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High School Calculus Workbook File
Typology: Exercises
Uploaded on 09/09/2024
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중국 삼국 시대 위(魏)나라의 수학자인 유휘(劉徽, 260 년경)는 263 년에 황제의 명을 받아 중국에서 가 장 오래된 수학책인 『구장산술(九章算術)』에 주석을 달면서 수열의 극한에 대한 내용을 보충하였다. 이후 프랑스의 수학자인 코시(Cauchy, A. L., 1789 ~1857)는 수열의 극한의 개념에 대한 수학적 기초를 확실히 다지는 계기를 마련하였다. 오늘날 극한의 개념은 사회 과학, 자연 과학 등 여러 분야의 연구에서 현상을 분석하고 예측하는 도구로 이용되고 있다.
이 단원에서는 수열의 수렴, 발산의 뜻을 알고, 수열의 극한에 대한 성질을 이용하여 극한값을 구해 본다. 또, 급수의 뜻을 알고 급수를 활용하여 여러 가지 문제를 해결하는 방법에 대하여 알아본다.
선^ 인^ 장^ 의^ 잎^ 이^ 붙 는^ 위^ 치 와^ 잎^ 의
크^ 기 에^ 서 수^ 열^ 의
극^ 한
의^ 개
념^ 을
찾^ 아
볼^ 수
있^ 다
.
1.^ 수열의 극한^11
생각 열기 (^) 일반항이 an= 1 n 인 수열^ {an}이 있다. 1 n=1, 2 , 3 , 4 , 5 일 때, 순서쌍 (n, an)을 좌표로 하는 점을 오른쪽 좌표평면 위에 나 타내어 보자.
2 n이 한없이 커질 때 일반항 an의 값이 어 떻게 변하는지 추측해 보자.
수열의 극한
수열 {an}에서 n이 한없이 커질 때, 일반항 an의 값이 일정한 수에 한 없이 가까워지는 경우에 대하여 알아보자.
{an}: 2 , 3 2
, y, n+ n , y
{bn}: 1 , -
, y, {-
n- , y
에서 n이 커짐에 따라 이들 수열의 각 항의 값이 변하는 상태를 그래프로 나타내면 다음과 같다.
위의 그래프에서 n이 한없이 커질 때, 수열 {an}의 일반항 n+ n
값은 1 에 한없이 가까워지고, 수열 {bn}의 일반항 {- 1 2
n- 의 값은 양
과 음이 교대로 반복하면서 0 에 한없이 가까워짐을 알 수 있다.
학습 목표 수열의 수렴, 발산의 뜻을 알고, 이를 판별 할 수 있다.
준비 하기 다음 수열에서 일반항an을 추측해 보시오.
⑴ 1 , 14 , 19 , 161 , 251 , y
⑵ 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11 , y
BO
0 O
「미델하르니스의 가로수 길(The Avenue at Middelharnis)」
BO BO
0 O
^ O^ ^ O
CO
O
0
CO
O [ ] ^
다가 서기 네덜란드의 화가 호베마(Hobbema,
M., 1638 ~ 1709 )의 아래 작품에서
화면 중앙의 길과 가로수는 하나의
점에 무한히 접근하고 있는 것처럼
보인다.
이와 같이 미술 작품에서는 원근감
을 나타내기 위해 평행한 두 직선이
한없이 가까워져 한 점에서 만나는
것처럼 표현하기도 한다.
여기서는 수열에서 항들이 어떤 일
정한 수에 한없이 가까워지는 경우
에 대하여 알아본다.
12 Ⅰ.^ 수열의 극한
, y, 2+
n , y
(-1)n n
수렴하는 수열의 극한값 은 하나뿐이다.
일반적으로 수열 {an}에서 n이 한없이 커질 때 일반항 an의 값이 일정한 수 a에 한없이 가까워지면, 수열 {an}은 ‘a에 수렴한다’고 한다. 이때 a를 수열 {an}의 극한값 또는 극한이라 하며, 이것을 기호로 lim n Ú ¦ an =a 또는 n Ú ¦일 때 an Ú a
와 같이 나타낸다.
