Download lattice theory basics distributive and more Summaries Mathematics in PDF only on Docsity!
Polosvazy
Definice. Prvek x grupoidu (G , ·) se nazývá idempotentní, jestliže x · x = x. Grupoid (G , ·) se nazývá idempotentní, jestliže každý prvek x ∈ G je idempotentní. Definice. Komutativní pologrupa, jejíž každý prvek je idempotentní, se nazývá polosvaz. Příklad. Pro libovolnou množinu X budeme (i v dalším textu) symbolem P(X ) označovat množinu všech podmnožin množiny X. Pak (P(X ), ∩) a (P(X ), ∪) jsou polosvazy. Příklad. Množina všech přirozených čísel N spolu s operací největší společný dělitel (resp. nejmenší společný násobek) tvoří polosvaz. Poznámka. Připomeňme, že podgrupoidem grupoidu (G , ·) rozumíme libovolnou podmnožinu H množiny G takovou, že pro každé a, b ∈ H je a · b ∈ H. Největším (vzhledem k inkluzi) podgrupoidem grupoidu (G , ·) je G , nejmenším ∅. Zřejmě je možné operaci · zúžit na H, čímž dostaneme grupoid (H, ·). Je jasné, že každý podgrupoid libovolného polosvazu je také polosvaz.
Věta 1.1. Nechť (G , ·) je komutativní pologrupa. Pak množina všech jejích idempotentních prvků tvoří podgrupoid pologrupy (G , ·), který je polosvazem.
Důkaz. Jsou-li x a y idempotentní, pak x · x = x a y · y = y , odkud plyne (x · y ) · (x · y ) = x · x · y · y = x · y. Jde tedy skutečně o podgrupoid, zbytek tvrzení je zřejmý.
Poznámka. Připomeňme, že v uspořádané množině (G , ≤) nazýváme prvek x ∈ G horní závorou prvků a, b ∈ G , jestliže a ≤ x, b ≤ x. Jestliže existuje nejmenší ze všech horních závor prvků a, b, nazýváme ji jejich supremem, které značíme sup{a, b} nebo a ∨ b.
Příklad. V uvedené uspořádané množině je supremem prvků a, b prvek x, zatímco prvky c, d supremum nemají: mezi jejich třemi horními závorami x, a, b neexistuje nejmenší.
x •
a • • b
c • • d
Z polosvazu lze vytvořit uspořádanou množinu
Věta 1.3. Nechť (G , ·) je polosvaz. Potom relace ≤, daná vztahem
a ≤ b ⇐⇒ a · b = b
pro každé a, b ∈ G , je uspořádání na G , ve kterém pro každé a, b ∈ G je a · b supremum prvků a, b v (G , ≤). Důkaz. Pro každé a, b, c ∈ G platí
a · a = a =⇒ a ≤ a, a ≤ b, b ≤ a =⇒ a = b · a = a · b = b,
a tedy je ≤ reflexivní a antisymetrická relace. Rovněž platí
a ≤ b, b ≤ c =⇒ a · b = b, b · c = c =⇒ a · c = a · (b · c) = (a · b) · c = b · c = c =⇒ a ≤ c,
čímž jsme dokázali tranzitivitu. Je tedy ≤ uspořádání na G.
Zbývá ukázat, že pro každé a, b ∈ G je a · b supremum prvků a, b v uspořádané množině (G , ≤). Protože
a · (a · b) = (a · a) · b = a · b, b · (a · b) = (a · b) · b = a · (b · b) = a · b,
platí a ≤ a · b, b ≤ a · b. Nechť c je libovolná horní závora prvků a, b v (G , ≤), tedy a ≤ c, b ≤ c. Pak platí a · c = c, b · c = c, odkud (a · b) · c = a · (b · c) = a · c = c,
tedy a · b ≤ c, je tedy a · b supremum prvků a, b v (G , ≤).
Důsledek. Polosvazy jsou totéž co uspořádané množiny, v nichž ke každým dvěma prvkům existuje supremum.
