대 위(魏)나라의 수학자인 유휘(劉徽, 260 년경)는 263 년에 황제의 명을 받아 중국에서 가 장 오래된 수학책인 『구장산술(九章算術)』에 주석을 달면서 수열의 극한에 대한 내용을 보충하였다. 이후 프랑스의 수학자인 코시(Cauchy, A. L., 1789 ~1857)는 수열의 극한의 개념에 대한 수학적 기초를 확실히 다지는 계기를 마련하였다. 오늘날 극한의 개념은 사회 과학, 자연 과학 등 여러 분야의 연구에서 현상을 분석하고 예측하는 도구로 이용되고 있다.

이 단원에서는 수열의 수렴, 발산의 뜻을 알고, 수열의 극한에 대한 성질을 이용하여 극한값을 구해 본다. 또, 급수의 뜻을 알고 급수를 활용하여 여러 가지 문제를 해결하는 방법에 대하여 알아본다.

1.^ 수열의^ 극한

2.^ 급수

선^ 인^ 장^ 의^ 잎^ 이^ 붙 는^ 위^ 치 와^ 잎^ 의

크^ 기 에^ 서 수^ 열^ 의

극^ 한

의^ 개

념^ 을

찾^ 아

볼^ 수

있^ 다

.

10 Ⅰ.^ 수열의 극한

수열의 극한

1

달랑베르(d’Alembert, J. L. R., 1717 ~ 1783 ) 프랑스의 수학자, 철학자

이 글은 달랑베르가 철학자인 디드로(Diderot, D., 1713 ~1784)와 함께 편찬한 『백과전서』에서 ‘극한’의 뜻을, 아무리 작은 범위를 생각하더라도 수열의 대부분의 항 들이 그 범위 안에서 극한값에 가까이 있다고 설명하는 내용이다.

01 수열의 극한

02 수열의 극한값의 계산

03 등비수열의 극한

(출처: d’Alembert, J. L. R., La Chapelle, J., 『Encyclope^ 'die』)

한 수가 어떤 수들의 극한값이란 뜻은,

그 수들이 처음 수에 얼마든지 가까이

접근할 수 있는 경우를 말한다.

1.^ 수열의 극한^11

생각 열기 (^) 일반항이 an= 1 n 인 수열^ {an}이 있다. 1 n=1, 2 , 3 , 4 , 5 일 때, 순서쌍 (n, an)을 좌표로 하는 점을 오른쪽 좌표평면 위에 나 타내어 보자.

2 n이 한없이 커질 때 일반항 an의 값이 어 떻게 변하는지 추측해 보자.

수열의 극한

수열 {an}에서 n이 한없이 커질 때, 일반항 an의 값이 일정한 수에 한 없이 가까워지는 경우에 대하여 알아보자.

두 수열

{an}: 2 , 3 2

, 4

, 5

, y, n+ n , y

{bn}: 1 , -

,

, -

, y, {-

}

n- , y

에서 n이 커짐에 따라 이들 수열의 각 항의 값이 변하는 상태를 그래프로 나타내면 다음과 같다.

위의 그래프에서 n이 한없이 커질 때, 수열 {an}의 일반항 n+ n

의

값은 1 에 한없이 가까워지고, 수열 {bn}의 일반항 {- 1 2

}

n- 의 값은 양

과 음이 교대로 반복하면서 0 에 한없이 가까워짐을 알 수 있다.

학습 목표 수열의 수렴, 발산의 뜻을 알고, 이를 판별 할 수 있다.

준비 하기 다음 수열에서 일반항an을 추측해 보시오.

⑴ 1 , 14 , 19 , 161 , 251 , y

⑵ 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11 , y

수열의 수렴

BO

0  O



   

 

「미델하르니스의 가로수 길(The Avenue at Middelharnis)」

BO BO

0  O





    

^ O^  ^ O   

 

CO

O

0  



 

 

CO

O [ ] ^  

 

 

 

다가 서기 네덜란드의 화가 호베마(Hobbema,

M., 1638 ~ 1709 )의 아래 작품에서

화면 중앙의 길과 가로수는 하나의

점에 무한히 접근하고 있는 것처럼

보인다.

이와 같이 미술 작품에서는 원근감

을 나타내기 위해 평행한 두 직선이

한없이 가까워져 한 점에서 만나는

것처럼 표현하기도 한다.

여기서는 수열에서 항들이 어떤 일

정한 수에 한없이 가까워지는 경우

에 대하여 알아본다.

12 Ⅰ.^ 수열의 극한

문제 1 다음 수열의 극한값을 그래프를 이용하여 구하시오.

⑴ 2+1, 2+

, 2+

, 2+

, y, 2+

n , y

⑵ [1-

(-1)n n

]

수렴하는 수열의 극한값 은 하나뿐이다.