예를 들어 앞의 두 수열 [ n+ n
n- ]은 각각 1 과 0 에 수렴하므로
n^ lim Ú ¦
n+ n =1, `lim n Ú ¦ {-
n- =0이다.
특히, 수열 {an}에서 모든 자연수 n에 대하여 일반항이 an=c (c는 상수)인 경우, 즉 c, c, c, y, c, y 인 수열은 c에 수렴하므로
n^ lim Ú ¦ an= nlim Ú ¦ c=c 이다.
BO
0 O
D
BO D
두 수열 [ n+1n ]과
[{- 12 }
n- ]의 각 항의 값은
다음과 같다.
다음 수열의 극한값을 그래프를 이용하여 구하시오.
1 3
, y, n n+ , y
풀이 주어진 수열의 일반항을 an이라 하면 an= (^) n+2n
오른쪽 그래프에서 n이 한없이 커질 때 an의 값은 1 에 한없이 가까워지므로 limn Ú ¦n+2^ n =1 (^) 답 1
BO
0 O
수열 {an}에 대하여^ BO^ ^ ^ O O
n^ lim Ú ¦ a^ n=a^ (a는 상수)일 때, (^) nlim Ú ¦ an+1의 값은 무엇 일까?
14 Ⅰ.^ 수열의 극한
⑴ 7 , 4 , 1 , -2, y, 10-3n, y ⑵ -2, 1 , 6 , 13 , y, n^2 -3, y
코시(Cauchy, A. L., 1789 ~1857) 프랑스의 수학자로 수열의 수렴과 발산에 대하여 연구 했다.
또, 수열 {an}에서 n이 한없이 커질 때 an의 값이 음수이면서 그 절댓값이 한없이 커지면 수열 {an}은 ‘음의 무한대로 발산한다’고 하며, 이것을 기호로
n^ lim Ú ¦ an=-¦^ 또는^ n^ Ú^ ¦일 때^ an^ Ú^ - ¦ 와 같이 나타낸다. 예를 들어 앞의 수열 {2n}은 양의 무한대로 발산하고 수열 {-n^2 }은 음의 무한대 로 발산하므로 lim n Ú ¦ 2n=¦이고 (^) nlim Ú ¦ (-n^2 )=-¦이다.
{an}: 1 , -1, 1 , -1, y, (-1)n-1, y {bn}: 1 , -2, 4 , -8, y, (-2)n-1, y 에서 n이 커짐에 따라 이들 수열의 각 항의 값이 변하는 상태를 그래프로 나타내면 다음과 같다.
수열 {bn}의 각 항의 값 은 다음과 같다.
BO
0 ^ O
BO O^ CO
O
CO
O
0
위의 그래프에서 n이 한없이 커질 때, 수열 {an}의 일반항 (-1)n-1의 값은 1 과 -1이 교대로 나타나고, 수열 {bn}의 일반항 (-2)n-1의 값은 절댓값이 한없이 커 지며 그 부호는 양과 음이 교대로 나타남을 알 수 있다. 따라서 두 수열 {an}과 {bn}은 수렴하지도 않고, 양의 무한대나 음의 무한대로 발 산하지도 않는다.
1.^ 수열의 극한^15
시오.
, y,
2n- , y ⑵ {2-3n}
⑶ 1 , 0 , 1 , 0 , y, 1-(-1)n 2 , y ⑷ [n- 1 n
수열의 수렴과 발산 수열 {an}이 1 수렴하는 경우 lim n Ú ¦ an=a (단, a는 상수) 2 발산하는 경우 ⑴ 양의 무한대로 발산: lim n Ú ¦ an=¦ ⑵ 음의 무한대로 발산: lim n Ú ¦ an=-¦ ⑶ 양의 무한대나 음의 무한대로 발산하지 않는 경우
수열 {(-1)n-1}, {(-2)n-1}과 같은 수열을 ‘진동한다’고 한다.
두 학생이 수열 {an}으로 각각 다음과 같은 수열을 만들었다.
