Introducción matemática, Summaries of Mathematics

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CapiTULoO 1 INTRODUCCION 1. LOGICA 1.1. Nocién de lbgica El problema central de la logica es establecer bajo qué condiciones un enunciado puede ser considerado como conclusion derivada de otros enun- ciados llamados premisas. La logica formal tiene por objeto las maneras de argumentar que dependen de las formas de los enunciadas, y la |6gica mate- rial, las maneras de argumentar que dependen de una materia particular sobre la que se apliquen los medios de argumentacién. Argumentamos cuando pasamos desde “si Juan canta, entonces Juan existe” y “es asi que Juan canta” hacia “entonces Juan existe”. La legitimidad del paso no depen- de de “Juan’’, ni de “‘cantar”, ni de “existir”; en otras palabras, no depende de la “materia” utilizada. El paso sigue siendo legftimo si reemplazamos “Juan canta” y “Juan existe” por “es de noche’ y “hay sombra”; o mejor ain si reemplazamos, como lo hiciera Crisipo (28 1-208 a.C.), “Juan canta” por “el primero” y “Juan existe” por “el segundo”. La légica formal estu- diard entonces las reglas o principios que, con independencia de Ia “materia” de un enunciado, nos permitan pasar de uno © varios enunciados a otro enunciado. Con la palabra enunciado significamos una expresion lingiifstica que por tender hacia una realidad adquiere la caracteristica de ser verdadera o falsa Por lo dicho, en légica manejamos expresiones. Llimase, a veces, propo- sicion al significado de un enunciado; las propiedades légicas de una propo- sici6n dependen de su estructura, asi como las propiedades ldgicas de un enunciado dependen también de su estructura. Como los enunciados en cuanto expresiones lingii’sticas son cosas materiales més faciles de manejar, serd siempre més sencillo conocer la estructura del enunciado que la de la proposicién. Por otra parte, enunciados distintos pueden tener ¢l mismo significado. Por ejemplo, los enunciados: ” Hoy a las cinco llueve en Buenos Aires. Today at five o'clock it is raining in Buenos Aires. tienen el mismo significado, es decir, representan una sola proposicion. A pesar de que en la practica manejaremos enunciados, esto no quiere LOGICA decir que sélo nos interesaremos por expresioncs. A la ldgica le interesa y se ocupa de la expresién con significacién cabai Aclaremos, por fin, qué expresiones como “Ilueve”, “‘it is raining” no son enunciados, ya que a veces son verdaderas y a veces son falsas. La légica formal, entonces, estudia la relacion de consecuencia que existe entre las premisas y la conclusi6n de una argumentaci6n correcta. Tratemos de explicar el significado de esta definicion mediante el siguiente ejemplo: a) Si toda planta es ser viviente y todo ser viviente es mortal, entonces toda planta es mortal. La conclusién aqui es “toda planta es mortal”, y las premisas, “toda planta es ser viviente” y “todo ser viviente es mortal”. La argumentacién, entonces, es un cierto tipo de expresién en el cual un enunciado es la conclusién, y los otros, las premisas. Se dard relacién de consecuencia si la forma de esta argumentacién garantiza que la conclusién se sigue de las premisas. Para obtener Ia forma de esta argumentacién utilizaremos las varia- bles x, y,.¥ Z, que representan, en este caso, lugares vacios donde podemos colocar enunciados. Obtenemos ast la siguiente argumentaci6n: Si todo x es y y todo y es z, entonces todo x es z. Cualquiera sea la sustitucién que realicemos de x, y y z, el resultado serd siempre una argurhentacién correcta. Reemplazando por ejemplo x por “argentino”, y por “partidario de fumar en pipa” y z por “americano”, obtenemos la siguiente argumentaci6n: 6) Si todo argentino es partidario de fumar en pipa y todo partidario de fumar en pipa es americano, entonces todo argentino es americano. Reemplazamos ahora x por “pez"’, y por “‘vegetariano” y z por “‘capaz de hablar’ y obtenemos: c] Si todo pez es vegetariano y todo vegetariano es capaz de hablar, entonces todo pez es capaz de hablar. En estas tres argumentaciones correctas, manifiestan las premisas y la conclusion respecto de la verdad y la falsedad, las siguientes relaciones: en a) las premisas son verdaderas y la conclusion es verdadera; en b/ las premisas son falsas y la conclusién es verdadera y en ¢) las premisas son falsas y la conclusién es falsa. Lo que nunca ocurre en una argumentacién correcta es que las premisas sean verdaderas y la conclusion falsa. Es decir, que la correccion de una argumentacién nada nos dice sobre la verdad de la con- clusién. Adviértase, entonces, que si las premisas son verdaderas, la conclu- sion debe ser verdadera. 