일반적으로 수열 {an}에서 n이 한없이 커질 때 일반항 an의 값이 일정한 수 a에 한없이 가까워지면, 수열 {an}은 ‘a에 수렴한다’고 한다. 이때 a를 수열 {an}의 극한값 또는 극한이라 하며, 이것을 기호로 lim n Ú ¦ an =a 또는 n Ú ¦일 때 an Ú a

와 같이 나타낸다.

예를 들어 앞의 두 수열 [ n+ n

]과 [{- 1

}

n- ]은 각각 1 과 0 에 수렴하므로

n^ lim Ú ¦

n+ n =1, `lim n Ú ¦ {-

}

n- =0이다.

특히, 수열 {an}에서 모든 자연수 n에 대하여 일반항이 an=c (c는 상수)인 경우, 즉 c, c, c, y, c, y 인 수열은 c에 수렴하므로

n^ lim Ú ¦ an= nlim Ú ¦ c=c 이다.

BO

0  O

D

   

BOD

두 수열 [ n+1n ]과

[{- 12 }

n- ]의 각 항의 값은

다음과 같다.

다음 수열의 극한값을 그래프를 이용하여 구하시오.

1 3

,

,

,

, y, n n+ , y

예제 1

풀이 주어진 수열의 일반항을 an이라 하면 an= (^) n+2n

오른쪽 그래프에서 n이 한없이 커질 때 an의 값은 1 에 한없이 가까워지므로 limn Ú ¦n+2^ n =1 (^) 답 1

BO

0 O



     

 

수열 {an}에 대하여^ BO^ ^ ^ O O

n^ lim Ú ¦ a^ n=a^ (a는 상수)일 때, (^) nlim Ú ¦ an+1의 값은 무엇 일까?

1.^ 수열의 극한^13

생각 열기 (^) 일반항이 an=n-1인 수열 {an}이 있다.

1 n=1, 2 , 3 , 4 , 5 일 때, 순서쌍 (n, an)을 좌표로 하는 점을 오른쪽 좌표평면 위에 나타내어 보자.

2 n이 한없이 커질 때 일반항^ an의 값이 어떻게 변하는지 추측해 보자.

 

BO

0  O







   

위의 그래프에서 n이 한없이 커질 때, 수열 {an}의 일반항 2n의 값은 한없이 커지 고, 수열 {bn}의 일반항 -n^2 의 값은 음수이면서 그 절댓값이 한없이 커짐을 알 수 있다. 따라서 두 수열은 모두 수렴하지 않는다. 이와 같이 수열이 수렴하지 않을 때, 그 수열은 ‘ 발산한다 ’고 한다.

일반적으로 수열 {an}에서 n이 한없이 커질 때 일반항 an의 값이 한없이 커지면 수열 {an}은 ‘양의 무한대로 발산한다’고 하며, 이것을 기호로 lim n Ú ¦ an=¦ 또는 n Ú ¦일 때 an Ú ¦

와 같이 나타낸다.

BO BOO

0   O









 

CO O

0 









  

COOm

수열 {an}이 수렴하지 않는 경우에 대하여 알아보자.

두 수열

{an}: 2 , 4 , 6 , 8 , y, 2n, y {bn}: -1, -4, -9, -16, y, -n^2 , y 에서 n이 커짐에 따라 이들 수열의 각 항의 값이 변하는 상태를 그래프로 나타내면 다음과 같다.

두 수열 {an}과 {bn}의 각 항의 값은 다음과 같다.

수열의 발산

14 Ⅰ.^ 수열의 극한

문제 2 다음 수열이 발산함을 그래프를 이용하여 확인하시오.

⑴ 7 , 4 , 1 , -2, y, 10-3n, y ⑵ -2, 1 , 6 , 13 , y, n^2 -3, y

코시(Cauchy, A. L., 1789 ~1857) 프랑스의 수학자로 수열의 수렴과 발산에 대하여 연구 했다.

또, 수열 {an}에서 n이 한없이 커질 때 an의 값이 음수이면서 그 절댓값이 한없이 커지면 수열 {an}은 ‘음의 무한대로 발산한다’고 하며, 이것을 기호로

n^ lim Ú ¦ an=-¦^ 또는^ n^ Ú^ ¦일 때^ an^ Ú^ - ¦ 와 같이 나타낸다. 예를 들어 앞의 수열 {2n}은 양의 무한대로 발산하고 수열 {-n^2 }은 음의 무한대 로 발산하므로 lim n Ú ¦ 2n=¦이고 (^) nlim Ú ¦ (-n^2 )=-¦이다.

이제 발산하는 수열 중에서 양의 무한대 또는 음의 무한대로 발산하지 않는 것에

대하여 알아보자.

두 수열

{an}: 1 , -1, 1 , -1, y, (-1)n-1, y {bn}: 1 , -2, 4 , -8, y, (-2)n-1, y 에서 n이 커짐에 따라 이들 수열의 각 항의 값이 변하는 상태를 그래프로 나타내면 다음과 같다.