활동 (^) 1 수열 {an}이 a에 수렴하면 두 수열 {a2n-1}과 {a2n}도 모두 a에 수렴한다. 이를 예를 들어 설명해 보자. (단, a는 상수)
활동 (^) 2 두 수열 {a2n-1}과 {a2n}이 각각 수렴하면 수열 {an}도 수렴하는지 예를 들어 보 고, 친구들과 비교해 보자.
문제 해결 |^ 추론 |^ 창의·융합 |^ 의사소통 |^ 정보 처리 |^ 태도 및 실천
나는 홀수 번째 항들만을 뽑아 차례 대로 나열했어.
나는 짝수 번째 항들만을 뽑아 차례 대로 나열했어.
1.^ 수열의 극한^17
⑴ (^) nlim Ú ¦ {
n^2 -2} ⑵ (^) nlim Ú ¦ {3-
n
n } ⑶ lim n Ú ¦
n^2
n^2
을 구하시오. (단, bn+0)
⑴ {3an+2bn-5} ⑵ {3anbn} ⑶ [ 7an- b (^) n^2
n^ lim Ú ¦^1 n =0^ ①^ lim n Ú ¦^ {2+^ n^1 }=lim n Ú ¦^ 2+lim n Ú ¦^1 n =2+0=
② lim n Ú ¦ {3- (^) n^1 }=lim n Ú ¦ 3-lim n Ú ¦^1 n =3-0=
③ lim n Ú ¦n^3 =3 lim n Ú ¦^1 n =3_0=
④ lim n Ú ¦n^12 = nlim Ú ¦ { (^) n^1 _ (^1) n }=lim n Ú ¦^1 n _lim n Ú ¦n^1 =0_0=
⑤ lim n Ú ¦
2+ n^1 3 n -
=
lim n Ú ¦ {2+^1 n }
lim n Ú ¦ { (^3) n -1}
=
lim n Ú ¦ 2+lim n Ú ¦n^1
3 lim n Ú ¦^1 n -lim n Ú ¦ 1
= 2+00-1 =-
수열의 극한에 대한 기본 성질은 두 수열이 모두 수렴 하는 경우에만 성립한다.
수열의 극한에 대한 기본 성질 두 수열 {an}과 {bn}이 수렴하고 lim n Ú ¦ an=a, lim n Ú ¦ bn=b (a, b는 실수)일 때, 1 lim n Ú ¦ (an+bn)=lim n Ú ¦ an+lim n Ú ¦ bn=a+b 2 lim n Ú ¦ (an-bn)=lim n Ú ¦ an-lim n Ú ¦ bn=a-b 3 lim n Ú ¦ can=c lim n Ú ¦ an=ca (단, c는 상수) 4 lim n Ú ¦ anbn=lim n Ú ¦ an_lim n Ú ¦ bn=ab
5 lim n Ú ¦^ abn n =
lim n Ú ¦ an lim n Ú ¦ bn^ =^
a b (단,^ bn+^0 ,^ b+0)
18 Ⅰ.^ 수열의 극한
⑴ lim n Ú ¦ 2n^2 +5n -n^2 + ⑵ lim n Ú ¦ 2n^2 +n- 3n 3 -4n^2
⑶ lim n Ú ¦ (!$n^2 -3n+5-n) ⑷ lim n Ú ¦^1 !$n^2 +2n-n
다음 극한값을 구하시오.
