Download Kinematics of a Material Point: Understanding Motion in Physics and more Cheat Sheet Physics in PDF only on Docsity!
3. Kinematika materijalne taˇcke
3.1 Predmet prouˇcavanja klasiˇcne mehanike
Mehanika je deo fizike koji prouˇcava zakone kretanja tela, tj. promenu poloˇzaja tela u vremenu. U ovakva kretanja spadaju, na primer, kretanje planeta, automobila, projektila, itd. Mehanika se deli na kinematiku, dinamiku i statiku. Kinematika prouˇcava kretanje tela ne uzimaju´ci u obzir uzroke koji dovode do tog kretanja. Ona operiˇse veliˇcinama kao ˇsto su predjeni put, vreme, brzina i ubrzanje. Dinamika prouˇcava uzroke koji dovode do kretanja tela, tj. prouˇcava kretanje tela pod dejstvom sila. Pored veliˇcina koje se koriste u kinematici, dinamika operiˇse joˇs i veliˇcinama kao ˇsto su sila i masa. Statika prouˇcava uslove ravnoteˇze tela na koja deluju sile i momenti sila. Ako su poznati zakoni kretanja tela, onda se iz njih mogu ustanoviti i zakoni ravnoteˇze.
3.2 Mirovanje i kretanje
U mehanici je veoma vaˇzno da se zna da li posmatrano telo u toku vremena ostaje na istom mestu ili se pomera u odnosu na drugo telo ili posmatraˇca. Ako telo u toku vremena ostaje na istom mestu, kaˇze se da ono miruje ili se nalazi u stanju mirovanja. Ukoliko telo u toku posmatranja menja poloˇzaj u odnosu na drugo telo ili posmatraˇca, kaˇze se da se ono kre´ce ili nalazi u stanju kretanja. Prema tome, da bi se ocenilo da li se jedno telo kre´ce ili miruje, potrebno je da se njegov poloˇzaj poredi sa poloˇzajem okolnih tela za koje se smatra da miruju. Medjutim, ta ocena je vrlo nepouzdana. Na primer, ˇcovek koji se nalazi u vozu koji se kre´ce, miruje u odnosu na voz, a kre´ce se u odnosu na kolosek. Tako se za ˇcoveka jednom moˇze re´ci da miruje, a drugi put da se kre´ce, u zavisnosti od toga da li se kretanje posmatra u odnosu na voz ili u odnosu na Zemlju. Dalje, kad bi i voz mirovao, onda bi se moglo zaista re´ci da ˇcovek miruje u odnosu na Zemlju, ali se ne bi moglo tvrditi da on miruje u odnosu na Sunce, jer se Zemlja zajedno sa svim telima na njoj, kao ˇsto je poznato, okre´ce oko svoje ose i istovremeno oko Sunca. S druge strane, i Sunce se kre´ce u vasioni, a poˇsto najverovatnije ve´ci ili manji delovi vasione vrˇse sliˇcna kretanja, moˇze se zakljuˇciti da u prirodi nema tela koje se ne bi kretalo i u odnosu na koje bi se moglo ustanoviti kretanje drugih tela uopˇste. Zbog toga se moˇze govoriti samo o relativnom miru i relativnom kretanju. Cesto se pri prouˇˇ cavanju kretanja mogu zanemariti dimenzije tela i celo telo zameniti jednom taˇckom konaˇcne mase koja je jednaka stvarnoj masi tela. Takva taˇcka naziva se materijalna taˇcka i uvedena je radi jednostavnijeg objaˇsnjenja zakona kretanja. Poloˇzaj materijalne taˇcke odredjuje se u odnosu na neko telo koje se naziva uporedno telo ili telo referencije. To telo se nalazi u relativnom miru, a koordinatni sistem vezan za njega naziva se uporedni sistem ili sistem referencije poloˇzaja materijalne taˇcke. Najˇceˇs´ce se primenjuje Dekartov (Descartes) pravougli koordinatni sistem, medjutim, za detaljniju analizu poloˇzaja i kretanja materijalne taˇcke u nekim sluˇcajevima je podesnije primeniti cilindriˇcni ili sferni koordinatni sistem. Prilikom kretanja materijalne taˇcke P po nekoj putanji (sl. 3.1), njen poloˇzaj se u svakom trenutku moˇze odrediti u Dekartovom koordinatnom sistemu pomo´cu koordinata x, y i z ili pomo´cu radijus vektora ~r, ˇciji je poˇcetak u koordinatnom poˇcetku O, a kraj u taˇcki P. Kada se materijalna taˇcka kre´ce, njene koordinate se u toku vremena menjaju. U opˇstem sluˇcaju, kretanje materijalne taˇcke je odredjeno trima skalarnim jednaˇcinama x = x(t),
Sl. 3.1: Odredjivanje poloˇzaja materijalne taˇcke
y = y(t), (3.1) z = z(t),
koje su ekvivalentne vektorskoj jednaˇcini ~r = ~r(t).
