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Universidad del Norte
Facultad de Ciencias B´asicas
Departamento de Matem´aticas
Taller de C´alculo II
Primer Parcial
Profesor Coordinador: Javier de la Cruz
Periodo 10 de 2021
Nombre: Fecha:
Observaci´on: Recuerde que los ejercicios impares del texto gu´ıa (Dennis G. Zill, Warren S. Wrigth, Joel Ibarra, Matem´aticas 2, C´alculo integral) tienen respuesta.
Integral de funciones algebraicas
- Calcule la integral indefinida, usando si es necesario una sustituci´on.
(a)
∫ (^) x (^2) +2x √ x^3 +3x^2 +1 dx (b)
x(x^2 + 1)
4 − 2 x^2 − x^4 dx (c)
∫ (^) x 3 (x^2 +4)^3 /^2 dx (d)
∫ (^) x 3 √ 1 − 2 x 2 dx
(e)
x
x + 6dx (f)
x^2
1 − xdx (g)
∫ (^) x (^2) − 1 √ 2 x− 1 dx (h)
∫ (^2) x+ √x+4 dx
(i)
∫ (^) x (x+1)−√x+1 dx (j)
x 3
x + 4dx (k)
∫ (^) x+ √x− 1 dx
(l)
x^2
3 − 2 xdx (m)
∫ (^) x 2 √x− 2 dx
(n)
x^2
1 + (^31) x dx (o)
∫ (^) dx x−x^1 /^3 dx (p)
(x + (^1) x )^3 /^2 ( x (^2) − 1 x^2 )dx (q)
∫ (^) (x+1) 2 ( x 33 +x^2 +x+5)^4 dx
(r)
(x^2 + 1)−^3 /^2 dx (s)
∫ (^) x √√ (1+x^2 )^3 +x^2 +
dx
(t)
∫ (^) (x (^2) +1− 2 x) 2 / 5 1 −x dx (u)
∫ (^) x (x+1)−√x+1 dx (v)
∫ (^) x− 1 x−√x dx (w)
1 + 14 (x^3 − (^) x^13 )^2 dx
(x)
1 + 14 (x^2 − (^) x^12 )^2 dx (y)
1 + 4x^2 (x^2 + 1)dx
- Una piedra es lanzada verticalmente hacia arriba desde el suelo con una velocidad inicial de 128 pies por segundo. Si la ´unica fuerza que se considera
es la atribuida a la aceleraci´on de la gravedad, determine (a) cu´anto tiempo tardar´a la piedra en chocar contra el suelo; (b) la velocidad con la cual chocar´a contra el suelo; (c) a qu´e altura se elevar´a la piedra en su ascenso.
- Una pelota se deja caer desde la c´uspide de una torre de 555 pies de altura. a) ¿Cu´anto tiempo tomar´a a la pelota llegar al suelo? b) ¿A qu´e velocidad chocar´a la pelota con el suelo?
- Una mujer que se encuentra en un globo deja caer sus binoculares cuando el globo est´a a 150 pies de altura sobre el suelo y se eleva a raz´on de 10 pies por segundo. a) ¿Cu´anto tiempo tardar´an los binoculares en llegar al suelo? b) ¿Cu´al es la velocidad de los binoculares al momento del impacto?
- Una pelota se deja caer desde una ventana a 80 pies del suelo a una velocidad inicial de -64 pie/s a) ¿Cu´ando choca contra el suelo la pelota? b) ¿Con qu´e velocidad golpear´a el suelo?
- Una piedra es lanzada verticalmente hacia arriba desde el techo de una casa que se encuentra a 60 pies del suelo con una velocidad inicial de 40 pie/s a) ¿En cu´anto tiempo alcanzar´a la piedra su m´axima altura? b) ¿Cu´al es la altura m´axima que alcanza? c) ¿ Cu´anto tiempo tomar´a a la piedra pasar por el nivel del techo de la casa en su trayectoria descendente? d) ¿ Cu´al es la velocidad de la piedra en ese instante? e) ¿Cu´anto tiempo tomar´a a la piedra golpear el suelo? f) ¿ Con qu´e velocidad golpear´a el suelo?
Integral de funciones trigonom´etricas
- Calcule la integral indefinida.