⑴ lim n Ú ¦ 3n^2 + n^2 +2n- ⑵ (^) nlim Ú ¦ (!$n^2 +n-n)
⑴ 분자와 분모를 분모의 최고차항 n^2 으로 각각 나누면
limn Ú ¦^ 3n
(^2) + n^2 +2n- =limn Ú ¦
3+^1 n^2 1+ n^2 -^4 n^2
=
lim n Ú ¦ {3+ n^12 }
lim n Ú ¦ {1+ n^2 - n^42 }
= ⑵ 근호가 있는 부분을 유리화하면
limn Ú ¦^ (!$n^2 +n-n)=limn Ú ¦^ (!$n
(^2) +n-n)(!$n (^2) +n+n) ! $ n^2 +n+n =limn Ú ¦^ n !$n^2 +n+n
=limn Ú ¦^1 ®É1+ n^1 +
= (^12)
답 ⑴ 3 ⑵ (^12)
풀이
n^ lim Ú ¦ ¾¨1+^1 n =
DO
0 ^ O
DO O
두 수열 {an}과 {bn}에 대하여 (^) nlim Ú ¦ an=¦, (^) nlim Ú ¦ bn=¦인 경우에도 주어진 식을
적절히 변형하여 (^) nlim Ú ¦ an bn 또는 (^) nlim Ú ¦ (an-bn)의 값을 구할 수 있다.
20 Ⅰ.^ 수열의 극한
⑴ lim n Ú ¦ cos nh n ⑵ lim n Ú ¦ 2n n^2 + `sin nh
5n^2 +2<(n^2 +2n)an<5n^2 +2n+ 을 만족시킬 때, (^) nlim Ú ¦ an의 값을 구하시오.
두 수열 {an}과 {bn}에 대하여 an<bn이라고 해서 반드시 (^) nlim Ú ¦ an<lim n Ú ¦ bn이 성립하는 것은
아니다. 예를 들어 an= (^1) n , bn= (^2) n 이면 모든 자연수 n에 대하여 an<bn이지만 lim n Ú ¦ an=0=lim n Ú ¦ bn이다.
모든 자연수 n에 대하여 -1Ésin nhÉ 1 이므로
그런데 (^) nlim Ú ¦ {- (^) n^1 }=0이고 (^) limn Ú ¦^1 n =0이므로 수열의 극한의 대소 관계 2 에 의하여
limn Ú ¦^ sin n^ n h= 답 0
모든 실수 x에 대하여 풀이 -1Ésin`xÉ 1
수열의 극한의 대소 관계 두 수열 {an}과 {bn}이 수렴하고 lim n Ú ¦ an=a, lim n Ú ¦ bn=b (a, b는 실수)일 때, 1 모든 자연수 n에 대하여 anÉbn이면 aÉb이다. 2 수열{cn}이 모든 자연수 n에 대하여 anÉcnÉbn이고 a=b이면, 수열 {cn}은 수렴하 고 lim n Ú ¦ cn=a이다.
위의 방법으로 다음과 같이 정의된 수열 {an}의 극한값을 구해 보자.`(단, n=1, 2 , 3 , y)
⑴ a 1 =8, an+1= 14 2an+8 ⑵ a 1 =2 12 , an+1=2 15 3+an
확 인
1.^ 수열의 극한^21
수열의 극한값 구하기
공학적
도구
다음과 같이 정의된 수열 {an}의 극한값을 컴퓨터 프로그램을 이용하여 구해 보자. a 1 = 12 , an+1= 14 2+an (n=1, 2 , 3 , y)
문제 해결 |^ 추론 |^ 정보 처리
(^1) [그림 1 ]에서 스프레드시트를 클릭한다.
2 셀 A 1 부터 A 8 까지 1 , 2 , 3 , y, 8 을 차례대로 입력한다.
(^3) 셀B 1 에 ‘=sqrt( 2 )’, 셀 B 2 에 ‘=sqrt(2+B 1 )’을 입력하고 셀 B 2 의 ‘채우기 핸들’을 이용하여 셀 B 8 까지 드래그하면 a 1 , a 2 , a 3 , y, a 8 의 값이 [그림 2 ]와 같이 나타난다.
4 셀C 1 에 ‘(A 1 ,B 1 )’을 입력하고 셀 C 1 의 ‘채우기 핸들’을 이용하여 셀 C 8 까지 드래그하면 [그림 3 ] 과 같이 오른쪽 기하창에 그래프가 나타난다.
(^5) 기하창에서 마우스의 오른쪽 버튼을 누른 후 격자를 선택해서 보면, n이 커질 때 an의 값이 2 에 가 까워짐을 시각적으로 알 수 있다.