Intenzitet ovog radijus vektora se moˇze izraziti kao
r =
√ x^2 + y^2 + z^2 (3.2)
Broj nezavisnih koordinata koje u potpunosti odredjuju poloˇzaj materijalne taˇcke naziva se broj ste- peni slobode. Ako se materijalna taˇcka kre´ce u prostoru, ona raspolaˇze sa tri stepena slobode (koordinate x, y i z), ako se kre´ce u ravni sa dva, a ako se kretanje vrˇsi po pravoj liniji, materijalna taˇcka ima jedan stepen slobode. Kao ˇsto se vidi sa slike 3.1, materijalna taˇcka pri kretanju opisuje krivu koja se naziva putanja ili trajektorija. Prema tome, pod putanjom ili trajektorijom materijalne taˇcke podrazumeva se niz uzastopnih taˇcaka u prostoru u kojima se ona nalazi u toku svoga kretanja. Deo putanje koji materijalna taˇcka predje u odredjenom vremenskom intervalu naziva se put. Kretanja u prirodi se mogu podeliti na translatorna (linearna) i rotaciona (obrtna kretanja). Pri translatornom kretanju duˇz koja spaja bilo koje dve taˇcke tela ostaje sama sebi paralelna (putanje svih taˇcaka tela imaju isti oblik i duˇzinu). Kod rotacionog kretanja taˇcke opisuju koncentriˇcne krugove oko neke taˇcke ili ose. Proizvoljno kretanje tela se moˇze predstaviti kao kombinacija translatornog i rotacionog kretanja.
3.3 Pravolinijsko kretanje
3.3.1 Srednja i trenutna brzina
U prethodnom odeljku je naglaˇseno da se poloˇzaj materijalne taˇcke (ili tela) u prostoru moˇze odrediti koriˇs´cenjem pravouglog koordinatnog sistema. Kada se materijalna taˇcka kre´ce u prostoru njene projekcije se pravolinijski kre´cu duˇz triju osa. Prema tome, njeno stvarno kretanje se moˇze rekonstruisati iz kretanja projekcija. Zbog toga je od interesa da se razmotri kretanje materijalne taˇcke duˇz prave linije, koje je u fizici poznato pod nazivom pravolinijsko kretanje. Neka se materijalna taˇcka kre´ce duˇz x-ose. U trenutku t 1 ona se nadje u taˇcki M , ˇcija je koordinata x 1 , a u trenutku t 2 u taˇcki N sa koordinatom x 2 (sl. 3.2). Pomeranje materijalne taˇcke u ovom sluˇcaju
Trenutna brzina v u taˇcki M definiˇse se kao graniˇcna vrednost srednje brzine kada je taˇcka N sve bliˇza taˇcki M. Prema tome, trenutna brzina predstavlja graniˇcnu vrednost (limes) kojoj teˇzi vrednost srednje brzine kada interval vremena teˇzi nuli (∆t → 0)
v = lim ∆t→ 0
∆x ∆t
dx dt
Dakle, trenutna brzina je jednaka diferencijalnom koliˇcniku predjenog puta i vremena (Njutnova definicija prvog izvoda). Pojam trenutne brzine se moˇze razumeti i pomo´cu slike 3.3. Naime, ako se taˇcka N 1 pribliˇzava taˇcki M 1 , u graniˇcnom sluˇcaju tetiva ´ce pre´ci u tangentu u taˇcki M 1 , ˇciji nagib (tan β) daje intenzitet trenutne brzine. Prema tome, intenzitet trenutne brzine u ma kojoj taˇcki grafika koordinate u funkciji vremena jednak je nagibu tangente u toj taˇcki.