(a)
∫ (^) sin √x √x dx (b)
∫ (^) sin x cos^3 x dx (c)
∫ (^) cos x sin^5 /^2 x dx (d)
∫ (^) csc (^2) x cot^3 x dx (e)
∫ (^) sin( (^) x^1 ) cos( (^) x^1 ) x^2 dx (f)
sec^2 x
tan xdx (g)
∫ (^) sin √x √x dx (h)
sin x
1 − cos xdx (i)
sin^3 xdx
(j)
cos^3 (3x)dx (k)
sin^3 (x + (^1) x ) cos(x + (^1) x )( x (^2) − 1 x^2 )dx (l)
∫ (^) tan 3 √x sec 2 √x √x dx
(m)
∫ (^) sin (^4) (1+√x) cos(1+√x) √x dx
(n)
∫ (^) sin(2x) √ 3 −2 sin^2 x dx
(o)
tan^2 xdx (p)
cot^2 xdx (q)
[tan(x/3) + cot(x/3)]^2 dx
Integral de funciones logar´ıtmicas y exponenciales
- Calcule la integral indefinida, haciendo si es necesario una sustituci´on.
(a)
2 x+7 dx (b)
∫ (^) cos x 2+sin x dx (c)
x ln
(^3) xdx
(d)
∫ (^) (1+ln x) 2 2 x dx (e)
∫ (^2) −3 sin 2x cos 2x dx (f)
∫ (^2) x 3 x^2 − 4 dx (g)
∫ (^) x 3 √ 1 − 2 x^2 dx (h)
x ln x dx (i)
√x(1+√x) dx
(j)
∫ (^) 2 ln x+ x[ln^2 x+ln x] dx (k)
∫ (^) 2+ln (^2) x x[1−ln x] dx (l)
∫ (^) tan(ln x) x dx (m)
2 x^ ln^ x(ln x + 1)dx
(n)
∫ (^) tan (^2 2) x sec 2x dx (o)
∫ (^) sec (^2) x tan x dx (p)
∫ (^) sin (^2) x−cos (^2) x cos x dx (q)
∫ (^2) −3 sin 2x cos 2x dx (r)
∫ (^) sin 3x cos 3x− 1 dx (s)
(tan 2x − sec 2x)dx (t)
cos 4x dx (u)
2 sin(3x+1) dx (v)
∫ (^) x (^4) − 5 x (^2) +3x− 4 x dx (w)
∫ (^) x (^4) − 5 x (^2) +3x− 4 x+1 dx (x)
∫ (^) x 3 x− 2 dx (y)
∫ (^3) x (^2) − 5 x+ x− 4 dx (z)
√ (^3) x (^2) −√x dx Sug. hacer x = z^6.
- En cierto cultivo, la tasa de reproducci´on de las bacterias es proporcional a la cantidad presente. Si hay 1.000 bacterias presentes inicialmente, y la cantidad se duplica a los 12 minutos, ¿cu´anto tiempo deber´a pasar antes de que haya 1.000.000 de bacterias presentes? Respuesta: 119,6 minutos.
- La tasa de crecimiento de la poblaci´on de una ciudad es proporcional a la poblaci´on. Si la poblaci´on en 1950 era de 50000 habitantes y en 1980 era de 75000 ¿cu´al ser´a la poblaci´on esperada en 2010? Respuesta: 112,
- La r´apidez de desintegraci´on del elemento qu´ımico radio es proporcional a la cantidad presente es cualquier tiempo. Si se tienen 60 mg de radio y su semivida es de 1690 a˜nos ¿qu´e cantidad de radio habr´a dentro de 100 a˜nos a partir de hoy? Respuesta: 57,
- El n´umero de bacterias en un cultivo se increment´o de acuerdo con la ley de crecimiento exponencial. Despu´es de 2 horas se tienen 125 bacteraias y 350 despues de 4 horas. a) Encuentre la poblaci´on inicial b) C´uantas bacterias hay de 8 horas c) ¿Despu´es de cu´antas horas habr´a 25000 bacterias? Respuesta: a) 44,71 b) 2730,
- Una reacci´on qu´ımica convierte un cierto compuesto en otro, siendo la raz´on de conversi´on del primer compuesto proporcional a la cantidad de ´este pre- sente en cualquier instante. Al cabo de una hora quedan 50 gramos del primer compuesto, mientras que al cabo de tres horas solamente quedan 25 gramos.
(a) ¿Cu´antos gramos del primer compuesto exist´ıan inicialmente? (b) Cu´antos del primer compuesto quedar´an al cabo de cinco horas? (c) ¿En cu´antas horas quedar´an solamente 2 gramos del primer compuesto?
