Integrales Múltiples, Summaries of Law

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CAPÍTULO

Integrales Múltiples

1 Introducción



=

 →

1.1 Definición de integral doble

 →

§ Integrales Múltiples

- 76 -

1.1.1 Propiedades de las integrales dobles

 ^   

1.1.1.1 Teorema de Fubini

§ Integrales Múltiples

- 78 -

1.2.1.1 Coordenadas Polares Generalizadas

 =^ 

 =^ ^ 

  −^ −

1.3 Aplicación de las integrales dobles

1.3.1 Área

( )

( )

 (^ )

 

R

x

y

f x ( )

g( x )

a b

R

x

y

c

d

§ Integrales Múltiples - 79 -

1.3.2 Volumen

1.3.3 Área de Superficie

1.3.4 Aplicaciones a la mecánica

1.3.4.1 Centros de masa y Momentos de Inercias de masa

= ( )

= (^) ( )  ( )

=  (^) ( ) = ( )

( ) (^) ( )

( ) (^) ( )

( ) ( )







( )

( )

   

§ Integrales Múltiples - 81 -

 →

1.4.1 Propiedades de las integrales triples

 ^   

1.4.1.1 Teorema de Fubini

1.5 Cambio de variables en una integral triple

1.5.1 Coordenadas Cilíndricas



=  =  =

  

§ Integrales Múltiples

- 82 -

z

y

x





 (^) 

 

 ^ 

 =^ ^ ^ ^  =

1.5.1.1 Coordenadas cilíndricas generalizadas

( )

( ) ( ) ( )

− −

 ^ 

 =^ ^ ^ ^  =^ ^ 

1.5.2 Coordenadas Esféricas

  

( ^ ^  ^ ^  ^ )

 (^) 

  

 = ^ ^ 

 ^ 

 = ^ ^ ^ ^ ^  = ^ 

  ^ ^ 

 = ^ 

z

y

x



r

z

§ Integrales Múltiples

- 84 -

1.7.2 Centroides geométricos e Inercias geométricas

= (^) ( + + )

= (^) ( )

§ Integrales Múltiples - 85 -

2 Problemas Resueltos

 +^ −^ − 

 +^ −^ −^  =

= (^) ( )     

= (^) ( )     

 ^  

( ) ( ) ( )

= − = − ^  = = −

 = (^) ( − )

3. ( + (^) ) ( − )

x

y

=

=

x

y

=

=

§ Integrales Múltiples - 87 -

 =^ = −

 +^ =^  =

− − −

= = ^  =

− −

 = (^) ( − )

x

y

+ = +^ =

v

u

−

§ Integrales Múltiples

- 88 -

x

y

• =

→

 +^   + 



→ → 

→  →

( )

 ^  

 (^) 

−

 

−

    = ^  −  =    

 +^ =^ =

 +^ =^ →^ =^ 

 +^ =^ →^ =^ 

 =^ →  =

x

y

§ Integrales Múltiples

- 90 -

 =^ 

 =^ ^  =^ ^ 

 

 

=    = ^    

   

 

 =^ →^ =

= −  −  = − ^ − + 

x

y

• =

x

y

=

§ Integrales Múltiples - 91 -

  +^   =^   +^   =^ −^ =^ =

 =^ 

+ = → ^ ^ + ^  = → =

    ^ ^ ^ 

+ = → ^ ^ + ^  = → =

    ^ ^ ^ 

 =^ ^ 



  



  (^)      − = ^  −  = (^)  − (^) =   ^    ^ 

 =^  =

§ Integrales Múltiples - 93 -

 +^ +^ −^ =^ →^  =^ −^  −^ 

 +^ = 

( )

 − −  

− − 

= + (^) ( ) +( )

 −^ −

= ( )

 →^ =

 =^ 

x

y

r = 2

2 2 x + y = ay

2 2 2 2 x + y + z = a

x

y

z

S



§ Integrales Múltiples

- 94 -

 +^ =^ ⎯⎯⎯⎯→^  =^ 

 ^ ^ 

^    

 

 =^ ^ →^ =

 =^ ⎯⎯⎯⎯→^  =

 +^ = 

^ − ^    

 ^ 

 

−