따라서 a 1 = 12 , an+1=` 15 2+an (n=1, 2 , 3 , y)과 같이 정의된 수열 {an}의 극한값은 2 임을 추측 할 수 있다.
[그림 1 ] [그림 2 ]
[그림 3 ]
1.^ 수열의 극한^23
(^1) r>1일 때, r=1+h (h>0)라 하면 rn=(1+h)n>1+nh (n¾2) 이때 lim n Ú ¦ (1+nh)=¦이므로 lim n Ú ¦ rn=¦
즉, 수열 {rn}은 발산한다.
2 r=1일 때, 모든 자연수 n에 대하여 rn=1이므로 lim n Ú ¦ rn=
즉, 수열 {rn}은 수렴한다.
(^3) |r|<1일 때, Ú r=0이면 모든 자연수 n에 대하여 rn=0이므로 lim n Ú ¦ rn=
Û r+ 0 이면
|r|>1이므로^
lim n Ú ¦
|r n| = nlim Ú ¦ {
|r|
n =¦
따라서 lim n Ú ¦ |rn|=0이므로 lim n Ú ¦ rn=
즉, Ú과 Û에서 수열 {rn}은 수렴한다.
(^4) rÉ-1일 때, Ú r=-1이면 수열 {rn}은 -1, 1 , -1, 1 , y이므로 발산한다. Û r<-1이면 |r|>1이므로^1 에 의하여 lim n Ú ¦ |rn|=lim n Ú ¦ |r|n=¦
이고, 수열 {rn}은 각 항의 부호가 교대로 바뀌므로 발산한다. 즉, Ú과 Û에서 수열 {rn}은 발산한다.
an>0일 때,
n^ lim Ú ¦a^1 n^ =¦이면
n^ lim Ú ¦ an=0임이 알려져 있다.
h>0일 때, n¾ 2 인 모든 자연수 n에 대하여 (1+h)n>1+nh 임을 수학적 귀납법으로 증명 할 수 있다.
등비수열 {rn}이 수렴하 기 위한 필요충분조건은 -1<rÉ 1 이다.
등비수열의 수렴과 발산 등비수열 {rn}은 1 r>1일 때, (^) nlim Ú ¦ rn=¦ (발산) 2 r=1일 때, (^) nlim Ú ¦ rn=1 (수렴) 3 |r|<1일 때, (^) nlim Ú ¦ rn=0 (수렴) 4 rÉ-1일 때, 수열 {rn}은 발산한다.
24 Ⅰ.^ 수열의 극한
⑴ {(0.7)n} ⑵ [{- 4 3
n ] ⑶ {(-2 1 2)n} ⑷ [ 5
n 3 2n^
n cos np]의 수렴과 발산을 조사하고, 수렴하면 그 극한값을 구하시오.
수열 [ 5 n+1+4 n 5 n-3 n+1^ ]의 수렴과 발산을 조사하고,^ 수렴하면 그 극한값을 구하시오.
분자와 분모를 각각 5 n으로 나누면
limn Ú ¦^5
n+1+4n 5 n-3n+1^ =limn^ Ú^ ¦
5+{ 45 }
n
1-3_{ 35 }
n
=
lim n Ú ¦ 5+lim n Ú ¦ { 45 }
n
lim n Ú ¦ 1-3 (^) nlim Ú ¦ { 35 }
n
= 5+01-0 =
따라서 주어진 수열은 수렴하고 그 극한값은 5 이다. 답 (^) 수렴, 5
풀이
4 n-2n 3 n+2n^
2_3n+ 5_2n-3n^
3 n- 3 n^ +22n^
3 2n-5n 2 3n+3n^
① 등비수열 [{- 13 }
n ]은 공비가 - 13 이고 -1<- 13 <1이므로 수렴한다. ② 등비수열 {(-3)n}은 공비가 -3이고 -3<-1이므로 발산한다.
분모에서 밑의 절댓값이 가장 큰 항으로 분자와 분모 를 나눈다.