2 LOGICA 1.2, “Logica” En un comienzo no se Iamé “légica” al estudio que abarea hoy nombre, Por ejemplo, para Aristételes la légica, 0 mejor dicho, lo que noso- tros Ilamamos légica fue llamada “analftica” y, a veces, “se sigue de las preinisas”. El término “légica” aparece en el titulo de la obra de Demdcrito (460-371 a.C.). Los estoicos (siglos III y IL a.C.) usaron el término “‘dialéc- tica” para designar la disciplina que nos interesa. En Aristételes la palabra “dialéctica” caracteriza a las argumentaciones que parten de opiniones gene- ralmente aceptadas. En el siglo I a.C. los discipulos de Aristételes publicaron sus obras con el titulo de Organon, esto es, instrumento, y retomaron el nombre utilizado por Demécrito, “ldgica”. Los escritores latinos al trans- mitirnos los escritos légicos antiguos prefirieron utilizar la’ palabra “dialée- tica”; Pedro Abelardo (1079-1142), por ejemplo, es autor de una Dialéctioa. Pero yaen el siglo XIII comienza a dominar la denominacién “‘légica”. En el siglo XVI se prefiere nuevamente la denominacidn “dialéctica”. A partir del siglo XVII definitivamente se utiliza la palabra “légica”. 1.3. Definiciones Como Aristételes lo dice al comienzo de la Mefaffsica, la. raza humana vive porel arte y la razén, con lo cual parece que el Filésofo se refiere a algo propio del hombre y por lo cual se diferencia de los otros animales... Ahora bien, la raz6n no s6lo puede dirigir los actos de las potencias inferiores, sino también sus propios actos...; es necesario entonces un arte que dirija el acto mismo de la raz6n, de modo que el hombre, al razonar, proceda con orden, facilidad y sin error. Este arte es la kégica, esto es, la ciencia racional. Y no solo es racional porque es segdin la razén (lo cual ¢s comin a todas las artes), sino porque es acerca del acto mismo de la raz6n y se refiere a ella comoa su materia propia... Por esto parece ser ¢l arte de las artes, ya que nos dirige en el acto de la razon, que es de donde todas las partes proceden. (Santo Toméas de Aquino, Comentario a los Segundos Analiticos, I,1). La légica, como cualquier otra ciencia, tiene come tarea la prosecucién de la verdad. Pero verdaderos son ciertos enunciados; y la prosecucién de la verdad consiste en el intento de separar los enunciados verdaderos de los que son falsos (X.V.O. Quine, Methods of Logic, p. XI). La légica es un cierto arte que tiene por objeto dirigir a la raz6n para que ésta no yerre ni en el modo de discurrir ni en el modo de conocer (Juan de Santo Tomas, Ars Légica. Prol. Prael. Sec.). El estudio de la légica es el estudio de los métodos y principios usados para distinguir un razonamiento correcto de otro inoorrecto (1.M. Copi, Introduction to Logic, p. 3). La légica es una disciplina que analiza la significacién de los conceptos INTRODUCCION comunes a todas las ciencias y establece las leyes generales que gobiernan los conceptos (A. Tarski, /nfroduction to Logic, p. XIII). La Iégica formal puede definirse como Ia ciencia de la intplicacién de las formas de enunciados (Paul Lorenzen, Formale Logik, p. 5). De manera sumaria podria decirse que la légica formal tiene por objeto la técnica de la argumentacién y que la validez de la argumentacién no depen- de del contenido de los enunciados, sino sdlo de su “forma” (R. Feys, Die Philosophie im 20.Jahrhundert, editado por F. Heinemann, p. 313). 14. Caracteristicas de la exposicion Consideramos que los tipos de Iégica pueden reducirse a dos: uno que iniciara Aristételes con los Primeros analtticos y otro que iniciara George Boole con su Andilisis matemdtico de la légica. Es verdad que una investi- gacién mds profunda revela la presencia de varios tipos de ldgica: aristo- télica, estoica, escoldstica, matematica, hindG. Pero también es evidente que tuvo dos florecimientos que podrfamos: representar por el Organon de Aristoteles y Principia mathematica de Russell-Whitehead, publicado a partir de 1910. A la ldgica que inicia Boole la llamaremos “algebra de la légica” y a la que se ofrece en P.M. (Principia Mathematiaz), “lagica matematica”. A ls Iégica que inicia Aristételes la denominaremos directamente “légica no-matematica”; evitamos asi las dificultades que orginan las denomina- ciones “clasica™, “tradicional”, etcétera. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS: J. Ferrater Mora (16) ofrece en el articulo “Légica” una exacta exposi- cién de los distintos sentidos que ha tomado esa palabra. Nuestra aproxi- macion al tema ha tenido en cuenta, en especial, A. Menne (28) y a B. Mates (26). Este ltimo autor dedica los dos primeros capitulos de su obra a la discusi6n de ciertas cuestiones filosOficas vinculadas con el tratamiento formal del resto del libro. La historia de la palabra “‘légica” se ha basado en T. Kotarbinski (22).