3.3.2 Srednje i trenutno ubrzanje
Iz iskustva je poznato da se brzina materijalne taˇcke (ili tela), osim u specijalnim sluˇcajevima, menja tokom kretanja. Veliˇcina koja karakteriˇse ovakvu vrstu kretanja naziva se ubrzanje. Da bi se doˇslo do izraza za ubrzanje, posmatra´ce se kretanje materijalne taˇcke duˇz x-ose (sl. 3.4), kao i grafik trenutne brzine v u funkciji vremena t (sl. 3.5). Vektor ~v 1 (sl. 3.4) predstavlja trenutnu brzinu u taˇcki M , a ~v 2 u taˇcki N.
Sl. 3.4: Materijalna taˇcka koja se kre´ce duˇz x-ose
Intenzitet srednjeg ubrzanja materijalne taˇcke prilikom njenog kretanja od taˇcke M do N definiˇse se kao koliˇcnik promene brzine i odgovaraju´ceg vremena
= v 2 − v 1 t 2 − t 1
∆v ∆t
gde su t 1 i t 2 vremena koja odgovaraju brzinama v 1 i v 2. Srednje ubrzanje je dato nagibom tetive M 1 N 1 (tan α) (sl. 3.5).
Sl. 3.5: Zavisnost brzine od vre- mena pri kretanju materijalne taˇcke
Trenutno ubrzanje a materijalne taˇcke, koje predstavlja ubrzanje u nekom trenutku ili nekoj taˇcki njene putanje, definiˇse se na sliˇcan naˇcin kao trenutna brzina. Neka se taˇcka N pribliˇzava taˇcki M (sl. 3.4) i pri tome raˇcuna srednje ubrzanje za sve kra´ce i kra´ce vremenske intervale. Trenutno ubrzanje a
u taˇcki M predstavlja´ce graniˇcnu vrdnost (limes) koju dostiˇze srednja vrednost ubrzanja kada interval vremena teˇzi nuli
a = lim ∆t→ 0
∆v ∆t
dv dt
d^2 x dt^2
Iz grafika trenutne brzine u funkciji vremena (sl. 3.5) brojna vrednost trenutnog ubrzanja u taˇcki M 1 odredjena je nagibom tangente (tan β) u toj taˇcki. Prema tome, trenutno ubrzanje u ma kojoj taˇcki grafika brzine u funkciji vremena jednako je nagibu tangente na grafik u toj taˇcki.