26 Ⅰ.^ 수열의 극한
중단원 마무리하기
수열의 수렴과 발산 수열 {an}이 1 수렴하는 경우: (^) nlim Ú ¦ an=a (단, a는 상수) (^2) 발산하는 경우 ⑴ 양의 무한대로 발산: lim n Ú ¦ an=¦ ⑵ 음의 무한대로 발산: lim n Ú ¦ an=-¦ ⑶ 양의 무한대나 음의 무한대로 발산하지 않는 경우
수열의 극한에 대한 기본 성질 두 수열 {an}과 {bn}이 수렴하고 n^ lim Ú ¦^ an=a,^ nlim Ú ¦^ bn=b^ (a,^ b는 실수)일 때, 1 lim n Ú ¦ (an+bn)= nlim Ú ¦ an+lim n Ú ¦ bn=a+b 2 lim n Ú ¦ (an-bn)= nlim Ú ¦ an-lim n Ú ¦ bn=a-b 3 lim n Ú ¦ can=c lim n Ú ¦ an=ca (단, c는 상수) 4 lim n Ú ¦ anbn= nlim Ú ¦ an_lim n Ú ¦ bn=ab
5 lim n Ú ¦^ anbn = n^ lim Ú ¦^ a^ n lim n Ú ¦^ bn^ =^
a b (단,^ bn+^0 ,^ b+0)
수열의 극한의 대소 관계 두 수열 {an}과 {bn}이 수렴하고 n^ lim Ú ¦^ an=a,^ nlim Ú ¦^ bn=b^ (a,^ b는 실수)일 때, 1 모든 자연수 n에 대하여 anÉbn이면 aÉb 2 수열 {cn}이 모든 자연수 n에 대하여 anÉcnÉbn이고 a=b이면 수열 {cn}은 수렴하고 (^) nlim Ú ¦ cn=a
등비수열의 수렴과 발산 등비수열 {rn}은 1 r>1일 때, (^) nlim Ú ¦ rn=¦ (발산) 2 r=1일 때, (^) nlim Ú ¦ rn=1 (수렴) 3 |r|<1일 때, (^) nlim Ú ¦ rn=0 (수렴) 4 rÉ-1일 때, 수열 {rn}은 발산한다.
⑴ 2 , 6 , 10 , 14 , y, 4n-2, y
⑵ 1 2
, y, 1 2n , y
⑶ 2 , 0 , 2 , 0 , y, 1-(-1)n, y
⑷ 1 , - 1 3
, y, (-1)^
n- 2n- , y
01
⑴ (^) nlim Ú ¦ 2n^2 -n+ 4n^2 +3n-
⑵ (^) nlim Ú ¦ ("Ãn^2 -4n-n)
⑶ (^) nlim Ú ¦^1 "Ãn^2 +3n-n
02
수열 {an}이 모든 자연수 n에 대하여 부등식 2n^2 - n^2 +
<an< 2n^2 +n n^2 + 을 만족시킬 때, (^) nlim Ú ¦ an의 값을 구하시오.
03
⑴ { 5 n} ⑵ [{
n ]
⑶ {(-4)n} ⑷ [{-
n ]
04
1.^ 수열의 극한^27
05 nlim Ú ¦
(n+1)+(n+2)+ y +2n 1+2+3+ y +n
n^ lim Ú ¦
an^2 +bn+ 06 2n-3^ =2일 때,^ 두 상수^ a와^ b의 값을 구하시오.
수열 {an}에 대하여 다음에 답하시오.
⑴ lim n Ú ¦ 3an+ 2a (^) n- =2일 때, (^) nlim Ú ¦ an의 값을 구하시오.
⑵ lim n Ú ¦ nan=2일 때, (^) nlim Ú ¦ (4n-3)an의 값을 구하시오.
07
수열 {an}이 모든 자연수 n에 대하여 부등식 1 3n+
an n+
3n+ 을 만족시킬 때, lim n Ú ¦ an의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오.
08
| 서 술 형 |
표 준
다음 등비수열이 수렴하도록 x의 값의 범위를 정하시오.
3x+ 2 }
n ] ⑵ {(-1+log x)n}
09