- Calcule la integral indefinida.
(a)
e^5 x 2 xdx
(b)
∫ (^) e 4 /x x^2 dx
(c)
1+e−^2 x^ dx (d)
∫ (^) (1+ex) 2 ex^ dx
- Texto gu´ıa P´agina 38 Ejercicios: 35, 37, 43.
Ejercicios variados de integrales indefinidas
- Calcule la integral indefinida.
(a)
∫ (^) x x^2 +x+1 dx (b)
∫ (^) x+ x^2 +x+1 dx (c)
∫ (^2) x+ x^2 +2x+5 dx (d)
∫ (^) x+ √ 5 −x^2 − 4 x dx (e)
∫ (^) dx √x− 1 −x dx
(f)
∫ (^) 2+x √ 4 − 2 x−x^2 dx (g)
∫ (^2) x 3 2 x^2 − 4 x+3 dx (h)
ex^ − 3 dx
(i)
∫ (^) (arctan x) 3 1+x^2 dx
Area bajo una curva^ ´
- Dada la funci´on f (x) y el intervalo I = [a, b] calcule usando una partici´on regular:
La suma Sn =
∑n i=1 f^ (ci)∆x^ con^ ci^ =^ a^ +^ i∆x El ´area de la regi´on bajo la curva f (x) por encima del eje x en dicho intervalo I.
(a) f (x) = x^2 , I = [0, 2] (b) f (x) = x^2 − 2 x + 1, I = [1, 3]
(j)
− 2 |x^ −^3 |dx,^ Respuesta:^ −^
21 2 (k)
− 1
|x| − xdx (l)
− 3
3 + |x|dx (m)
0
x
1 + x
xdx (n)
0
x^3 + x+1 dx^ ,^ Respuesta:^
5 6 (o)
1
1 + ( 12 x^3 + (^2) x^13 )^2 dx, Respuesta: (^929)
(p)
1
1 + 14 (x^2 − (^) x^12 )^2 dx, Respuesta: (^143)
(q)
0
1 + 4x^2 (x^2 + 1)dx, Respuesta: (^53)
- Demuestre que
o
4 1+x^2 dx^ =^ π.
- Usando el teorema fundamental del c´alculo calcule el ´area de la regi´on en el primer cuadrante limitada por la curva y = (^) 1+^1 x 2 , el eje x y la recta x = 1. Respuesta: π/4.
- Usando el teorema fundamental del c´alculo calcule el area bajo la curva f (x) = x^2 + 1, por encima del eje x y entre las rectas x = 1 y x = 4.
- Usando el teorema fundamental del c´alculo calcule el ´area de regi´on limitada por la curva y = (^) x (^28) +4 el eje x, el eje y y la recta x = 2.
- Calcule las siguientes derivadas.
(a) (^) dxd
∫ (^) x 0
4 + t^6 dt (b) (^) dxd
x
sin tdt (c) (^) dxd
∫ (^) x −x
2 3+t^2 dt (d) (^) dxd
∫ (^) tan x 2
1 1+t^2 dt
- Texto gu´ıa P´agina 47 Ejercicios: 45, 47.
Tabla de integrales
dx = x + c
adx = ax + c, donde a es una constante.
[f (x) + g(x)]dx =
f (x)dx +
g(x)dx
xndx = x n+ n+1 +^ c, donde^ n^6 =^ −^1
∫ (^) dx x = ln^ |x|^ +^ c
axdx = a x ln a +^ c,^ donde^ a >^ 0 y^ a^6 = 1
exdx = ex^ + c
sin xdx = − cos x + c
cos xdx = sin x + c
sec^2 xdx = tan x + c
csc^2 xdx = − cot x + c
sec x tan xdx = sec x + c
csc x cot xdx = − csc x + c
tan xdx = ln | sec x| + c
cot xdx = ln | sin x| + c
sec xdx = ln | sec x + tan x| + c
csc xdx = ln | csc x − cot x| + c
∫ (^) dx √a (^2) −x 2 = arcsin xa + c, donde a > 0
∫ (^) dx a^2 +x^2 =^
1 a arctan^
x a +^ c, donde^ a^6 = 0
∫ (^) dx x √ x^2 −a^2 =^
1 a arcsec^
x a +^ c, donde^ a >^0
