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Ecuaci´on de Laplace I
1 Un teoremita de reciprocidad
Antes de entrar de lleno en el estudio de las soluciones de la ecuaci´on de Laplace, demostremos un teorema que tenemos pendientes y puede ser ´util. Si tenemos pares de funciones (Φ 1 , ρ 1 ) y (Φ 2 , ρ 2 ) relacionadas por las ecuaciones de Poisson:
∇^2 Φ 1 =
−ρ 1 o^ ∇
(^2) Φ 2 = −ρ^2 o queremos mostrar que: (^) ∫
ρ 1 Φ 2 =
ρ 2 Φ 1
(m´as vale que sea as´ı, porque ser´ıa la energ´ıa de interacci´on de una densidad en presencia del potencial producido por las otras, que en definitiva debe ser la energ´ıa de interacci´on entre las dos densidades) En efecto, usando nuevamente la primera identidad de Green: ∫ ρ 1 Φ 2 = −
∇^2 Φ 1 Φ 2 = −
o
S
Φ 2 ∂ ∂n Φ^1 dS + o
el primer t´ermino se anula en el espacio abierto, o si los potenciales o campos normales se anulan en la frontera del dominio, y entonces: ∫ ρ 1 Φ 2 = o
E^ ~ 1 E~ 2
si hacemos (^) ∫ ρ 2 Φ 1
obtenemos exactamente lo mismo. Si adem´as consideramos el campo total debido a las dos densidades, la energ´ıa electrost´atica estar´ıa dada por:
U = o 2
( E~ 1 + E~ 2 ) = o 2
E^21 + o 2
E 22 + o
E^ ~ 1 E~ 2
as´ı que en efecto estas integrales corresponden al t´ermino de interacci´on entre las dos densidades
2 Funciones arm´onicas
Las funciones que cumplen la ecuaci´on de Laplace
∇^2 Φ
en un dominio D ⊂ Rn, limitado por una frontera δD, se llaman arm´onicas. Por ejemplo, si una funci´on de C en C es anal´ıtica, sus partes real e imaginaria son necesariamente arm´onicas. En efecto, si : f : C → C (x, y) → (u, v)
es anal´ıtica, debe cumplir las ecuaciones de Cauchy-Riemann
∂u ∂x
= ∂v ∂y
∂v ∂x
= − ∂u ∂y
∂^2 u ∂x^2 +^
∂^2 u ∂y^2 =^
∂^2 v ∂y∂x −^
∂^2 v ∂x∂y = 0
y analogamente para la parte imaginaria. Las funciones arm´onicas cumplen la propiedad de valor medio: el promedio sobre la superficie de una esfera (en n dimensiones) debe ser igual al valor en el centro (obviamente, con la esfera contenida en el dominio D):
1 ΩRn−^1
δBR(~ro)
Φ(~r)dS = Φ(~ro)
Ω es el ´En efecto, para cualquierangulo s´olido de toda la esfera en n-dimensiones. < 0 ρ <= R, tenemos que:
∫
Bρ(~ro)
∇^2 Φ = 0 =
δBρ(~ro)
∇φ · dS~ =
Ω
∂ρ
(~ro + ρnˆ)ρn−^1 dΩ = ρn+1^ ∂ ∂ρ
Ω
Φ(~ro + ρˆn)dΩ (1)
ro r
ρ = ρ (^) n
∂ρ
Ω
Φ(~ro + ρˆn)dΩ = 0 (2)
e integrando entre 0 y R: ∮
Ω
Φ(~ro + Rˆn)dΩ =
Ω
Φ(~ro)dΩ = ΩΦ(~ro) (3)
=⇒ 1 ΩRn−^1
Ω
Φ(~r)Rn−^1 dΩ = 1 ΩRn−^1
δBR(~ro)
Φ(~r)dS = Φ(~ro) (4)
Reciprocamente, si una funci´on continua y diferenciable dos veces tiene la propiedad de valor
medio en todo el dominio D, es decir cumple la condici´on (4) para cualquier punto ~ro en D y cualquier esfera contenida en el mismo dominio, entonces tambien cumple (3),(2) y (1), as´ı que la integral del laplaciano en cualquier volumen contenido en D es cero y necesariamente
∇^2 Φ = 0 en D
es decir, Φ es arm´onica. Nuestro resultado del m´etodo de relajaci´on en 2D, entonces, no es casual.