3.3.3 Izraˇzavanje puta i brzine u integralnom obliku
Iz dva prethodna odeljka se vidi da se trenutna brzina moˇze izraziti kao v = dx/dt, a ubrzanje kao a = dv/dt. Ovi izrazi vaˇze kada je koordinata x funkcija vremena. Mogu´ce su i obrnute operacije. Ako je zadato ubrzanje a u funkciji vremena, moˇze se odrediti brzina v u funkciji vremena, a ako se zna brzina u funkciji vremena, moˇze se odrediti koordinata x. Ovo se moˇze izvesti koriˇs´cenjem integralnog raˇcuna. Ako je ubrzanje dato u funkciji vremena, tada se izraz (3.10) moˇze napisati kao
dv = a(t)dt. (3.11)
Ako se ovaj izraz integrali, za brzinu se dobija
v =
∫ a(t)dt + c 1 , (3.12)
gde je c 1 integraciona konstanta. Ako je brzina v(t) data u funkciji vremena, izraz (3.8) se moˇze napisati u obliku
dx = v(t)dt. (3.13)
Integraljenjem (3.13) za x se dobija
x =
∫ v(t)dt + c 2 , (3.14)
gde je c 2 integraciona konstanta. Koordinata i brzina materijalne taˇcke mogu se izraziti preko odredjenog integrala. Da bi se to pokazalo, posmatra´ce se grafik zavisnosti brzine od vremena (sl. 3.6). Posmatranje se vrˇsi u intervalu vremena t 2 − t 1.
Sl. 3.6: Brzina materijalne taˇcke u funkciji vremena
Interval na slici 3.6 izdeli se na male intervale ˇsirine ∆ti, gde indeks i = 1, 2 , 3 ,... odgovara broju konkretnog intervala. Vertikalne isprekidane linije na slici predstavljaju vrednost srednje brzine za dati vremenski interval. Pomeraj za svaki vremenski interval ∆ti izraˇzava se veliˇcinom ∆xi. Na osnovu izraza (3.4) ∆xi se moˇze napisati u obliku ∆xi = ∆ti. (3.15)
Integraciona konstanta c 1 se moˇze odrediti iz graniˇcnih uslova. Naime, za t = 0 (poˇcetak posmatranja) v = vo (vo poˇcetna brzina) sledi da je vo = c 1 , pa gornji izraz dobija konaˇcan oblik
v = vo + at. (3.24)
Zavisnost brzine od vremena za pravolinijsko kretanje sa konstantnim ubrzanjem prikazana je na slici 3.7. Sa slike se vidi da ordinata v za vreme t predstavlja zbir dva odseˇcka: jedan, duˇzine vo, jednak je poˇcetnoj brzini, a drugi, duˇzine at, promeni brzine za vreme t.
Sl. 3.7: Zavisnost brzine od vremena za kretanje sa konstantnim ubrzanjem
Sl. 3.8: Zavisnost koordinate od vremena za kretanje sa konstantnim ubrzanjem
Potrebno je na´ci izraz za koordinatu u funkciji vremena. Poˇsto se brzina u funkciji vremena moˇze izraziti kao v(t) = vo + at, (3.25)
njenom zamenom u izrazu (3.14) dobija se
x =
∫ (vo + at)dt + c 2 = vot +
at^2 + c 2. (3.26)
Integraciona Konstanta c 2 se nalazi iz graniˇcnih uslova. Za t = 0 (poˇcetak posmatranja) x = xo (xo— poˇcetni poloˇzaj). Zamenom u izrazu (3.26) dobija se da je c 2 = xo. U tom sluˇcaju se za x dobija
x = xo + vot +
at^2. (3.27)
Ako se koordinatni poˇcetak poklapa sa poˇcetnim poloˇzajem, onda je xo = 0, pa se za koordinatu x posle vremena t dobija izraz
x = vot +
at^2. (3.28)
Na slici 3.8 je grafik zavisnosti date izrazom (3.27). Kriva je parabola. Nagib tangente za t = 0 jednak je poˇcetnoj brzini vo, a nagib tangente u trenutku t jednak je brzini v u tom trenutku. Sa slike se vidi da nagib neprekidno raste i merenja bi pokazala da je brzina porasta, tj. ubrzanje konstantno. Brzina u funkciji koordinate moˇze da se nadje iz izraza za ubrzanje (3.10), koji moˇze da se napiˇse u obliku