Svazy
Definice. Uspořádaná množina, v níž ke každým dvěma prvkům existuje supremum i infimum, se nazývá svaz. Příklad. Každý řetězec (neboli lineárně uspořádaná množina, tj. uspořádaná množina, v níž jsou každé dva prvky srovnatelné) je svaz: supremem daných dvou prvků je ten větší z nich, jejich infimem je ten menší. Příklad. Pro libovolnou množinu X je (P(X ), ⊆) svaz: supremem libovolných dvou podmnožin množiny X je jejich sjednocení, jejich infimem je jejich průnik. Příklad. Množina přirozených čísel N je uspořádána relací dělitelnosti, přitom (N, |) je svaz: pro libovolná dvě přirozená čísla je jejich supremem jejich nejmenší společný násobek a jejich infimem je jejich největší společný dělitel.
Svaz jako množina se dvěma operacemi
Věta 2.1. Nechť (G , ≤) je svaz. Pro libovolné prvky a, b ∈ G označme jejich supremum symbolem a ∨ b a jejich infimum symbolem a ∧ b. Pak (G , ∨) a (G , ∧) jsou polosvazy a obě operace jsou spolu svázány tzv. absorpčními zákony: pro každé prvky a, b ∈ G platí a ∨ (b ∧ a) = a ∧ (b ∨ a) = a. Kromě toho pro každé prvky a, b ∈ G platí
a ∧ b = a ⇐⇒ a ≤ b ⇐⇒ a ∨ b = b.
Důkaz. To, že (G , ∨) a (G , ∧) jsou polosvazy, plyne z věty 1.2 a principu duality; rovněž tak ekvivalentnost uvedených podmínek. Absorpční zákony jsou zřejmé.
Princip duality svazů
Poznámka. Z dokázaných vět vyplývá, že svazy jsou totéž co algebraické struktury (G , ∨, ∧) se dvěma idempotentními, asociativními a komutativními operacemi, svázanými spolu absorpčními zákony. Proto i tyto struktury (G , ∨, ∧) budeme také nazývat svazy. Princip duality: Je-li (G , ∨, ∧) svaz, pak i (G , ∧, ∨) je svaz (tzv. svaz duální k původnímu svazu). Obecně, jestliže v nějakém platném tvrzení o svazech systematicky zaměníme supremum ↔ infimum, ∨ ↔ ∧, ≤ ↔ ≥, dostaneme opět platné tvrzení o svazech. Poznámka. Protože není nutné zdůrazňovat, zda máme na mysli svaz jako uspořádanou množinu nebo jako algebraickou strukturu se dvěma operacemi, nebudeme dále, nebude-li to z nějakých důvodů vhodné nebo dokonce nevyhnutelné, uspořádání či operace vyznačovat. Budeme tedy místo o svazu (G , ≤) či svazu (G , ∨, ∧) jednoduše psát o svazu G.
Distributivní a modulární nerovnosti
Věta 2.3. V libovolném svazu G pro každou trojici prvků a, b, c ∈ G platí tzv. distributivní nerovnosti
(a ∨ b) ∧ (a ∨ c) ≥ a ∨ (b ∧ c), (a ∧ b) ∨ (a ∧ c) ≤ a ∧ (b ∨ c).
Je-li navíc c ≤ a, platí tzv. modulární nerovnost
(a ∧ b) ∨ c ≤ a ∧ (b ∨ c).
Důkaz. Jistě platí a ∨ b ≥ a, a ∨ c ≥ a, tedy a je dolní závorou prvků a ∨ b, a ∨ c, proto (a ∨ b) ∧ (a ∨ c) ≥ a. Platí a ∨ b ≥ b ≥ b ∧ c, a ∨ c ≥ c ≥ b ∧ c, odkud podobně (a ∨ b) ∧ (a ∨ c) ≥ b ∧ c. Proto je (a ∨ b) ∧ (a ∨ c) horní závorou prvků a, b ∧ c a dostáváme první distributivní nerovnost. Druhou lze principem duality odvodit z první. Je-li navíc c ≤ a, platí a ∧ c = c, proto modulární nerovnost plyne z druhé distributivní nerovnosti.