수열 {bn}의 각 항의 값 은 다음과 같다.





BO

0 ^  O

 

BO O^ CO 

O







CO

O

0  

 

위의 그래프에서 n이 한없이 커질 때, 수열 {an}의 일반항 (-1)n-1의 값은 1 과 -1이 교대로 나타나고, 수열 {bn}의 일반항 (-2)n-1의 값은 절댓값이 한없이 커 지며 그 부호는 양과 음이 교대로 나타남을 알 수 있다. 따라서 두 수열 {an}과 {bn}은 수렴하지도 않고, 양의 무한대나 음의 무한대로 발 산하지도 않는다.

1.^ 수열의 극한^15

문제 3 다음 수열의 수렴과 발산을 그래프를 이용하여 조사하고, 수렴하면 그 극한값을 구하

시오.

⑴ 3 , 1 ,

,

, y,

2n- , y ⑵ {2-3n}

⑶ 1 , 0 , 1 , 0 , y, 1-(-1)n 2 , y ⑷ [n- 1 n

]

수열의 수렴과 발산 수열 {an}이 1 수렴하는 경우 lim n Ú ¦ an=a (단, a는 상수) 2 발산하는 경우 ⑴ 양의 무한대로 발산: lim n Ú ¦ an=¦ ⑵ 음의 무한대로 발산: lim n Ú ¦ an=-¦ ⑶ 양의 무한대나 음의 무한대로 발산하지 않는 경우

수열의 수렴과 발산을 정리하면 다음과 같다.

수열 {(-1)n-1}, {(-2)n-1}과 같은 수열을 ‘진동한다’고 한다.

두 학생이 수열 {an}으로 각각 다음과 같은 수열을 만들었다.

활동 (^) 1 수열 {an}이 a에 수렴하면 두 수열 {a2n-1}과 {a2n}도 모두 a에 수렴한다. 이를 예를 들어 설명해 보자. (단, a는 상수)

활동 (^) 2 두 수열 {a2n-1}과 {a2n}이 각각 수렴하면 수열 {an}도 수렴하는지 예를 들어 보 고, 친구들과 비교해 보자.

생각

넓히기

문제 해결 |^ 추론 |^ 창의·융합 |^ 의사소통 |^ 정보 처리 |^ 태도 및 실천

나는 홀수 번째 항들만을 뽑아 차례 대로 나열했어.

나는 짝수 번째 항들만을 뽑아 차례 대로 나열했어.

16 Ⅰ.^ 수열의 극한

생각 열기 다음과 같은 두 수열 {an}과 {bn}이 있다. {an}: 2. 1 , 2. 01 , 2. 001 , 2. 0001 , 2. 00001 , y {bn}: 3. 1 , 3. 01 , 3. 001 , 3. 0001 , 3. 00001 , y

1 두 수열 {an}과 {bn}의 극한값을 각각 구해 보자.

2 두 수열^ {an}과^ {bn}의 각 항을 더하여 만든 수열^ {an+bn}의 극한값 을 구해 보자.

3 1 에서 구한 두 극한값의 합과 2 의 결과를 비교해 보자.

limn Ú ¦(an+bn)

limn Ú ¦an limn Ú ¦bn

수열의 극한값의 계산

다가 서기

극한값을 구하기 어려운 복잡한 수열

은 극한값을 구하기 쉬운 수열의 합 또

는 곱의 형태로 바꾸어 각각의 극한을

조사하여 구할 수 있다.

이러한 경우에 수열의 극한에 대한 성

질을 이용한다.

학습 목표 수열의 극한에 대한 기본 성질을 이해하 고, 이를 이용하여 극한값을 구할 수 있다.

준비 하기 다음 함수의 극한값을 구하시오.

⑴ lim x Ú ¦5xÛ-2x-4^ 2xÛ-x+

⑵ lim x Ú ¦ (!$x^2 +x-x)

수열의 극한에 대한 기본 성질

위의 생각 열기에서 두 수열 {an}과 {bn}의 극한값은 lim n Ú ¦ an=2, lim n Ú ¦ bn=

이므로 lim n Ú ¦ an+ nlim Ú ¦ bn=2+3=5 yy ①

이다. 한편, 두 수열 {an}과 {bn}의 각 항을 더하여 만든 수열 {an+bn}은

5. 2 , 5. 02 , 5. 002 , 5. 0002 , 5. 00002 , y 이므로 5 에 수렴한다. 즉, lim n Ú ¦ (an+bn)=5 yy ②

이다. 따라서 ①과 ②로부터 lim n Ú ¦ (an+bn)=lim n Ú ¦ an+lim n Ú ¦ bn

임을 알 수 있다.

또, 수열 {an}의 각 항을 3 배 하여 만든 수열 {3an}은

6. 3 , 6. 03 , 6. 003 , 6. 0003 , 6. 00003 , y 이므로 6 에 수렴한다. 즉, lim n Ú ¦ 3an=6=3 lim n Ú ¦ an

임을 알 수 있다.