2.1 Teorema de Earnshaw
De la propiedad de valor medio se sigue una consecuencia important´ısima:no puede haber un punto de equilibrio mec´anico estable meramente electrost´atico en una regi´on del espacio vac´ıa de carga. En efecto, si suponemos que ~r 0 es un m´ınimo del potencial en una regi´on donde satisface la ecuaci´on de Laplace y siendo Φ una funci´on continua, debe existir un radio > 0 tq
Φ(~r) > Φ(~ro) ∀~r ∈ B(~ro)
0 a
0
V En la separaci´on hacemos Φ = X(x)Y (y)
y tenemos:
X′′ X =^
X′′
Y (17)
X′′
X
= −α^2 (18) Y ′′ Y
= α^2 (19) x(0) = x(a) = 0 (20) x = sin
( (^) nπ a x
y = e−^
nπa y (22)
con
φ(0) = V =
n
Anφ sin
( (^) nπ a
x
An =^2 a
∫ (^) a
0
V sin
( (^) nπ a x
dxAn =^4 πnV
1 n impar 0 n par
φ =^4 V π
n impar
n
e−^ nπxa^ sin
( (^) nπ a
x
para y >> (^) πa
φ sin^4 V π
e−^
nπya sin
( (^) πx a
(a en φ(x, 0) 6 = cte. Adem´as
φ(x, y) =^4 πV
n impar
n e
− nπya (^) sin
( (^) nπ a x
4 V
π
n impar
n Im^ (e
− nπa (y−ix) (28)
=^4 V
π
n impar
n
Im (e−^
πa (y−ix )n^ (29)
(30)
Ojo:
ln(1 + z) = z −
2 z
2 +^1
3 z
ln(1 − z) = −z −
2 z
2 +^1
3 z
ln(1 + z) − ln(1 − z) = 2
z +
z^3 3 +^ ...
n impar
zn n
ln(1 + z) ln(1 − z) (34)
φ(x, y) =
2 V
π Im
ln
(1 + z) (1 − z)
fase del argumento
1 + z 1 − z
=^1 − |z|
(^2) + 2i Im z | 1 − z|^2
tan−^1
2 i Im z 1 − |z|^2
φ(x, y) =
2 V
π tan
− 1
sin πxa sinh πya
3.1 Funciones Ortogonales
En la soluci´on de los ejemplos anteriores fue importante poder expandir las funciones que dan las condiciones de frontera en t´erminos de funciones ortogonales, esa va a ser una caracter´ıstica com´un a los problemas del curso. As´ı que vale la pena recordar que’son funciones ortogonales y por qu´e nos aparecen en estos ejercicios.
En el espacio de funciones de cuadrado integrable de [a, b] −→ R definimos:
〈f, g〉 =
∫ (^) b
a
f g dx (39)
y, es obviamente un producto interno
〈f, f 〉 ≥ 0 〈f, f 〉 = 0 si y s´olo siF ≡ 0 (40) 〈αf, g〉 = α〈f, g〉 (41) 〈αf, g〉 = 〈g, f 〉 (42) 〈αf + g, h〉 = 〈f, h〉 + 〈g, h〉 (43)
Un conjunto de funciones se define ortonormal si:
‖F ‖ =
∫ (^) b
a
|F (x)| dx (44)
〈um, un〉 = δmn (45)
una funi´on F ∈ L 2 ([a, b]) se puede expresar como
4 Series de Fourier
ϕn = √^1 2 π
, sin √^ x π
, cos √^ x π
, sin √^ nx π
, cos √^ nx π
es ortonormal completo en −π ≤ x ≤ π
1 π
∫ (^) π
π
cos mx cos nx = δmn (62)
recordando que cos mx cos nx = 12 [cos(n + m)x + cos(n − m)x]
⇒ F (x) = cnϕn cn =
∫ (^) π
π
F (x)ϕn(x) (63)
ϕn = √^1 2 l
e
inπxl en − l ≤ x ≤ l (64)
Si F (x) = F (x)|l|
F =
2 l
cnϕn cn =^1 2
∫ (^) l
−l
F (x)e−^ nπxl^ (65)
4.1 Fourier Transform
F (x) =
−∞
dk eikxg(k) (66)
g(k) = 1 2 π
−∞
F (x)e−ikxg(k) (67)
Se debe tener condiciones necesarias ∫ (^) ∞
−∞
|F (x)|^2 dx = R (68)