Podsvazy, ideály, filtry
Definice. Nechť (G , ∨, ∧) je svaz, A podmnožina jeho nosné množiny G. Řekneme, že A je podsvaz svazu (G , ∨, ∧), jestliže pro každé a, b ∈ A platí a ∨ b ∈ A a současně a ∧ b ∈ A. Poznámka. A je podsvaz svazu (G , ∨, ∧), právě když je A podgrupoid obou grupoidů (G , ∨) a (G , ∧). Příklad. Každá jednoprvková podmnožina svazu je jeho podsvazem, prázdná množina je podsvazem libovolného svazu, každý svaz je svým podsvazem. Definice. Nechť G je svaz, A ⊆ G podmnožina. Řekneme, že A je ideál svazu G , jestliže je A podsvazem svazu G , který navíc splňuje podmínku: pro každé a ∈ A a každé x ∈ G platí x ≤ a =⇒ x ∈ A. Duálně, řekneme, že A je filtr svazu G , jestliže je A podsvazem svazu G , který navíc splňuje podmínku: pro každé a ∈ A a každé x ∈ G platí x ≥ a =⇒ x ∈ A.
Poznámka. Ideál svazu je tedy podsvaz, který s každým svým prvkem a obsahuje i všechny prvky svazu menší než a, filtr svazu je podsvaz, který s každým svým prvkem a obsahuje i všechny prvky svazu větší než a.
Příklad. Každý svaz je svým ideálem i filtrem. Prázdná množina je ideálem i filtrem libovolného svazu.
Věta 3.1. Průnik libovolného neprázdného systému podsvazů (resp. ideálů, resp. filtrů) daného svazu je opět podsvaz (resp. ideál, resp. filtr) tohoto svazu.
Důkaz. Nechť I 6 = ∅ a pro každé i ∈ I je Ai podsvaz svazu G. Označme A =
i∈I Ai^ jejich průnik. Pak pro každé^ a,^ b^ ∈^ A^ platí a, b ∈ Ai pro všechna i ∈ I , a tedy a ∨ b ∈ Ai , a ∧ b ∈ Ai. Odtud a ∨ b ∈ A, a ∧ b ∈ A, a proto je A podsvaz svazu G. Předpokládejme navíc, že pro každé i ∈ I je Ai dokonce ideál svazu G. Mějme a ∈ A, x ∈ G , x ≤ a. Pak pro každé i ∈ I je a ∈ Ai , tedy i x ∈ Ai , tudíž x ∈ A. Tvrzení o filtrech nyní plyne z duality.
Věta 3.2. Nechť G je svaz, A ⊆ G podmnožina. Pro ideál A↓ generovaný množinou A platí
A↓ = {x ∈ G ; ∃n ∈ N ∃a 1 ,... , an ∈ A : x ≤ a 1 ∨ · · · ∨ an}.
Duálně, pro filtr A↑ generovaný množinou A platí
A↑ = {x ∈ G ; ∃n ∈ N ∃a 1 ,... , an ∈ A : x ≥ a 1 ∧ · · · ∧ an}.
Důkaz. Každý ideál svazu G obsahující množinu A musí pro každé a 1 ,... , an ∈ A obsahovat i a 1 ∨ · · · ∨ an. Proto obsahuje i množinu
B = {x ∈ G ; ∃n ∈ N ∃a 1 ,... , an ∈ A : x ≤ a 1 ∨ · · · ∨ an}.