a = dv dt
dx dx
= v dv dx
ili vdv = adx. (3.29)
Ako se integrali ovaj izraz dobija se
v^2 2
∫ adx + c 3 = ax + c 3. (3.30)
Integraciona konstanta c 3 odredjuje se iz graniˇcnih uslova, uzimaju´ci da za x = xo materijalna taˇcka ima poˇcetnu brzinu vo, pa je
c 3 = v o^2 2
− axo. (3.31)
Zamenom u izraz (3.30), za brzinu se dobija slede´ci izraz:
v^2 = v o^2 + 2a(x − xo). (3.32)
Ako se uzme da je xo = 0, onda je v^2 = v^2 o + 2ax. (3.33)
Do ovog izraza se moˇze do´ci i eliminacijom t iz izraza (3.24) i (3.28). Specijalan sluˇcaj kretanja sa konstantnim ubrzanjem je sluˇcaj kada je ono jednako nuli. U tom sluˇcaju brzina je konstantna (v = const.), pa jednaˇcina kretanja ima oblik
x = vt. (3.34) Na slici 3.9 data je zavisnost ubrzanja od vremena. Povrˇsina ispod grafika i izmedju t = 0 i t = t jednaka je at, odnosno jednaka je promeni brzine v − vo = at, ˇsto je isto kao u izrazu (3.24). Dakle, kod pravolinijskog kretanja sa konstantnim ubrzanjem promena brzine moˇze veoma jednostavno da se odredi sa grafika.
Sl. 3.9: Zavisnost ubrzanja od vremena
3.3.5 Slobodno padanje
Slobodno padanje predstavlja poseban sluˇcaj pravolinijskog kretanja sa konstantnim ubrzanjem. To je kretanje koje se vrˇsi pod dejstvom sile teˇze, tj. gravitacione sile. Slobodno padanje moˇze da se ostvari samo u vakuumu. Kada se telo kre´ce u vazduhu, onda na njega pored sile teˇze deluje i sila trenja. Medjutim, ako telo pada sa male visine, tada se uticaj trenja moˇze zanemariti, pa se padanje u vazduhu pribliˇzava po svojim osobinama slobodnom padanju. Vrednost ubrzanja g koje telo dobije usled dejstva sile teˇze zavisi od geografske ˇsirine i nadmorske visine. Tako je na polu ubrzanje gp = 9, 83 ms−^2 , a na ekvatoru ge = 9, 78 ms−^2 , dok je na naˇsoj geografskoj ˇsirini oko 9, 81 ms−^2. Dogovorom je uzeto tzv. normalno ubrzanje pod uticajem Zemljine teˇze, koje iznosi gn = 9, 80665 ms−^2. Vrednost ubrzanja zemljine teˇze zavisi od visine iznad Zemljine povrˇsine. Medjutim, promene za visine od nekoliko metara su male tako da se mogu zanemariti. Iz izraza (3.24) i (3.25) za vo = 0, x = h, dobija se
v = gt, (3.35)
h =
gt^2 2
Eliminacijom t iz izraza (3.35) i (3.36) dobija se konaˇcan izraz za brzinu
v =
√ 2 gh. (3.37)
Iz ovog izraza se vidi da pri padu tela sa visine h, ono dostigne brzinu
2 gh.
U bilo kojoj taˇcki putanje brzina ima pravac tangente na tu putanju, kao ˇsto je prikazano na slici 3.11. Moˇze se zapaziti da srednja brzina, odredjena preko vektora pomeraja ∆~r (sl. 3.10), nije jednaka odnosu predjenog puta ∆s i vremenskog intervala ∆t. U nekim sluˇcajevima ove brzine se poklapaju (na primer kod pravolinijskog kretanja), ali su u opˇstem sluˇcaju razliˇcite. Medjutim, u graniˇcnom sluˇcaju, kada ∆t → 0, ∆r → ∆s, tako da se trenutne brzine izraˇzene preko ∆r i ∆s u bilo kom trenutku poklapaju.