1.^ 수열의 극한^17

문제 1 다음 극한값을 구하시오.

⑴ (^) nlim Ú ¦ {

n^2 -2} ⑵ (^) nlim Ú ¦ {3-

n

}{1+

n } ⑶ lim n Ú ¦

n^2

-

2-

n^2

문제 2 두 수열 {an}과 {bn}에 대하여 lim n Ú ¦ an=3, lim n Ú ¦ bn=-2일 때, 다음 수열의 극한값

을 구하시오. (단, bn+0)

⑴ {3an+2bn-5} ⑵ {3anbn} ⑶ [ 7an- b (^) n^2

]

일반적으로 수렴하는 수열의 극한에 대하여 다음과 같은 성질이 성립함이 알려져

있다.

n^ lim Ú ¦^1 n =0^ ①^ lim n Ú ¦^ {2+^ n^1 }=lim n Ú ¦^ 2+lim n Ú ¦^1 n =2+0=

② lim n Ú ¦ {3- (^) n^1 }=lim n Ú ¦ 3-lim n Ú ¦^1 n =3-0=

③ lim n Ú ¦n^3 =3 lim n Ú ¦^1 n =3_0=

④ lim n Ú ¦n^12 = nlim Ú ¦ { (^) n^1 _ (^1) n }=lim n Ú ¦^1 n _lim n Ú ¦n^1 =0_0=

⑤ lim n Ú ¦

2+ n^1 3 n -

=

lim n Ú ¦ {2+^1 n }

lim n Ú ¦ { (^3) n -1}

=

lim n Ú ¦ 2+lim n Ú ¦n^1

3 lim n Ú ¦^1 n -lim n Ú ¦ 1

= 2+00-1 =-

수열의 극한에 대한 기본 성질은 두 수열이 모두 수렴 하는 경우에만 성립한다.

수열의 극한에 대한 기본 성질 두 수열 {an}과 {bn}이 수렴하고 lim n Ú ¦ an=a, lim n Ú ¦ bn=b (a, b는 실수)일 때, 1 lim n Ú ¦ (an+bn)=lim n Ú ¦ an+lim n Ú ¦ bn=a+b 2 lim n Ú ¦ (an-bn)=lim n Ú ¦ an-lim n Ú ¦ bn=a-b 3 lim n Ú ¦ can=c lim n Ú ¦ an=ca (단, c는 상수) 4 lim n Ú ¦ anbn=lim n Ú ¦ an_lim n Ú ¦ bn=ab

5 lim n Ú ¦^ abn n =

lim n Ú ¦ an lim n Ú ¦ bn^ =^

a b (단,^ bn+^0 ,^ b+0)

18 Ⅰ.^ 수열의 극한

문제 3 다음 극한값을 구하시오.

⑴ lim n Ú ¦ 2n^2 +5n -n^2 + ⑵ lim n Ú ¦ 2n^2 +n- 3n 3 -4n^2

⑶ lim n Ú ¦ (!$n^2 -3n+5-n) ⑷ lim n Ú ¦^1 !$n^2 +2n-n

다음 극한값을 구하시오.

⑴ lim n Ú ¦ 3n^2 + n^2 +2n- ⑵ (^) nlim Ú ¦ (!$n^2 +n-n)

예제 1

⑴ 분자와 분모를 분모의 최고차항 n^2 으로 각각 나누면

limn Ú ¦^ 3n

(^2) + n^2 +2n- =limn Ú ¦

3+^1 n^2 1+ n^2 -^4 n^2

=

lim n Ú ¦ {3+ n^12 }

lim n Ú ¦ {1+ n^2 - n^42 }

= ⑵ 근호가 있는 부분을 유리화하면

limn Ú ¦^ (!$n^2 +n-n)=limn Ú ¦^ (!$n

(^2) +n-n)(!$n (^2) +n+n) ! $ n^2 +n+n =limn Ú ¦^ n !$n^2 +n+n

=limn Ú ¦^1 ®É1+ n^1 +

= (^12)

답 ⑴ 3 ⑵ (^12)

풀이

n^ lim Ú ¦ ¾¨1+^1 n =

DO

0    ^ O



DO  O  

수열의 극한값의 계산

두 수열 {an}과 {bn}에 대하여 (^) nlim Ú ¦ an=¦, (^) nlim Ú ¦ bn=¦인 경우에도 주어진 식을

적절히 변형하여 (^) nlim Ú ¦ an bn 또는 (^) nlim Ú ¦ (an-bn)의 값을 구할 수 있다.

1.^ 수열의 극한^19

문제 4 다음 수열의 수렴과 발산을 조사하시오.

⑴ [

n^2 -2n+ 3n+ ] ⑵ {2n^2 -3n^3 }

다음 수열의 수렴과 발산을 조사하시오.

