MACM 201 Test 1
February 6, 2006. 50 minutes
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N(¯c1,¯c2¯c3· · · ¯ct) = N−[N(c1) + N(c2) + · · · +N(ct)]
+[N(c1c2) + N(c1c3) + · · · +N(c1ct) + · · · +N(c2c3) + · · · +N(ct−1ct)]
−[N(c1c2c3) + N(c1c2c4) + · · · +N(c1c2ct) + N(c1c3c4) + · · ·
+N(c1c3ct) + · · · +N(ct−2ct−1ct)] + · · · + (−1)tN(c1c2c3· · · ct)
=S0−S1+S2−S3+· · · + (−1)tSt
Em=Sm− m+ 1
1!Sm+1 + m+ 2
2!Sm+2 − · · · + (−1)t−m t
t−m!St
Lm=Sm− m
m−1!Sm+1 + m+ 1
m−1!Sm+2 − · · · + (−1)t−m t−1
m−1!St
If n∈Z+,
−n
r!= n+r−1
r!
For all m,n ∈Z+, a ∈R,
(1 + x)n= n
0!+ n
1!x+ n
2!x2+· · · + n
n!xn
(1 −xn+1)
(1 −x)= 1 + x+x2+x3+·· · +xn
1
(1 −x)= 1 + x+x2+x3·· · =
∞
X
i=0
xi
1
(1 + x)n= −n
0!+ −n
1!x+ −n
2!x2+· · ·
=
∞
X
i=0 −n
i!xi
= 1 + (−1) n+ 1 −1
i!x+ (−1)2 n+ 2 −1
2!x2+· · ·
=
∞
X
i=0
(−1)i n+i−1
i!xi
1
(1 −x)n= −n
0!+ −n
1!(−x) + −n
2!(−x)2+· · ·
=
∞
X
i=0 −n
i!(−x)i
= 1 + (−1) n+ 1 −1
i!(−x)+(−1)2 n+ 2 −1
2!(−x)2+· · ·
=
∞
X
i=0 n+i−1
i!xi
1