Sl. 3.11: Vektori brzine ~v 1 i ~v 2 u trenucima t 1 i t 2 , redom
Trenutna brzina kretanja materijalne taˇcke u ravni moˇze se izraziti preko jediniˇcnih vektora
~v = d~r dt
dx dt
~ı + dy dt
~ = vx~ı + vy~.
Intenzitet vektora brzine je v =
√ v^2 x + v y^2 , (3.43)
gde vx = dx/dt i vy = dy/dt predstavljaju projekcije brzine na x i y osu, respektivno. Ubrzanje se razmatra na analogan naˇcin. Vektor srednjeg ubrzanja <~a> za interval vremena ∆t = t 2 − t 1 dat je izrazom
<~a>= ∆~v ∆t
v~ 2 − v~ 1 t 2 − t 1
gde je ∆~v vektor promene brzine za vremenski interval ∆t. Zapaˇza se da se u mnogim sluˇcajevima (na primer, u onom prikazanom na slici 3.11) vektor ~v 2 ne poklapa po pravcu sa ~v 1. Prema tome, <~a> moˇze da ima pravac koji se ne poklapa sa vektorima ~v 1 i ~v 2. Sem toga, i kada su brzine ~v 1 i ~v 2 jednake po intenzitetu, a razliˇcite po pravcu, njihova razlika nije jednaka nuli. Iz ovoga proizilazi da ubrzanje moˇze nastati kako na raˇcun promene vrednosti brzine, tako i na raˇcun promene njenog pravca (ili na raˇcun promene i jednog i drugog). Vektor trenutnog ubrzanja je jednak vektoru srednjeg ubrzanja kada vremenski interval teˇzi nuli
~a = lim ∆t→ 0
∆~v ∆t
d~v dt
Trenutno ubrzanje moˇze se izraziti i preko jediniˇcnih vektora kao
~a =
dvx dt ~ı +
dvy dt ~ = ax~ı + ay~,
dok je njegov intenzitet
a =
√ a^2 x + a^2 y. (3.46) Poznato je da se svaki mali deo krive moˇze smatrati lukom kruˇznice odredjenog polupreˇcnika. Zato je, da bi se odredilo ubrzanje na odredjenom delu krivolinijske putanje, neophodno da se odabere odgo- varaju´ci polupreˇcnik te kruˇznice r, kao i poloˇzaj njenog centra O. Polupreˇcnik r se naziva polupreˇcnik krivine krive u datom delu, a O je centar krivine. U taˇcki M vektor brzine je ~v 1 , a u taˇcki N ~v 2 (sl. 3.12). Brzine ~v 1 i ~v 2 su brzine u dva susedna beskonaˇcno bliska momenta vremena. Ubrzanje se odredjuje kao
promena brzine za tako mali vremenski interval dt. U tom cilju vektor ~v 2 se translira paralelno samom sebi do taˇcke M (predstavljeno vektorom M A~ ), a vektor d~v se odredjuje metodom paralelograma. Vektor d~v predstavlja geometrijski priraˇstaj brzine za vreme dt. Njegovim razlaganjem se dobijaju komponente d~vτ i d~vn. Vektor d~vτ karaktriˇse promenu brzine samo po pravcu i brojno je jednak intenzitetu priraˇstaju brzine dv. Pravac ovog vektora je pravac tangente na putanju. Deljenjem d~vτ sa dt dobija se tangencijalno ubrzanje
aτ =
dvτ dt