Je tedy A↓ ⊇ B. Stačí ověřit, že B je ideál obsahující A. Inkluze A ⊆ B je zřejmá, neboť pro a ∈ A lze volit n = 1 a a 1 = a. Jistě B obsahuje s každým svým prvkem i všechny prvky svazu ještě menší. Nechť x, y ∈ B. Protože x ∧ y ≤ x, je x ∧ y ∈ B. Potřebujeme ověřit, že také x ∨ y ∈ B. Existují a 1 ,... , an, b 1 ,... , bm ∈ A tak, že x ≤ a 1 ∨ · · · ∨ an, y ≤ b 1 ∨ · · · ∨ bm. Pak pro c = (a 1 ∨ · · · ∨ an) ∨ (b 1 ∨ · · · ∨ bm) je x ≤ c, y ≤ c, odkud x ∨ y ≤ c, proto x ∨ y ∈ B. Tvrzení o filtrech plyne z duality.
Izotonní zobrazení, homomorfismy svazů
Definice. Nechť (G , ≤), (H, ) jsou uspořádané množiny, f : G → H zobrazení. Řekneme, že je f izotonní zobrazení, jestliže pro každé a, b ∈ G platí implikace
a ≤ b =⇒ f (a) f (b).
Řekneme, že f je izomorfismus uspořádaných množin, je-li f bijekce a obě zobrazení f i f −^1 jsou izotonní. Definice. Nechť G a H jsou svazy, f : G → H zobrazení. Řekneme, že je f svazový homomorfismus, jestliže pro každé a, b ∈ G platí
f (a ∧ b) = f (a) ∧ f (b), f (a ∨ b) = f (a) ∨ f (b).
Řekneme, že f je svazový izomorfismus (neboli izomorfismus svazů), je-li f bijektivní homomorfismus. Poznámka. Protože každý svaz je také uspořádaná množina, má smysl se ptát, zda svazový homomorfismus je též izotonní zobrazení.
Důkaz věty. 1. Předpokládejme, že f je svazový homomorfismus. Pro každé a, b ∈ G z a ≤ b plyne a = a ∧ b, proto f (a) = f (a ∧ b) = f (a) ∧ f (b), a tedy f (a) ≤ f (b). Je tedy f izotonní. To, že f (G ) je podsvaz svazu H, plyne přímo z definic.
- „⇒ˇ Nechť je f svazový izomorfismus. Nejprve ukážeme, že pak f −^1 je svazový homomorfismus. Zvolme libovolně c, d ∈ H a označme a = f −^1 (c), b = f −^1 (d). Pak platí
f −^1 (c ∨ d) = f −^1 (f (a) ∨ f (b)) = f −^1 (f (a ∨ b)) = a ∨ b = = f −^1 (c) ∨ f −^1 (d), f −^1 (c ∧ d) = f −^1 (f (a) ∧ f (b)) = f −^1 (f (a ∧ b)) = a ∧ b = = f −^1 (c) ∧ f −^1 (d).
Odvodili jsme, že f −^1 je svazový homomorfismus. Aplikací první části věty na zobrazení f i f −^1 dostaneme, že f je izomorfismus uspořádaných množin.
- „⇐ˇ Nechť nyní naopak f je izomorfismus uspořádaných množin, a, b ∈ G. Protože a ≤ a ∨ b, b ≤ a ∨ b a f je izotonní zobrazení, dostáváme f (a) ≤ f (a ∨ b), f (b) ≤ f (a ∨ b), je tedy f (a ∨ b) horní závora prvků f (a), f (b). Nechť c ∈ H je libovolný takový, že f (a) ≤ c, f (b) ≤ c. Protože f −^1 je izotonní zobrazení, platí a ≤ f −^1 (c), b ≤ f −^1 (c), proto i a ∨ b ≤ f −^1 (c), a protože f je izotonní zobrazení, dostáváme f (a ∨ b) ≤ c. To ale znamená, že f (a ∨ b) je supremum prvků f (a), f (b), tedy
f (a) ∨ f (b) = f (a ∨ b).
Analogicky (nebo z duality) dostaneme
f (a) ∧ f (b) = f (a ∧ b).
Je tedy f izomorfismus svazů.