⑴ {n^2 -5n} ⑵ [

-2n^2 +n n+3 ]

예제 2

⑴ (^) nlim Ú ¦ (n^2 -5n)=nlim Ú ¦ n^2 {1- (^) n^5 }

여기서 (^) nlim Ú ¦ n^2 =¦이고 (^) nlim Ú ¦ {1- (^) n^5 }=1이므로

limn Ú ¦^ (n^2 -5n)=¦

따라서 주어진 수열은 양의 무한대로 발산한다.

⑵ (^) nlim Ú ¦^ -2n

(^2) +n n+3 =limn Ú ¦

-2n+ 1+ n^3

=limn Ú ¦ »n_

-2+ n^1

1+ n^3

¼

여기서 (^) nlim Ú ¦ n=¦이고 limn Ú ¦

-2+ n^1

1+ n^3

=-2이므로

limn Ú ¦^ -2n

(^2) +n n+3 =-¦ 따라서 주어진 수열은 음의 무한대로 발산한다. 답 (^) ⑴ 양의 무한대로 발산 ⑵ 음의 무한대로 발산

nlim Ú ¦ an=a^ (a는 실수),^ 풀이

n^ lim Ú ¦ bn=¦일 때, ① a>0이면

n^ lim Ú ¦ anbn=¦ ② a<0이면

n^ lim Ú ¦ anbn=-¦ 임이 알려져 있다.

문제 5 두 수열 {an}과 {bn}에 대하여 다음 명제의 참과 거짓을 판별하고, 거짓이면 반례를

말하시오.

⑴ 수열{an+bn}이 수렴하면 두 수열 {an}과 {bn}도 수렴한다. ⑵ 두 수열 {an}과 {an-bn}이 수렴하면 수열 {bn}도 수렴한다. ⑶ 두 수열 {an}과 {anbn}이 수렴하면 수열 {bn}도 수렴한다.

탐구

20 Ⅰ.^ 수열의 극한

문제 6 다음 극한값을 구하시오. (단, h는 상수)

⑴ lim n Ú ¦ cos nh n ⑵ lim n Ú ¦ 2n n^2 + `sin nh

문제 7 수열 {an}이 모든 자연수 n에 대하여 부등식

5n^2 +2<(n^2 +2n)an<5n^2 +2n+ 을 만족시킬 때, (^) nlim Ú ¦ an의 값을 구하시오.

두 수열 {an}과 {bn}에 대하여 an<bn이라고 해서 반드시 (^) nlim Ú ¦ an<lim n Ú ¦ bn이 성립하는 것은

아니다. 예를 들어 an= (^1) n , bn= (^2) n 이면 모든 자연수 n에 대하여 an<bn이지만 lim n Ú ¦ an=0=lim n Ú ¦ bn이다.

예제 3 n lim Ú ¦^ sin n^ n h의 값을 구하시오. (단, h는 상수)

모든 자연수 n에 대하여 -1Ésin nhÉ 1 이므로

• (^) n^1 É sin n^ n hÉ (^) n^1

그런데 (^) nlim Ú ¦ {- (^) n^1 }=0이고 (^) limn Ú ¦^1 n =0이므로 수열의 극한의 대소 관계 2 에 의하여

limn Ú ¦^ sin n^ n h= 답 0

모든 실수 x에 대하여 풀이 -1Ésin`xÉ 1

수열의 극한의 대소 관계 두 수열 {an}과 {bn}이 수렴하고 lim n Ú ¦ an=a, lim n Ú ¦ bn=b (a, b는 실수)일 때, 1 모든 자연수 n에 대하여 anÉbn이면 aÉb이다. 2 수열{cn}이 모든 자연수 n에 대하여 anÉcnÉbn이고 a=b이면, 수열 {cn}은 수렴하 고 lim n Ú ¦ cn=a이다.

수열의 극한의 대소 관계

수렴하는 수열의 극한의 대소 관계에 대하여 다음이 성립함이 알려져 있다.

위의 방법으로 다음과 같이 정의된 수열 {an}의 극한값을 구해 보자.`(단, n=1, 2 , 3 , y)

⑴ a 1 =8, an+1= 14 2an+8 ⑵ a 1 =2 12 , an+1=2 15 3+an

확 인

1.^ 수열의 극한^21

수열의 극한값 구하기

공학적

도구

다음과 같이 정의된 수열 {an}의 극한값을 컴퓨터 프로그램을 이용하여 구해 보자. a 1 = 12 , an+1= 14 2+an (n=1, 2 , 3 , y)

문제 해결 |^ 추론 |^ 정보 처리

(^1) [그림 1 ]에서 스프레드시트를 클릭한다.

2 셀 A 1 부터 A 8 까지 1 , 2 , 3 , y, 8 을 차례대로 입력한다.

(^3) 셀B 1 에 ‘=sqrt( 2 )’, 셀 B 2 에 ‘=sqrt(2+B 1 )’을 입력하고 셀 B 2 의 ‘채우기 핸들’을 이용하여 셀 B 8 까지 드래그하면 a 1 , a 2 , a 3 , y, a 8 의 값이 [그림 2 ]와 같이 나타난다.