Sl. 3.12: Uz objaˇsnjenje tangen- cijalnog i normalnog ubrzanja
Sada ´ce se razmotriti vektor d~vn, intenziteta AB, koji karakteriˇse promenu brzine po pravcu. Kroz taˇcke M i N (sl. 3.12) povuku se normale na pravce vektora ~v 1 i ~v 2. One se seku u taˇcki O. Beskonaˇcno mali luk krivine M N moˇze se smatrati kao luk kruˇznice polupreˇcnika OM = r. Kruˇznica ˇciji se luk poklapa sa elementom krivine u datoj taˇcki (krug je povuˇcen kroz tri beskonaˇcno bliske taˇcke krivine) naziva se krug krivine, a centar ovog kruga—centar krivine. Trouglovi M ON i AM B su sliˇcni, jer su oba ravnokraka i imaju po jedan isti ugao. Prema tome, odgovaraju´ce strane su im proporcionalne:
AB M N
M A
OM
ili (^) ∣ ∣∣ ∣
dvn v 1 dt
∣∣ ∣∣ = v^2 r
∣∣ ∣∣^ dvn dt
∣∣ ∣∣ = v^1 v^2 r
Ako se uzme da je v 1 ≈ v 2 = v, gornji izraz se moˇze napisati u obliku
an =
v^2 r
Ovo je izraz za normalno ili centripetalno ubrzanje. Dakle, ukupno ubrzanje ~a jednako je zbiru tangen- cijalnog i normalnog ubrzanja ~a = ~aτ + ~an. (3.50)
Vektor ~aτ je projekcija vektora ukupnog ubrzanja ~a na pravac kretanja. Ovo ubrzanje menja brzinu kretanja samo po intenzitetu i ima isti ili suprotan smer od brzine, u zavisnosti od toga da li se radi o ubrzanom ili usporenom kretanju. Ako je kretanje po bilo kakvoj krivolinijskoj putanji uniformno, tada je aτ = 0. Vektor normalnog ubrzanja ~an predstavlja projekciju ukupnog ubrzanja ~a na pravac normalan na pravac brzine, tj. u pravcu radijus vektora ~r. Normalno ubrzanje dovodi samo do promene brzine po pravcu i kod pravolinijskog kretanja jednako je nuli. Vrednost ukupnog ubrzanja u datoj taˇcki putanje moˇze se odrediti iz vrednosti tangencijalnog i normalnog ubrzanja
a=
√ a^2 τ+a^2 n=
√( dv dt
) 2
( v^2 r
) 2
. (3.51)
Takodje se moˇze odrediti i ugao θ izmedju ukupnog ubrzanja i komponenata ubrzanja (sl. 3.13).
an = v^2 r
= rω^2. (3.58)
Pri konstantnom ugaonom ubrzanju (α = const.), izrazi za ugaonu brzinu i ugaoni pomeraj imaju oblik ω = ωo + αt; θ = ωot +
αt^2 , (3.59)
gde je ωo ugaona brzina u poˇcetnom trenutku t = 0. Ugaona brzina izraˇzava se vektorom ω~, ˇciji je pravac duˇz ose rotacije, a smer se odredjuje pravilom desnog zavrtnja ili desne ruke.
3.4.2 Hitac
Kretanje pri kome je telu saopˇstena poˇcetna brzina, a zatim mu prepuˇsteno da se kre´ce pod uticajem gravitacione sile, naziva se hitac. Primer za ovakvo kretanje je baˇcena lopta, projektil izbaˇcen iz topa, bomba puˇstena iz aviona, raketa posle utroˇska goriva i sl.
