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Aide-m´emoire :
unit´es, formules et ordres de grandeur
Stage des professeurs de sciences physique au CERN
Laboratoire de l’Acc´el´erateur Lin´eaire, CNRS/IN2P3 et Universit´e Paris-Sud
Sciences `a l’Ecole
Laboratoire de Physique th´eorique, CNRS et Universit´e Paris-Sud
6 d´ecembre 2014 (Version 2)
1 Relativit´e Restreinte
- Vitesse de la lumi`ere dans le vide :
c = 299 792 458 m/s C’est une constante, utilis´ee pour d´efinir le metrea partir de la se- conde.
- Soit v la vitesse de la particule, on pose
β = v c
c est une vitesse limite ind´epassable, atteinte uniquement pour les par- ticules de masse nulle (comme le photon). Pour toutes les particules massives, on a forc´ement β ∈ [0; 1[. Dit autrement : masse nulle ⇔ β = 1 (v = c).
- On d´efinit ´egalement le facteur de Lorentz :
γ =
1 − β^2
γ ≥ 1 : le facteur de Lorentz vaut 1 pour β = 0 et tend vers +∞ quand v → c (ou, de mani`ere ´equivalente, β → 1).
- Une particule ´el´ementaire acquiert sa masse en interagissant avec le champ de Higgs. Plus cette interaction est forte et plus la masse de la particule est importante. Par contre, il n’y a actuellement pas d’ex- plication
a la hi´erarchie des masses telle qu’observ´ee dans la Nature – plus de 11 ordres de grandeur entre les particules ´el´ementaires les plus l´egeres, les neutrinos (m < 1 eV/c^2 ) et le quark top (m ∼ 173 GeV/c^2 , soit l’´equivalent d’un noyau d’or). Le boson de Higgs est une particule associ´ee au champ de Higgs mais qui ne joue pas le rˆole d’un boson m´ediateur d’interaction. - Par contre, la masse d’une particule composite form´ee de quarks – comme le proton et le neutron – est essentiellement due `a l’´energie de liaison (positive !) de l’interaction forte qui lie les quarks au sein des hadrons.
- L’impulsion ~p d’une particule de masse m est donn´ee par
~p = mγ~v (3)
- Et la formule d’Einstein ”g´en´erale” d´efinissant l’´energie E de la par- ticule est : E^2 = m^2 c^4 + p^2 c^2 (4)
- On en d´eduit les relations suivantes
E = mc^2 γ (5) E pc
β
- Pour une particule de masse nulle, ´energie E et impulsion p sont reli´ees par la relation E = pc (7) comme le montrent les ´equations (4) (cas m = 0) et (6) (cas β = 1).
- A petite vitesse, β 1, l’´equation (5) donne :
E ≈ mc^2
[
( (^) v c
) 2 )]
≈ mc^2 +
mv^2 (8)
On retrouve donc l’expression de l’´energie cin´etique ”classique”.
- La longueur d’onde λBroglie de de Broglie d’une particule est reli´ee `a son impulsion p par la formule :
λBroglie = h p
o`u h est la constante de Planck :
h ≈ 6. 63 × 10 −^34 J.s ≈ 4. 14 × 10 −^15 eV.s
Cette relation a ´et´e postul´ee par de Broglie en rapprochant l’´equation (7) de la relation E = hν reliant l’´energie d’un photon et la fr´equence de l’onde ´electromagn´etique associ´ee. Un faisceau de particules d’impulsion p de l’ordre du GeV/c peut donc sonder la matiere jusqu’au femtometre environ :
λBroglie = 1. 24 × 10 −^15 m
1 GeV/c p
L’´equation (12) est une simple r´e´ecriture de l’equation (11) dans la- quelle on a fait apparaˆıtre des valeurs caract´eristiques pour les gran- deurs reli´ees par cette formule. Le mˆeme proc´ed´e sera r´eutilis´e plu- sieurs fois dans la suite du document.
- On peut ´egalement associer une seconde longueur d’onde, la longueur d’onde Compton, `a une particule de masse m :
λCompton = h mc
C’est la longueur d’onde d’un photon qui aurait une ´energie ´egale `a l’´energie de masse de la particule. Ce facteur intervient dans de nombreuses ´equations en m´ecanique quantique. On peut ´egalement l’interpr´eter comme l’ordre de grandeur de l’incertitude sur la posi- tion d’une particule de masse m : environ 10−^15 m pour un proton et 2 10−^12 m pour un ´electron.