4 셀C 1 에 ‘(A 1 ,B 1 )’을 입력하고 셀 C 1 의 ‘채우기 핸들’을 이용하여 셀 C 8 까지 드래그하면 [그림 3 ] 과 같이 오른쪽 기하창에 그래프가 나타난다.

(^5) 기하창에서 마우스의 오른쪽 버튼을 누른 후 격자를 선택해서 보면, n이 커질 때 an의 값이 2 에 가 까워짐을 시각적으로 알 수 있다.

따라서 a 1 = 12 , an+1=` 15 2+an (n=1, 2 , 3 , y)과 같이 정의된 수열 {an}의 극한값은 2 임을 추측 할 수 있다.

[그림 1 ] [그림 2 ]

[그림 3 ]

22 Ⅰ.^ 수열의 극한

생각 열기 다음 그림과 같이 [ 1 단계]에서 넓이가 1 인 정사각형 모양의 종이를 반으로 자른 후에 [ 2 단계]에서는 이들을 모두 반으로 자른다. 이와 같은 과정을 반복할 때, [n단계]에서의 종잇조각의 개수를 an, 종잇조각 하나 의 넓이를 bn이라 하자.

1 다음 표를 완성해 보자.

2 n이 한없이 커질 때^ an과^ bn의 값이 각각 어떻게 변하는지 추측해 보자.

등비수열의 극한

다가 서기 마주 보는 두 거울 사이에 어떤 물체

를 놓으면 두 거울에 나타나는 상이

한없이 반복된다. 이때 거울에 나타

나는 상의 크기는 일정한 비율로 점

점 작아지는 것을 볼 수 있다.

여기서는 이러한 현상과 관련 있는

등비수열의 극한에 대하여 알아본다.

위의 생각 열기에서 수열 {an}은 2 , 4 , 8 , y, 2 n, y 이므로 수열 {an}은 공비가 2 이고 양의 무한대로 발산하는 등비수열이다.

또, 수열 {bn}은 1 2

,

,

, y, {

}

n , y

이므로 수열 {bn}은 공비가

2 이고^0 으로 수렴하는 등비수열이다.

이제 등비수열 {rn}의 수렴과 발산을 공비 r의 값의 범위에 따라 알아 보자.

학습 목표 등비수열의 극한값을 구할 수 있다.

준비 하기 다음 등비수열의 일반항 an을 구하시오.

⑴ 2 , 4 , 8 , 16 , y

⑵ 1 , - 12 , 14 , - 18 , y

등비수열의 수렴과 발산

[ 1 단계] [ 2 단계] [ 3 단계]

1 단계 2 단계 3 단계 y n단계 y an 2 y y bn ;2!; y y

1.^ 수열의 극한^23

(^1) r>1일 때, r=1+h (h>0)라 하면 rn=(1+h)n>1+nh (n¾2) 이때 lim n Ú ¦ (1+nh)=¦이므로 lim n Ú ¦ rn=¦

즉, 수열 {rn}은 발산한다.

2 r=1일 때, 모든 자연수 n에 대하여 rn=1이므로 lim n Ú ¦ rn=

즉, 수열 {rn}은 수렴한다.

(^3) |r|<1일 때, Ú r=0이면 모든 자연수 n에 대하여 rn=0이므로 lim n Ú ¦ rn=

Û r+ 0 이면

|r|>1이므로^

1 에 의하여

lim n Ú ¦

|r n| = nlim Ú ¦ {

|r|

}

n =¦

따라서 lim n Ú ¦ |rn|=0이므로 lim n Ú ¦ rn=

즉, Ú과 Û에서 수열 {rn}은 수렴한다.

(^4) rÉ-1일 때, Ú r=-1이면 수열 {rn}은 -1, 1 , -1, 1 , y이므로 발산한다. Û r<-1이면 |r|>1이므로^1 에 의하여 lim n Ú ¦ |rn|=lim n Ú ¦ |r|n=¦

이고, 수열 {rn}은 각 항의 부호가 교대로 바뀌므로 발산한다. 즉, Ú과 Û에서 수열 {rn}은 발산한다.

이상을 정리하면 다음과 같다.

an>0일 때,

n^ lim Ú ¦a^1 n^ =¦이면

n^ lim Ú ¦ an=0임이 알려져 있다.

h>0일 때, n¾ 2 인 모든 자연수 n에 대하여 (1+h)n>1+nh 임을 수학적 귀납법으로 증명 할 수 있다.

등비수열 {rn}이 수렴하 기 위한 필요충분조건은 -1<rÉ 1 이다.