Sl. 3.15: Putanja tela koje je izbaˇceno pod uglom θo u odnosu na horizont sa poˇcetnom brzi- nom ~vo
Na slici 3.15 predstavljena je putanja hica. Poˇcetak koordinatnog sistema postavljen je u taˇcki gde telo poˇcinje svoj slobodni let i taj trenutak je uzet kao poˇcetak posmatranja, tj. t = 0. Brzina u koordinatnom poˇcetku predstavljena je vektorom ~vo, koji se naziva vektor poˇcetne brzine. Ugao θo pod kojim je izbaˇceno telo naziva se ugao elevacije. Poˇcetna brzina vo moˇze se razloˇziti na horizontalnu komponentu vox = vo cos θo i vertikalnu komponentu voy = vo sin θo. Poˇsto je horizontalna komponenta brzine konstantna, u svakom trenutku ima´ce vrednost
vx = vox = vo cos θo. (3.60)
Kretanje duˇz y-ose odgovara jednako usporenom kretanju, pa je vertikalna komponenta brzine u funkciji vremena data izrazom vy = voy − gt = vosinθo − gt. (3.61)
Rezultatntna brzina kretanja hica se dobija vektorskim sabiranjem ovih komponenata, a njen intenzitet je
v =
√ v^2 x + v y^2. (3.62)
Koordinate hica u funkciji vremena su date slede´cim izrazima: x = vot cos θo, (3.63)
y = vot sin θo −
gt^2. (3.64)
Jednaˇcina kretanja hica se dobija iz izraza (3.63) i (3.64) eliminacijom t
y = x tan θo −
gx^2 2 v o^2 cos^2 θo
Veliˇcine vo, tan θo, cosθo i g su konstantne, tako da gornja jednaˇcina ima oblik
y = ax − bx^2 (3.66)
i predstavlja jednaˇcinu parabole. Najvaˇzniji parametri hica su domet, ugao elevacije i maksimalna visina. Domet hica xD se nalazi iz izraza (3.65), za x = xD i y = 0
xD =
v^2 o g 2 sin θo cos θo =
v o^2 g sin 2θo. (3.67)
Za svaku vrednost poˇcetne brzine postoji odredjeni ugao elevacije za koji hitac ima najve´ci domet. On se dobija diferenciranjem izraza (3.67) po uglu i izjednaˇcavanjem dobijenog izvoda sa nulom
dxD dθo
2 v o^2 g
cos 2θo = 0 (3.68)
Iz gornjeg izraza se moˇze zakljuˇciti da se najve´ci domet postiˇze kada je cos 2θo = 0, odnosno za ugao elevacije od 45◦. Za svaku drugu vrednost dometa postoje dva komplementarna ugla θo za koja se on moˇze posi´ci. Maksimalna visina hica y = ymax se odredjuje iz uslova da je u najviˇsoj taˇcki putanje vy = 0. Iz izraza (3.61), vreme t za koje telo dostigne najve´cu taˇcku putanje je
t = vo sin θo g
Zamenom izraza (3.69) u (3.63) nalazi se maksimalna visina
ymax = v o^2 sin^2 θo 2 g
Hitac kod kojeg vektor poˇcetne brzine zaklapa bilo koji oˇstar ugao θo prema horizontu naziva se kosi hitac. Ako vektor poˇcetne brzine ima horizontalni pravac, onda je to horizontalni hitac. U tom sluˇaju je θo = 0, pa se iz izraza (3.64) za putanju horizontalnog hica dobija izraz
y = −
gx^2 2 v^2 o
Kada vektor poˇcetne brzine ima vertikalni pravac, to je vertikalni hitac. U ovom sluˇcaju ne postoji komponenta brzine u pravcu x-ose, te se jednaˇcina kretanja dobija iz izraza (3.64), uz uslov da je θo = π/ 2 ili θo = 3π/2, ˇsto zavisi od toga da li je poˇcetna brzina usmerena naviˇse ili naniˇze
y = vot ∓
gt^2. (3.72)
Znak (–) odnosi se na sluˇcaj kada je θo = π/2, a znak (+) na θo = 3π/2. Dobijeni izrazi vaˇze za sluˇcaj kada se kretanje vrˇsi u vakuumu. Ako se telu saopˇsti mala poˇcetna brzina, uticaj trenja sa vazduhom se moˇze zanemariti, pa se u takvim sluˇcajevima hitac u vazduhu moˇze opisati gornjim jednaˇcinama. Medjutim, kod velikih poˇcetnih brzina, kao ˇsto je sluˇcaj kod vatrenog oruˇzja, sila trenja sa vazduhom se ne moˇze zanemariti. Kada se i ona uzme u obzir, dobija se kriva prikazana isprekidanom linijom na slici 3.15, poznata pod nazivom balistiˇcka kriva.