- Par la constante de Boltzmann
kB = 1.3806488(13) × 10 −^23 J K−^1 = 8.6173324(78) × 10 −^5 eV K−^1
on peut relier eV et K :
1 eV ↔ 11605 K (14)
Application num´erique : un photon de temp´erature T = 2, 7 K a pour longueur d’onde
Collisionneur
Expérience
sur cible fixe
p p
5 GeV
5 GeV
10 GeV
Pas de mouvement
d’ensemble des produits
de la réaction
p p
10 GeV
1 GeV (au repos)
~ 4, GeV
Mouvement global :
l’énergie associée
est perdue
pour la collision
Energie
disponible
pour la
collision
Faisceau Cible fixe
2 Faisceaux
Figure 2 – Collisionneur et exp´erience sur cible fixe.
λ =
hc kB T = 1.4 cm
Cette temp´erature correspond a celle du CMB dont le rayonnement est dit ”de corps noir”. La loi de Wien donne la longueur d’onde du pic d’´emission en fonction de la temp´erature du corps noir – le seul parametre libre du spectre.
λmax = hc
- 965 kB T = 2. 898 × 10 −^3 m
1 K
T
= 1 .1 mm pour le CMB.
3 Energie des collisions et luminosit´e d’un colli-
sionneur
- Soient deux particules (1) et (2) de mˆemes masses m, d’impulsions p ~ 1 et p~ 2 , et d’´energies E 1 et E 2. Par convention, on note
s l’´energie disponible pour produire des particules lors de la collision (1)-(2). On se place dans le r´ef´erentiel du laboratoire pour effectuer les calculs qui suivent.
et mise en forme des paquets de particules, processus d’acc´el´eration et configuration magn´etique du collisionneur.
- Sch´ematiquement, la luminosit´e d’un collisionneur L est donn´ee par la formule
L ∝
N 1 × N 2 × npaquets × frevol σ∗ transverse
ou Ni est le nombre de particules par paquet du faisceau (i), npaquets est le nombre de paquets de particules circulant dans chaque fais- ceau, frevol est la fr´equence de r´evolution des faisceaux et σ∗ transverse est la taille transverse du faisceau (c’est-a-dire sa surface dans le plan perpendiculaire `a la direction des faisceaux) au point de col- lisions. Cette formule est logique : plus il y a de particules dans l’anneau de collisions, plus elles se rencontrent souvent ; et plus les paquets sont ”concentr´es”, et plus il y a de collisions.
- Les physiciens utilisent souvent le barn (b) comme unit´e de surface :
1b = 10−^28 m^2 = 10−^24 cm^2 (22) Bien que le barn soit d´eja une petite unit´e, les sections efficaces de processus tres rares comme la production du boson de Higgs H s’expriment en (petits) sous-multiples du barn. Ainsi,
σ [pp → H + X] ≈ 22 pb (23) pour une masse du boson de Higgs mH ≈ 125 GeV/c^2 et une ´energie de 8 TeV pour les collisions. Dans cette ´equation, X d´esigne de mani`ere g´en´erique tout ensemble de particules produit en associa- tion avec un boson de Higgs.
- Combien de bosons de Higgs sont produits au LHC en une seconde? Il suffit d’appliquer l’´equation (20) en prenant une valeur typique pour la luminosit´e du LHC :
R [pp → H + X] = 22 10−^36 cm^2 × 5 10^33 cm−^2 s−^1
L
5 10^33 cm−^2 s−^1
= 0 .11 Hz
L
5 10^33 cm−^2 s−^1
Donc on ne produit qu’une poign´ee de bosons de Higgs par minute au LHC! Ce qui est vraiment tr`es peu compar´e aux dizaines de millions de croisements de paquets qui s’y produisent chaque se- conde, lesquels donnent chacun plus d’une dizaine de collisions en
moyenne. Les ´ev´enements int´er´essants sont s´electionn´es en temps r´eel par un systeme de d´eclenchement complexe,a la fois drastique et tr`es efficace.