등비수열의 수렴과 발산 등비수열 {rn}은 1 r>1일 때, (^) nlim Ú ¦ rn=¦ (발산) 2 r=1일 때, (^) nlim Ú ¦ rn=1 (수렴) 3 |r|<1일 때, (^) nlim Ú ¦ rn=0 (수렴) 4 rÉ-1일 때, 수열 {rn}은 발산한다.

24 Ⅰ.^ 수열의 극한

문제 1 다음 등비수열의 수렴과 발산을 조사하고, 수렴하면 그 극한값을 구하시오.

⑴ {(0.7)n} ⑵ [{- 4 3

}

n ] ⑶ {(-2 1 2)n} ⑷ [ 5

n 3 2n^

]

문제 2 등비수열 [{ 12 }

n cos np]의 수렴과 발산을 조사하고, 수렴하면 그 극한값을 구하시오.

수열 [ 5 n+1+4 n 5 n-3 n+1^ ]의 수렴과 발산을 조사하고,^ 수렴하면 그 극한값을 구하시오.

예제 1

분자와 분모를 각각 5 n으로 나누면

limn Ú ¦^5

n+1+4n 5 n-3n+1^ =limn^ Ú^ ¦

5+{ 45 }

n

1-3_{ 35 }

n

=

lim n Ú ¦ 5+lim n Ú ¦ { 45 }

n

lim n Ú ¦ 1-3 (^) nlim Ú ¦ { 35 }

n

= 5+01-0 =

따라서 주어진 수열은 수렴하고 그 극한값은 5 이다. 답 (^) 수렴, 5

풀이

문제 3 다음 수열의 수렴과 발산을 조사하고, 수렴하면 그 극한값을 구하시오.

⑴ [

4 n-2n 3 n+2n^

] ⑵ [

2_3n+ 5_2n-3n^

]

⑶ [

3 n- 3 n^ +22n^

] ⑷ [

3 2n-5n 2 3n+3n^

]

① 등비수열 [{- 13 }

n ]은 공비가 - 13 이고 -1<- 13 <1이므로 수렴한다. ② 등비수열 {(-3)n}은 공비가 -3이고 -3<-1이므로 발산한다.

분모에서 밑의 절댓값이 가장 큰 항으로 분자와 분모 를 나눈다.

1.^ 수열의 극한^25

문제 4 다음 수열의 수렴과 발산을 조사하시오.

⑴ [

rn+ 1+rn^ ] (단, r+-1) ⑵ [ r+rn 1+r 2n^

]

r>0일 때, 수열 [ 1-r

n 1+rn^

예제 2 ]의 수렴과 발산을 조사하시오.

Ú 0<r<1일 때, limn Ú ¦ rn=0이므로

limn Ú ¦^ 1-r

n 1+rn^ =^

1- 1+0 = Û r=1일 때, (^) limn Ú ¦ rn=1이므로

limn Ú ¦^ 1-r

n 1+rn^ =^

1- 1+1 = Ü r>1일 때, 0< (^1) r <1이고 limn Ú ¦ { (^1) r }

n =0이므로

lim n Ú ¦^ 1-r

n 1+rn^ =lim^ n^ Ú^ ¦

1 r n^ - 1 r n^ +

= 0-10+1 =-

따라서 주어진 수열은 0<r<1일 때 1 에 수렴, r=1일 때 0 에 수렴, r>1일 때 -1에 수렴한다. 답 (^) 풀이 참조

r의 값의 범위에 따라 수 풀이 렴과 발산을 조사한다.

문제 해결 |^ 추론 |^ 창의·융합 |^ 의사소통 |^ 정보 처리 |^ 태도 및 실천

선영이와 경수는 두 양수 a와 b에 대한 두 가지 조건 중에서 하나씩을 선택한 후에

limn Ú ¦^ a

n+1+bn+ an+bn^ 의 값을 구하려고 한다.

극한값으로 선영이는 a, 경수는 b를 얻었다. 선영이와 경수는 각각 어떤 조건을 선택 했는지 말해 보자.

생각

넓히기

선영 경수

limn Ú ¦^ a

n+1+bn+

an+bn^ 의^ 값은?

[조건 1 ] a<b [조건 2 ] a>b

a b

26 Ⅰ.^ 수열의 극한

I -^1.^ 수열의 극한 기 본

중단원 마무리하기

수열의 수렴과 발산 수열 {an}이 1 수렴하는 경우: (^) nlim Ú ¦ an=a (단, a는 상수) (^2) 발산하는 경우 ⑴ 양의 무한대로 발산: lim n Ú ¦ an=¦ ⑵ 음의 무한대로 발산: lim n Ú ¦ an=-¦ ⑶ 양의 무한대나 음의 무한대로 발산하지 않는 경우