- Une analyse recherchant le boson de Higgs utilise en g´en´eral un canal particulier de d´esint´egration de cette particule : par exemple le Higgs en deux photons, H → γγ. Son rapport de branchement, c’est-
a-dire la probabilit´e que le Higgs se d´esintegre de cette maniere, n’est que de 0.2%. Mais la signature d’un tel ´evenement est ”propre” – deux photons ´energ´etiques d´etect´es dans le calorimetre ´electromagn´etique sans trace charg´ee align´ee – et le ”bruit de fond irr´eductible” associ´e (les d´esint´egrations d’autres particules que le Higgs mais dont la si- gnature exp´erimentale est tres proche) est contrˆolable, d’ou l’int´erˆet de ce canal. En prenant ce rapport de branchement, on tombea en- viron un ´ev`enement par heure contenant la d´esint´egration H → γγ. - Et ce n’est pas tout! Pour obtenir le taux r´eel d’´ev
enements H → γγ enregistr´es par le d´etecteur, il faut encore tenir compte de deux ef- fets. D’une part l’acceptance, c’est-a-dire la probabilit´e que les deux photons produits soient effectivement d´etectables : ceux qui tra- versent une zone non instrument´ee du d´etecteur ou un ´el´ement qui ne fonctionne pas sont perdus pour toujours. Et d’autre part l’effi- cacit´e de s´election d’un tel ´ev`enement par le trigger de l’exp´erience, qui s´electionne en temps r´eel les quelques centaines d’´ev´enements ”int´eressants” parmi les 20 millions de croisements de paquets pro- pos´es chaque seconde par le LHC. - Pour achever d’embrouiller le non-sp´ecialiste, les physiciens des par- ticules ont l’habitude d’utiliser le cm−^2 s−^1 pour la luminosit´e ins- tantan´ee et le ”barn−^1 ” pour la luminosit´e int´egr´ee :
Lint =
(t)L(t)dt (25)
ou (t) est une fonction valant 0 ou 1a chaque instant et qui quantifie le ”rendement” de l’acc´el´erateur – lequel ne fournit pas des collisions 24h/24 pour des raisons vari´ees : perte de faisceau, injection de particules dans le collisionneur, r´eglage, r´eparation d’un ´el´ement, etc. Prenons `a nouveau 5 10^33 cm−^2 s−^1 comme luminosit´e instantan´ee moyenne et supposons que le collisionneur a fonctionn´e avec un cycle utile de 50% pendant trente jours.
Figure 3 – Rayonnement synchrotron ´emis par un faisceau d’´electrons acc´el´er´es.
Pelectron Pproton
938 MeV 511 keV
= 11.35 10^12 (29)
En prenant R = 2805 m (le rayon de courbure des arcs du LHC) on obtient :
P = 3.65 10−^8 eV/s
2805 m R
γ^4 (30)
Au LEP (le grand collisionneur ´electron-positron qui fut en service entre 1989 et 2000 dans le tunnel qui abrite maintenant le LHC) les ´electrons et positrons acc´el´er´es ont atteint l’´energie record de 104.5 GeV. D’o`u :
γLEP =
104 .5 GeV 511 keV
et PLEP = 63837.3 GeV/s (32) soit largement plus que l’´energie de la particule! D’ou la n´ecessit´e d’avoir un systeme acc´el´erateur radio-fr´equence (RF) qui apporte `a chaque tour l’´energie perdue par rayonnement synchrotron :
PLEP/11245 = 5.7 GeV/tour (33) Au LEP les leptons acc´el´er´es perdaient donc quelques pourcents de leur ´energie a chaque toura cause du rayonnement synchrotron! Pour un proton du LHC a 4 TeV, le facteur de Lorentz vaut environ 4264.4 – cf. ´equation (10). D’ou :
PLHC = 12 .07 MeV/s (34) = 1 .07 keV/tour (35)
En passant de 4 TeV (´energie de la prise de donn´ees 2012) a 7 TeV (´energie nominale du LHC), la puissance rayonn´ee par effet synchro- tron augmentera d’un facteur ≈ 10. Un autre ´el´ementa prendre en compte pour comparer les cas du LEP et du LHC est le courant qui circule dans les collisionneurs – tous les calculs pr´ec´edents ne concernaient qu’une seule particule, alors que la perte globale par rayonnement synchrotron est proportionnelle au courant. En 2012, les faisceaux du LHC avaient environ 10 fois plus de courant que ceux du LEP et une augmentation importante des courants est pr´evue dans le futur.