수열의 극한에 대한 기본 성질 두 수열 {an}과 {bn}이 수렴하고 n^ lim Ú ¦^ an=a,^ nlim Ú ¦^ bn=b^ (a,^ b는 실수)일 때, 1 lim n Ú ¦ (an+bn)= nlim Ú ¦ an+lim n Ú ¦ bn=a+b 2 lim n Ú ¦ (an-bn)= nlim Ú ¦ an-lim n Ú ¦ bn=a-b 3 lim n Ú ¦ can=c lim n Ú ¦ an=ca (단, c는 상수) 4 lim n Ú ¦ anbn= nlim Ú ¦ an_lim n Ú ¦ bn=ab

5 lim n Ú ¦^ anbn = n^ lim Ú ¦^ a^ n lim n Ú ¦^ bn^ =^

a b (단,^ bn+^0 ,^ b+0)

수열의 극한의 대소 관계 두 수열 {an}과 {bn}이 수렴하고 n^ lim Ú ¦^ an=a,^ nlim Ú ¦^ bn=b^ (a,^ b는 실수)일 때, 1 모든 자연수 n에 대하여 anÉbn이면 aÉb 2 수열 {cn}이 모든 자연수 n에 대하여 anÉcnÉbn이고 a=b이면 수열 {cn}은 수렴하고 (^) nlim Ú ¦ cn=a

등비수열의 수렴과 발산 등비수열 {rn}은 1 r>1일 때, (^) nlim Ú ¦ rn=¦ (발산) 2 r=1일 때, (^) nlim Ú ¦ rn=1 (수렴) 3 |r|<1일 때, (^) nlim Ú ¦ rn=0 (수렴) 4 rÉ-1일 때, 수열 {rn}은 발산한다.

다음 수열의 수렴과 발산을 조사하고, 수렴하면 그

극한값을 구하시오.

⑴ 2 , 6 , 10 , 14 , y, 4n-2, y

⑵ 1 2

, 1

, 1

, 1

, y, 1 2n , y

⑶ 2 , 0 , 2 , 0 , y, 1-(-1)n, y

⑷ 1 , - 1 3

, 1

, y, (-1)^

n- 2n- , y

01

다음 극한값을 구하시오.

⑴ (^) nlim Ú ¦ 2n^2 -n+ 4n^2 +3n-

⑵ (^) nlim Ú ¦ ("Ãn^2 -4n-n)

⑶ (^) nlim Ú ¦^1 "Ãn^2 +3n-n

02

수열 {an}이 모든 자연수 n에 대하여 부등식 2n^2 - n^2 +

<an< 2n^2 +n n^2 + 을 만족시킬 때, (^) nlim Ú ¦ an의 값을 구하시오.

03

다음 수열의 수렴과 발산을 조사하고, 수렴하면 그

극한값을 구하시오.

⑴ { 5 n} ⑵ [{

}

n ]

⑶ {(-4)n} ⑷ [{-

}

n ]

04

1.^ 수열의 극한^27

05 nlim Ú ¦

(n+1)+(n+2)+ y +2n 1+2+3+ y +n

의 값을 구하시오.

n^ lim Ú ¦

an^2 +bn+ 06 2n-3^ =2일 때,^ 두 상수^ a와^ b의 값을 구하시오.

수열 {an}에 대하여 다음에 답하시오.

⑴ lim n Ú ¦ 3an+ 2a (^) n- =2일 때, (^) nlim Ú ¦ an의 값을 구하시오.

⑵ lim n Ú ¦ nan=2일 때, (^) nlim Ú ¦ (4n-3)an의 값을 구하시오.

07

수열 {an}이 모든 자연수 n에 대하여 부등식 1 3n+

É

an n+

É

3n+ 을 만족시킬 때, lim n Ú ¦ an의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오.

08

| 서 술 형 |

표 준

다음 등비수열이 수렴하도록 x의 값의 범위를 정하시오.

⑴ [{

3x+ 2 }

n ] ⑵ {(-1+log x)n}

09

28 Ⅰ.^ 수열의 극한

수열 {an}이 모든 자연수 n에 대하여 1 ' Ä n+2+'Än+3

<an< 1 ' Ä n+1+'Än+2

을 만족시킬 때, (^) nlim Ú ¦

n Á k=1 ak 'Än+1

의 값을 구하시오.

12

r의 값의 범위가 다음과 같을 때, 수열 [ r

n+r rn+1+1

]의 수렴과 발산을 조사하시오.

⑴ |r|>1 ⑵ |r|<1 ⑶ r=1

10

수열 {an}의 일반항이 an=sin np 2

일 때, 두 수열 {a2n-1}과 {a2n}의 수렴과 발산을

각각 조사하고, 수렴하면 그 극한값을 구하시오.

11

발 전

오른쪽 그림과 같이 자연수 n에 대하여 두 지수함수 y=4x, y=3x의 그래프와 직선 x=n의 교점을 각각 Pn, Qn이라 하

자. 이때 (^) nlim Ú ¦ Pn+1Qn+1Ó PnQnÓ

의 값을 구하는 풀이 과정과 답을

쓰시오.

13

| 서 술 형 | Z

O Y YO

0



Zˆ

Zˆ

(^1) O (^2) O